Скачати 80.13 Kb.
|
Зміст §5. Производные высших порядков§ 6. Дифференциал функции § 7. Дифференциалы высших порядков Дальше имеем |
|
§4. Дифференцированность элементарных функцийВ предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные любых элементарных функций. Докажем, что все основные элементарные функции (за исключением ![]()
Доказательство 1. Пусть на некотором промежутке Х задана постоянная функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для сокращения доказательства дальнейших формул предоставляем их в конспективном виде. 2. ![]() ![]() (учтена формула (3) гл. 5, §7). 3. ![]() ![]() (учтена формула (2) гл. 5, §7). В частности, при ![]() ![]() 4. ![]() ![]() (учтена формула (1) гл. 5, §7). В частности, при ![]() ![]() 5. ![]() ![]() ![]() ![]() (учтена первая важная граница (гл. 5 §5) и непрерывность функции ![]() 6. Для нахождения производной функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 7. По правилу дифференцирования частного имеем ![]() 8. Аналогично доказывается, что ![]() 9. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (Перед корнем выбран знак плюс, поскольку ![]() ![]() Следовательно, ![]() 10. Аналогично доказывается, что ![]() 11. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() 12. Аналогично доказывается, что ![]() В конце приведем формулу дифференцирования показательно-степенной функции ![]() ![]() ![]() По правилу дифференцирования сложной функции имеем ![]() так что ![]() Подчеркнем еще раз, что таблица производных вместе с правилами дифференцирования составляют основу дифференциального исчисления. Пользуясь ними, можно найти производные от функций, которые образованы с помощью арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями, то есть перейти от любых элементарных функций, снова к элементарным. Следовательно, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. ^ Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 1. Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, если функция ![]() ![]() Определение 2. Функция ![]() Из определения 1 непосредственно следует, что ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() В общем случае для вычисления производной высшего порядка нужно предварительно найти производные всех низших порядков. В отдельных случаях удается установить общее выражение для производной n-го порядка. Найти производную n-го порядка функции ![]() ![]() В частности, при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для выражения ![]() ![]() ![]() ![]() а при ![]() ![]() Найти производную n-го порядка функции ![]() ![]() ![]() Найти производную n-го порядка функции ![]() ![]() В частности, если ![]() ![]() Найти производную n-го порядка функции ![]() ![]() В общем случае, как нетрудно видеть, ![]() Целиком аналогично ![]() ^ Пусть функция ![]() ![]() Согласно теореме 2 (гл. 5, §1) для всех значений из довольно малого окружения точки х имеем равенство ![]() где ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Замечание. Если, наоборот, в точке х для прироста функции имеет место равенство ![]() где ![]() ![]() ![]() Действительно, из последней формулы ![]() Определение. Дифференциалом функции ![]() ![]() ![]() Дифференциалом независимой переменной х будем считать его прирост ![]() ![]() ![]() Замечание. Из последней формулы следует, что ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() и при довольно малых ![]() ![]() которой часто пользуются при приближенных вычислениях. Для выяснения геометрического содержания дифференциала снова обратимся к рис.45. Из треугольника ![]() ![]() Таким образом, дифференциал функции равен приросту ординаты касательной к графику функции ![]() ![]() Из правил дифференцирования следуют правила вычислений дифференциалов функций: а) ![]() б) ![]() в) ![]() Для иллюстрации докажем последнее правило. Пусть ![]() ![]() ![]() Установим формулу для дифференциала сложной функции ![]() ![]() ![]() С одной стороны, ![]() ![]() ![]() где ![]() Следовательно, внешний вид дифференциала функции ![]() ![]() Это важное свойство дифференциала называют инвариантностью его формы. Ее удобно использовать для вычисления производной функции, заданной параметрически. Коротко остановимся на таком способе задания функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Предположим, что функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ ![]() И, наконец, если для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По индукции ясно, что ![]() Из последней формулы следует, что при произвольном n ![]() то есть производную n-го порядка функции ![]() Замечание. Дифференциалы n-го порядка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Оперируя с дифференциалами, удобно вычислять производные высших порядков от функции, заданной параметрически с помощью двух функций ![]() Для конкретности остановимся на случае нахождения второй производной ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем последовательно ![]() ![]() Но поскольку х - независимая переменная, то ![]() ![]() Следовательно, окончательно ![]() |
![]() | Дифференцированность элементарных функций В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные... | ![]() | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени |
![]() | Функций Функция psigmf представляет собой произведение двух сигмоидных функций принадлежности | ![]() | Практическая работа № Тема: Построение графиков в системе Цель: Закрепить знания по применению MathCad для построения графиков функций, научиться находить экстремумы функций |
![]() | §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции | ![]() | §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции |
![]() | Тема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех... | ![]() | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций |
![]() | Практическая работа №10. Тема: ms excel Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени | ![]() | Применение производных к исследованию функций § 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке В этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем... |