§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции icon

§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции




Скачати 81.07 Kb.
Назва§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Дата12.09.2012
Розмір81.07 Kb.
ТипДокументи

48121

§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции


Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой при хх0 (или в точке х0), если f(x)=0.

Бесконечно малую в точке функцию коротко часто называют просто бесконечно малой.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х0 (или в точке х0 ), если f(x)=.

Бесконечно большую в точке функцию коротко называют просто бесконечно большой.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших выполненные для любых последовательностей (cм. §1), справедливые и для функций общего случая, при доказательстве которых повторяется процедура аналогичная той, которой воспользовались при установлении теоремы §2. Предлагаем сделать это самостоятельно.

Укажем, наконец, что определения 1, 2 имеют место, конечно же, и для случаев х→х0±0, х→±∞, х→∞.

При исследовании функций часто приходится иметь дело не с одной, а с несколькими бесконечно малыми функциями в данной точке. Для их сравнения изучают частность этих функций. Детально остановимся на правилах сравнения бесконечно малых.

Определение 3. Пусть функция α (х) и β (х) бесконечно малые в точке х0.

Тогда


  1. если (АR), то (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка при хх0;

  2. если , то (х) и (х) называются эквивалентными бесконечно малыми при х х0; записывается: (х) (х), х х0.

  3. если , то (х) называется бесконечно малой высшего порядка сравнительно с (х) при х х0. Этот факт записывается так: =0().

Словом 0() является общим обозначением для бесконечно малой высшего порядка, чем .

Например, можно писать:

1-cos x=0(x), tg x-sin x=0(x) и т.д.
^

§7 Непрерывность функции


С понятием границы функции тесно связанно второе важное понятие - непрерывность функции. Это понятие функции математически отображает характерную особенность многих явлений, которые мы ежедневно наблюдаем в природе и говорим о них, что они происходят непрерывно: непрерывность течения жидкости, непрерывность изменения температуры, непрерывность роста живого существа, непрерывность течения времени и т.д.

Геометрическое изображение функции в виде ее графика помогает нам до определенной меры составить себе представление об этом свойстве. Если график функции непрерывный (сплошная линия), то есть его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги, то и функция f(x) является непрерывной.

Так, функция у=х2, графиком которой является парабола, непрерывная, а функция у= на любом промежутке, что содержит точку х=0, не является непрерывной. График ее разрывается в точке х=0.

Переходя к строгому определению понятия непрерывности функции, напомним, что в определении границы функции при было безразлично, определена f(x) в точке х=х0 или нет. Но как раз этот случай, когда функция определена в точке х=х0 и f(x)=f(х0) , является особенно важным.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 (или при х= х0), если для любой последовательности

х1, х2, ….., хn, …..,

сходящейся к х0, соответствующая последовательность

f(x1), f(x2), …, f(xn),…

стоимостей функции сходится к f(x0).

Коротко записывается так:

f(x)=f(x0) (1)

Непрерывность функции f(x) в точке х= x0 определяют еще и так:

Функция называется непрерывной в точке х= x0, если при любом 0 можно указать такое 0, что неравенство |x-x0| влечет за собой неравенство | f(x)-f(x0)|<

Следовательно, для непрерывности функции в точке х= х0 необходимо выполнение трех условий:

  1. определение функции в точке х= х0 и в некотором окружении этой точки;

  2. существование границы функции в этой точке;

  3. равенство этой границы стоимости функции в точке х0.

Если не выполняется хотя бы одно из условий, точка х= х0 называется точкой разрыва функции.

Сформулированное определение непрерывности функции следует из понятия границы функции. Можно дать другое определение непрерывности функции, эквивалентное предыдущему, но основанное на понятии бесконечно малой величины. Чтобы его предоставить, необходимо ввести некоторые новые понятия.

Если переменная х приобретает сначала стоимость х0 (ее называют начальной стоимостью), а потом стоимость х1 (ее называют новой стоимостью х), то разность х10 обозначают символом х (читается “дельта икс”) и называют приростом переменной х.

Предположим, что у некоторая функция от х

у=f(х)

Придавая прирост х аргументу х, получим соответствующий прирост  у функции

у=у10=f(x1)-f(x0)

или

у=f(x0+х)- f(х0) (2),

следовательно, прирост функции - это есть разность между новой и начальной стоимостью функции.

Прирост аргумента или функции может быть и положительным и отрицательным. Пусть, например, у=х2 , и пусть начальная стоимость аргумента х0=5, а новая х1=8. Тогда прирост аргумента будет х=8-5=3, а прирост функции  у=64-25=39. Если же x0=5, а x1=3, то прирост х будет: х=3-5=-2, а прирост функции  у=9-25=-16.

Вернемся теперь к равенству (1), что определяет непрерывность функции в точке x0.. Если же предположить х-х0=х, х=х0+х , равенство (1) запишется


f(х0+х)=f(x0),

т.к., когда , . Последнее равенство можно представить в виде

[f(х0+х)-f(x0)]=0.

Выражение в квадратных скобках есть прирост функции  у, следовательно

в= [f(х0+х)-f(x0)]=0,

и имеем в другой форме определение непрерывности функции: Функция f(х) называется непрерывной в точке х= х0, если в этой точке бесконечно малому приросту аргумента Δ х отвечает бесконечно малый прирост функции Δ у.

В этом строгом математическом определении воплощено наше интуитивное представление о непрерывности функции как “постепенное” изменение аргумента.

^ Функция, непрерывная в каждой точке промежутка (a,b), называется непрерывной на этом промежутке.

Заметим, наконец, что равенство (1), которое выражает непрерывность функции в точке, можно переписать еще и так:

f(x)=f(x0)=f(lim x),

т.к. х0=lim x. То есть, если функция непрерывна, то знак границы и знак функции можно переставлять.

Рассмотрим теперь несколько примеров.

Пример. у=х. Здесь прирост функции Δ у равен приросту аргумента Δ х. Непрерывность очевидна.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию у=х2. Пусть х=х0 - какая-то начальная стоимость х. Придавая аргументу х0 прирост , получим



Отнимая начальную стоимость функции у0= , будем иметь величину прироста функции



Из этого равенства видно, что какая бы не была фиксированная стоимость х, если только бесконечно малый, также будет бесконечно малым.

Следовательно, у=х2 является непрерывной функцией на бесконечном промежутке (- , ).

Так же доказывается и непрерывность функции у=хn, где n - натуральное число.

Пример. Доказать непрерывность функции у=sin х. При любом х= х0 имеем

.


Отсюда, пользуясь формулой




Из-за того, что 1 и для любого α , α >0, |sin α |<| α |

(принимая во внимание неравенство из 5.1 и то, что |sin α | 1), будем иметь



то есть

|

Непрерывность функции y=sin x на промежутке (- , ) доказана. Так же доказывается непрерывность y=cos x. Собственно говоря, в этом доказательстве нет необходимости, т.к. cos x=sin .

Следует определить такие почти очевидные утверждения о непрерывных функциях:

Если f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х= х0, то сумма f1(x)+ f2(x) и произведение непрерывно в этой точке; частность также непрерывна в точке х= х0 при условии, что f2(x0)0, то есть х= х0 не является корнем знаменателя.

Действительно,

;

;

, если f2(x0) 0.

Опираясь на эти утверждения, приходим к таким выводам:

  1. Целая рациональная функция или многочлен

P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

является непрерывной функцией в любой точке промежутка (-∞ , ∞).

  1. Дробно-рациональная функция



(подразумевается, что дробь несократима) является непрерывной везде, за исключением тех стоимостей х, которые превращают знаменатель в нуль.

3. Функция непрерывна везде, за исключением точек x=(2k+1) , k=0, ±1, ±2,…, которые превращают на нуль cos x.

4. Функция непрерывна везде, за исключением точек , k=0, ±1, ±2,…, что являются корнями sin x.

Непрерывными являются также функции: у=ах для всех х из промежутка (- , ) и у=ха (а - действительное число) для x>0. Доказательство этих факторов основывается на теории действительных чисел; читатель может его найти в полных курсах математического анализа.

Что же касается обратных функций, в частности у= , у= , у=arcsin x, у=arccos x, у=arctg x, у=arcctg x, то их непрерывность прямо следует из теоремы (предоставляем ее без доказательства).

Теорема. Если у=f(x) непрерывная возрастающая (или убывающая) функция на замкнутом промежутке [a, b], причем f(а)=А, f(b)=B, то для нее существует однозначная обратная функция x=φ (у), тоже возрастающая (или убывающая) и непрерывная на [A, B].

Следовательно, из непрерывности sin x следует непрерывность функции arcsin x; из непрерывности у=ах следует непрерывность у= и т.д.

Напомним, что элементарными функциями называются функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций.

На основании непрерывности показательной и логарифмической функций и второй важной границы =е докажем несколько важных равенств. Их можно рассматривать как продолжение списка важных границ и успешно использовать, в частности, при вычислении производных от элементарных функций.

Следовательно, выполняются такие равенства:

  1. , а>0, , в частности, при а= е

;

2. , а>0, в частности , при а= е

;

3. , R.

Последовательно докажем эти соотношения.

  1. Поскольку , и логарифмическая функция непрерывна в точке е, то

.

  1. Пусть . Предположим, у=aх-1, тогда aх=1+у, х=, причем вследствие непрерывности показательной функции у0 при х0. Следовательно,

.

  1. Пусть . Учтем, что

,

и предположим, . Вследствие непрерывности логарифмической функции в точке 1 у0 при х0. Следовательно, с учетом предыдущих границ,

;

.

Окончательно








Схожі:

§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции icon§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение Функция f(X) называется бесконечно малой при х→х0 (или в точке х0), если f(X)=0
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconА. П. Стахов, доктор технических наук, профессор e-mail: goldenmuseum@rogers com
Это означает, что количе­ство «криптографических ключей» для данного метода теоретически бесконечно. Метод может быть применен для...
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconРис. 17. 28 Расчетная схема откоса
За расчетную модель грунтового массива, ограниченного откосом, принимают бесконечно длинное призматическое (или цилиндрическое –...
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconФ. Энгельс роль труда в процессе превращения обезьяны в человека
Но он еще и нечто бесконечно большее, чем это. Он — первое основное условие всей человеческой жизни, и притом в такой степени, что...
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconОб изучении понятий "области определения и нули функции"
Многие процессы и явления, которые мы знаем, описываются с помощью функции. Так как сущность понятия функции описано во многих работах...
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconV: Граница и непрерывность
Понятие границы функции одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального...
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconДокументи
1. /Малые суда 2011.rtf
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconЛабораторная работа №10 Инструмент «Поиск решения»
Для этого создайте таблицу значений функции. В столбце А, начиная с 1-й строки введите значения Х: 0, 0,2, 0,4, …, в ячейку В1 введите...
§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconНарушение функции жевания Нарушение функции дыхания

§6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции iconV: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности
Понятие границы функции одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи