§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка icon

§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка




Скачати 125.98 Kb.
Назва§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка
Дата12.09.2012
Розмір125.98 Kb.
ТипДокументи

48113

§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка


Перед тем как начать изучение пространственных геометрических образов, соответствующим уравнениям 2-й степени, рассмотрим один специальный класс поверхностей, которые называются цилиндрическими поверхностями.

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, что пересекает заданную линию и параллельную заданному направлению.

Заданная линия, через точки которой проходит прямая, которая перемещается, называется направляющей, а каждое положение такой прямой называется образующей рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Выберем координатную систему так, чтобы одна из осей, например z, была параллельной заданному направлению и будем рассматривать тот, хоть и частный, но очень важный случай, когда направляющая линия лежит в плоскости, перпендикулярной заданному направлению. Тогда без всякого ограничения общности исследования возможно считать, что направляющая лежит в плоскости ху.

Пусть в плоскости z=0 уравнение направляющей имеет вид F(х,у)=0 , и , таким образом, такая линия задана двумя уравнениями

Z=0, F(x;y)=0 (1)

Докажем, что рассматриваемой цилиндрической поверхности отвечает уравнение

F(x;y)=0 (2),

то есть, что координаты любой точки поверхности отвечают уравнению (2), а координаты любой точки, что не лежит на этой поверхности, ему не отвечают.

Пусть М000;0) - любая точка направляющей (рис. 26).



Проведем через М0 прямую L, параллельную оси z, и выберем на ней произвольную точку М1. Координаты этой точки (х00;z1).. Согласно предположению координаты точки М0 отвечают системе Z=0, F(x;y)=0. Следовательно, F(x0;y0)=0 и координаты точки М1 (при любом z1) отвечают уравнению F(x;y)=0. Таким образом, координаты любой точки М1 прямой L отвечают уравнению F(x;y)=0. Но М0 - произвольная точка направляющей. Следовательно, координаты любой точки любой образующей; то есть координаты любой точки рассматриваемой цилиндрической поверхности отвечают уравнению F(x;y)=0.

Пусть теперь выбрана любая точка , что не лежит на рассматриваемой цилиндрической поверхности. Рассмотрим точку , что является проекцией точки М1 на плоскость ху. Точка М0 не лежит на заданной направляющей линии (иначе говоря, точка М1 лежала бы на заданной поверхности). А потому координаты точки М0 не могут удовлетворять системе уравнений Z=0, F(x;y)=0. Но первое уравнение, наверное, выполнено. Следовательно . Но это означает, что координаты точки не могут удовлетворять уравнению F(x;y)=0; тем самым наше утверждение доказано.

Очевидно, что если образующие цилиндрической поверхности параллельны оси у, а уравнение направляющей имеет вид

у=0, F(x;z)=0,

то уравнение цилиндрической поверхности F(x; z)=0.

Аналогично для цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси х, имеем уравнение F(y; z)=0

Если направляющая является окружностью, которая лежит в плоскости ху, с центром в точке (a;b;0) и радиусом R, а образующие параллельны оси z, тогда уравнение цилиндрической поверхности имеет вид:

(x-a)2+(y-b)2=R2 (3)

Называется такая поверхность круговым цилиндром.

Поверхность


(4)

есть цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси z, а направляющими есть эллипс с полуосями a и b, с центром в начале координат, расположенный в плоскости ху. Поверхность такая называется эллиптическим цилиндром.

Круговой цилиндр можно, конечно, рассматривать как частный случай эллиптического цилиндра.

Поверхность, определенная уравнением

y2=2px (5),

называется параболическим цилиндром (рис. 27).


^

Поверхность, определенная уравнением


(6),

называется гиперболическим цилиндром (рис. 28)




Кроме уже приведенных существуют еще 6 типов поверхностей 2-го порядка. Их простейшие, или, как принято говорить, канонические уравнения, полученные при наиболее удобном для изучения поверхностей расположении осей координат, имеют вид:

- эллипсоид

- однополостный гиперболоид

- двуполостный гиперболоид

- эллиптический параболоид

- гиперболический параболоид

- конус 2-го порядка

Проведем исследование формы этих поверхностей, используя метод, который называют методом параллельных перерезов.

5.1. Исследование формы эллипсоида

Найдем, прежде всего, перерез эллипсоида плоскостью х=0.



В перерезе (рис. 29) получим линию, определенную системой:

х=0,

Таким образом, в плоскости yz имеем эллипс с полуосями b и с. Рассмотрим теперь перерез поверхности плоскостями, параллельными плоскости ху, то есть плоскостями z=h. В перерезе получим линии, определенные системой

z=h,

Очевидно, если |h|c, тогда в перерезе получим воображаемое место точек, при |h|=c получим точки (0;0;с), если h0 и (0;0;-с), если h0. Если же с, в плоскости z=h получим эллипс

z=h, ,

то есть эллипс с полуосями

и

При h=0 полуоси эллипса равны а и b, с увеличением h полуоси уменьшаются к нулю (при h=с). Вид поверхности показан на рис. 29.

Очевидно, что рассматриваемая поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, осей и начала координат. Вся поверхность не выходит из прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2а, 2b, 2с, симметричного относительно координатных плоскостей.

Если две оси эллипсоида равны между собой, тогда эллипсоид можно получить вращением эллипса вокруг одной из осей, и сама поверхность называется тогда эллипсоидом вращения.

Например, если b=c, тогда поверхность имеет уравнение



и может быть получена вращением эллипса

z=0,

вокруг оси х.

Если а=b=с, тогда уравнение эллипсоида приобретает вид

x2+y2+z2=a2 ,

и поверхность представляет собой сферу с центром в начале координат и радиусом а.

Таким образом, сфера есть частный случай эллипсоида, когда все его полуоси равны между собой.

^ 5.2. Исследование формы однополостного гиперболоида

Найдем перерез однополостного гиперболоида



плоскостью рисунка, то есть плоскостью х=0 (рис. 30).



Линия пересечения определяется системой уравнений

х=0,

В перерезе имеем гиперболу с полуосями b и с, причем действительная ось гиперболы совпадает с осью у.

Рассмотрим перерез поверхности плоскостью z=h, параллельной плоскости ху. В перерезе получаем линию, определенную системой уравнений

z=h,

или системой

z=h,

Таким образом, в выбранных параллельных перерезах имеем эллипсы, полуоси которых возрастают с увеличением |h|. Наименьший эллипс (он называется горловым эллипсом) получаем при h=0. Очевидно, однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, осей и начала координат.

Если a=b, тогда поверхность может быть образована вращением гиперболы

х=0,

вокруг оси z.

^ 5.3. Исследование формулы двуполостного гиперболоида

В пересечении двуполостного гиперболоида



плоскостью рисунка (то есть плоскостью х=0) получаем гиперболу (рис. 31).



х=0,

Пересекая поверхность плоскостями z=h, получим при |h|c воображаемое место точек, при точки (0;0;с) и (0;0;-с), при |h|с эллипсы

z=h,

Поверхность, очевидно, симметрична относительно плоскостей, осей и начала координат.

^ 5.4. Исследование формулы эллиптического параболоида

В перерезе эллиптического параболоида



плоскостью рисунка (то есть плоскостью х=0) получаем параболу x=0, y2=2b2z (рис. 32)



Пересекая поверхность плоскостями z=h (h0), получаем эллипсы

z=h,

Вся поверхность лежит «над» плоскостью ху, симметрична относительно плоскостей хz и yz и относительно оси z.

Если a=b , имеем параболоид вращения

x2+y2=2a2z ,

который возможно получить вращением параболы

x=0, y2=2а2z

вокруг оси z.

Отметим, что все параболы, которые получаются в перерезе параболоида вращения плоскостями, которые проходят через ось z, имеют общий фокус.

^ 5.5. Исследование формы гиперболического параболоида

Для большей ясности рисунка изменим расположения осей. Выберем за плоскость рисунка плоскость у=0 (рис. 33).



В перерезе гиперболического параболоида



плоскостью рисунка имеем параболу

у=0, х2=2а2z

В перерезе плоскостями x=d получаем параболы

x=d,

В перерезе плоскостями z=-|h| имеем гиперболы

z=-h,

Вся поверхность имеет «седловидную» форму.

^ 6. Исследование формы конуса 2-го порядка

В перерезе конуса 2-го порядка



плоскостью х=0 получаем две прямые, которые пересекаются в начале координат (рис. 34).



х=0,

Пересекая поверхность плоскостями z=h, получаем эллипсы

z=h,

Пересекая поверхность плоскостями, которые проходят через ось z, то есть плоскостями y=kx, получаем две прямые, которые пересекаются.

y=kx,

или

y=kx,

Используя уже указанный при изучении кривых 2-го порядка метод преобразования координат, можно доказать, что любая поверхность 2-го порядка представляет собой или один из 9-ти рассмотренных типов поверхностей, или случай их вырождения (две плоскости, которые пересекаются или параллельны, одна плоскость, одна прямая, одна точка, пустое множество точек).

^ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.202 Какую поверхность определяет в пространстве уравнение:

1) х2=4у; 2) z2=xz?

Δ 1) Уравнение х2=4у определяет параболический цилиндр с образующими параллельными оси Oz.

Направляющей цилиндрической поверхности является парабола x2=4y, z=0.

2) Уравнение z2=xz может быть представлено в виде z(z-x)=0 и распадется на два уравнения: z=0 и z=х, то есть оно определяет две плоскости - плоскость хоу и биссектральную плоскость z=x, которая проходит через ось оу. ▲

1.203 Составить уравнение конической поверхности, вершиной которой является точка М(0;0;1), а направляющей - эллипс , z=3.

Δ Запишем уравнение образующей АМ, где A(x0;y0;z0) - точка, которая лежит на эллипсе:

.

Поскольку точка А лежит на эллипсе, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса, то есть , z0=3. Исключив теперь x0, y0 и z0 из системы

; ; ; z0=3,

получим уравнение конуса:

1.204 Привести к каноническому виду уравнение 4x2+9y2+36z2-8x-18y-72z+13=0.
^

Сгруппируем члены с одинаковыми координатами


4(x2-2х)+9(y2-2у)+36(z2-2z)=-13.

Дополним к полным квадратам выражения в скобках, получим

4(x2-2х+1)+9(y2-+1)+36(z2-2z+1)=-13+4+9+36

или

4(x-1)2+9(y-1)2+36(z-1)2=36

Сделаем параллельный перенос осей координат, где за новое начало координат выберем точку О΄ (1;1;1), формулы преобразования координат имеют вид х=х΄+1; у=у΄+1; z=z΄+1. Тогда уравнение поверхности запишется так:



Это уравнение определяет эллипсоид; его центр находится в новом начале координат, а полуоси соответственно равны 3; 2 и 1. ▲
^

§6 Полярная система координат на плоскости. Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве


Мы рассматривали до сих пор только прямоугольные декартовы системы координат. Наряду с ними используются иногда и другие координатные системы. В задачах на плоскости это чаще всего полярная система координат. В пространственных задачах - цилиндрическая и сферическая координатные системы.

^ 6.1. Полярная система координат на плоскости

Выберем на плоскости некоторую фиксированную точку О - начало координатной системы или полюс. Фиксированный луч (полупрямая) с выбранным на нем единичным вектором с началом в полюсе назовем полярной осью.

Положение любой точки М на плоскости будем определять упорядоченной парой чисел: длиной  радиуса - вектора (рис. 35)



и выраженным в радианах углом  между полярной осью и вектором . Поскольку такая система координат рассматривается только на плоскости, тогда можно учитывать и направление отсчета угла; угол считается положительным, если направление вращением от полярной оси к радиус - вектору берется против временной стрелки.

Запись М0(0;0) показывает, что в некоторой фиксированной полярной системе координат длина радиус - вектора 0 равна 0, а угол между полярной осью и 0 (полярный угол) равен 0. Число 0 и 0 называются полярными координатами точки М0. Координаты 0 и 0 полностью определяют положения точки М0. Задание точки М0 однозначно определяет только число 0 - длину радиус-вектора. Полярный угол определяется только с точностью до слагаемого, кратного 2. Для полюса полярный угол вообще не определен. Длина радиус-вектора  для разных точек плоскости может изменяться от 0 к +, полярный угол  от - к +.

Нетрудно установить правила перехода от полярной системы координат к декартовой и наоборот.

Поместим начало декартовой системы координат в полюсе полярной системы и направим ось абсцисс вдоль полярной оси. Тогда



Из формул (1) находим:

(2)

Полярный угол определяется двумя формулами. Выберем одну из них, получим два значения ,которые лежат между 0 и . Чтобы выбрать единое (с точностью до слагаемого кратного ) необходимое значение, учитывают знак 2-ой тригонометрической функции угла .

Как и в декартовой системе координат, каждой линии на плоскости отвечает уравнение, которое связывает и , и, наоборот, каждому уравнению, которое связывает и , отвечает, как правило, некоторая линия на плоскости с заданной полярной системой координат.

Для построения линии, заданной уравнением в полярной системе координат, чаще всего используют метод построения «по точкам» - вычисляют координаты ряда точек линии и соединяют эти точки плавной кривой.

Пример 1.211. Построить линию =2(1+cos).

Решение. Составляем таблицу





Поскольку сos =cos(2-), тогда вычисление значения  при  не нужно. Кривая должна быть симметричной относительно полярной оси. Нанося соответствующие точки на рисунок и соединяя их плавной линией, получим вид рассматриваемой линии (рис. 36).



Эта линия называется кардиоидой.

Пример 2. Построить линию

Решение. Составляем таблицу, начиная с =0 (при получим , что невозможно).





Полученная линия называется спиралью Архимеда (рис. 37).



^ 6.2. Цилиндрическая система координат

Зафиксируем в пространстве какую-нибудь точку О (начало координат), проведем через нее некую прямую L1 и на ней выберем единичный вектор (орт). Проведем через О плоскость Q, перпендикулярную к уже выбранной оси, и в этой плоскости выберем луч L2, что выходит из О и орт на этом луче (рис. 38).



Пусть М - произвольная точка пространства, а N - ее проекция на плоскость Q. Положение точки М в пространстве будем теперь описывать тремя числами:

  1. длиной отрезка ON;

  2. углом  между лучом L2 и вектором (угол отсчитывается от луча L2 и считается положительным, если, смотря от положительного направления оси L1 , поворот от L2 к происходит против часовой стрелки);

  3. проекцией z радиус - вектора на ось L1.

Таким образом, положение точки М в пространстве определяется полярными координатами ее проекции на плоскость Q и аппликатой самой точки М.

Координатными поверхностями, то есть поверхностями, на которых одна из координат сохраняет постоянное значение, в данной системе есть:

1) =const - круговые цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осями L1 (ось z);

2) =const - полуплоскости, краем которых есть ось z;

3) z=const - плоскости, перпендикулярной к оси z.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ее начало было в точке О, ось абсцисс была направленное по оси L2 (полярной оси), а ось z - по оси L1. Тогда получим такие формулы, которые связывают декартовые и цилиндрические координаты точки М:



^ 6.3. Сферическая система координат

Зафиксируем в пространстве любую точку О (начало координат), проведем через нее некоторую ось L (полярную ось) и плоскость Q, перпендикулярную к оси L (экваториальная плоскость). Проведем, кроме того, полуплоскость Р, краем которой есть полярная ось L (полуплоскость главного меридиана). Выберем также в пространстве единицу длины.



Положение произвольной точки М в пространстве будем определять теперь следующей упорядоченной тройкой чисел:

  1. длиной r радиус - вектора точки М;

  2. углом  между полярной осью L и радиусом - вектором (направление отсчета не фиксируем; угол  может изменяться от 0 к );

  3. двугранным углом  между полуплоскостью главного меридиана и полуплоскостью Рм, что проходит через точку М и имеет своим краем ось L (угол измеряется линейным углом между полупрямыми пересечения полуплоскостей Р і Рм с плоскостью Q; отсчет ведется от линии пересечения Р і Q, направление отсчета как и в цилиндрической системе координат).

Координатными поверхностями есть:

  1. r=const - сферы радиуса r с центром в О;

  2. =const - полуконические поверхности с вершиной в точке О, осью L в роли оси симметрии и углом при вершине 2;

  3. =const - полуплоскость, краем которой есть ось L (рис. 39).

Выберем декартову систему координат с началом в точке О, осью х, направленной по прямой пересечения плоскостей Р і Q, и осью z, направленной по полярной оси. Формулы, которые связывают декартовы координаты точки М с ее сферическими координатами, приобретут такой вид:








Схожі:

§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка icon§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка
Перед тем как начать изучение пространственных геометрических образов, соответствующим уравнениям 2-й степени, рассмотрим один специальный...
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconКонспект лекций для студентов бакалавратуры 0902 «Инженерная механика» заочной формы обучения
Сила давления жидкости на криволинейные цилиндрические поверхности
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconУдк 681. 3 Анализ текстуры ультразвуковых снимков с использованием признаков разностной гистограммы второго порядка
В работе разработан и описан подход к анализу текстуры ультразвуковых снимков внутренних органов человека на основе применения признаков...
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconСинергетический фазовый переход второго рода с комплексным параметром порядка а. В. Хоменко, доц
Лоренца. При этом отдельный интерес представляет изучение влияния величины разности частот изменения параметра порядка и сопряженного...
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconОпределение силы поджима комбинированного образца к режущей поверхности круга, ограниченной температурой плавления припоя п. Г. Матюха, д-р техн наук, профессор; А. В. Бурдин
В связи с этим для обеспечения требуемых показателей качества шлифования значение силы поджима заготовки к рпк может быть ограничено...
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconГосударственный стандарт союза сср детали и заготовки, вырезаемые кислородной и плазменно-дуговой резкой точность, качество поверхности реза гост 14792-80 издательство стандартов москва государственный стандарт союза сср
Стандарт устанавливает точность вырезаемых деталей и заготовок и показатели качества поверхности реза
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconГосударственный стандарт союза сср болты, винты и шпильки дефекты поверхности и методы контроля гост 1759. 2-82 (ст сэв 2179-80) госстандарт россии москва государственный стандарт союза сср
Гост 1759-70 в части дефектов поверхности болтов, винтов и шпилек и методов их контроля
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconУдк 537. 311. 322 Кинетика адсорбции молекул воды на поверхности сенсоров варисторного типа на основе диоксида олова
Кинетика адсорбции молекул воды на поверхности сенсоров варисторного типа на основе диоксида олова
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconМинько С. С., Сидоренко А. А., Воронов С. А. Привитая полимеризация на поверхности твердого тела, инициированная каталитическим распадом полигидропероксида.//Высокомолекуляр соединения. Сер. Б. 1995. Т. 37, № С
Минько С. С., Сидоренко А. А., Воронов С. А. Привитая полимеризация на поверхности твердого тела, инициированная каталитическим распадом...
§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка iconОценивание качества морфологии поверхности исходных подложек и структур с открытыми квантовыми точками методом атомно-силовой микроскопии

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи