§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений icon

§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений




Скачати 183.82 Kb.
Назва§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений
Дата12.09.2012
Розмір183.82 Kb.
ТипРешение

48104

§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений


При рассмотрении действий с матрицами не вводится операция деления. Но возможно ввести понятие, которое разрешает дать некоторый эквивалент этому действию.

Определение. Квадратная матрица В называется обратной квадратной матрице А, если произведение А·В есть единичная матрица.

Докажем, что для любой квадратной матрицы А, определитель которой отличный от нуля, существует одна и только одна обратная матрица, и приведем способ ее вычисления.

Пусть задана матрица

.

Пусть



есть искомая матрица и - единичная матрица того же порядка n.

Согласно условия, А·В=Е, поэтому для определения n2 элементов bік матрицы В мы имеем n систем уравнений первого порядка, каждая из которых содержит n уравнений:



Такие системы имеют одну и ту же основную матрицу А.

Согласно предположения, , поэтому каждая система имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам Крамера. Поскольку в правой части в каждой системе только один элемент равен единице, а все другие равны нулю, тогда



и вообще, i,k=1,2,... ,n.

Следовательно, матрица В, обратная матрице А, что обозначается чаще символом А-1, имеет вид

(1)

Ранее было указано, что вообще говоря, для произвольных матриц А и В . Но можно доказать, что А-1·А=А·А-1.

Действительно

Но сумма произведений элементов любой строки матрицы на алгебраическое дополнение соответствующих элементов второй строки равна нулю, а сумма произведений элементов любой строки матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов той же строки равна самому определителю.

Поэтому

и, следовательно,

Понятие «обратная матрица» может быть использовано для решения матричных уравнений.

Пусть, например, задано уравнение АХ=В, где А и В - заданные квадратные матрицы порядка n, а Х - искомая квадратная матрица того же порядка. Пусть . Тогда вычисляем матрицу А-1 и умножим левую и правую части заданного уравнения слева на А-1:



Поскольку



(согласно ассоциативного свойства умножения матриц), тогда



и получаем



Для вычисления матрицы А-1 , обратной матрицы А, можно, конечно, использовать формулы (1). Но, как правило, значительно выгоднее использовать для этого метод полного исключения. Это целесообразно еще и потому, что все n систем уравнений, которые служат для определения столбцов матрицы А-1 , отличаются только правыми частями. Поэтому процесс преобразования расширенных матриц этих систем можно проводить одновременно для всех матриц.

6. Как решается система линейных уравнений в матричном виде с использованием обратной матрицы?

Примеры решения задач

1.67. Найти матрицу, обратную матрице



Рассмотрим матрицу



Первые три столбца этой матрицы - столбцы заданной матрицы А, следующие три столбца, отделены черточки и составляют вместе единичную матрицу, - столбцы свободных членов для систем уравнений, которые определяют элементы обратной матрицы.

Проводим обычные операции метода полного исключения:



Матрица, отделенная черточкой, и есть искомая, поскольку каждый ее столбец является решением соответствующей системы уравнений, то есть



1.68. Найти матрицу, обратную матрице



Рассмотрим матрицу





Второй способ нахождения обратной матрицы.

1.69. Найти обратную А-1 матрицу к матрице А.



Вычислим определитель матрицы А:



Матрица А неособенная, поскольку



Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя







Согласно формуле (1) записываем А-1



1.70. Найти матрицу, обратную данной



Запишем обратную матрицу в виде



Согласно правила умножения матриц, получим

Для нахождения элементов матрицы А-1 запишем системы



Решения этих систем и дают нам элементы обратной матрицы



1.71. Найти матрицу Х из уравнения



Умножим обе части уравнения с левой стороны на матрицу, обратную к матрице . Согласно предыдущему примеру .

В левой части уравнения в силу ассоциативного закона имеем:



В правой части будет



Замечание. Поскольку умножение матриц некоммутативное , то в задачах такого типа нужно внимательно определять, с какой стороны следует умножать, обе части уравнения на матрицу, обратную одной из данных.

1.72. Решить систему уравнений

,

представив ее в виде матричного уравнения.

Перепишем систему в виде АХ=В, где

Решение матричного уравнения имеет вид Х=А-1В. Найдем А-1. Имеем



Вычислим алгебраическое дополнение элементов этого определителя.







Согласно (1)



Следовательно,



, то есть х1=2, х2=-1, х3=1

§9. Модель многоотраслевой экономики

В макроэкономике возникает вопрос, связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из “n” областей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой области? При этом каждая область выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими областями.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Введем такие обозначения:

xi - общий (валовой) объем продукции і-ой области (и=1, 2…n);

xij– объем продукции і-ой области, что потребляется в j-ой области в процессе производства (i, j=1, 2…n);

yi– объем конечной продукции і-ой области для непроизводственного потребления.

Поскольку валовой объем продукции любой і-ой области равен суммарному объему продукции, что потребляется “n” областями, и конечной продукции, то

(1)

Уравнение (1) называется соотношением баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, которые входят в (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

(2),

которые показывают затраты продукции і-ой области на производство единицы продукции j-ой области.

Можно считать, что на некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от технологии производства, которая сложилась. Следовательно это определяет линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть

(3),

вследствие чего построенная на этой основе модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Обозначим

,

где ^ Х - вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продукта, А - матрица прямых затрат. Тогда систему можно записать в матричном виде:

X=AX+Y (5)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (5) в виде:

(E-A)X=Y (6)

Если матрица (E-A) не выражена. То есть , то

(7)

Матрица называется матрицей полных затрат, каждый элемент которой есть величина валового выпуска продукции і-ой области, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой области .

В соответствии с экономическим содержанием задачи, значения должны быть неотрицательными при неотрицательных значениях и , где .

Матрица называется продуктивной, если для любого вектора существует решение уравнения (2). В этом случае и модель называют продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица продуктивна, если для любых , и максимум сумм элементов ее столбцов не превышает единицы

,

причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы



1.73. Методом Жордана-Гауса решить, в случае совместимости, систему линейных уравнений. Указать свободные переменные, базисные изменения и базисное решение, что им отвечает. Проверить это решение подстановкой.



Решение. Решим систему методом Жордана-Гауса. Расчеты по этому методу представим в виде таблицы 1, в которую заносим расширенную матрицу системы.

Таблица 1.

интеграции

x1

x2

x3

x4

aik

0

1

1

-1

1

2




1

-2

1

-1

-3




2

1

0

2

5




5

-2

1

1

1

1

2

-1

0

0

-1




1

-2

1

-1

-3




2

1

0

2

5




4

0

0

2

4

2

4

0

0

2

4




5

0

1

3

7




2

1

0

2

5




4

0

0

2

4

3

2

0

0

1

2




-1

0

1

0

1




-2

1

0

0

1




0

0

0

0

0

3'

2

0

0

1

2




-1

0

1

0

1




-2

1

0

0

1

На каждой итерации выбираются ведущая строка и ведущий столбик, на сечении которых находится ведущий элемент.

Для упрощения вычислений удобно за ведущий элемент выбирать элемент, который равен 1, и за ведущий столбик выбирать столбик, который содержит как можно больше нулей.

1 итерация. Выбираем третий ведущий столбик и вторую ведущую строку. На их пересечении стоит ведущий элемент а23, который мы выделим рамкой. Здесь и в дальнейшем через aqp мы обозначим элемент, который стоит на пересечении строки с номером q и столбика с номером г.

Дальше пересчитываем элементы ведущей строки по формуле:

(1),

где k=0,1,2,... ; q - номер ведущей строки, р - номер ведущего столбика, а’qk - элементы новой матрицы, которая отвечает первой итерации.

Поскольку для данного примера аqp=a23=1, то, согласно формуле (1), все элементы ведущей строки необходимо поделить на 1, а следовательно, переписать без изменения.

Элементы других строк исчисляются по формуле



или по формуле

aik=aik-aqk aip (2),

где i=1,2,... ; k=0,1,2,... ; q - номер ведущей строки (q=2); p - номер ведущего столбика (p=3).

Поскольку а33=0, то третья строка, согласно формуле (2), перепишется без изменения. Для элементов первой строки имеем:



Элементы четвертой строки вычисляются аналогично: а'41=4, a'42=0, a'43=0, a'44=2, a'40=4

После этих вычислений ведущий столбик должен превратиться в единичный.

Заметим, что на следующих итерациях ни вторая строка, ни третий столбик уже не могут быть выбранными ведущими.

2 итерация. За ведущий выбираем элемент а32=1 (ведущая строка - третья, ведущий столбик - второй) Проводим вычисления, аналогичные первой итерации.

3 итерация. а’’14=2 - ведущий элемент

На третьей итерации появилась нулевая строка, которую можно отбросить (шаг 3').

В последней таблице ни одна строка не может быть выбрана ведущей, следовательно, расчеты закончены.

Так как мы получили - три линейно независимых единичных столбика при четырех переменных, то данная система уравнений неопределенная. Переменные, которые отвечают линейно независимым единичным столбикам, могут быть выбраны как базисные. Для данного примера х2, х3, х4 - базисные переменные. Все другие (то есть х1) - свободные.

Поскольку последняя таблица отвечает системе

,

то общее решение исходной системы имеет вид (базисные переменные выражаются через свободные):



Приравняв все свободные переменные к нулю (то есть х1=0), найдем базисное решение:

х1=0, х2=1, х3=1, х4=2.

Проверим это решение подстановкой в исходную систему:



Следовательно, это действительно есть решение.

1.74. Для производства продукции создано 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблицы заданы:

  • коэффициенты прямых затрат аik, то есть количество единиц продукции i-й фирмы, которая используется как промежуточный продукт для выпуска единицы продукции k-й фирмы;

  • количество единиц yi продукции i-й фирмы, рассчитанной на реализацию (конечный продукт).

Определить:

а) коэффициент полных затрат;

б) валовой выпуск (план) для каждой фирмы;

в) коэффициенты непрямых затрат.

Таблица 2.

Фирмы

Прямые затраты аik

Конечный продукт

І

ІІ

ІІІ

yi

І

0.1

0.2

0

10

ІІ

0.1

0

0.2

30

ІІІ

0

0.2

0

20

Решение. Пусть Х= - производственная программа фирм, где хі - валовой выпуск продукции і-й фирмы (і=1,2,3).

Обозначим через Y= - план выпуска товарной продукции (рассчитанной на реализацию). Матрицу коэффициентов прямых затрат обозначим через Вектор ^ Y и матрица А заданы в таблице.

Согласно с условием задачи і-я фирма отдает ровно аі1х1+аі2х2+аі3х3 единиц продукции на внутренние потребности фирм. Тогда производственные связи фирм могут быть представлены с помощью системы трех уравнений хі=yi+ai1x1+ai2x2+ai3x3, i=1,2,3.

Другими словами, валовой выпуск продукции хі состоит из выпуска товарной продукции yi и выпуска продукции для внутренних потребностей.

В матричной форме это равенство можно переписать:

Y+AX=X или X-AX=Y.

Если Е - единичная матрица третьего порядка, то последнее уравнение перепишется в виде (E-A)X=Y.

Его решение в матричной форме имеет вид

X=(E-A)-1Y (3)

где (E-A)-1 - обратная матрица.

а) Элементы матрицы (E-A)-1 есть не что иное, как искомые коэффициенты полных затрат. Обозначим ^ S=E-A, то есть,



Найдем матрицу S-1 методом Жордана-Гауса.

Расчеты представим в виде таблицы 3, в левой части которой записываем исходную матрицу S, справа - матрицу E.

Соответствующие преобразования строк таблицы проводим так же, как и при решении системы уравнений (см. табл.1), стараясь получить единичные столбики (итерации 1-3). Если исходная матрица невыраженная, то после проведения n итераций (n-порядок системы) получим n единичных столбиков. Если исходная матрица выраженная, то после некоторой итерации в левой части таблицы появится нулевая строка. Это будет свидетельствовать о том, что обратной матрицы не существует.

Для нашего примера мы получили 3 единичных столбика. На последнем шаге (3') путем перестановки строк образовываем в левой части таблицы единичную матрицу. Тогда в правой части таблицы будет записана обратная матрица.

Таблица 3

итерации

матрица S

матрица E

0

0.9

-0.2

0

1

0

0




-0. 1

1

-0.2

0

1

0




0

-0.2

1

0

0

1

1

0.9

-0.2

0

1

0

0




-0. 1

0.96

0

0

1

0.2




0

-0.2

1

0

0

1

2

0

8.44

0

1

9

1.8




1

-9.6

0

0

-10

-2




0

-0.2

1

0

0

1

3

0

1

0

0.12

1.07

0.21




1

0

0

1.15

0.27

0.02




0

0

1

0.02

0.21

1.04

3'

1

0

0

1.15

0.27

0.02




0

1

0

0.12

1.07

0.21




0

0

1

0.02

0.21

1.04

Следовательно, матрица коэффициентов полных затрат имеет такой вид:



Таким образом, например, для выпуска единицы продукции І, ІІ и ІІІ фирмами необходимо израсходовать, соответственно, 1.15; 0.27 и 0.02 единиц продукции І фирмы.

б) Для определения валового выпуска продукции используем равенство (3):



Следовательно, х1=20, х2=37.5, х3=27.3.

в) Коэффициенты непрямых затрат найдем как разность между полными затратами S-1 и прямыми затратами А, или в матричной форме.







Схожі:

§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений iconТематическийпла н
Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений icon§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений
При рассмотрении действий с матрицами не вводится операция деления. Но возможно ввести понятие, которое разрешает дать некоторый...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений icon2 Упрощение матричных игр
Решение матричных игр тем сложнее, чем больше размерность платежной матрицы. Поэтому для игр с платежными матрицами большой размерности...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений iconРешение уравнений и систем уравнений
Такие программы наряду с множеством уже реализованных в них методов позволяют пользователям самостоятельно разрабатывать схемы решения...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений iconРешение алгебраических уравнений и систем

§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений iconРешение нормальных уравнений с помощью обратной матрицы

§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений iconПрактическая работа № Тема: Нахождение решений уравнений и систем уравнений
Цель: Освоить графический метод для решения уравнений и систем уравнений, научиться решать уравнения с одним неизвестным с помощью...
§8 Обратная матрица, решение матричных уравнений icon1 Основы способа наименьших квадратов. 4
Уравнения поправок и нормальные уравнения в матричной записи. Решение нормальных уравнений. 11
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи