§3 Понятие границы функции icon

§3 Понятие границы функции




Скачати 99.39 Kb.
Назва§3 Понятие границы функции
Дата12.09.2012
Розмір99.39 Kb.
ТипДокументи

48120

§3 Понятие границы функции


3.1 Определение границы функции

Пусть функция определена на некотором подмножестве множества действительных чисел , и - предельная точка множества . Напомним, что в любом –окружении предельной точки содержится бесконечное число точек множества, тем не менее, сама точка может и не принадлежать .

Определение 1. (Гейне). Число называется границей функции при (или в точке ), если для произвольной последовательности , сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходящаяся к.

Если число - граница функции в точке , то пишут или при .

Пусть функция имеет границу , тогда она, очевидно, единственная. Это следует из того, что сходящаяся последовательность может иметь лишь одну границу (см. гл. 5, §1).

Определение 2. (Коши). Число называется границей функции при (или в точке ), если для любого можно найти такое число , что при всех , которые удовлетворяют неравенство



выполняется неравенство



Определения границы функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны.

Отметим геометрическое содержание определения 2, воспользовавшись графиком функции (рис. 40). Какое бы малое –окружение точки А не взять, должно существовать такое –окружение точки , что когда изменяется между и , график функции находится в полосе шириной между прямыми . Подчеркнем, что в точке функция может приобретать значение, которое не равно А, или даже быть неопределенной. Поэтому в определении 2 говорится как раз о неравенстве



Рис. 43

^ 3.2 Односторонние границы

При исследовании функции полезны понятия односторонних границ.

Определение 3 (Гейне). Число А называется правой (левой) границей функции f(x) в точке х0, если для произвольной последовательности {xn}X, xn  x0 (xn  x0) (nN), сходящейся к х0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходящаяся к А. При этом употребляют соответственно обозначение

f(xn)=A f(xn)=A

или

f(x0+0)=А (f(x0-0)=А).

В частном случае, когда х0=0, пишут f(xn)=A f(xn)=A .

Определение 4 (Коши). Число называется правой (левой) границей функции в точке х0 , если для любого найдется такое число , что при всех х, которые удовлетворяют неравенствам

,

выполняется неравенство



Определения 3 и 4, конечно же, эквивалентны.

Связь между односторонними границами и границей функции устанавливает теорема 3.

Теорема 3. Функция f(x) имеет границу в точке х0 тогда и только тогда, когда существуют их правая и левая границы в этой точке, которые совпадают между собой, при этом

.

^ 3.3 Граница функции на бесконечности и бесконечные границы

Пусть функция f(x) определена при хх0 (хх0).

Определение 5. Число А называется границей функции f(x) при х (х-), если для любого можно найти такое , что при всех х, которые удовлетворяют неравенства , выполняют неравенство



При этом употребляют соответствующие обозначения

f(x)=A f(x)=A

или

f(x)A, х+ (f(x)A, х-).

В случае, если существуют границы функции f(x) как при х+, так и при х-, причем f(x)= f(x)=A , то употребляют обозначения

f(x)=A или f(x)A, х

Выше имелось в виду, что А - определенное число. Иногда удобно рассматривать бесконечные границы функции.

Определение 6. Говорят, что функция f(x) имеет своей границей + (-) при х х0 (или в точке х0), если для любого Е>0 можно найти такое число δ >0, что при всех х, которые удовлетворяют неравенство 0<|x-x0|<δ , выполняется неравенство f(x)>E (f(x)<-E).

При этом употребляют соответственно обозначения

f(x)=+ ( f(x)=-)

или

f(x)+ хх0 (f(x)--, х х0).

Аналогично тому, как это сделано в 3.2 этого параграфа, нетрудно определить также односторонние бесконечные границы

f(x)=±; f(x)=±.

Пример 5. Используя определение, доказать (3х-2)=1.

Δ Возьмем любое число ε >0. Задача состоит в том, чтобы по этому ε найти такое δ >0, при котором из неравенства |x-1|< δ следовало неравенство |f(x)-1|=|(3x-2)-1|< ε . Превращая последнее неравенство, получим |(3x-1|< ε или |x-1|< .

Следовательно, если взять δ , то для всех х, которые удовлетворяют неравенству |x-1|< δ , выполняется неравенство |f(x)-1|< ε . Это и означает, что =(3х-2)=1.

Если, например, ε =1, то δ ≤ , если ε = , то δ ≤ , если ε =0,01, то δ ≤0,03 и т.д.; таким образом, δ зависит от ε . Поэтому в определении границы иногда пишут δ = δ (ε).
^

§4 Свойства границ


Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) имеют границы в точке х0:

f(x)=А g(x)=B

Тогда функции f(x) g(x), f(x)· g(x), (при В 0) также имеют границы в точке х0, причем:

  1. [f(x)±g(x)]=А±B;

  2. [f(x)· g(x)]=А· B;

  3. .

Доказательство. Пусть - произвольная последовательность, сходящаяся к x0.. По определению 1, сходящимися являются последовательности {f(xn)}, {g(xn)}, причем их границы - соответственно А и В. Но тогда по теореме 2 (глава 5, §2) последовательности { f(x)±g(x)}, { f(x)· g(x)}, (при В 0) имеют границы, которые равны соответственно . Согласно определению 1

[f(x)±g(x)]=А±B; [f(x)· g(x)]=А· B; .

Следствие 1. Для произвольного числа С

[С f(x)]=C f(x).

Следствие 1. Для произвольного mN

[f(x)]m=[ f(x)]m

Следовательно, если говорить о границе функции от произвольной переменной, то, поскольку, для переменных зависимых от номера (показателя) п теоремы доказаны, они верны и для функции в общем случае. Заметим, что приведенные свойства полностью сохраняются в случае односторонних границ и границ функции на бесконечности.
^

§5 Первая и вторая важные границы


5.1 Первая важная граница

Докажем, что .

Укажем сначала, что функция определена при всех х 0.

Предположим, что х . Докажем, что при такой х выполнены неравенства sin xtg x.

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке ^ 0 (рис. 41) и построим равные углы АОВ и ВОС с радианной мерой х. Пусть ЕА и ЕС - касательные к этой окружности. Очевидно, что хорда АС, которая стягивает дугу окружности АС, меньше этой дуги, которая в свою очередь меньше длины ломаной ЕА+ЕС. Но АС=2 sin x, ЕА+ЕС=2tg x, а длина дуги AC=2x, то есть sin xtg x.

Принимая во внимание, что при х sin x>0 и tg x>0, имеем

1< <

или

cos x<

откуда

0<1- -cos x



Поскольку 1-cos x=2sin2 (здесь использовано, что sin ), то при х

0<1- < .

Укажем, что обе части этого неравенства не изменяются, если заменить х на –х. Поэтому оно выполняется не только при х , а и при х , то есть при всех х , .

По следствию 2 к теореме 1 и 2 (§2) можно сделать вывод, что =0, то есть .

^ 5.2 Вторая важная граница

В высшей математике встречается введенное еще в XVIIст. число, которое обозначается буквой “е”. Число это можно определить как границу функции f(x)= при движении х к нулю:

е= (1)

Считается, что , поскольку функция не определена при этих аргументах, факт существования этой границы примем без доказательства.

Если в равенстве предположить , а потом возвратиться к предыдущему обозначению независимой переменной, то получим

е= (2)

Если функция рассматривается только на множестве натуральных чисел, то из (2) следует, что

е= (3)

Постоянное число “е” иррационально и приблизительно равно 2,71828…

Число “е”, принятое за основу системы логарифмов, принято называть натуральными. Натуральный логарифм х обозначается символом ln x. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами. Для этого, логарифмируя по основе “е” тождественность x=a , получим равенство ln x= ln а· loga x. При х=е, это равенство дает

loga е= . (4)

При а=10 это же равенство дает ln x= ln10· lg x и lg x=М ln x, где

М= (5)

Формула (5) связывает натуральные и десятичные логарифмы и показывает, что эти логарифмы прямо пропорциональны друг другу. Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

М= lg е 0,43429, .

Например: ln2= lg2=2,30258· 0,30103 0,69315.

К числу е приводят решения многих прикладных задач. Приведем одну из них, которая встречается в экономике.

^ Задача о непрерывном начислении процентов

На какую величину возрастет капитал K0, через n лет при р% годовых, если начисление процентов осуществляют декурсивным методом - процентный платеж начисляется и прибавляется к капиталу в конце каждого расчетного периода. Декурсивное начисление процента наиболее распространенное в мировой практике.

Очевидно, что при р% годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в раз, то есть в конце n-го года имеем



Следовательно, капитал K0 при годовом начислении сложных процентов согласно ставки р% через n лет возрастет до величины Kn .

где:

- процентная ставка, выраженная в десятичных дробях.

- сложный декурсивный коэффициент.

Если начисляют проценты не один раз на год, а m раз, при том же ежегодном приросте р%, процент начисления за часть года составит , а размер вклада за n лет при mn начислениях составит

(1)

Предположим, что проценты начисляются каждые полгода , каждый квартал , ежемесячно , каждый день , каждый час и т.д. непрерывно .

Если число расчетных периодов движется к бесконечности, то можно утверждать, что период расчета движется к нулю.

Найдем границу величины Кmn при (n - число лет, m - число расчетных периодов в году).

(2)

Следовательно, мы вывели формулу для конечной величины капитала при непрерывном начислении сложных процентов. Она является непрерывной функцией и разрешает вычислить величину капитала в любой период времени.

Приведем таблицу размеров вкладов Кmn (если К0=1денежная единица, р=5%, n=20 лет) согласно формулы сложных процентов (1) и формулы непрерывного начисления процентов





формула сложных процентов (1)

формула непрерывного начисления процентов (2)

m=1

m=2

m=4

m=12

m=365

размер вкладу,

гр. ед.


2,6335


2,6851


2,7015


2,7126


2,7181


2,7182

Разница между ежегодными начислениями (m=1) и непрерывным начислением формула (2) незначительна (около 2,5%).

Замечание. В практических финансово-кредитных операциях непрерывное перечисление процентов применяется редко. Оно является достаточно эффективным при анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.




Схожі:

§3 Понятие границы функции iconV: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности
Понятие границы функции одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального...
§3 Понятие границы функции iconV: Граница и непрерывность
Понятие границы функции одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального...
§3 Понятие границы функции icon§3 Понятие границы функции
Пусть функция определена на некотором подмножестве множества действительных чисел, и предельная точка множества. Напомним, что в...
§3 Понятие границы функции iconРешение задач
Отсюда следует, что под знаком границы можно делать тождественные преобразования аналитического выражения, несмотря на поведение...
§3 Понятие границы функции iconПри этом неопределенности типа
Отсюда следует, что под знаком границы можно делать тождественные преобразования аналитического выражения, несмотря на поведение...
§3 Понятие границы функции iconТема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления
В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех...
§3 Понятие границы функции iconОб изучении понятий "области определения и нули функции"
Многие процессы и явления, которые мы знаем, описываются с помощью функции. Так как сущность понятия функции описано во многих работах...
§3 Понятие границы функции iconТема Сущность и содержание менеджмента Понятие управления
Понятие управления. В науке управления фундаментальным поня­тием является понятие "управление". Не давая его строгого формального...
§3 Понятие границы функции iconТема Сущность и содержание менеджмента Понятие управления
Понятие управления. В науке управления фундаментальным поня­тием является понятие "управление". Не давая его строгого формального...
§3 Понятие границы функции iconУдк 621. 313. 333. 02 К определению параметров асинхронных двигателей при разночастотном тестовом напряжении
Т-образной схемы замещения при питании низкочастотным напряжением. Введено понятие функции чувствительности, и указан диапазон частот...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи