§5 Розв\

§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими




Скачати 208.06 Kb.
Назва§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Дата12.09.2012
Розмір208.06 Kb.
ТипДокументи

48135

§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими


5.1. Правило Крамера

Встановивши основні властивості і способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі - розв'язку і дослідження систем рівнянь 1-ого порядку. Почнемо вивчення цього питання із розбору того основного випадку, коли число рівнянь співпадає з числом невідомих.

Нехай задана система:

(1)

Будемо вважати, що система (1) має який-небудь розв'язок і потрібно тільки знайти його. Позначимо через А основну матрицю системи.



Помножимо всі члени 1-го рівняння системи (1) на А11 - алгебраїчне доповнення елементу а11 матриці А, всі члени 2-го рівняння системи (1) на А21 - алгебраїчне доповнення елементу а21 матриці А, нарешті, всі члени n-го рівняння системи (1) на Аn1 - алгебраїчне доповнення елементу а n1 матриці А. Тоді одержимо систему

(1')

Додамо почленно всі рівняння системи, одержимо

(ai1Ai1)x1+(ai2Ai1)x2+...+(ainAi1)xn=biAi1

Згідно теореми про алгебраїчні доповнення маємо

ai1Ai1=det A ai2Ai1=0, ........., ainAi1=0

Тому одержане рівняння можна переписати у вигляді x1detA=biAi1


Розглянемо матрицю

,

отриману із матриці А заміною елементів 1-го стовпця стовпцем вільних членів рівнянь системи. Розкладаючи det B1 по елементах 1-го стовпця, одержимо det B1=biAi1 , а тому Х1det A= det B1

Аналогічно, помноживши рівняння системи (1) відповідно на Аі2 (і=1, 2, ... n) і додаючи їх, одержимо X2det A=det B2 ,

де

,

Поступивши таким чином і в подальшому, одержимо систему рівнянь

(2)

де матриця Вk одержана із А заміною k-го стовпця стовпцем вільних членів. Очевидно, будь-який розв'язок системи (1) є і розв'язком системи (2).

Будемо вважати тепер, що визначник основної матриці системи не дорівнює нулю. Тоді система (2) має єдиний розв'язок

(3)

Нагадаємо, що формули (3) одержані з припущенням, що система (1) має розв'язок. Безпосередньою підстановкою знайдених значень Хі в систему (1) можливо переконатися в тому, що вони є розв'язком системи (1) і, отже, в припущенні, що, система (1) має розв'язок і до того ж єдиний.

^ Теорема (теорема Крамера): якщо визначник основної матриці системи п рівнянь 1-го порядку з п невідомими відмінний від нуля, тоді система має єдиний розв'язок. При цьому значення кожного із невідомих дорівнює частці від ділення визначників двох матриць: в знаменнику стоїть визначник основної матриці системи, а в чисельнику визначник матриці, одержаної із основної матриці системи заміною стовпця, що відповідає вибраному невідомому, стовпцем вільних членів.

Із цієї теореми виходить, що якщо система рівнянь однорідна, тобто вільні члени у всіх рівняннях системи дорівнюють нулю, і якщо визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тоді система має тільки нульовий розв'язок. Дійсно, в такому випадку, матриці, визначники яких стоять в чисельнику формул (3), містять стовпець, який включає в себе лише нулі, і, отже, всі числа Хі дорівнюють нулю. Із доведеного випливає наступна теорема:

^ Якщо система п однорідних рівнянь 1-го порядку з п невідомими має хоча б один ненульовий розв'язок, тоді визначник основної матриці системи дорівнює нулю. Дійсно, якби цей визначник був не рівний нулю, тоді система мала б тільки нульовий розв'язок, що суперечить умові.

В подальшому ми доведемо, що рівність нулю визначника система є не тільки обов'язкова, необхідна умова існування ненульового розв'язку, але і умова, достатня для існування такого розв'язку. Інакше кажучи, якщо визначник системи однорідних рівнянь дорівнює нулю, тоді система має ненульовий розв'язок (і при цьому нескінченну множину таких розв'язків).

^ 5.2. Розв'язок і дослідження систем рівнянь першого порядку методом повного виключення (Метод Гаусса).

Формули Крамера дають можливість, використовуючи прийом обчислення визначників, знайти числові значення розв'язку системи рівнянь у випадку, коли визначник основної матриці системи відмінний від нуля. Але практичне застосування цих формул в багатьох випадках ускладнено. Перш за все необхідно відмітити, що для знаходження розв'язків за формулами (3) необхідно обчислити n+1 визначник n-го порядку, що представляє собою досить трудомістку роботу, навіть при використанні тих прийомів, які були вказані в §4. Але найголовніше те, що у випадку, коли коефіцієнти рівняння задані наближено (в реальних задачах це буває майже завжди), похибка розв'язку може бути досить велика. Це пояснюється тим, що доданки, які входять у кожний із визначників, через які визначається розв'язок системи, можуть бути досить великі (нагадаємо, вони представляють собою добуток n співмножників - різних коефіцієнтів розширеної матриці системи), а сам визначник, що представляє собою алгебраїчну суму таких доданків, може бути малий. Навіть в тому випадку, коли коефіцієнти в системі вихідних рівнянь відомі точно, але самі обчислення ведуться з урахуванням лише заданого числа значущих цифр, ми з тих же причин зможемо одержати досить великі похибки в результаті. А тому при практичному розв'язку систем рівнянь в більшості випадків використовують не формули Крамера, а інші прийоми обчислень.

В даному курсі ми розглянемо метод повного виключення, стосовно розв'язку систем рівнянь 1-ого порядку також і в тому випадку, коли число рівнянь не співпадає з числом невідомих. Але викладення цього методу почнемо з основного випадку: коли число рівнянь співпадає з числом невідомих.

Таким чином, нехай знову задана система n рівнянь з n невідомими:

(1)

Оскільки хоча б один із коефіцієнтів ai1 відмінний від нуля (інакше в систему взагалі не входило б х1), і рівняння в системі можливо мінять місцями, тоді без будь-якого обмеження загальності можна вважати, що Поділимо 1-ше рівняння системи на a11 і приведемо його до виду

де



Перемножуючи всі члени одержаного рівняння на аі1 і віднімаючи із і-го рівняння системи (1), одержимо нову систему

(2)

де



i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ..., n

Оскільки рівняння системи (2) одержані як лінійні комбінації рівнянь системи (1), то будь-який розв'язок системи (1) є також і розв'язком системи (2). Разом з тим оскільки



то рівняння системи (1) можуть бути одержані як лінійна комбінація рівнянь системи (2). Отже будь-який розв'язок системи (2) є і розв'язком системи (1). Таким чином, система (1) і (2) рівнозначні. (Лінійною комбінацією двох рівнянь с11х112х2+...+с1nхn=d1 і, с21х122х2+...+с2nхn=d2 будемо називати рівняння

1(c11x1+c12x2+...+c1nxn)+2(c21x1+c22x2+...+c2nxn)=1d1+2d2, де 1 та 2 - числа)

Порівняємо тепер визначники D1 і D2 основних матриць систем (1) і (2). Перший рядок основної матриці системи (2) одержаний із першого рядка основної матриці системи (1) діленням на а11. Така операція відповідає діленню D1 на а11. Інші рядки одержані відніманням із відповідних рядків основної матриці системи (1) величин, пропорційних першому рядку. Ця операція не змінює величини визначника. Звідси виходить, що визначник D2 основної матриці системи (2) дорівнює . А тому D20, якщо D10 і D2=0, якщо D1=0. Відмітимо, нарешті, що обчислення ми проводили тільки з коефіцієнтами рівнянь системи (1), тому немає необхідності писати самі рівняння. Достатньо написати лише розширену матрицю системи і перетворити тільки елементи цієї матриці.

Будемо позначати перехід від однієї розширеної матриці до другої, тобто фактично перехід від однієї системи рівнянь до системи, їй рівнозначної, символом або ~. Тоді проведені операції можна записати так:



Будемо вважати спочатку, що визначник D1 основної матриці системи (1) відмінний від нуля. Тоді, як сказано вище, , а тому в крайньому випадку одне з чисел (і=1, 2, ..., n) відмінне від нуля, оскільки, якби всі дорівнювали нулю, дорівнював би нулю і визначник D2 основної матриці системи (2).

Оскільки рівняння в системі (2) можна міняти місцями, тому, без обмеження, можна вважати, що . Поділимо 2-е рівняння системи (2) на , помножимо одержаний рядок на (і=1, 3, 4, ..., n) і віднімемо від і-го рядка.

Тоді будемо мати



Система рівнянь, що відповідає матриці В3, рівнозначна системі (2), а тому і вихідній системі (1). Визначник D3 основної матриці цієї системи відмінний від нуля, оскільки відмінний від нуля визначник D2. Звідси, в крайньому випадку одне із чисел (і=3, ..., n) відмінне від нуля і можна знову провести ті ж операції, що і раніше. Продовжуючи аналогічні міркування, після n операцій одержимо матрицю



Відповідна система рівнянь має вигляд

(3),

її єдиним розв'язком є (4)

Оскільки система (3) рівнозначна системі (1), має єдиний розв’язок, то має єдиний розв'язок, що визначається формулами (4), і вихідна система(1).

Приклад 1. Розв’язати систему



Розв’язок



x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2

Відмітимо, якщо система однорідна, тобто всі числа bi (і=1, 2, ..., n) дорівнюють нулю, тоді дорівнюють нулю і всі числа Тому система (1) має в цьому випадку тільки нульовий розв’язок.

Нехай тепер визначник D1 основної матриці системи (1) дорівнює нулю. Тоді вже не можна стверджувати, що серед чисел (і=m, m+1, ..., n), одержаних після (m-1)-го етапу перетворень, буде хоча б одне, відмінне від нуля. Більше того, на якомусь етапі всі ці числа обов’язково стануть рівними нулю (інакше ми мали б розібраний випадок). Таким чином, нехай одержана матриця



Переставимо m-ий стовпець матриці на місце n-го, а всі наступні за m-м стовпцем, крім стовпця вільних членів зсунемо на одне місце вліво (така операція, очевидно, означає перестановку невідомих в рівняннях системи або їх перенумерацію, що, звичайно, не змінює розв’язку системи). В результаті одержимо матрицю



де

і=1, 2, ..., n;

k=m, m+1, ..., n.

Продовжуючи ті ж перетворення, що раніше, одержимо в кінцевому рахунку матрицю

(5)

Матриці (5) відповідає система рівнянь

(6)

в якій невідомі відрізняються від невідомих хі в системі (1) лише нумерацією. Оскільки система (6) рівнозначна системі (1), тоді висновок про розв’язність системи (1) рівносильний висновку про розв’язність системи (6).

Очевидно, що якщо хоча б одне із чисел (і=k+1, ..., n) не дорівнює нулю, тоді рівняння системи (6), а тому і рівняння системи (1), несумісні. Якщо є всі (і=k+1, ..., n) дорівнюють нулю, тоді рівняння сумісні. При цьому невідомим можна надати будь-які значення, і система має такі розв’язки:



де t1, t2, ..., te (=n-k) довільні

Для того, щоб було зручно повертатися до вихідної системи невідомих, корисно над стовпцями матриць, які одержуються при проведенні перетворень, надписувати позначення відповідних невідомих. Вкажемо, крім того, що якщо вихідна система (1) однорідна, тоді всі числа (і=1, 2, ..., n) дорівнюють нулю. Тому мають місце такі два твердження.

1. Система однорідних рівнянь 1-ого порядку завжди сумісна.

2. Якщо визначник системи однорідних рівнянь 1-ого порядку дорівнює нулю, тоді система має нескінченну множину розв 'язків.

Приклад 2




Розв’язок




Система рівнянь, що відповідає одержаній матриці, має вигляд:



Система сумісна, х4=t довільно. Система має нескінченну множину розв`язків



причому t - довільне число.

Відмітимо, що якби вільні члени в рівняннях були іншими, ніж задано в умові, система могла б бути несумісною. Нехай, наприклад, b4=1. Тоді перетворена матриця системы буде



і останнє рівняння системи набуде такого вигляду 0х1+0х2+0х3+0х4=1, що не має змісту.

Приклад 3.



Розв`язок.



Система сумісна, х2=t довільно; x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1.

Розібраний метод без будь-яких змін переноситься і на той випадок, коли число невідомих не співпадає з числом рівнянь.


ІІ. Приклади розв`язку задач

1.20. Розв`язати систему



Обчислимо визначник системи



Оскільки визначник системи відмінний від нуля, застосуємо правило Крамера. Для обчислення визначника detB1 замінимо стовпець визначника системи стовпцем з вільних членів . Маємо



Визначник detB2 одержимо заміною стовпця визначника системи стовпцем із вільних членів:



Згідно правила Крамера знаходимо ;

Сукупність чисел (5;-4) являється єдиним розв`язком даної системи.

1.21. Знайти розв`язки системи



Визначник з коефіцієнтів системи відмінний від нуля:



Тому можна застосувати правило Крамера



звідси знаходимо ; ;

Сукупність чисел (3, 2, 1) являється єдиним розв`язком системи.

1.22. Розв`язати систему



Випишемо розширену матрицю системи

/IVp+II-I-III/ ~

Неважко бачити, що визначник з коефіцієнтів системи дорівнює нулю, оскільки 4-ий рядок його складається з нулів. Останній рядок розширеної матриці свідчить про те, що система не сумісна.

1.23. Розв’язати систему



Випишемо розширену матрицю системи

/IIp.-2·I, IIIp.-I, IVp.-II-III/ ~ ~

/поділимо ІІІр. на (-3), IVp. на (-3)/

~ /ІІІр.+2·ІІ/ ~

В результаті всіх перетворень дана система лінійних рівнянь звелася до трикутного виду.



Вона має єдиний розв`язок.

х3=1 х4=-1 х2=-2 х1=2 ▲

1.24.







Рівняння сумісні, х4=t довільно,

1.25. Знайти роз’язки системи








Система сумісна, х4=t довільно,

1.26. Розв’язати систему







Система сумісна, х4=t довільно, x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t. ▲
^

§6 Ранг матриці, теорема про сумісність систем рівнянь першого порядку


Для дослідження багатьох питань, пов`язаних з розв’язком систем рівнянь 1-ого порядку, часто вводять поняття ранг матриці.

Визначення. Рангом матриці називається найвищий порядок відмінного від нуля визначника квадратної субматриці, отриманої із заданої матриці викреслюванням деяких рядків і стовпців.

Розглянемо, наприклад, матрицю



Викресленням будь-якого числа рядків і стовпців неможливо із заданої матриці одержати квадратну матрицю порядку вище 3-го. Звідси, ранг її не може бути більше трьох. Але, викреслюючи один із стовпців, ми будемо одержувати квадратні матриці, які мають два однакових рядка, а тому їх визначники дорівнюють нулю. Звідси, ранг вихідної матриці менше 3-х. Викресливши, наприклад, 3-й і 4-й стовпець і 3-й рядок, одержимо квадратну матрицю , визначник якої не дорівнює нулю. Таким чином, всі визначники субматриці 3-го порядку дорівнюють нулю, але серед визначників матриць 2-го порядку є відмінний від нуля. Тим самим ранг вихідної матриці дорівнює двом.

Доведемо теорему: ранг матриці не змінюється при лінійних операціях з її рядками.

Дійсно, лінійні операції з рядками якої-небудь матриці приводять до тих же лінійних операцій з рядками будь-якої субматриці. Але, як вказано вище, при лінійних операціях з рядками квадратних матриць визначники цих матриць одержуються один із другого множенням на число, відмінне від нуля. Звідси, нульовий визначник залишається нульовим, а відмінний від нуля - відмінним від нуля, тобто не може змінитися найвищий порядок відмінного від нуля визначника субматриць. Не впливає, очевидно, на ранг матриці і перестановка стовпців, оскільки така перестановка може впливати лише на знак відповідних визначників.

Із доведеної теореми виходить, що розглянуті в минулому параграфі перетворені матриці мають той же ранг, що і вихідні. Тому ранг основної матриці системи рівнянь першого порядку дорівнює числу одиниць на головній діагоналі перетвореної матриці.

Доведемо тепер теорему про сумісність систем рівнянь 1-ого порядку (теорема Кронекера-Капеллі): для того щоб система рівнянь 1-ого порядку була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці співпадав з рангом основної матриці.

Нехай ранг основної матриці системи дорівнює k. Якщо ранг розширеної матриці системи також дорівнює k, тоді це означає, що або система містить тільки k рівнянь, або - всі числа (i= k+1, ..., k) в перетвореній матриці дорівнюють нулю (в противному випадку ранг розширеної матриці перетвореної, а тому і вихідної системи був би k +1)

Нехай ранг перетвореної (а тому і вихідної) розширеної матриці системи більше k, тобто більше, ніж число одиниць на головній діагоналі перетвореної матриці. Тоді існує хоча б одна субматриця (k+1)-го порядку, визначник якої не дорівнює нулю. Така субматриця може бути одержана тільки додаванням до одиничної матриці порядку k (що знаходиться в лівому верхньому куту перетвореної матриці) якого-небудь одного рядка і стовпця, який складається із перших k вільних членів рівнянь перетвореної системи і будь-якого одного вільного члена із наступних n-k рівнянь. Щоб визначник вказаної субматриці був відмінний від нуля, відмінним від нуля повинен бути і цей останній доданий елемент, тобто число (i=k+1, ..., k). Але, як було доведено раніше, в цьому випадку система несумісна. Отже, система сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці співпадає з рангом розширеної матриці.

ІІ. Приклади розв`язку задач

1.39. Обчислити ранг матриці з допомогою елементарних перетворень



де знак вказує, що з`єднані ним матриці одержуються одна із другої елементарними перетвореннями, а тому мають один і той же ранг.

Додамо далі до , Іст:2, додаючи його до ІІІст і віднімаючи із Ivст, і переставивши, нарешті, місцями перші два стовпця, будемо мати



Ранг матриці А дорівнює 2, тобто r=2. ▲

1.40. За допомогою елементарних перетворень обчислити ранг матриці





r=3, бо визначник трикутної матриці з перших трьох стовпців не дорівнює нулю. ▲

Обчислення рангу матриці методом облямування

Вибираємо в даній матриці мінор другого порядку, відмінний від нуля. Потім обчислюємо мінори третього порядку, які облямовують (містять в собі) вибраний, поки не знайдемо серед них відмінного від нуля. Далі обчислюємо мінори четвертого порядку, які облямовують відмінний від нуля мінор ІІІ-го порядку, поки не знайдемо серед них відмінний від нуля, і т.д. Якщо знайшли відмінний від нуля мінор r-го порядку, а всі облямовуючі його мінори (r+1)-го порядку дорівнюють нулю або їх вже нема, то ранг матриці дорівнює r.

1.41. Обчислити ранг матриці

Викреслили ІІІр., оскільки 2·ІІр.+І є ІІІр.

Виберемо, наприклад,

Обчислимо мінори ІІІ-го порядку, які облямовують його



мінор ІІІ-го порядку відмінний від нуля.

Він міститься у визначнику IV порядку заданої матриці, який дорівнює нулю. Отже, r=3. ▲

1.42. Розв`язати системи рівнянь



а) Тут r(A)=3, r(B)=3; система сумісна, визначена.

Оскільки

тоді із перших трьох систем, наприклад, згідно формул Крамера знаходимо

х1=-1, х2=0, х3=1

b) Тут r(A)=2, r(B)=2; система сумісна, але не визначена.

Визначник

і із перших двох рівнянь системи



Знаходимо

,

де невідомим х3 і х4 можна надавати будь-які значення.

в) в цьому випадку r(A)=2, r(B)=3; і система несумісна.

1.43. Методом Гаусса (послідовного виключення невідомих) розв`язати однорідну систему рівнянь:



і знайти її фундаментальну систему розв`язків.

Випишемо розширену матрицю системи (при цьому нульовий стовпець можна, звичайно, не писати). Після зрозумілих перетворень будемо мати

тобто задана система рівнозначна наступній:



Тут r=3, і три невідомих можна виразити через останні, наприклад, так:

х45

х2=-2х3-3х4-9х5=-2х3-12х5

х1=-2х2-3х3-4х4-5х53+15х5

Фундаментальну систему можна одержати, якщо вільним невідомим х3, х5 надавати значення х3=1, х5=0 (тоді х1=1, х2=-2, х4=0) і значення х3=0, х5=1 (тоді х1=15, х2=-12, х4=1). Це дає фундаментальну систему розв`язків:

e1=(1, -2, 1, 0, 0), e2=(15, -12, 0, 1, 1)

З використанням фундаментальної системи часто записують загальний розв`язок у вигляді лінійної комбінації розв’язків е1 та е2, тобто:

e=


1.44. Знайти фундаментальну систему розв`язків системи лінійних рівнянь та записати її загальний розв`язок







IVp. відкинемо (пропорційно до І),

або IVp.=II+III, IIp.-I, IIIp.-I



Третій рядок відкинемо. Система звелась до драбинчастої з головними невідомими х1, х2 і вільними х3, х4:



З останнього рівняння . З першого Вільних невідомих 2. Тому беремо визначник ІІ порядку з одиничними елементами головної діагоналі і нульовими - побічної: .

Будемо вважати х3=1, х4=0. Тоді

Одержимо вектор e1=()

Далі будемо вважати х3=0, х4=1. Одержимо вектор e2=

Вектори e1 і e2 являють собою фундаментальну систему розв`язків.

Тепер загальний розв`язок можна записати у вигляді

e=

Надаючи коефіцієнтам , будь-які (довільні) числові значення будемо одержувати різноманітні частинні розв`язки.

1.45.



/від усіх рядків віднімемо IV/

II, III, V рядки, які пропорційні до І-го, викреслимо. В одержаній матриці переставимо І і ІІ стовпці:

Ранг матриці дорівнює 2.

Головні невідомі х2 і х1. Вільні - х3, х4, х5. Система тепер має вигляд:



Надаючи вільним невідомим послідовно значення, що дорівнюють елементам стовпців визначника



1) х3=1, х4=0, х5=0; 2) х3=0, х4=1, х5=0; 3) х3=0, х4=0, х5=1

одержимо:

1) х2=1, х1=1; 2) х2=1, х1=-2; 3) х2=-2, х1=1

тобто вектори С1=(1, 2, 1, 0, 0)

С2=(-2, 1, 0, 1, 0)

С3=(1, -2, 0, 0, 1)

складають фундаментальну систему розв`язків. Загальний розв`язок системи тепер залишиться.

c=

1.46.



Матриця коефіцієнтів

має ранг r=2 (перевірте).

Виберемо за базисний мінор

Тоді вкорочена система має вигляд:



Звідки, вважаючи х31, х42, х53, знаходимо



Загальний розв`язок системи



Із загального розв`язку знаходимо фундаментальну систему розв`язків



З використанням фундаментальної системи загальний розв`язок може бути записаний

e1e12e23e3
^

§7 Основні операції з матрицями


В попередньому параграфі широко застосовувались лінійні операції з рядками і стовпцями різних матриць. Але в деяких питаннях лінійної алгебри доводиться розглядати операції з матрицями як з єдиним об`єктом.

В основі вивчення операцій з матрицями лежить поняття рівності матриць. Будемо виходити з такого визначення: дві матриці однієї і тієї ж розмірності називаються рівними, якщо рівні всі їх відповідні елементи.

Отже, матриці А і В однієї і тієї ж розмірності nxm рівні тоді і тільки тоді, коли Aik=Bik i=1, 2,..., n; k=1, 2,..., m. При цьому ще раз підкреслимо, що порівнювати можна лише матриці однієї і тієї ж розмірності.

Сумою двох матриць А і В однієї і тієї ж розмірності nxm називається матриця С тієї ж розмірності така, що

(С)ik=(A)ik+(B)ik (1)

Отже, при додаванні матриць (додавати можна тільки матриці однієї і тієї ж розмірності) треба складати всі їх відповідні елементи.

Оскільки додавання матриць зводиться до додавання чисел - елементів цих матриць, очевидно, має місце комутативна і асоціативна властивість.

А+В=В+А; (А+В)+С=А+(В+С) (2)

Добутком матриці А на число  (або числа  на матрицю А) називається матриця В така, що

(В)ik=(A)ik (3),

тобто при множенні матриці на число (або числа на матрицю) необхідно всі елементи матриці помножити на це число. Нагадаємо, що при множенні на число визначника матриці достатньо було помножити на це число лише елементи будь-якого рядка (або стовпця).

Легко перевірити, що при множенні матриці на число має місце розподільча властивість:

(А+В)=А+В; (+)=А+В (4)

Визначимо тепер добуток двох матриць. Нехай дана матриця А розмірності nxm і матриця В розмірності mxp.

Визначення. Добутком матриці А розмірності nxm на матрицю В розмірності mxp називається матриця С розмірності nxp така, що

(5),

інакше кажучи, для одержання елементу, що знаходиться в і-ому рядку і в k-ому стовпцю матриці добутку, потрібно обчислити суму добутків елементів і-го рядка першого множника і відповідних елементів k-го стовпця другого множника. Отже, для того щоб можливо було скласти вказану суму, потрібна рівність числа стовпців в першій матриці (тобто число елементів в кожному рядку) числу рядків у другій (тобто числу елементів в кожному стовпці).

Приклад 1.



Знайти

Розв`язок. Матриця А має розмірність 3х2, матриця В 2х2; добуток існує - це матриця розмірності 3х2.



Добуток матриць не має переставної властивості: АВ, взагалі кажучи, не дорівнює ВА.

По-перше, із того, що можна обчислити , зовсім не виходить, що має зміст Наприклад, в тільки що розібраному прикладі перестановка множників, тобто множення В на А неможливе оскільки не можна матрицю розмірності 2х2 помножити на матрицю розмірністю 3х2 - число стовпців першої матриці тут не дорівнює числу рядків другої. Але навіть якщо добуток ВА існує, то нерідко АВВА. Розглянемо приклад.

Нехай . Тоді





Разом з тим можливо довести (таке доведення ми рекомендуємо провести читачу), що



(звичайно приймається до уваги, що всі ці добутки мають зміст).

У відповідності із визначенням добутку матриць завжди можливо множення квадратних матриць одного порядку, при цьому добуток буде матрицею того ж порядку. Відмітимо без доведення одну із властивостей добутку квадратних матриць одного порядку: визначник добутку двох матриць одного і того ж порядку дорівнює добутку визначників матриць, що перемножуються.

Дуже часто доводиться розглядати добуток матриці розмірності nxm на матрицю розмірності mx1, тобто на матрицю з одним стовпцем. Очевидно, ми повинні одержати в результаті матрицю розмірності nx1, тобто також матрицю з одним стовпцем. Нехай, наприклад, необхідно помножити матрицю

на матрицю

В результаті одержимо матрицю , елементи якої обчислюються за формулами:



Але це означає, що систему рівнянь 1-ого порядку, розглянуту в попередньому параграфі, можна записати в дуже зручній матричній формі: АХ=В.

Суттєву роль в різних застосуваннях матричної алгебри відіграє квадратна матриця, у якої всі діагональні елементи (тобто елементи, які знаходяться на головній діагоналі) дорівнюють 1, а всі інші елементи дорівнюють нулю. Така матриця називається одиничною матрицею. Очевидно, що визначник одиничної матриці

= 1

Характерні наступні властивості одиничної матриці: нехай задана квадратна матриця А порядку n і Е-одинична матриця того ж порядку. Тоді АЕ=ЕА=А.

Дійсно але

Тому в сумі відмінні від нуля тільки ті складові, для яких e=k. Отже, (АЕ)ік=(А)ік , і звідси АЕ=А. Аналогічно одержуємо і для добутку ЕА.

Приклади розв`язку задач

1.61. Знайти добуток АВ та ВА двох матриць



∆ Добуток АВ не існує, бо число стовпців матриці А не дорівнює числу рядків матриці В. Число стовпців матриці В дорівнює числу рядків матриці А. Отже існує добуток ВА:




1.62. Знайти матрицю 2А+5В, якщо






Схожі:

§5 Розв\Програма з курсу "Вища, математика" Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Розв'язок системи "n" рівнянь з "n" невідомими, правило Крамера. Розв'язок І дослідження систем рівнянь першої степені методом повного...
§5 Розв\§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
§5 Розв\Двох лінійних рівнянь має безліч розв’язків?
Яка система трьох лінійних рівнянь еквівалентна системі двох рівнянь з трьома невідомими?
§5 Розв\Код модуля: ес 6032 С01 Тип модуля: обов’язковий Семестр
Числові методи розвязання систем лінійних скінчених рівнянь. Числові методи розв’язання систем нелінійних скінчених рівнянь. Математичні...
§5 Розв\Академія муніципального управління Програма курсу
Розв'язок І до­слідження систем рівнянь першої степені методом повного виключення
§5 Розв\Фахових вступних випробувань при прийомі на підготовку
Вільні коливання систем з одним ступенем свободи Приклади складання рівнянь руху. Розв’язок. Декремент коливань
§5 Розв\1. Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного виключення. Обернена матриця. Розвязок матричних рівнянь
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
§5 Розв\Тематичнийпла н по видах занять з курсу “Загальна математика” спеціальність “Менеджмент організацій”
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
§5 Розв\Тематичнийпла н по видах занять з курсу “Загальна математика” спеціальність “Фінанси”, “Маркетинг”
Тема Матриці та основні операції з матрицями. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені: правило Крамера. Метод повного...
§5 Розв\Секція математичного аналізу та диференціальних рівнянь
Про асимптотичне розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженнями під точками повороту
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи