Вступление к математическому анализу icon

Вступление к математическому анализу




Скачати 89.93 Kb.
НазваВступление к математическому анализу
Дата12.09.2012
Розмір89.93 Kb.
ТипДокументи

48115

РАЗДЕЛ ІІ. ВСТУПЛЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ГЛАВА IV: Функции

§1 Понятие множества


Основный первичным понятием математики, ее фундаментом является понятие множества. Слова совокупность, класс, система, набор и прочие очень часто являются синонимами слова множество. Тем не менее, даже в этой общей ситуации мы бы хотели подчеркнуть, что множество - некоторые объекты (элементы множества), которые выделены по определенному признаку или признаками из других объектов и рассматриваются как единое целое.

Примерами множества является множество учеников в классе, семейство звезд Большой Медведицы, множество страниц данной книги, множество всех рациональных чисел и т.д.

Принадлежность элемента а множеству А обозначается (а принадлежит множеству А). Если а не является элементом множества А, это обозначается (а не принадлежит А).

Если удается пересчитать все элементы множества А, это обозначается как , где в фигурных скобках указывают все элементы А.

Даже если множество имеет огромное количество элементов, иногда так можно сделать. Например:

- множество всех натуральных чисел;

- множество всех целых чисел.

Общее правило состоит в том, чтобы, выписав довольно много элементов множества, сделать очевидным правило их дальнейшего выписывания.

Чаще всего множество задается выражением . Такая запись означает, что ^ А - множество всех элементов определенного множества, которые удовлетворяют условие Р. Если условие Р не выполняется ни для одного элемента множества, то есть указанное множество А не имеет ни одного элемента, оно называется пустым и обозначается Ø.

Пример 1. Множество есть совокупностью корней уравнения х2-3х+2=0, то есть это множество состоит из двух элементов: 1 и 2.

Множество есть совокупность всех чисел, которые отвечают неравенству 3

Множество Ø, то есть это пустое множество.

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то А - подмножество множества В. Это будем обозначать или, что одно и то же, . Если и , то есть множества А и В имеют одни и те же элементы, тогда А=В. Считают, что пустое множество есть подмножеством любого другого.

Пусть А - множество, тогда через будем обозначать множество всех элементов множества, которые не принадлежат ^ А. Это множество называется дополнением А.

Пусть А, В - множества. Перерезом (пересечением) А и В называется множество всех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В:



Объединением А и В называется множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств:

.

Разностью. А и В называется множество всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В:



Легко понять, что последнее определение равносильно тому, что

.

Пример 2. Пусть . Найти перерез, объединение и разность множеств А и В.

∆ Очевидно, что перерез двух данных множеств - ; их объединение - , а разность . ▲

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R - действительные числа, Q - рациональные, I - иррациональные, Z - целые, N - натуральные числа. Очевидно, что , и .

Геометрически множество действительных чисел ^ R изображается точками числовой прямой (или числовой оси), то есть прямая, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба.

Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, то есть каждому действительному числу отвечает определенная точка числовой прямой и наоборот. Поэтому часто вместо “число х” говорят “точка х”.

Множество ^ Х , элементы которой удовлетворяют неравенства , называют отрезком (или сегментом) ; неравенства - интервалом (а b); неравенства или называются полуинтервалами соответственно . Наряду с этим рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы

.

Интервал (а; b) отличается от отрезка только тем, что ему не принадлежат концы a и b.

Такое отличие играет существенную роль во многих вопросах математического анализа. Кроме того, интервал (a; b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то же время как в отрезке такими числами являются соответственно b и a. В дальнейшем все указанные множества объединим термином промежуток Х.
^

§2. Абсолютная величина действительного числа


Понятие абсолютной величины числа и неравенства, связанные с абсолютными величинами, широко используются в математике.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х, если , или число –х, если х<0.

Абсолютная величина х обозначается символом . Таким образом



Очевидно, согласно определению, что . Например, |+5|=5; |-5|=-(-5)=5; |0|=0.

Пример 3. Найти .

∆ Если , то и .

Если , то и . ▲

^

Укажем на важные свойства абсолютных величин:




Абсолютная величина разности двух чисел означает расстояние между точками х и а числовой прямой, как для случая x, так и x>a

А потому, например, решением неравенства , (где ) будут точки х интервала , которые удовлетворяют неравенства . Любой интервал, который содержит точку а, называется окружением точки а.

Интервал , то есть множество точек х таких, что (где ), называется -окружением точки а.
^

§3. Понятие функции


Понятие функции является основным не только в математическом анализе, где она изучается специально, но и во всей математике в целом.

Определение. Если каждому элементу х множества Х ( ) по некоторому закону ставится в соответствие определенный элемент у множества Y ( ), тогда говорят, что на множестве Х заданная функция .

Переменную величину х называют независимой переменной или аргументом, у - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество ^ Х называется областью определения функции, а множество Y - областью значений функции.

Если множество Х специально не указано, то под областью определения функции будем считать множество таких значений х, при которых функция вообще имеет смысл.

Например, областью определения функции является полуинтервал , поскольку .

Существует несколько способов задания функции. Наиболее распространенные среди них:

  1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Так функция задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция:



имеет два аналитических выражения: х3 (при ) и х+5 (при ).

  1. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, которая содержит значения аргумента х и соответствующие значения функции , например, таблица синусов или косинусов.

  2. ^ Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты - соответствующие им значения функции . При этом способе функциональная зависимость изображается линией, которую называют графиком функции.

Если уравнение, которое связывает аргумент х с функцией у не решено относительно у , а заданное в виде , тогда переменную у называют неявной функцией х. (например: 3х-7у=6)

Рассмотрим основные свойства функций.

  1. Парность и непарность. Функция называется парной, если для любых значений х из области определения , и непарной, если . В другом случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является парной, поскольку и , а функция - непарной, поскольку и .

Кроме того, например, функция является функцией общего вида, поскольку и , и .

График парной функции симметричный относительно оси ординат, а график непарной функции симметричный относительно начала координат.

  1. Монотонность. Функция называется возрастающей (нисходящей) на промежутке х, если большему значению аргумента из этого промежутка отвечает большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке х, если , и спадает, если .

Возрастающие и нисходящие функции называют монотонными. Так, например, функция при спадает и при возрастает.

  1. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М>0, что для любого. Например, функция ограничена на всей числовой оси, поскольку для любого .

  2. Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых х из области определения функции .

Например, функция имеет период , поскольку для любых х . Наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее это равенство, называется периодом функции.

Классификация функций. Элементарные функции.

Функция у аргумента х называется неявной, если она задана уравнением , не выраженным относительно зависимой переменной. Например, функция , заданная уравнением (Заметим, что такое уравнение задает две функции , если , и , если ).

Пусть есть функция от независимой переменной х, определенной на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому единое значение , при котором . Тогда функция , определенная на промежутке с областью значений Х, называется обратной.

Поскольку традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то функция, обратная к функции , принимает вид . Например, для функции обратной будет функция , или (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменной) .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Основные элементарные функции.

  1. Степенная функция вида где n - действительное число;

  2. Показательная функция вида , где , ;

  3. Логарифмическая функция , где , ;

  4. Тригонометрические функции:

  5. Обратные тригонометрические функции:

Замечание: Автор умышленно выпускает из рассмотрения эти функции, поскольку основные элементарные функции и их графики детально изучают в средней школе. Они играют важную роль в математическом анализе, поэтому эти функции, их области определения и графики надо хорошо знать.

^ Если переменная у зависит от второй переменной величины U, которая в свою очередь является функцией х, то у называют функцией от функции или сложной функцией. Математически это можно записать так:

если , то .

Говорят: у - сложная функция x, U - промежуточный аргумент; х - аргумент (независимая переменная).

Например , или , где .

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
^

Например, функция




является элементарной, поскольку здесь число операций прибавления, вычитания, умножения, деления и образования сложной функции ( ) конечное.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К которым принадлежат:

целая рациональная функция (многочлен или полином)



дробно-рациональная функция - отношение двух многочленов;

иррациональная функция - (если в составе операций над аргументом есть нахождение корня).

Любая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К ним принадлежат: показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратные тригонометрические.




Схожі:

Вступление к математическому анализу iconВступление к математическому анализу
Тем не менее, даже в этой общей ситуации мы бы хотели подчеркнуть, что множество некоторые объекты (элементы множества), которые...
Вступление к математическому анализу icon1 мі 1-й семестр
Берман Г. Н. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1985. 383 с.]: №1398-1431
Вступление к математическому анализу iconМеждународная конференция по математическому моделированию 2003 года
Уважаемый
Вступление к математическому анализу iconКлючевые слова: Организационно-правовая форма, государственный механизм, государственный аппарат, государственный интерес. Вступление; анализ исследований и публикаций по проблеме; постановка заданий; заголовок основного материала; выводы
Вступление; анализ исследований и публикаций по проблеме; постановка заданий; заголовок основного материала; выводы
Вступление к математическому анализу iconУдк 821. 161. 2 В. В. Cавченко
Одесский нонконформизм в изобразительном искусстве 1960–1980-х гг.: К анализу явления
Вступление к математическому анализу iconАринушкина Е. В. Руководство по химическому анализу почв
Абрамович И. А. Сети и сооружения водоотведения. Расчет, проектирование, эксплуатация. Харьков: Глобус, 2005. 288 с
Вступление к математическому анализу iconПублий Овидий Назон Метаморфозы
Вступление (1-4) Хаос (5-20) Возникновение мира (21-88) Золотой век (89-112) Смена веков (113-162) Совет богов (163-208) Ликаон
Вступление к математическому анализу iconСправочник по дисциплине 7 семестр Преподаватель: Алексеев Вячеслав Николаевич вступление
Переход Украины к рыночной экономике сопровождается глубоким реформированием ее финансовой системы. Но такое реформирование невозможно...
Вступление к математическому анализу iconСправочник по дисциплине 7 семестр Преподаватель: Алексеев Вячеслав Николаевич вступление
Переход Украины к рыночной экономике сопровождается глубоким реформированием ее финансовой системы. Но такое реформирование невозможно...
Вступление к математическому анализу iconУдк 378. 147  Раковская Н. Х., Метешкин К. А
Украина в настоящее время является потенциальным кандидатом на вступление в ес и поэтому предпринимает шаги по реформированию высшей...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи