§3 Линии второго порядка icon

§3 Линии второго порядка




Скачати 92.14 Kb.
Назва§3 Линии второго порядка
Дата12.09.2012
Розмір92.14 Kb.
ТипДокументи

48111

§3 Линии второго порядка


Рассмотрев геометрические образы, определенные уравнениями первой степени, естественно перейти к изучению образов, которым отвечают уравнения второй степени. При этом начнем с рассмотрения различных объектов на координатной плоскости ху и будем тем самым рассматривать уравнения с двумя неизвестными, считая, что третья координата z всегда равна нулю.

Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестными имеет вид

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1),

при этом считается, что хотя бы один из коэффициентов А, В, С не равен нулю.

Линии, которые отвечают этому уравнению, называются кривыми 2-го порядка.

Простейшей такой кривой есть круг. Пусть центр круга находится в точке М0(a,b) и радиус круга равен R. Поскольку круг есть множество точек, которые находятся на заданном расстоянии от центра М0, тогда

(x-a)2+(y-b)2=R2 (2)

Отметим, что в уравнении отсутствует член с произведением переменных координат, и коэффициенты при квадратных переменных координат равны между собой (в уравнении (2) эти коэффициенты равны 1, но, конечно, возможно все части уравнения (2) умножить на любую константу).

Кривыми 2-го порядка являются кривые - эллипс, гипербола и парабола. Более того, дальше докажем, что любая линия 2-го порядка представляет собой или эллипс, или гиперболу, или параболу, или любой случай их «вырождения». Но, прежде всего, дадим определение этих трех основных кривых, выведем их простейшие уравнения и исследуем их формы.

Определение. Эллипсом называется множество точек (на плоскости), сумма расстояний от которых до двух данных точек постоянна.

Выберем систему прямоугольных декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через обе заданные точки F1 и F2, а начало координат находилось на середине отрезка F1F2 (рис. 19).



Пусть М(х,у) - одна из точек множества, что рассматривается. Обозначим через 2с расстояние между заданными точками F1 и F2 и через 2а заданную сумму расстояний F1М и F2М. Очевидно, что точка F1 имеет координаты (-с;0), а точка F2 координаты (с;0).

Согласно определению, имеем:

(3),

отсюда получим уравнение

(4)

По сути, уравнение (4) уже и есть уравнением множества, что рассматривается. Но оно имеет неудобный для исследования вид; преобразуем его до более простой формы.







a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

Поскольку 2а>2с (сумма двух сторон треугольника больше 3-й стороны), то а2-с2>0. Будем считать

a2-c2=b2 (5)
^

В конечном итоге получим (при выбранной системе координат) уравнение


(6)

Очевидно, каждая точка множества, что рассматривается, должна отвечать полученному уравнению (6). Но поскольку в процессе преобразований дважды возводились в квадрат обе части уравнения, необходимо проверить, не получены ли при этом «лишние» точки. Иначе говоря, надо проверить, что каждая точка, координаты которой отвечают полученному уравнению, принадлежит множеству точек, что рассматривается.

Предварительно сделаем некоторые замечания о форме линии, что отвечает полученному уравнению.

Поскольку

,

то кривая симметрична относительно осей координат, а потому и относительно начала координат. С возрастанием |x| от 0 до а |у| спадает от b до 0. Точки кривой существуют лишь в прямоугольнике (рис. 20).



Проверим теперь, что любая точка линии, которая определена полученным уравнением, принадлежит заданному множеству. Для этого нужно показать, что если координаты произвольной точки М000) удовлетворяют уравнению

, где b2=a2-c2 то ,

поскольку , то



Поскольку и c<a, то сх0+а2>0 и сх0-а2<0.

Поэтому





Таким образом, все точки линии есть точки заданного множества точек.

Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, числа a и b полуосями эллипса, точки пересечения эллипса с его осями симметрии - вершинами эллипса.

С изменением с изменяется форма эллипса. Если с стремится к нулю, то есть фокусы эллипса сливаются, тогда b стремится к а и эллипс становится кругом с уравнением х2+у2=а2, то есть круг есть частный случай эллипса, когда полуоси эллипса равны между собой.

Если же с стремится к а, тогда стремится к нулю и эллипс сжимается вдоль оси ординат. Следовательно, отношение может быть мерой сжатия эллипса, мерой его отклонения от круга. Число (0
Во многих задачах бывает необходимо использовать параметрические уравнения эллипса.

Построим два круга с центрами в начале координат и радиусами b и а. Проведем из начала координат луч под углом t к оси абсцисс ( <2).



Пусть В и А его точки пересечения с построенными окружностями (рис. 21) и М(х;у) - точка пересечения прямых, проведенных из В параллельно оси абсцисс и из А параллельно оси ординат. Определим геометрическое место точек М.

Имеем:

Поскольку ,

то точки М есть точки эллипса с полуосями a и b. Изменяя t от 0 до 2, получим все точки этого эллипса. Таким образом, уравнение

x=acost, y=bsint (7)

есть параметрическим уравнением эллипса с полуосями a и b, расположенного симметрично относительно осей координат. В частности , при a=b получим параметрическое уравнение круга.

Определение. Гиперболой называется множество точек (на плоскости), абсолютное значение разности расстояний от которых до двух данных точек постоянное (и отличное от нуля).

Систему координат выберем так, как и при выведении уравнения эллипса (рис. 22).



Из определения имеем:

(8)



Поскольку разность двух сторон треугольника меньше третьей его стороны, то 2а2с.

Положим

c2-a2=b2 (9)

Тогда получим b2x2-a2y2=a2b2 и, наконец

(10)

Как и в случае эллипса, необходимо проверить, что, несмотря на двукратное возведение в квадрат, мы не получили «лишних» точек и полученное уравнение (10) является уравнением гиперболы.

Предварительно отметим некоторые свойства линии, определенной уравнением (10). Эта линия симметрична относительно осей координат и относительно начала координат.

Поскольку , то для всех точек кривой нет точек кривой в полосе -аха. Кривая состоит из двух отдельных частей - веток гиперболы, одна из которых лежит в области , а друга - в области (правая и левая ветки гиперболы).

Вернемся к доказательству того, что уравнение (10) является уравнением гиперболы.

Пусть М000) произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (10). Нужно доказать, что .



При х0а (то есть для точек правой ветки гиперболы) . Поэтому в случае х0а



При х0-а (то есть для точек левой ветки гиперболы) . Поэтому в случае .



Таким образом, в обоих случаях , и кривая (10) есть гипербола.

Число а называется действительной полуосью, число в воображаемой полуосью. Точки пересечения гиперболы с ее осью симметрии называются вершинами гиперболы, точки F1 и F2 - ее фокусами.

Отметим еще одну особенность формы этой линии. Рассмотрим вместе с гиперболой две прямые: . Нетрудно заметить (вследствие симметрии линии достаточно рассмотреть 1-ю четверть), при одной и той же абсциссе ординаты точек гиперболы меньше ординат соответствующих точек прямой .

Действительно, упр-угип= 0.

Вместе с тем поскольку

,

тогда разность упр-угип стремится к нулю при неограниченном возрастании х, и потому точки гиперболы при неограниченном увеличении абсциссы как угодно близко подходят к соответствующим точкам прямой .

Прямые

(11),

к которым как угодно близко при подходят точки веток гиперболы, называются асимптотами гиперболы. Нетрудно заметить, что асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2a и 2b, симметричного относительно осей симметрии гиперболы.

Если a=b, тогда гипербола принимает вид

х222 (12)

Асимптоты гиперболы в этом случае взаимно перпендикулярны. Такая гипербола называется равносторонней.

Третьей основной кривой 2-го порядка есть парабола.

Определение. Параболой называется множество точек (на плоскости), равноудаленных от заданной точки и заданной прямой.

Выберем ось абсцисс прямоугольной декартовой системы координат так, чтобы она проходила через заданную точку F перпендикулярно заданной прямой L, начало координат пусть находится на середине отрезка FK (рис.23). Направление оси абсцисс указано на рисунке.



Рис. 23


Расстояние от точки F до прямой L обозначим через р . Тогда точка F будет иметь координаты , а уравнение прямой L: .

Пусть М(х;у) - произвольная точка рассматриваемого множества, и А - основа перпендикуляра, опущенного из М на L.

Поскольку точка А имеет координаты и, согласно определению , тогда

,

и, наконец

y2=2px (13)

Легко проверить, что при возведении в квадрат мы не ввели «лишние» точки. Действительно, подставляя в выражение вместо y2 2px, получим и, следовательно, равенство .

Поскольку , тогда х не может быть отрицательным, и все точки кривой лежат в правой полуплоскости. При возрастании х от 0 до - |y| неограниченно возрастает. Ясно также, что кривая симметрична относительно оси абсцисс.

Заданная точка F называется фокусом параболы, точка пересечения параболы с ее осью симметрии - вершиной параболы.

Уравнения (эллипс), (гипербола), y2=2px (парабола) были получены при специальном, наиболее удобном расположении координатных осей. Поэтому полученные уравнения называются простейшими или каноническими уравнениями кривых 2-го порядка.

Для того чтобы ознакомиться с методами приведения уравнений кривых 2-го порядка, заданных в другой координатной системе, к такому простейшему виду, необходимо получить формулы преобразования координатных систем.

^ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.171. Записать уравнение окружности, что имеет центр в точке (5;-7) и проходит через точку (2;-3).

Δ Найдем радиус окружности как расстояние от центра к данной его точке



Теперь у уравнения окружности (2) подставим координаты центра и величину радиуса, которая найдена

(x-5)2+(y+7)2=25 ▲

1.172. Найти координаты центра и радиус окружности

х22-4х-14у+17=0

Δ Перепишем данное уравнение так:

х2-4х+4+у2-14у+49+17-4-49=0

или

(х-2)2+(у-7)2=36

Сравнивая это уравнение с уравнением окружности (2) получим: a=2, b=7, r=6. Следовательно, центр окружности находится в точке (2;7), радиус его равен 6. ▲

1.173. Найти уравнение эллипса, фокусами которого есть точки F1(0;0) и F2(0;8), а большая полуось а=5.

Δ Расстояния от точки М(х;у) эллипса к фокусам равняются соответственно и . Согласно определению эллипса имеем, что

+ =10

Упрощая это уравнение, получим



Выделим полный квадрат относительно «у»

25х2+9(у2-8у+16)=225

Поделим на 225 и получим каноническое уравнение эллипса:



Осями симметрии такого эллипса будут линии х=0 и в=4, большая полуось а=5, малая полуось b=3. ▲

1. 174. Вычислить полуоси гиперболы, если директрисы заданы уравнениями и угол между асимптотами прямой.

Δ Директрисы связаны с полуосями гиперболы формулами



a, b - полуоси гиперболы. Уравнения асимптот и .

Согласно условию задачи получим систему двух уравнений



Отсюда , следовательно, и b=6. ▲

1.175 Написать уравнение параболы, что проходит через точку (0;0) и (1;-2) и симметричной относительно оси Ох.

Δ Уравнение параболы, что проходит через точку (0;0) симметрично относительно оси Ох имеет вид у2=2рх.

Согласно условию, что парабола проходит через точку (1;-2), получаем (-2)2=2 г.

Отсюда .

То есть, искомое уравнение параболы будет иметь вид

у2=4х ▲




Схожі:

§3 Линии второго порядка icon§3 Линии второго порядка
При этом начнем с рассмотрения различных объектов на координатной плоскости ху и будем тем самым рассматривать уравнения с двумя...
§3 Линии второго порядка iconУдк 681. 3 Анализ текстуры ультразвуковых снимков с использованием признаков разностной гистограммы второго порядка
В работе разработан и описан подход к анализу текстуры ультразвуковых снимков внутренних органов человека на основе применения признаков...
§3 Линии второго порядка iconСинергетический фазовый переход второго рода с комплексным параметром порядка а. В. Хоменко, доц
Лоренца. При этом отдельный интерес представляет изучение влияния величины разности частот изменения параметра порядка и сопряженного...
§3 Линии второго порядка icon§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка
Перед тем как начать изучение пространственных геометрических образов, соответствующим уравнениям 2-й степени, рассмотрим один специальный...
§3 Линии второго порядка icon§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка
Перед тем как начать изучение пространственных геометрических образов, соответствующим уравнениям 2-й степени, рассмотрим один специальный...
§3 Линии второго порядка icon§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка
Рассмотрим, во-первых, как изменяются координаты точек плоскости ху при преобразовании параллельного переноса, то есть таких преобразований,...
§3 Линии второго порядка icon§4 Преобразование координат на плоскости. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка
Рассмотрим, во-первых, как изменяются координаты точек плоскости ху при преобразовании параллельного переноса, то есть таких преобразований,...
§3 Линии второго порядка icon«шарм», то же, что «очарование». Ширина спектральных ли­ний
Значение ki определяет Ш. с л.— степень немонохроматич­ности данной спектр линии. Контур спектр линии I() (зависимость интенсивности...
§3 Линии второго порядка icon3 методика определения расстояния до места повреждения
Полученные в разделе 2 выражения позволяют производить одностороннее определение расстояния до места повреждения. Однако точность...
§3 Линии второго порядка icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи