Дифференцированность элементарных функций
Скачати 80.13 Kb.
|
Зміст §5. Производные высших порядков§ 6. Дифференциал функции § 7. Дифференциалы высших порядков Дальше имеем |
§4. Дифференцированность элементарных функцийВ предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные любых элементарных функций. Докажем, что все основные элементарные функции (за исключением  ) дифференцированы на своих областях определения, причем выполняются формулы, которые запишем в отдельную так называемую таблицу производных:
Доказательство 1. Пусть на некотором промежутке Х задана постоянная функция  . Тогда для произвольных точек  и  имеем  и  . Следовательно,  , а потому  и  и  .Для сокращения доказательства дальнейших формул предоставляем их в конспективном виде. 2.   (учтена формула (3) гл. 5, §7). 3.   (учтена формула (2) гл. 5, §7). В частности, при  получим  .4.   (учтена формула (1) гл. 5, §7). В частности, при получим .5.     (учтена первая важная граница (гл. 5 §5) и непрерывность функции  ).6. Для нахождения производной функции  представим ее в виде  и рассмотрим как сложную функцию:  ,  . Тогда  и  . Следовательно,  , так что  .7. По правилу дифференцирования частного имеем  8. Аналогично доказывается, что  .9. Функция  является обратной к функции   , причем производная  при  не равна нулю. А потому по правилу дифференцирования обратной функции  (Перед корнем выбран знак плюс, поскольку  при ).Следовательно,  10. Аналогично доказывается, что  11. Функция  является обратной к функции  , причем производная  при не равна нулю. А потому по правилу дифференцирования обратной функции Следовательно,  .12. Аналогично доказывается, что  .В конце приведем формулу дифференцирования показательно-степенной функции  , где  и  - дифференцированные функции.По правилу дифференцирования сложной функции имеем  ,так что  .Подчеркнем еще раз, что таблица производных вместе с правилами дифференцирования составляют основу дифференциального исчисления. Пользуясь ними, можно найти производные от функций, которые образованы с помощью арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями, то есть перейти от любых элементарных функций, снова к элементарным. Следовательно, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. ^ Пусть функция  имеет производную на промежутке Х. Если в точке  производная  , в свою очередь, дифференцированная, то ее производную называют производной второго порядка или второй производной функции в точке и обозначают одним из символов  .Определение 1. Пусть функция имеет на промежутке Х производные  . Если в точке существует производная функции  , то ее называют производной n-го порядка функции  в точке  и обозначают одним из символов   ,  .Следовательно, если функция имеет в точке х производные к n-го порядка включительно, то  .Определение 2. Функция , которая имеет на некотором промежутке Х производные к n-го порядка включительно, называется n раз дифференцированной на Х. Функция, которая имеет на Х производные всех порядков, называется бесконечно дифференцированной на Х.Из определения 1 непосредственно следует, что  ,где  и  - произвольные постоянные, а  и  - n раз дифференцированные функции.В общем случае для вычисления производной высшего порядка нужно предварительно найти производные всех низших порядков. В отдельных случаях удается установить общее выражение для производной n-го порядка. Найти производную n-го порядка функции  . Имеем последовательно В частности, при  имеем  , а при  соответственно , где символом  обозначено произведение натуральных чисел, которые не превышают n и имеют с n одинаковую парность (например,  ).Для выражения  имеет место формула:  . В частности , при имеем а при соответственно Найти производную n-го порядка функции  . Учитывая, что  , будем иметь Найти производную n-го порядка функции  . Имеем последовательно В частности, если  , то  .Найти производную n-го порядка функции  . Имеем последовательно В общем случае, как нетрудно видеть,  Целиком аналогично  ^ Пусть функция дифференцирована в точке х, то есть существует граница Согласно теореме 2 (гл. 5, §1) для всех значений из довольно малого окружения точки х имеем равенство  где  при  . Отсюда  где  - бесконечно малая высшего порядка по сравнению  .Замечание. Если, наоборот, в точке х для прироста функции имеет место равенство  где  - постоянная, то функция - дифференцирована в точке х и  .Действительно, из последней формулы  Определение. Дифференциалом функции точке х называется основная, линейная относительно часть прироста функции в этой точке  Дифференциалом независимой переменной х будем считать его прирост , то есть  . Следовательно,  .Замечание. Из последней формулы следует, что  . Именно поэтому производную часто обозначают  или  и понимают ее как отношение двух дифференциалов: дифференциала функции к дифференциалу аргумента.Поскольку  , то ,и при довольно малых  имеет место формула которой часто пользуются при приближенных вычислениях. Для выяснения геометрического содержания дифференциала снова обратимся к рис.45. Из треугольника  : .Таким образом, дифференциал функции равен приросту ординаты касательной к графику функции  в точке  .Из правил дифференцирования следуют правила вычислений дифференциалов функций: а)  ;б)  ;в)  .Для иллюстрации докажем последнее правило. Пусть   , тогда  Установим формулу для дифференциала сложной функции  , где  и  - дифференцированные функции своих аргументов, таким образом, требования теоремы 2 (§3) выполнены.С одной стороны,  , где  - независимая переменная, а с другой - в силу вышеупомянутой теоремы где .Следовательно, внешний вид дифференциала функции  сохраняется и в случае, когда является функцией, а не независимой переменной.Это важное свойство дифференциала называют инвариантностью его формы. Ее удобно использовать для вычисления производной функции, заданной параметрически. Коротко остановимся на таком способе задания функции с помощью двух функций  . Предположим, что функция  имеет обратную  . Тогда, очевидно, у является некоторой функцией от  . Таким образом, пара функций и  определяют некоторую функцию , заданную параметрически. Вспомогательная переменная  при этом называется параметром.Предположим, что функции  и  - дифференцированные в каждой точке промежутка  , причем  при всех  . Учитывая, что  а  , будем иметь производную от функции, заданной параметрически, в виде ^ Пусть функция  раз дифференцированная на промежутке Х. Тогда в каждой точке существует, в частности, ее дифференциал  , который в дальнейшем будем называть также дифференциалом первого порядка функции  . Поскольку прирост аргумента  величина постоянная, то  является функцией одной переменной х. Дифференциал этой функции будем называть дифференциалом второго порядка функции и будем обозначать  или  . Следовательно, по определению,  .^  И, наконец, если для функции обозначен дифференциал  -го порядка  , то дифференциалом n-го порядка  функции называется дифференциал первого порядка от дифференциала -го порядка, то есть По индукции ясно, что  Из последней формулы следует, что при произвольном n  то есть производную n-го порядка функции  можно представить как отношение ее дифференциала n-го порядка к n-й степени дифференциала аргумента.Замечание. Дифференциалы n-го порядка  уже не имеют свойства инвариантности формы. Действительно, уже при  , с одной стороны, если - независимая переменная, имеем  . С другой, для сложной функции , где , имеем где  Оперируя с дифференциалами, удобно вычислять производные высших порядков от функции, заданной параметрически с помощью двух функций .Для конкретности остановимся на случае нахождения второй производной  , считая функции и дважды дифференцированными и  .Имеем последовательно  и  Но поскольку х - независимая переменная, то  , и потому Следовательно, окончательно  |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Схожі:
 | Дифференцированность элементарных функций В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные... | | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени |
| Функций Функция psigmf представляет собой произведение двух сигмоидных функций принадлежности | | Практическая работа № Тема: Построение графиков в системе Цель: Закрепить знания по применению MathCad для построения графиков функций, научиться находить экстремумы функций |
| §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции | | §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции |
| Тема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех... | | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций |
| Практическая работа №10. Тема: ms excel Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени | | Применение производных к исследованию функций § 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке В этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем... |