Примеры решения задач icon

Примеры решения задач




Скачати 48.45 Kb.
НазваПримеры решения задач
Дата12.09.2012
Розмір48.45 Kb.
ТипДокументи

48112

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. 132. Задано уравнение прямой 14x-5y-45=0. Написать:

  1. уравнение с угловым коэффициентом;

  2. уравнение в отрезках.



  1. Решим уравнения относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом:

у=(14/5)х-9

Здесь k=14/5, b=-9

  1. перенесем свободный член общего уравнения в правую часть и разделим обе части на 45; имеем (14/45)х-(5/45)в=1. Переписывая последнее уравнение в виде

+ =1,

получим уравнение данной прямой в отрезках. Здесь а=45/12; b=-45/5= - 9. ▲

1. 133. Заданы вершины треугольника АВС: А(3, 0), В(5, 10), С(13, 6). Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты СD, опущенной с вершины С на сторону АС;

в) уравнение медианы АЕ.



а) уравнение прямой, что проходит через точки А(х1у1) и В(х2у2) , имеет вид:



Чтобы найти уравнение стороны ^ АВ, подставим координаты точек А и В:

; ; y=5x-15 (AB)

б) Высота СD перпендикулярна к стороне ^ АВ, поэтому их угловые коэффициенты k1 и k2 удовлетворяют условию k1=-. . Из уравнения прямой АВ видно, что k2=5, тогда k1=-. . Запишем уравнение прямой, что проходит через данную точку М11у1) в заданном направлении: у-у1=k(х-х1).

Подставим в него координаты точки С и угловой коэффициент k1, получим искомое уравнение высоты СD:

y-6=- (х-13); 5у-30=-х+13; х+5у-43=0

в) Определить координаты точки Е. Применим формулу разделения отрезка в заданном отношении

; у=

Используя координаты вершины В и С, получим: х=9, в=8; Е(9;8)

Подставим координаты точки А и Е в уравнение , получим уравнение медианы АЕ:

4х-3у-12=0 (АЕ)

1. 134. Вершины треугольника находятся в точках А(3; -5), В(-3; 3), С(-1; -2).

Найти длину и уравнение биссектрисы его внутреннего угла, проведенной из вершины А.

 Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон. Найдем длины этих сторон:

|AB|==10; ||==5;

Если точка D(x,y) - точка пересечения биссектрисы и стороны ВС, то она делит эту сторону в отношении :

= =

Теперь находим координаты точки D по формуле разделения отрезка в заданном отношении:

; .

Следовательно, искомая длина биссектрисы равна:

|AD|=.

Уравнение биссектрисы запишем как уравнение прямой, что проходит через две известные точки А(3; -5), D(; ):

;

16(х-3)=-4(у+5); 16х+4у-28=0

4х + у – 7 = 0 (AD) ▲

1. 135. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(2; 1; -1) и перпендикулярно вектору .

 Достаточно использовать уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору: А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0

Следовательно, 1(х-2)-2(у-1)+3(z+1)=0, то есть х-2у+3z+3=0

1. 136. Записать уравнение плоскости, которая проходит через точки М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2), параллельную вектору ={3;-1;4}.

 Используем условие компланарности трех векторов: , , , где

={x-2; y+1; z-3}

={1; 2; -1}

Отсюда =0 или x-y-z=0 ▲

1. 137. Найти уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; -1; -2) и М2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х-2у+3z-5=0.

 За нормальный вектор искомой плоскости можно выбрать вектор, перпендикулярный вектору ={2; 2; 3} и нормальному вектору 1={1; -2; 3} данной плоскости. А потому за примем векторное произведение и 1.

=[ 1]= =12 -3 -6

Остается использовать уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку (например, А) перпендикулярно заданному вектору ={12; -3; -6}:

12(х-1)-3(у+1)-6(z+2)=0 або 4х – у - 2z –9 =0 ▲

1. 138. Записать уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3; -1; -5) перпендикулярно двум плоскостям 3х-2у+2z+7=0 и 5x-4y+3z+1=0.

 В отличие от предыдущей задачи, используем условие компланарности трех векторов: ={x-3; y+1; z+5}, 1={3; -2; 2} и 2={5; -4; 3}, то есть:

=0

2(х-3)+1(у+1)-2(z+5)=0 или 2х + у - 2z – 15 =0

1. 139. Уравнение прямой привести к каноническому виду.

  • Предположим, например, z0 =0, находим из данной системы: х0=2, у0=-1; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: М0(2; -1; 0). Теперь найдем направляющий вектор. Поскольку он должен быть перпендикулярный нормальным векторам 1={1; -2; 3}, 2={3; 2; -5} заданных плоскостей, то за можно принять векторное произведение векторов 1 и 2:

=[12]= =4 ,

то есть l=4; m=14; n=8

Подставляя найденные значения х0, у0, z0 и l, m, в равенство , получим каноническое уравнение данной прямой:

или

1. 140. Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; -4) относительно плоскости 3х+у-2z=0.

  • Запишем уравнение прямой, которая проходит через точку Р перпендикулярно заданной плоскости, что имеет нормальный вектор ={3; 1; -2} в виде:



Найдем проекцию точки Р на заданную плоскость, решив совместно уравнение

3х+у-2z=0; .

Перепишем уравнение прямой в виде x=3t+1; y=t+3; z=-2t-4.

Подставим эти выражения для x, y, z у уравнение плоскости, найдем t = -1,

откуда x=-2; y=2; z=-2.

Координаты симметричной точки найдутся из формул

; у=; z=,

то есть -2= ; 2= ; -2= .

Откуда хQ=-5; yQ=1; zQ=0.

Следовательно, Q(-5; 1; 0). ▲

1. 141. Найти точку Q, симметричную точке Р(2; -5; 7) относительно прямой, которая проходит через точки М1(5; 4; 6) и М2(-2; -17; -8).

  • Уравнение прямой, которая проходит через точки М1 и М2 , имеет вид:



Уравнение плоскости, которая проектирует точку Р на прямую, имеет вид

–7(х-2)-21(у+5)-14(z-7)=0 або х+3у+2z-1=0.

Находим проекцию точки Q на прямую, для чего совместно решим систему уравнений

х+3у+2z-1=0; .

Параметрическое уравнение данной прямой имеет вид х=-7t+5; y=-21t+4; z=-14t+6.

Подставляя х, y, z в уравнение плоскости, найдем t= . Отсюда х=3; y=-2; z=2.

Тогда координаты симметричной точки можно найти, используя формулу для координат середины отрезка, то есть

3= ; -2= ; 2= ,

откуда хQ=4; yQ=1; zQ=-3.

Следовательно, Q(4; 1; -3). ▲




Схожі:

Примеры решения задач icon2 Графический метод решения задач линейного программирования
Графическое решение задач лп дает наглядное представление процесса нахождения оптимального решения, а также анализа полученного решения...
Примеры решения задач icon2 Графический метод решения задач линейного программирования
Графическое решение задач лп дает наглядное представление процесса нахождения оптимального решения, а также анализа полученного решения...
Примеры решения задач icon2 Графический метод решения задач линейного программирования
Графическое решение задач лп дает наглядное представление процесса нахождения оптимального решения, а также анализа полученного решения...
Примеры решения задач iconКонспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой главе рассматриваются примеры решения задач, а в конце глав тесты и задачи, которые должны помочь усвоению материала
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Примеры решения задач iconКонспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой главе рассматриваются примеры решения задач, а в конце глав тесты и задачи, которые должны помочь усвоению материала
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Примеры решения задач iconSdfield> примеры решения задач
Высота сd перпендикулярна к стороне ав, поэтому их угловые коэффициенты k1 и k2 удовлетворяют условию k1= Из уравнения прямой ав...
Примеры решения задач iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Примеры решения задач iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Примеры решения задач iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Примеры решения задач iconI. Предмет и задачи исследования операций
Учебное пособие представляет собой конспект лекций для студентов экономических специальностей по одноименной дисциплине. В каждой...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи