§2 Основные свойства сходящихся последовательностей icon

§2 Основные свойства сходящихся последовательностей




Скачати 45.32 Kb.
Назва§2 Основные свойства сходящихся последовательностей
Дата12.09.2012
Розмір45.32 Kb.
ТипДокументи

48119

§2 Основные свойства сходящихся последовательностей


Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть . Положим в определении 2 (§1) , найдем такой номер , что при всех выполняется неравенство . Откуда при указанных .



Положим . Тогда, очевидно, что при всех , то есть сходящаяся последовательность действительно ограничена.

На практике при нахождении границ числовых последовательностей часто используется следующая теорема про арифметические действия над границами.

Теорема 2. Пусть последовательности и - сходящиеся, при этом . Тогда сходящиеся и последовательные

( - постоянная), (последняя при ), причем:

1)

2)

3)

4)

Доказательство. 1) Поскольку и - границы последовательностей и , то по теореме 2 (§1) имеем



где и - бесконечно малые.

Прибавляя эти равенства, получим.



По лемме 1(§1) -бесконечно малая, а потому по теореме 2(§1) последовательность сходится к , так что существует

2) Как и в предыдущем пункте, . Дальше имеем



По леммам 1-3 (§1) и следствиям к ним - бесконечно малая, а потому по теореме 2 (§1) последовательность сходится к , так что существует



3) Следствие. Если последовательность - сходящаяся, причем и - постоянная, то сходящаяся и последовательность, причем то есть постоянный множитель можно выносить за знак границы.

Свойство (4) рекомендуем доказать самостоятельно.

Теорема 3. (про три последовательности). Пусть заданы последовательности , при этом для всех выполняются неравенства

Тогда, если последовательности и сходящиеся к одной и той же границе, то и последовательность также сходящаяся, причем



Доказательство. Пусть . Тогда для произвольного можно найти такие номера и , что при всех при всех .

Пусть . Тогда при выполнены одновременно оба неравенства и, в частности , при указанных .



Но тогда из условий теоремы выполняются неравенства



при всех , то есть



при всех , а, следовательно,

,

что и нужно доказать.

Теорема 4. (про переход к границе в неравенствах).

Пусть заданы сходящиеся последовательности , при этом для всех выполняются неравенства . Тогда и



Доказательство. Пусть . Предположим противное: . Предположим, , тогда можно найти такие номера и , что при всех при всех .

Пусть . Тогда при выполнены оба неравенства и, в частности , при указанных



,

следовательно, при имеем , то есть . Полученное противоречие доказывает теорему.

Заметим, что в случае выполнения для членов сходящихся последовательностей при всех строгого неравенства , после перехода к границе строгое неравенство, вообще говоря, не сохраняется.

Так же, как выше, лишь



Например, . При всех , очевидно, , но



Переменная , или последовательность называется возрастающей, если



Если же



называется неубывающей. Переменная , или последовательность называется убывающей, если



когда же

,

то переменная называется не возрастающей.

Все эти четыре типа переменных, для которых характерным является изменение в одном направлении при возрастании , называют монотонными.

Теорема 5. Любая монотонная ограниченная переменная имеет границу.

Дадим геометрическое объяснение этой теоремы, строгое доказательство выходит за границы этой книги.

Пусть имеем, например, неубывающую ограниченную последовательность

,

причем для всех . Возьмем числовую ось и нанесем на нее члены данной последовательности и число ^ М. С увеличением номера n точка, которая изображает соответствующий член последовательности xn, будет передвигаться только вправо, но она не может оказаться правее точки М, т.к. последовательность ограничена. Признак и гласит, что последовательность имеет границу (которая не превышает М). Подобным образом можно объяснить и другие случаи монотонных переменных (убывающей, не возрастающей).

Пример 3. Последовательность x1 =0,7, x2 =0,77, x3 =0,777, . . . , xn =0,77… (n раз) …7 является монотонно возрастающей, т.к. . Кроме того, очевидно, что она ограничена, так как каждый ее член больше нуля, но меньше 7/9.

,

какое бы не было . Следовательно, последовательность имеет границу: ее легко найти




Пример 4. Последовательность x1 =2, x2 =3/2, x3 =4/3, . . . , xn =, . . . , , xn =, … монотонно убывающая, т.к. , и ограниченная ( для любого n). Следовательно, она имеет границу. Простое вычисление дает







Схожі:

§2 Основные свойства сходящихся последовательностей icon§2 Основные свойства сходящихся последовательностей
...
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconРеологические свойства грунтов и их учет 10 Сущность реологических явлений в грунтах
Область науки, рассматривающая изменения во времени напряженно-деформированного состояния различных материалов, называется реологией....
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconРешение неравенств первой степени
Неравенства. Основные свойства. Действия над неравенствами
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconЗккоз-11 Кислотно-основные свойства оксидов и гидроксидов
Приведите примеры основных, амфотерных и кислотных оксидов и соответствующих гидроксидов
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconЗккоз-11 Кислотно-основные свойства оксидов и гидроксидов
Приведите примеры основных, амфотерных и кислотных оксидов и соответствующих гидроксидов
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconИсследование полевых транзисторов
Цель работы: овладеть методикой снятия статических вольтамперных характеристик полевых транзисторов, проверить активные свойства...
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconИзменение свойств грунтов под воздействием внешних факторов основные виды техногенного воздействия на грунты и их классификация
Происходят разрушение, химическое преобразование, уплотнение и другие воздействия, в результате которых изменяются физико-механические...
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей icon§5 Решение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
§2 Основные свойства сходящихся последовательностей iconА. А. Кузнецов, ктн, снс, А. М. Коваленко
Исследование корреляционных свойств дискретных сигналов, формируемых с использованием кодовых последовательностей
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи