§6 Скалярное произведение векторов icon

§6 Скалярное произведение векторов




Скачати 99.96 Kb.
Назва§6 Скалярное произведение векторов
Дата12.09.2012
Розмір99.96 Kb.
ТипРешение

48108

§6 Скалярное произведение векторов


В физических, технических экономических применениях математики большое значение имеет решение задачи про определение работы, которую выполняет заданная постоянная сила при перемещении материальной точки. Если точка перемещается прямолинейно, то, как известно, работа равна произведению величины силы на величину перемещения и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Обозначим силу , а перемещение , получим для вычисления работы выражение:



Поскольку подобная операция с двумя векторами встречается довольно часто, то для нее введенное специальное название, специальное обозначение и изучены все новые свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведением их длин и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение двух векторов и обозначим символом . В соответствие с определением

(1)

Непосредственно из определения следует, что скалярное произведение двух векторов есть скаляр.

Угол между двумя векторами не зависит от того, какой вектор выбирается первым и какой вторым, поэтому

(2),

то есть скалярное произведение имеет коммутативное свойство.

Поскольку есть проекция вектора на ось, направленную так, как и вектор , есть проекция вектора на ось, направленную по вектору , то

(3)

Теперь легко показать, что скалярное произведение векторов имеет распределительное свойство, то есть

(4)

Действительно



Но .

Следовательно

.

Нетрудно проверить, что скалярное произведение имеет ассоциативное свойство по отношению к скалярному множителю.

(5)

Из определения скалярного произведения векторов следует, что

Следовательно, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора. В частности

(6)

Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Наоборот, если скалярное произведение равно нулю, но ни один из векторов не есть нуль, то в нуль должен превращаться косинус угла между векторами, а потому векторы должны быть перпендикулярны.

^ Следовательно, для того чтобы два вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Поскольку направление нулевого вектора считается произвольным, то можно считать нулевой вектор перпендикулярным любому вектору. Поэтому в приведенном условии перпендикулярности двух векторов нет необходимости особенно указывать, что ни один из векторов не должен быть нулевым.

Из условия перпендикулярности получим, в частности , что

(7)

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе , то, используя распределительное и соединительное по отношению к скалярному множителю свойства скалярного произведения, получим:

(8)

то есть скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Из определения скалярного произведения двух векторов непосредственно находится формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами

(9)
^

§7 Векторное произведение векторов


Определение. Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, который имеет длину, численно равную площади параллелограмма, который построен на заданных векторах, перпендикулярен плоскости этих векторов и образовывает с упорядоченной парой заданных векторов правую тройку.

Обозначается векторное произведение заданных векторов и символом (иногда обозначают .

Поскольку площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна произведению длины этих векторов и синуса угла между ними, то

(1)

Укажем на основные свойства векторного произведения векторов. Отметим прежде всего, что

(2)

Действительно, пусть



Поскольку

и

Векторы и перпендикулярны одной и той же плоскости (плоскость, определенная векторами і). Векторы , , образовывают правую тройку. Праву же тройку образовывают и векторы , , ', поэтому векторы и имеют одинаковые длины, перпендикулярны одной и той же плоскости и направлены в противоположные стороны. Это означает, что . Следовательно, при перестановке векторов, которые перемножаются, направление векторного произведения изменяется на противоположное, а длина не изменяется.

Можно доказать, что векторное произведение двух векторов имеет соединительное свойство по отношению к третьему - скалярному - сомножителю.

(3)

и имеет распределительное свойство:

(4)

Из определения векторного произведения векторов следует, что векторное произведение коллинеарных векторов есть всегда нулевой вектор. В частности , всегда

.

Поскольку векторы , , взаимно перпендикулярны, имеют единичные длины и образовывают правую тройку, то

(5)

Используя распределительное и соединительное по отношению к скалярному множителю свойства векторного произведения, можно получить формулы для вычисления векторного произведения векторов, заданных путем разложения по ортонормированному базису:

(6)

Важной геометрической задачей, которая решается с помощью введенной операции, есть вычисление площади треугольника по координатам его вершин.

Пусть заданы координаты вершин треугольника А, В, С. Зная их, находим и . Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Следовательно,

(7)

Пример. А(1, -2,0); В(2, 1, -1); С(0, 3, 1). Найти .

Решение



Наконец, формулу для вычисления векторного произведения векторов (6) удобнее записывать через определитель

(8),

раскладывая который по элементам первой строки, получим формулу (6).
^

§8 Смешанное произведение векторов


Поскольку векторное произведение векторов и есть вектор, то возможно рассматривать и скалярное произведение вектора на и векторное произведение на . В нашем курсе мы рассмотрим только первый из этих произведений.

Определение. Скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и называется смешанным произведением векторов , , .

Следовательно, смешанным произведением векторов , и есть выражение и представляет собой, очевидно, скаляр.

Выясним геометрическое содержание введенного понятия. Пусть точка О есть общее начало трех некомпланарных векторов , , .



Построим на заданных векторах параллелепипед (рис. 13) и найдем вектор . Из определения скалярного произведения векторов, получим



Но поскольку вектор перпендикулярный плоскости векторов и , то проекция вектора на ось, направленную по вектору , или равна высоте параллелепипеда, если эта проекция положительна (то есть, если векторы , , образовывают правую тройку), или равна высоте, взятой со знаком минус, если эта проекция отрицательна (то есть, если три заданных вектора образовывают левую тройку).

Следовательно, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они образовывают правую тройку, и равно объему параллелепипеда, взятому со знаком минус, если векторы образовывают левую тройку.

Если в выбранной тройке их переставить, то параллелепипед, построенный на этих векторах, очевидно, не изменится. В частности, не изменится и абсолютная величина смешанного произведения. Легко отметить, что при круговой перестановке векторов правая тройка векторов остается правой, а левая левой. Поэтому при круговой перестановке векторов смешанное произведение векторов не изменяется.

Следовательно,

(1)

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе , , :

,





Если заданные три вектора компланарные, то их смешанное произведение, очевидно, равно нулю. Наоборот, если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти векторы обязательно компланарные. Действительно, если скалярное произведение векторов и равно нулю, то вектор перпендикулярен вектору ; но перпендикулярен также плоскости векторов и . Таким образом, вектор лежит в плоскости векторов и . Отсюда, векторы , , компланарны.

Следовательно, равенство нулю смешанного произведения трех векторов есть необходимое и достаточное условие их компланарности.

Формулу (2) можно записать, используя определитель третьего порядка

(3),

раскладывая который по элементам 1-го строки, получим формулу (2).

ІІ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. 102. В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: . Найти вектор , если .

 Имеем . Отсюда,

Следовательно , тогда . ▲

1. 103. В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти , если .

 Имеем . Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что , то есть .

Отсюда получаем .

Поскольку , тогда . ▲

1. 104. Заданы точки А(1, 2, 3) и В(3, -4, 6). Найти длину, направление и норму вектора .

 Проекциями вектора на оси координат есть разность соответствующих координат точек В и А: ах=3-1=2, ау=-4-2=-6, az=6-3=3. Отсюда . Найдем длину вектора



Искомый единичный вектор имеет вид . ▲

1. 105. Задан треугольник: А(1, 1, 1), В(5, 1,-2), С(7, 9, 1). Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла А со стороной СВ.

 Найдем длины сторон треугольника, которые образовывают угол А:





Отсюда , поскольку биссектриса делит сторону СВ на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Таким образом,

искомая точка D(17/3, 11/3, -7). ▲

1. 106. На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А(2; -4; 5) и В(-3; 2; 7).

 Пусть М - искомая точка. Тогда . Поскольку точка М лежит на оси х, то ее координаты (х, 0, 0).

Следовательно (x-2)2+41=(x+3)2+53; или 10х=-17, то есть х=-1,7.

Отсюда М(-1,7; 0; 0). ▲

1. 107. Заданы векторы .

Вычислить скалярные произведения:



 Находим:











1.108. Вычислить, при каком значении векторы взаимно перпендикулярны.

 Находим скалярное произведение этих векторов: ; Поскольку , тогда .

Отсюда . ▲

1. 109. Вычислить угол между векторами .

 Поскольку , тогда

Имеем

. Следовательно , і . ▲

1.110. Найти вектор , который перпендикулярен векторам и отвечает условию .

 Поскольку , тогда . Искомый вектор имеет координаты .

Следовательно



Решая полученную систему, имеем

то есть . ▲

1.111. Заданы векторы . Найти координаты векторных произведений:



 Находим:







1.112. Заданы вершины треугольника А(1; 2; 0), В(3; 0; -3) и С(5; 2; 6).

Вычислить его площадь.

 Находим векторы и .



Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , а потому находим векторное произведение этих векторов



Отсюда



1.113. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если .

 Имеем



(поскольку )

Отсюда

1.114. Найти смешанное произведение векторов

.



1. 115. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(-1; 0; 2), В(2; 1; 1), С(3; 0; -1), D(3; 2; 2).

 Найдем векторы , которые совпадают с ребрами пирамиды и сходятся в вершине А: . Находим смешанное произведение этих векторов:



Поскольку объем пирамиды равен параллелепипеда (рис. 14), построенного на векторах , тогда





Рис. 14


1. 116. Показать, что векторы компланарны.

 Находим смешанное произведение векторов



Поскольку , тогда заданные векторы компланарны. ▲




Схожі:

§6 Скалярное произведение векторов icon§6 Скалярное произведение векторов
Если точка перемещается прямолинейно, то, как известно, работа равна произведению величины силы на величину перемещения и на косинус...
§6 Скалярное произведение векторов iconА. С. Попова сведение класической системы уравнений максвелла к скалярным уравнениям относительно компонент векторов е и н
Аннотация. Рассматривается сведение классической системы уравнений Максвелла для линейных однородных изотропных покоящихся сред к...
§6 Скалярное произведение векторов iconФункций
Функция psigmf представляет собой произведение двух сигмоидных функций принадлежности
§6 Скалярное произведение векторов iconПриклад оформлення тексту тез доповідей
Аннотация. Рассматривается сведение классической системы уравнений Максвелла для линейных однородных изотропных покоящихся сред к...
§6 Скалярное произведение векторов iconСписок литературы по курсу: Абрамович Г. Л. Введение в литературоведение. М., 1975. Берков П. Н. Введение в технику литературоведческого анализа. Л., 1976
Введение в литературоведение: Литературное произведение: Основные понятия и термины. – М., 1999
§6 Скалярное произведение векторов iconМомент инерции. Теорема Штейнера
...
§6 Скалярное произведение векторов iconОбязательные вопросы и ответы на них
Если вектор a может быть представлен в виде линейной комбинации векторов {ei}, то мы говорим, что a раскладывается по набору {ei},...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи