Приклади розв’язку задач icon

Приклади розв’язку задач




Скачати 46.42 Kb.
НазваПриклади розв’язку задач
Дата12.09.2012
Розмір46.42 Kb.
ТипДокументи

48141

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧ

1.132. Задано рівняння прямої 14x-5y-45=0. Написати:

  1. рівняння з кутовим коефіцієнтом;

  2. рівняння у відрізках.



  1. Розв’яжемо рівняння відносно у, одержимо рівняння з кутовим коефіцієнтом:

у=(14/5)х-9

Тут k=14/5, b=-9

  1. перенесемо вільний член загального рівняння в праву частину і розділимо обидві частини на 45; маємо (14/45)х-(5/45)у=1. Переписуючи останнє рівняння у вигляді

+=1

одержимо рівняння даної прямої у відрізках. Тут а=45/12; b=-45/5= - 9. ▲

1.133. Задано вершини трикутника АВС: А(3, 0), В(5, 10), С(13, 6). Знайти:

а) рівняння сторони АВ;

б) рівняння висоти СD, опущеної з вершини С на сторону АС;

в) рівняння медіани АЕ.



а) рівняння прямої, що проходить через точки А(х1у1) і В(х2у2) має вигляд:



Щоб знайти рівняння сторони ^ АВ, підставимо координати точок А і В:

; ; y=5x-15 (AB)

б) Висота СD перпендикулярна до сторони ^ АВ, тому їх кутові коефіцієнти k1 і k2 задовольняють умові k1=-. З рівняння прямої АВ видно, що k2=5, тоді k1=-. Запишемо рівняння прямої, що проходить через дану точку М11у1) в заданому напрямку: у-у1=k(х-х1).

Підставимо в нього координати точки С і кутовий коефіцієнт k1, одержимо шукане рівняння висоти СD:

y-6=-(х-13); 5у-30=-х+13; х+5у-43=0

в) Визначити координати точки Е. Застосуємо формулу поділу відрізка у заданому відношенні

; у=

Використовуючи координати вершини В та С, одержимо: х=9, у=8; Е(9;8)

Підставимо координати точки А і Е в рівняння , одержимо рівняння медіани АЕ:

4х-3у-12=0 (АЕ)

1.134. Вершини трикутника знаходяться в точках А(3; -5), В(-3; 3), С(-1; -2).

Знайти довжину та рівняння бісектриси його внутрішнього кута, проведеної з вершини А.

 Відомо, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні довжинам прилеглих сторін. Знайдемо довжини цих сторін:

|AB|==10; ||==5;

Якщо точка D(x,y) – точка перетину бісектриси і сторони ВС, то вона ділить цю сторону у відношенні :

==

Тепер знаходимо координати точки D за формулою поділу відрізка у заданому відношенні:

; .

Отже шукана довжина бісектриси дорівнює:

|AD|=.

Рівняння бісектриси запишемо як рівняння прямої, що проходить через дві відомі точки А(3; -5), D(; ):

;

16(х-3)=-4(у+5); 16х+4у-28=0

4х + у – 7 = 0 (AD) ▲

1.135. Знайти рівняння площини, що проходить через точку М0(2; 1; -1) і перпендикулярно вектору .

 Достатньо використати рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярну заданому вектору: А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0

Отже 1(х-2)-2(у-1)+3(z+1)=0, тобто х-2у+3z+3=0

1.136. Записати рівняння площини, яка проходить через точки М1(2; -1; 3) і М2(3; 1; 2), паралельну вектору ={3;-1;4}.

 Використаємо умову компланарності трьох векторів: , , , де

={x-2; y+1; z-3}

={1; 2; -1}

Звідси =0 або x-y-z=0 ▲

1.137. Знайти рівняння площини, яка проходить через дві точки М1(1; -1; -2) і М2(3; 1; 1) перпендикулярно до площини х-2у+3z-5=0.

 За нормальний вектор шуканої площини можна вибрати вектор, перпендикулярний вектору ={2; 2; 3} і нормальному вектору 1={1; -2; 3} даної площини. А тому за приймемо векторний добуток і 1.

=[ 1]==12-3-6

Залишається використати рівняння площини, яка проходить через задану точку (наприклад А) перпендикулярно заданому вектору ={12; -3; -6}:

12(х-1)-3(у+1)-6(z+2)=0 або 4х – у - 2z –9 =0 ▲

1.138. Записати рівняння площини, яка проходить через точку М1(3; -1; -5) перпендикулярно двом площинам 3х-2у+2z+7=0 і 5x-4y+3z+1=0.

 На відміну від попередньої задачі, використаємо умову компланарності трьох векторів: ={x-3; y+1; z+5}, 1={3; -2; 2} і 2={5; -4; 3}, тобто:

=0

2(х-3)+1(у+1)-2(z+5)=0 або 2х + у - 2z – 15 =0

1.139. Рівняння прямої привести до канонічного вигляду.

  • Припустимо, наприклад, z0 =0, знаходимо із даної системи: х0=2, у0=-1; таким чином, ми вже знаємо одну точку прямої: М0(2; -1; 0). Тепер знайдемо направляючий вектор. Оскільки він повинен бути перпендикулярний нормальним векторам 1={1; -2; 3}, 2={3; 2; -5} заданих площин, то за можна прийняти векторний добуток векторів 1 і 2:

=[12]= =4,

тобто l=4; m=14; n=8

Підставляючи знайдені значення х0, у0, z0 i l, m, n в рівність , одержимо канонічне рівняння даної прямої:

або

1.140. Знайти точку Q, симетричну точці Р(1; 3; -4) відносно площини 3х+у-2z=0.

  • Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку Р перпендикулярно заданій площині, що має нормальний вектор ={3; 1; -2} у вигляді:



Знайдемо проекцію точки Р на задану площину, розв’язавши сумісно рівняння

3х+у-2z=0; .

Перепишемо рівняння прямої у вигляді x=3t+1; y=t+3; z=-2t-4.

Підставимо ці вирази для x, y, z в рівняння площини, знайдемо t = -1,

звідки x=-2; y=2; z=-2.

Координати симетричної точки знайдуться із формул

; у=; z=,

тобто -2=; 2=; -2=.

Звідси хQ=-5; yQ=1; zQ=0.

Отже, Q(-5; 1; 0). ▲

1.141. Знайти точку Q, симетричну точці Р(2; -5; 7) відносно прямої, яка проходить через точки М1(5; 4; 6) і М2(-2; -17; -8).

  • Рівняння прямої, яка проходить через точки М1 і М2 , має вигляд:



Рівняння площини, яка проектує точку Р на пряму, має вигляд

–7(х-2)-21(у+5)-14(z-7)=0 або х+3у+2z-1=0.

Знаходимо проекцію точки Q на пряму, для чого сумісно розв’яжемо систему рівнянь

х+3у+2z-1=0; .

Параметричне рівняння даної прямої має вигляд х=-7t+5; y=-21t+4; z=-14t+6.

Підставляючи х, y, z в рівняння площини, знайдемо t=. Звідси х=3; y=-2; z=2.

Тоді координати симетричної точки можна знайти, використовуючи формулу для координат середини відрізка, тобто

3=; -2=; 2=,

звідки хQ=4; yQ=1; zQ=-3.

Отже, Q(4; 1; -3). ▲




Схожі:

Приклади розв’язку задач iconОписи модулів назва модуля
Внаслідок вивчення дисципліни студенти повинні знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
Приклади розв’язку задач iconОпис модуля назва модуля
У результаті вивчення модуля студент повинен знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
Приклади розв’язку задач iconПрограма колоквіуму з курсу "Диференці­альні рівняння" Означення диференціального рівняння та його порядку. Приклади
Означення розв'язку диференціального рівняння. Форми подання розв’язків. Приклади
Приклади розв’язку задач iconПрограма колоквіуму з курсу "Диференці­альні рівняння" Означення диференціального рівняння та його порядку. Приклади
Означення розв'язку диференціального рівняння. Форми подання розв’язків. Приклади
Приклади розв’язку задач iconSdfield> приклади розв’язку задач
Висота сd перпендикулярна до сторони ав, тому їх кутові коефіцієнти k1 І k2 задовольняють умові k1=. З рівняння прямої ав видно,...
Приклади розв’язку задач iconРозв`язок олімпіадних завдань ( типу „ситуаційні задачі”)
Вони сприяють правильній організації мислення, що прискорює розв`язок задач, на відміну від „стихійного” методу розв`язку
Приклади розв’язку задач iconЗадача для рівняння Мал. 1 1) має назву задачі Діріхлє
Мета типового завдання з дисципліни “Рівняння математичної фізики” – прищепити навички: застосування методу граничних елементів (мге)...
Приклади розв’язку задач icon9. Метод граничних елементів
Для розв’язку ряда задач достатньо визначити шукані величини тільки на межі досліджуваної області, що знижує розмірність розглядуваних...
Приклади розв’язку задач iconІнформації про нього та типу обмежень вибрати метод, побудувати алгоритм та скласти програму розв'язку задачі оптимізації; застосувати середовище matlab для математичного моделювання та розв'язку задач оптимізації об'єктів та систем керування
Вища математика, Теорія автоматичного керування, Числові методи І моделювання на еом
Приклади розв’язку задач iconЗміс т розділ 1 Визначений інтеграл
Розв’язання задач при вивченні дисципліни «Вища математика» часто пов’язано з багатьма складностями. Якщо складається скрутне становище...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи