V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності icon

V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності




Скачати 57.85 Kb.
НазваV: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності
Дата12.09.2012
Розмір57.85 Kb.
ТипДокументи

48145

ГЛАВА V: Границя і неперервність

§1 Поняття границі послідовності


1.1 Збіжні послідовності

Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального аргументу – послідовності.

Визначення 1. Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність деяке дійсне число . Тоді кажуть, що задана послідовність чисел або, коротко, послідовність .

Отже; послідовністю називається функція , визначена на множині натуральних чисел. Числа є членами (елементами) послідовності, – загальним її членом (елементом), а – номером члена.

Визначення 2. Послідовність називається збіжною, якщо для будь-якого числа можна знайти такий номер, що при всіх виконується нерівність

(1)

Число а при цьому називається границею послідовності. Для позначення збіжності послідовності до числа вживається запис:

або

Довільний інтервал виду , де , називається - околом точки . Якщо число – границя послідовності , то для будь-якого можна знайти такий номер , що при усі члени послідовності потрапляють в –окіл точки, адже при вказаних згідно з (1) виконуються нерівності



Якщо послідовність не збігається, то кажуть, що вона розбігається.

Теорема 1. Збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай збіжна послідовність має, принаймні, дві різні границі і . Тоді для будь-якого можна знайти такі номери і , що, по-перше, при всіх і, по-друге, при всіх .

Припустимо, , тоді при всіх одночасно виконуються нерівності

звідки випливає, що



тобто

Одержана суперечність доводить теорему.

^ 1.2 Нескінченно малі і нескінченно великі.

Серед збіжних послідовностей виділимо один важливий клас.

Визначення 3. Збіжна до нуля послідовність називається нескінченно малою.

Роль, яку відіграють нескінченно малі в теорії границь, з’ясовує наступна теорема.

Теорема 2. Для того щоб послідовність збігалася до числа , необхідно й достатньо, щоб послідовність була нескінченною малою.

Доведення. Необхідність. Нехай . Тоді згідно з означенням 2 для будь-якого знайдеться такий номер , що при всіх виконується нерівність



А це й доводить, що – нескінченно мала.

Достатність. Нехай – нескінченно мала. Згідно з означенням 3 для будь-якого знайдеться такий номер , що при всіх виконується нерівність , або .

Отже, за означенням 2 маємо .

Докладно вивчимо властивості нескінченно малих.

Лема 1. Алгебраїчна сума двох нескінченно малих є нескінченною малою.

Доведення. Нехай і –нескінченно малі. Доведемо, що послідовність -нескінченно мала. Задамо будь-яке число. Оскільки і - нескінченно малі, то знайдуться такі номери і , що, по-перше, при всіх і, по-друге, при всіх .

Припустимо, . Тоді при всіх вказані вище нерівності виконуються одночасно, а тому

Це й означає, що - нескінченно мала.

Наслідок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих є нескінченно малою.

Лема 2. Добуток двох (або будь-якого скінченого числа) нескінченно малих є нескінченно малою.

Міркуючи аналогічно до попереднього, пропонуємо читачеві довести цю лему самостійно.

Визначення 4. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що при всіх виконується нерівність

У противному разі послідовність називається необмеженою.

Лема 3. Добуток нескінченно малої на обмежену - нескінченно мала.

Доведення. Нехай - нескінченно мала, а – обмежена послідовність. Доведемо, що послідовність - нескінченно мала. Оскільки – обмежена, то існує таке число , що при всіх виконується нерівність . Оскільки - нескінченно мала, то для будь-якого знайдеться номер , що при всіх . Але тоді при таких



Це й означає , що - нескінченно мала.

Наслідок. Добуток нескінченно малої не стале число - нескінченно мала.

Іноді зручно використовувати поняття нескінченно великої послідовності.

Визначення 5. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа можна знайти такий номер , що при всіх виконується нерівність

Позначення: або .

Якщо ж, починаючи з деякого номера, члени послідовності набувають тільки додатних (від’ємних) значень, то писатимемо

або

Встановимо зв’язок між нескінченно малими й нескінченно великими.

Теорема 3. Для того щоб була нескінченно малою, необхідно й достатньо, щоб була нескінченно великою.

Доведення. Необхідність. Нехай - нескінченно мала. Візьмемо будь-яке і знайдемо такий номер , щоб при всіх виконувалася нерівність.

Припустимо, , тоді при вказаних вище виконується нерівність



звідки й випливає, що - нескінченно велика.

Достатність. Нехай - нескінченно велика. Для будь-якого існує такий номер , що при всіх виконується нерівність .

Тоді для послідовності при вказаних вище маємо , тобто і - нескінченно мала.

Приклад 1. Використовуючи визначення границі, довести що



Δ Виберемо будь-яке число . Оскільки , то для знаходження значень , які задовольняють нерівності , достатньо розв’язати нерівність , звідки отримаємо . Отже, за можливо взяти цілу частину числа , тобто . Тоді нерівність буде виконуватися для всіх . Оскільки - будь-яке , то доведено, що . Згідно визначення, “а” в даному прикладі дорівнює 1.

Якщо, наприклад, , тоді і при маємо . Зауважимо, що, наприклад, при нерівність не виконується. Дійсно, нехай

Тоді

А якщо взяти, наприклад, , тобто , то



Таким чином, нерівність виконується лише для номерів , більших ніж 99.

Якщо, наприклад, , тоді значення номера збільшиться. Дійсно і при одержимо

Приклад 2. Використовуючи визначення, довести, що послідовність є нескінченно малою.

Δ Візьмемо будь-яке число. Із нерівності одержимо . Якщо взяти , то для всіх буде виконуватися . (Якщо одержимо при маємо і т.д.). Таким чином, згідно ознаки послідовність нескінченно мала. ▲




Схожі:

V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconV: Границя І неперервність
Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці. Викладення теорії границь почнемо з розгляду границі функції натурального...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: інформатика Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: прикладна математика Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
V: Границя І неперервність §1 Поняття границі послідовності iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: системний аналіз Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи