Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції icon

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції




Скачати 84.33 Kb.
НазваРозділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції
Дата12.09.2012
Розмір84.33 Kb.
ТипДокументи

48143

РОЗДІЛ ІІ. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ГЛАВА IV: Функції

§1 Поняття множини


Основним первинним поняттям математики, її фундаментом є поняття множини. Слова сукупність, клас, система, набір та інші дуже часто є синонімами слова множина. Проте навіть у цій загальній ситуації ми б хотіли підкреслити, що множина – деякі об‘єкти (елементи множини), які виділені за певною ознакою або ознаками з інших об‘єктів і розглядаються як єдине ціле.

Прикладами множини є множина учнів в класі, сімейство зірок Великої Ведмедиці, множина сторінок даної книги, множина всіх раціональних чисел і т.д.

Належність елемента а множині А позначається (а належить до множини А). Якщо а не є елементом множини А, це позначається (а не належить А).

Якщо вдається перерахувати всі елементи множини А, це позначається як , де у фігурних дужках вказують всі елементи А.

Навіть якщо множина має безліч елементів, інколи так можна зробити. Наприклад:

- множина всіх натуральних чисел;

- множина всіх цілих чисел.

Загальне правило полягає в тому, щоб, виписавши досить багато елементів множини, зробити очевидним правило їх подальшого виписування.

Найчастіше множина задається виразом . Такий запис означає, що ^ А – множина всіх елементів певної множини, які задовольняють умову Р. Якщо умова Р не виконується для жодного елемента множини, тобто вказана множина А не має жодного елемента, вона називається порожньою і позначається Ø.

Приклад 1. Множина є сукупністю коренів рівняння х2-3х+2=0, тобто ця множина складається із двох елементів: 1 і 2.

Множина є сукупність всіх чисел, які задовольняють нерівності 3

Множина Ø, тобто це порожня множина.

Якщо кожен елемент множини А є також елементом множини В, то А – підмножина множини В. Це будемо позначати або, що те саме, . Якщо і , тобто множини А і В мають одні й ті ж елементи, тоді А=В. Вважають, що порожня множина є підмножиною будь-якої іншої.

Нехай А – множина, тоді через будемо позначати множину всіх елементів множини, які не належать ^ А. Ця множина називається доповненням А.

Нехай А, В – множини. Перерізом (перетином) А і В називається множина всіх елементів, які належать як множині А, так і множині В:



Об’єднанням А і В називається множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин:

.

Різницею. А і В називається множина всіх елементів, які належать множині А і не належать множині В:



Легко зрозуміти, що останнє означення рівносильне тому, що

.

Приклад 2. Нехай . Знайти переріз, об‘єднання і різницю множин А і В.

∆ Очевидно, що переріз двох даних множин - ; їх об‘єднання - , а різниця . ▲

Множини, елементами яких є дійсні числа, називаються числовими. Із шкільного курсу алгебри відомі множини: R – дійсні числа, Q – раціональні, I – ірраціональні, Z – цілі, N – натуральні числа. Очевидно, що , і .

Геометрично множина дійсних чисел ^ R зображується точками числової прямої (або числової осі), тобто пряма, на якій вибраний початок відліку, додатній напрямок і одиниця масштабу.

Між множиною дійсних чисел і точками числової прямої існує взаємно однозначна відповідність, тобто кожному дійсному числу відповідає певна точка числової прямої і навпаки. Тому часто замість “число х” говорять “точка х”.

Множину ^ Х , елементи якої задовольняють нерівності , називають відрізком (або сегментом) ; нерівності - інтервалом (а b); нерівності або називаються напівінтервалами відповідно . Поряд з цим розглядаються нескінченні інтервали і напівінтервали

.

Інтервал (а; b) відрізняється від відрізка лише тим, що йому не належать кінці a і b.

Така відмінність відіграє суттєву роль в багатьох питаннях математичного аналізу. Крім того, інтервал (a; b) не містить ні найбільшого, ні найменшого числа, в той же час як у відрізку такими числами є відповідно b і a. В подальшому всі вказані множини об’єднаємо терміном проміжок Х.
^

§2. Абсолютна величина дійсного числа


Поняття абсолютної величини числа і нерівності, пов’язані з абсолютними величинами, широко використовуються в математиці.

Визначення. Абсолютною величиною (або модулем) числа х називається саме число х, якщо , або число –х, якщо х<0.

Абсолютна величина х позначається символом . Таким чином



Очевидно, згідно визначення, що . Наприклад, |+5|=5; |-5|=-(-5)=5; |0|=0.

Приклад 3. Знайти .

∆ Якщо , то і .

Якщо , то і . ▲

^

Укажемо на важливі властивості абсолютних величин:




Абсолютна величина різниці двох чисел означає відстань між точками х і а числової прямої, як для випадку x, так і x>a (рис. ).

А тому, наприклад, розв’язком нерівності , (де ) будуть точки х інтервалу (рис. ), які задовольняють нерівності . Будь-який інтервал, який містить точку а, називається околом точки а.

Інтервал , тобто множина точок х таких, що (де ), називається - околом точки а.
^

§3. Поняття функції


Поняття функції є основним не тільки в математичному аналізі, де вона вивчається спеціально, але і у всій математиці в цілому.

Визначення. Якщо кожному елементу х множини Х () по деякому закону ставиться у відповідність певний елемент у множини Y () тоді говорять, що на множині Х задана функція .

Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом, у – залежною змінною, а буква позначає закон відповідності.

Множина ^ Х називається областю визначення функції, а множина Y – областю значень функції.

Якщо множина Х спеціально не вказана, то під областю визначення функції будемо вважати множину таких значень х, при яких функція взагалі має зміст.

Наприклад, областю визначення функції є напівінтервал , оскільки .

Існує декілька способів задання функції. Найбільш поширені серед них:

  1. Аналітичний спосіб, якщо функція задана формулою виду . Так функція задана аналітично.

Не слід змішувати функцію з її аналітичним виразом. Так, наприклад, одна функція:



має два аналітичних вирази: х3 (при ) і х+5 (при ).

  1. Табличний спосіб полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції , наприклад, таблиця синусів або косинусів.

  2. ^ Графічний спосіб полягає в зображенні графіка функції – множини точок (х, у) площини, абсциси яких є значення аргументу х, а ординати – відповідні їм значення функції . При цьому способі функціональна залежність зображується лінією, яку називають графіком функції.

Якщо рівняння, що зв’язує аргумент х з функцією у не розв’язане відносно у, а задане у виді , тоді змінну у називають неявною функцією х. (наприклад: 3х-7у=6)

Розглянемо основні властивості функцій.

  1. Парність і непарність. Функція називається парною, якщо для будь-яких значень х із області визначення , і непарною, якщо . В іншому випадку функція називається функцією загального виду.

Наприклад, функція є парною, оскільки і , а функція - непарною, оскільки і .

Крім того, наприклад, функція є функцією загального виду, оскільки і , і .

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

  1. Монотонність. Функція називається зростаючою (спадною) на проміжку х, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

Нехай і . Тоді функція зростає на проміжку х, якщо , і спадає, якщо .

Зростаючі і спадні функції називають монотонними. Так, наприклад, функція при спадає і при зростає.

  1. Обмеженість. Функція називається обмеженою на проміжку Х, якщо існує таке додатне число М>0, що для будь-якого . Наприклад, функція обмежена на всій числовій осі, оскільки для будь-якого .

  2. Періодичність. Функція називається періодичною з періодом , якщо для будь-яких х із області визначення функції .

Наприклад, функція має період , оскільки для будь-яких х . Найменше додатне число Т, що задовольняє цю рівність, називається періодом функції.

Класифікація функцій. Елементарні функції.

Функція у аргументу х називається неявною, якщо вона задана рівнянням , не вираженим відносно залежної змінної. Наприклад, функція , задана рівнянням . (Зауважимо, що таке рівняння задає дві функції , якщо , і , якщо ).

Нехай є функція від незалежної змінної х, визначеної на проміжку Х з областю значень Y. Поставимо у відповідність кожному єдине значення , при якому . Тоді функція , визначена на проміжку з областю значень Х, називається оберненою.

Оскільки традиційно незалежну змінну позначають через х, а функцію через у, то функція, обернена до функції , приймає вигляд . Наприклад, для функції оберненою буде функція , або (в звичайних позначеннях залежної і незалежної змінної) .

Можна довести, що для будь-якої суворо монотонної функції існує обернена. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Основні елементарні функції.

  1. Ступенева функція виду де n – дійсне число;

  2. Показникова функція виду , де , ;

  3. Логарифмічна функція , де , ;

  4. Тригонометричні функції:

  5. Обернені тригонометричні функції:

Зауваження: Автор навмисне випускає із розгляду ці функції, оскільки основні елементарні функції та їх графіки детально вивчають у середній школі. Вони відіграють важливу роль в математичному аналізі, тому ці функції, їх області визначення та графіки треба добре знати.

^ Якщо змінна у залежить від другої змінної величини U, яка в свою чергу є функцією х, то у називають функцією від функції або складною функцією. Математично це можна записати так:

якщо , то .

Кажуть: у – складна функція x, U – проміжний аргумент; х – аргумент (незалежна змінна).

Наприклад , або , де .

Функції, побудовані із основних елементарних функцій з допомогою скінченного числа алгебраїчних дій і скінченного числа операцій утворення складної функції, називаються елементарними.
^

Наприклад, функція




є елементарною, оскільки тут число операцій додавання, віднімання, множення, ділення і утворення складної функції () скінченне.

Елементарні функції поділяються на алгебраїчні і неалгебраїчні (трансцендентні).

Алгебраїчною називається функція, в якій над аргументом проводиться скінченне число алгебраїчних дій. До яких належать:

ціла раціональна функція (многочлен або поліном)



дробово-раціональна функція - відношення двох многочленів;

ірраціональна функція – (якщо в складі операцій над аргументом є здобуття кореня).

Будь-яка неалгебраїчна функція називається трансцендентною. До них належать: показникова, логарифмічна, тригонометрична, обернені тригонометричні.




Схожі:

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconРозділ ІІ. Вступ до математичного аналізу
Слова сукупність, клас, система, набір та інші дуже часто є синонімами слова множина. Проте навіть у цій загальній ситуації ми б...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconРозділ І. Вступ до соціології
Тема Соціологія як наука про суспільство: об'єкт, предмет, структура І функції
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconТематика випускних робіт освітньо-кваліфікаційного рівня (магістр) по кафедрі алгебри, геометрії та математичного аналізу
Будується лоранівський розклад функції Гріна крайової задачі, збуреної на спектрі в околі нульової ізольованої точки
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconБібліотека нові надходження
Текст] : навч посібн. Кн. 1 : Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconРозділ 2 людина в системі «людина – середовище існування» Глава Фізіологія людини в контексті її здоров'я І безпеки
Подібність між людиною І тваринами визначається складом речовин, будівлею І функціональними характеристиками організмів. У людини...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconТематика випускних робіт освітньо-кваліфікаційного рівня (спеціаліст) по кафедрі алгебри, геометрії та математичного аналізу
Творчі завдання при навчанні алгебри І початків аналізу у старших класах середньої школи
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconРобоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення»
«Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтег­ральні перетворення») для студентів напряму 050202- автоматизація...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconРеферат з математичного аналізу

Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconУдк 681 07 застосування парето-оптимальності α-рівня для розв‘язування задач енергетики з нечіткими параметрами
Вступ. Система, яка містить ряд станцій І розгалужену електричну мережу, потребує для аналізу складного математичного апарату. Цей...
Розділ ІІ. Вступ до математичного аналізу глава IV: Функції iconКафедри математичного аналізу та диференціальних рівнянь

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи