§3 Лінії другого порядку icon

§3 Лінії другого порядку




Скачати 87.36 Kb.
Назва§3 Лінії другого порядку
Дата12.09.2012
Розмір87.36 Kb.
ТипДокументи

48140

§3 Лінії другого порядку


Розглянувши геометричні образи, визначені рівняннями першого степеню, природно перейти до вивчення образів, яким відповідають рівняння другого степеню. При цьому почнемо з розгляду різних об`єктів на координатній площині ху і будемо тим самим розглядати рівняння з двома невідомими, вважаючи, що третя координата z завжди дорівнює нулю.

Загальне рівняння 2-го степеню з двома невідомими має вигляд

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1),

при цьому вважається, що хоча б один із коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю.

Лінії, що відповідають цьому рівнянню, називаються кривими 2-го порядку.

Найпростішою такою кривою є коло. Нехай центр кола знаходиться в точці М0(a,b) і радіус кола дорівнює R. Оскільки коло є множина точок, що знаходяться на заданій відстані від центра М0, тоді

(x-a)2+(y-b)2=R2 (2)

Відмітимо, що в рівнянні відсутній член з добутком змінних координат, і коефіцієнти при квадратних змінних координат рівні між собою (в рівнянні (2) ці коефіцієнти дорівнюють 1, але, звичайно, можливо всі частини рівняння (2) помножити на будь-яку константу).

Кривими 2-го порядку є криві - еліпс, гіпербола і парабола. Більш того, далі доведемо, що будь-яка лінія 2-го порядку представляє собою або еліпс, або гіперболу, або параболу, або будь-який випадок їх «виродження». Але, перш за все, дамо визначення цих трьох основних кривих, виведемо їх найпростіші рівняння і дослідимо їх форми.

Визначення. Еліпсом називається множина точок (на площині), сума відстаней від яких до двох даних точок стала.

Виберемо систему прямокутних декартових координат так, щоб вісь абсцис проходила через обидві задані точки F1 і F2, а початок координат знаходився на середині відрізка F1F2 (рис.19).



Нехай М(х,у) - одна із точок множини, що розглядається. Позначимо через 2с відстань між заданими точками F1 і F2 та через 2а задану суму відстаней F1М і F2М. Очевидно, що точка F1 має координати (-с;0), а точка F2 координати (с;0).

Згідно визначення, маємо:

(3)

звідси одержимо рівняння

(4)

По суті рівняння (4) уже і є рівнянням множини, що розглядається. Але воно має незручний для дослідження вигляд; перетворимо його до більш простої форми.







a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

Оскільки 2а>2с (сума двох сторін трикутника більше 3-ої сторони), то а2-с2>0.

Вважатимемо

a2-c2=b2 (5)
^

В кінцевому підсумку одержимо (при вибраній системі координат) рівняння


(6)

Очевидно, кожна точка множини, що розглядається, повинна відповідати одержаному рівнянню (6). Але оскільки в процесі перетворень двічі підносилися до квадрату обидві частини рівняння, необхідно, перевірити, чи не отримані при цьому «зайві» точки. Інакше кажучи, треба перевірити, що кожна точка, координати якої відповідають одержаному рівнянню, належить множині точок, що розглядається.

Попередньо зробимо деякі зауваження про форму лінії, що відповідає одержаному рівнянню.

Оскільки

,

то крива симетрична відносно осей координат, а тому і відносно початку координат. Із зростанням |x| від 0 до а |у| спадає від b до 0. Точки кривої існують лише в прямокутнику (рис.20).



Перевіримо тепер, що будь-яка точка лінії, що визначена одержаним рівнянням, належить заданій множині. Для цього потрібно показати, що якщо координати довільної точки М000) задовольняють рівнянню

, де b2=a2-c2 то ,

оскільки , то



Оскільки і c<a, то сх0+а2>0 і сх0-а2<0.

Тому





Таким чином, всі точки лінії є точки заданої множини точок.

Точки F1 і F2 називаються фокусами еліпса, числа a і b напівосями еліпса, точки перетину еліпса з його осями симетрії - вершинами еліпса.

Зі зміною с змінюється форма еліпса. Якщо с прямує до нуля, тобто фокуси еліпса зливаються, тоді b прямує до а і еліпс стає колом із рівнянням х2+у2=а2, тобто коло є частинний випадок еліпса, коли напівосі еліпса рівні між собою.

Якщо ж с прямує до а, тоді прямує до нуля і еліпс стискується вздовж осі ординат. Отже, відношення може бути мірою стиску еліпса, мірою його відхилення від кола. Число (0
В багатьох задачах буває необхідно використовувати параметричні рівняння еліпса.

Побудуємо два кола з центрами на початку координат і радіусами b і а. Проведемо із початку координат промінь під кутом t до осі абсцис (<2).



Нехай В і А його точки перетину із побудованими колами (рис.21) і М(х;у) - точка перетину прямих, проведених із В паралельно осі абсцис і з А паралельно вісі ординат. Визначимо геометричне місце точок М.

Маємо:

Оскільки

то точки М є точки еліпса з напівосями a і b. Змінюючи t від 0 до 2, одержимо всі точки цього еліпса. Таким чином, рівняння

x=acost, y=bsint (7)

є параметричним рівнянням еліпса з напівосями a і b, розташованого симетрично відносно осей координат. Зокрема, при a=b одержимо параметричне рівняння кола.

Означення. Гіперболою називається множина точок (на площині), абсолютне значення різниці віддалей від яких до двох даних точок стале (і відмінне від нуля).

Систему координат виберемо так, як і при виводі рівняння еліпса (рис.22).



Із визначення маємо:

(8)



Оскільки різниця двох сторін трикутника менше третьої його сторони, то 2а2с.

Покладемо

c2-a2=b2 (9)

Тоді одержимо b2x2-a2y2=a2b2 і нарешті

(10)

Як і у випадку еліпса, необхідно перевірити, що, незважаючи на двохкратне піднесення до квадрату, ми не одержали «зайвих» точок і одержане рівняння (10) є рівнянням гіперболи.

Попередньо відмітимо деякі властивості лінії, визначеної рівнянням (10). Ця лінія симетрична відносно осей координат і відносно початку координат.

Оскільки , то для всіх точок кривої немає точок кривої в полосі -аха. Крива складається із двох окремих частин - віток гіперболи, одна із яких лежить в області , а друга - в області (права і ліва вітки гіперболи).

Вернемося до доведення того, що рівняння (10) є рівнянням гіперболи.

Нехай М000) довільна точка, координати якої задовольняють рівнянню (10). Потрібно довести, що .



При (тобто для точок правої вітки гіперболи) сх020 і сх020. Тому у випадку х0а



При (тобто для точок лівої вітки гіперболи) сх020 і сх020. Тому у випадку .



Таким чином, в обох випадках і крива (10) є гіпербола.

Число а називається дійсною напіввіссю, число в уявною напіввіссю. Точки перетину гіперболи з її віссю симетрії називається вершинами гіперболи, точки F1 і F2 - її фокусами.

Відмітимо ще одну особливість форми цієї лінії. Розглянемо разом з гіперболою дві прямі: . Неважко помітити (внаслідок симетрії лінії достатньо розглянути 1-у чверть) при одній і тій же абсцисі ординати точок гіперболи менше ординат відповідних точок прямої .

Дійсно, упр-угіп=0.

Разом з тим оскільки



тоді різниця упр-угіп прямує до нуля при необмеженому зростанні х, і тому точки гіперболи при необмеженому збільшенні абсциси як завгодно близько підходять до відповідних точок прямої .

Прямі

(11)

до яких як завгодно близько при |x| підходять точки віток гіперболи, називаються асимптотами гіперболи. Неважко помітити, що асимптоти гіперболи направлені по діагоналях прямокутника зі сторонами 2a і 2b, симетричного відносно осей симетрії гіперболи.

Якщо a=b, тоді гіпербола приймає вигляд

х222 (12)

Асимптоти гіперболи в цьому випадку взаємно перпендикулярні. Така гіпербола називається рівнобічною.

Третьою основною кривою 2-го порядку є парабола.

Визначення. Параболою називається множина точок (на площині), рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої.

Виберемо вісь абсцис прямокутної декартової системи координат так, щоб вона проходила через задану точку F перпендикулярно до заданої прямої L, початок координат нехай знаходиться на середині відрізка FK (рис.23). Напрям осі абсцис вказаний на рисунку.



Рис.23


Відстань від точки F до прямої L позначимо через р. Тоді точка F буде мати координати , а рівняння прямої L: .

Нехай М(х;у) - довільна точка розглядуваної множини і А - основа перпендикуляра, опущеного із М на L.

Оскільки точка А має координати і згідно означення , тоді

,

і нарешті

y2=2px (13)

Легко перевірити, що при піднесенні до квадрату ми не ввели «зайві» точки. Дійсно, підставляючи у вираз замість y2 2px, одержимо і, отже, рівність .

Оскільки , тоді х не може бути від`ємним і всі точки кривої лежать в правій напівплощині. При зростанні х від 0 до + - |y| необмежено зростає. Ясно також, що крива симетрична відносно осі абсцис.

Задана точка F називається фокусом параболи, точка перетину параболи з її віссю симетрії - вершиною параболи.

Рівняння (еліпс), (гіпербола), y2=2px (парабола) були одержані при спеціальному, найбільш зручному розташуванні координатних осей. Тому отримані рівняння називаються найпростішими або канонічними рівняннями кривих 2-го порядку.

Для того, щоб ознайомитися з методами приведення рівнянь кривих 2-го порядку, заданих в іншій координатній системі, до такого найпростішого вигляду, необхідно одержати формули перетворення координатних систем.

^ ПРИКЛАДИ РОЗВ`ЯЗКУ ЗАДАЧ

1.171. Записати рівняння кола, що має центр у точці (5;-7) і проходить через точку (2;-3).

Δ Знайдемо радіус кола як відстань від центра до даної його точки



Тепер у рівняння кола (2) підставимо координати центра і величину радіуса, що знайдена

(x-5)2+(y+7)2=25 ▲

1.172. Знайти координати центра та радіус кола

х22-4х-14у+17=0

Δ Перепишемо дане рівняння так:

х2-4х+4+у2-14у+49+17-4-49=0

або

(х-2)2+(у-7)2=36

Порівнюючи це рівняння з рівнянням кола (2) одержимо: a=2, b=7, r=6. Отже, центр кола знаходиться в точці (2;7), радіус його дорівнює 6. ▲

1.173. Знайти рівняння еліпса, фокусами якого є точки F1(0;0) та F2(0;8), а велика піввісь а=5.

Δ Відстані від точки М(х;у) еліпса до фокусів дорівнюють відповідно та . Згідно означення еліпса маємо, що

+=10

Спрощуючи це рівняння, одержимо



Виділимо повний квадрат відносно «у»

25х2+9(у2-8у+16)=225

Поділимо на 225 і одержимо канонічне рівняння еліпса:



Осями симетрії такого еліпса будуть лінії х=0 та у=4, велика піввісь а=5, мала піввісь b=3. ▲

1.174. Обчислити напівосі гіперболи, якщо директриси задані рівняннями і кут між асимптотами прямий.

Δ Директриси зв`язані з напівосями гіперболи формулами



a, b - напівосі гіперболи. Рівняння асимптот та .

Згідно умови задачі одержимо систему двох рівнянь



Звідси , отже і b=6. ▲

1.175 Написати рівняння параболи, що проходить через точку (0;0) та (1;-2) і симетричної відносно осі Ох.

Δ Рівняння параболи, що проходить через точку (0;0) симетрично відносно осі Ох має вигляд у2=2рх.

Згідно умови, що парабола проходить через точку (1;-2), одержуємо (-2)2=2р.

Звідси .

Тобто, шукане рівняння параболи буде мати вигляд

у2=4х ▲




Схожі:

§3 Лінії другого порядку iconВища математика
Лінії другого порядку на площині. Рівняння (2), яке приведено спочатку розділу 2, описує (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві...
§3 Лінії другого порядку icon§3 Лінії другого порядку
При цьому почнемо з розгляду різних об`єктів на координатній площині ху І будемо тим самим розглядати рівняння з двома невідомими,...
§3 Лінії другого порядку iconАнотація курсу «Вища математика» у розділі «Аналітична геометрія»
«Аналітична геометрія» розглядаються такі теми, як елементи векторної алгебри; рівняння ліній на площині; загальне та часткове рівняння...
§3 Лінії другого порядку iconПро асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами
Розглянуто побудову і показано вигляд формальних частинних розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з...
§3 Лінії другого порядку icon3. у деякій точці двопровідної телефонної лінії невідомої довжини
Ом, R2=8 Ом, r1=3,5 Ом. Визначити опір витоку Rx, відстань L до місця пошкодження, загальну довжину лінії L, а також відновити втрачене...
§3 Лінії другого порядку iconУ деякій точці двопровідної телефонної лінії невідомої довжини
Ом, R2=8 Ом, r1=3,5 Ом. Визначити опір витоку Rx, відстань L до місця пошкодження, загальну довжину лінії L, а також відновити втрачене...
§3 Лінії другого порядку iconТема Вид роботи
Конічні та циліндричні поверхні, елементи загальної теорії поверхонь другого порядку
§3 Лінії другого порядку iconПерелік питань на залік
Парабола. Канонічне рівняння параболи. Застосування кривих другого порядку в економічних дослідженнях
§3 Лінії другого порядку iconПерелік комплексних семестрових завдань
Використовуючи теорію квадратичних форм привести до канонічного вигляду рівняння ліній другого порядку
§3 Лінії другого порядку iconКонтрольна робота з дисципліни «Вища математика»
Знайти загальний та частинний розв'язки лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку за умови
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи