§8 Решение задач icon

§8 Решение задач




Скачати 109.02 Kb.
Назва§8 Решение задач
Дата12.09.2012
Розмір109.02 Kb.
ТипРешение

48126

§8 Решение задач


Пример 1. Не пользуясь формулами дифференцирования, найти производные функций:

а) б)

∆ а) Придадим аргументу прирост , тогда y получит прирост :

.

Найдем прирост функции:



Составляем отношение



Находим границу этого отношения при :

.

b) Находим прирост функции:

;

Отсюда

,

и



Таким образом

. ▲

Пример 2. Найти производные функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

 а) При дифференцировании необходимо учесть, что первое слагаемое представляет степенную функцию , ее аргумент - логарифмическую функцию плюс постоянную , а второе слагаемое - логарифмическую функцию , где :



б) Это сложная функция вида , где ( называется промежуточным аргументом). Используя формулу дифференцирования сложной функции, получим:

;

в) Здесь также сложная функция , где Тогда



;

г) Согласно с правилом дифференцирования частного двух функций:



Учитывая, что



Получим

;

д) По правилу дифференцирования показательно-степенной функции:

.

Учитывая, что , получим после преобразований

.

Можно было бы предварительно прологарифмировать заданное выражение по основе е

,

а потом продифференцировать обе части последнего равенства по . Поскольку является функцией от , тогда является сложной функцией и . Следовательно,

;

То есть,



е) При дифференцировании неявной функции учитываем, что есть функция от

Следовательно, ; .

Дифференцируем по обе части равенства, получим



То есть,

;

ж) По правилу дифференцирования функции, заданной параметрически

,

а потому найдем



Следовательно,



Пример 3. Вычислить значение производной функции при :

а) ; б) .

∆ а) Предварительно найдем производную заданной функции: , а потом вычисляем ее значение в точке ;

;



б) Предварительно отметим, что . Теперь

;

Следовательно, . ▲

Пример 4. Задана кривая . Составить уравнение касательных:

а) в точках пересечения ее с прямой ;

б) параллельно и перпендикулярно этой прямой.

∆ 1. Найдем точки пересечения двух линий, решив систему уравнений:

,

откуда





2. Найдем производную функции . Значение производной в найденных точках ; .

3. Угловой коэффициент заданной прямой , а прямой параллельной и перпендикулярной ей соответственно і . Поэтому точки, в которых касательная к кривой параллельна и перпендикулярна заданной прямой находятся из уравнений

,

откуда соответственно и . Найдем ординаты кривой в полученных точках и . Соответствующие уравнения касательных будут:



или и или . ▲

Пример 5. Найти прирост и дифференциал функции при и .

Δ Прирост функции

.

Дифференциал функции

.

При и имеем и . Разность между и составляет всего 0,02 или 0,5%. ▲

Пример 6. Найти дифференциал функции

:



Пример 7 Вычислить приближенно: а) ;б)

Δ а) Положим , найдем и в соответствие с формулой о приближенных вычислениях

.

Учитывая, что , возьмем и

Тогда

;

б) Получим сначала приближенную формулу для вычисления корней любой n-ой степени. Положим , найдем

,

и в соответствие с (§6)



или



В заданном примере



За возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы было известно , при этом должно быть достаточно малым. Очевидно, необходимо взять , (но, например, не ). Следовательно,



С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешности функции по заданной погрешности нахождения аргумента. Пусть необходимо вычислить значение заданной функции при некотором значении аргумента , действительная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение с абсолютной погрешностью . Если вместо действительного значения возьмем величину , то мы допустим погрешность, которая равна



При этом относительная погрешность функции может быть вычислена (при достаточно малых ) по формуле

(1)

или

,

где - эластичность функции (по абсолютной величине) - относительная погрешность нахождения аргумента .

Пример 8. Затраты бензина в (л) автомобиля на 100 км дороги в зависимости от скорости (км/час) описываются функцией .

Оцените относительную погрешность вычисления затрат бензина при скорости 90 км/час с точностью до 5%.

∆ Найдем эластичность функции (по абсолютной величине)



При и по формуле (1) относительная погрешность

Пример 9. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

 Объем шара радиуса равен . Найдем;



и по формуле (1) имеем



Значительным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях есть невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка нет при использовании рядов в приближенных вычислениях.
^

§ 9 Экономическое содержание производной.


Использование понятия производной в экономике

В §2 было установлено, что производительность труда является производной объема выработанной продукции по времени, а производная равна , выражает предельные затраты производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные затраты зависят от уровня производства (количество производимой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.д.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка (§2), предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и прочие предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Необходимо учесть все-таки, что экономика не всегда разрешает использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и дискретности экономических показателей по времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем, в ряде случаев, можно отвернуть внимание от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используют понятие эластичности функции.

Эластичностью функции называется граница отношения относительного прироста функции к относительному приросту переменной при :



Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.

Отметим свойства эластичности функции.

  1. Эластичность функции равна произведению независимой на темп изменения функции

,

то есть

(2)

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций

(3)

(4)

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса относительно цены (или дохода ) - коэффициент, который определяется по формуле (1), который показывает приближенно, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , тогда спрос считают эластичным, если , -нейтральным, если , - неэластичным относительно цены (или дохода).

Пример 10. Зависимость между затратами производства и объемом выпускаемой продукции выражается функцией (денежная ед.). Определить средние и предельные затраты при объеме продукции 10 единиц.

∆ Функция средних затрат (на единицу продукции) выражается отношением , при . Средние затраты (на единицу продукции) равны

(ден. ед.)

Функция предельных затрат выражается производной

;

при предельные затраты составляют

(ден.ед)

Следовательно, если средние затраты на производство единицы продукции составляют 45 денеж. един., тогда предельные затраты, то есть дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции 10 ед.) составляет 35 ден.ед. ▲

Пример 11. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс. гривен) и выпуском продукции (тыс. гривен) выражается функцией



Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, что равно 60 тыс. гривен.

∆ Согласно формулы (1) эластичность себестоимости



При , то есть при выпуске продукции, что равно 60 тыс. гривен, увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%. ▲

Пример 12. Объем продукции , выработанной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

(ед), ,

где t -рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темпы ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

∆ Производительность труда выражается производной

(ед/час),

а скорость и темп изменения производительности - соответственно производной и логарифмической производной :

(ед/час),

где (ед/час2)

В заданные моменты времени и соответственно имеем:

(ед/час)

(ед/час2)

(ед/час)

и

(ед/час)

(ед/час2)

(ед/час)

Следовательно, в конце работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что повышение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы. ▲

Пример 13. Исследовательским путем установлены функции спроса и предложения , где и - количество товара, соответственно купленного и предлагаемого на продажу в единицу времени, - цена товара.

Найти:

а) равновесную цену, то есть цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при повышении цены на 5% от равновесной.

∆ а) Равновесная цена определяется из условия , откуда , то есть равновесная цена равна 2 денежным единицам.

б) Найдем эластичности по спросу и предложению по формуле (1)

; ;

Для равновесной цены имеем

; .

Поскольку полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, тогда и спрос и предложения данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. Так, при повышении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение повысится на 0,8%.

в) При повышении цены р на 5% от равновесной спрос уменьшится на , следовательно, доход возрастает на 3,5%. ▲

Пример 14. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

∆ Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией , где x - объем выпускаемой продукции. Тогда средние затраты на производство единицы продукции . Согласно (4) эластичность частного двух функций равна разности их эластичностей, то есть:



Из условия , следовательно, .

Это означает, что с изменением объема продукции x средние затраты на единицу продукции не изменяются, то есть , откуда . Предельные затраты предприятия определяются производной . Следовательно, , то есть предельные затраты равны средним затратам (заметим, что полученное утверждение справедливо лишь только для линейных функций затрат) ▲





Схожі:

§8 Решение задач iconРешение Научно-методического совета ипо сггу от 19. 11. 2012 г по вопросу «Об утверждении программ для профильной школы, факультативов, кружков»
«Решение экономических задач по курсу «Основы экономики», 2 программ кружков «Армспорт», «Американский футбол»
§8 Решение задач icon2 Графический метод решения задач линейного программирования
Графическое решение задач лп дает наглядное представление процесса нахождения оптимального решения, а также анализа полученного решения...
§8 Решение задач icon2 Графический метод решения задач линейного программирования
Графическое решение задач лп дает наглядное представление процесса нахождения оптимального решения, а также анализа полученного решения...
§8 Решение задач icon2 Графический метод решения задач линейного программирования
Графическое решение задач лп дает наглядное представление процесса нахождения оптимального решения, а также анализа полученного решения...
§8 Решение задач iconРешение типовых задач
Введение
§8 Решение задач iconРешение по выбранным показателям экономической эффективности, что, естественно, является недостаточным для решения широкого спектра задач
Охватывает комплекс вопросов, связанных с решением технических задач, разработок теплоэнергетики, определением их экономической эффективности...
§8 Решение задач icon2 Решение матричной игры (2х2)
При наличии седловой точки решение очевидно, тогда в соответствии с основной теоремой игра имеет оптимальное решение в смешанных...
§8 Решение задач icon5. Целочисленное программирование
Целочисленные программирование ориентировано на решение задач математического программирования, в которых все или некоторые переменные...
§8 Решение задач icon5. Целочисленное программирование
Целочисленное программирование ориентировано на решение задач математического программирования, в которых все или некоторые переменные...
§8 Решение задач icon5. Целочисленное программирование
Целочисленные программирование ориентировано на решение задач математического программирования, в которых все или некоторые переменные...
§8 Решение задач icon5. Целочисленное программирование
Целочисленные программирование ориентировано на решение задач математического программирования, в которых все или некоторые переменные...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи