§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції icon

§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції




Назва§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції
Дата12.09.2012
Розмір79.8 Kb.
ТипДокументи

48148

§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції


Визначення 1. Функція f(x) називається нескінченно малою при хх0 (або в точці х0), якщо f(x)=0.

Нескінченно малу в точці функцію коротко часто називають просто нескінченно малою.

Визначення 2. Функція f(x) називається нескінченно великою при хх0 (або в точці х0), якщо f(x)=.

Нескінченно велику в точці функцію коротко називають просто нескінченно великою.

Властивості нескінченно малих та нескінченно великих виконані для будь-яких послідовностей (див. §1), справедливі і для функцій загального випадку, при доведенні яких повторюється процедура аналогічна тій, якою скористалися при встановленні теореми §2. Пропонуємо зробити це самостійно.

Зазначимо нарешті, що визначення 1, 2 мають місце, звичайно ж, і для випадків х→х0±0, х→±∞, х→∞.

При дослідженні функцій часто доводиться мати справу не з однією, а з кількома нескінченно малими функціями в даній точці. Для їх порівняння вивчають частку цих функцій. Детально зупинимося на правилах порівняння нескінченно малих.

Визначення 3. Нехай функція α(х) і β(х) нескінченно малі в точці х0.

Тоді


  1. якщо (АR), то (х) і (х) називаються нескінченно малими одного порядку при хх0;

  2. якщо , то (х) і (х) називаються еквівалентними нескінченно малими при хх0; записується: (х) (х), хх0.

  3. якщо , то (х) називається нескінченно малою вищого порядку порівняно з (х) при хх0. Цей факт записується так: =0().

Словом 0() є загальним позначенням для нескінченно малої вищого порядку, ніж .

Наприклад, можна писати:

1-cos x=0(x), tg x-sin x=0(x) і т.д.
^

§7 Неперервність функції


З поняттям границі функції тісно пов’язане друге важливе поняття – неперервність функції. Це поняття функції математично відображає характерну рису багатьох явищ, які ми щоденно спостерігаємо в природі і говоримо про них, що вони відбуваються неперервно: неперервність течії рідини, неперервність зміни температури, неперервність росту живої істоти, неперервність плину часу і т.д.

Геометричне зображення функції у вигляді її графіка допомагає нам до певної міри скласти собі уявлення про цю властивість. Якщо графік функції неперервний (суцільна лінія), тобто його можна накреслити, не відриваючи олівця від паперу, то й функція f(x) є неперервна.

Так, функція у=х2, графіком якої є парабола, неперервна, а функція у= на будь-якому проміжку, що містить точку х=0, не є неперервною. Графік її розривається в точці х=0.

Переходячи до строгого визначення поняття неперервності функції, нагадаємо, що в визначенні границі функції при було байдуже, визначена f(x) у точці х=х0 чи ні. Але якраз цей випадок, коли функція визначена в точці х=х0 і f(x)=f(x0) , є особливо важливим.

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х0 (чи при х=х0), якщо для будь-якої послідовності

х1, х2, ….., хn, …..,

збіжної до х0, відповідна послідовність

f(x1), f(x2), …, f(xn),…

вартостей функції збігається до f(x0).

Коротко записується так:

f(x)=f(x0) (1)

Неперервність функції f(x) в точці х=х0 визначають ще й так:

Функція зветься неперервною в точці х=х0, якщо при будь-якому 0 можна вказати таке 0, що нерівність |x-x0| тягне за собою нерівність | f(x)-f(x0)|<

Отже, для неперервності функції в точці х=х0 необхідне виконання трьох умов:

  1. визначення функції в точці х=х0 та в деякому околі цієї точки;

  2. існування границі функції в цій точці;

  3. рівність цієї границі вартості функції в точці х0.

Якщо не виконується хоча б одна з умов, точка х=х0 зветься точкою розриву функції.

Сформульоване визначення неперервності функції випливає з поняття границі функції. Можна дати інше визначення неперервності функції, еквівалентне попередньому, але засноване на понятті нескінченно малої величини. Щоб його подати, необхідно ввести деякі нові поняття.

Якщо змінна х набуває спочатку вартість х0 (її звуть початковою вартістю), а потім вартість х1 (її звуть новою вартістю х), то різницю х10 позначають символом х (читається “дельта ікс”) і звуть приростом змінної х.

Припустимо, що у деяка функція від х

у=f(х)

Надаючи приріст х аргументові х, отримаємо відповідний приріст у функції

у=у10=f(x1)-f(x0)

або

у=f(x0+х)- f(х0) (2),

отже, приріст функції – це є різниця між новою та початковою вартістю функції.

Приріст аргументу чи функції може бути і додатнім і від’ємним. Нехай, наприклад, у=х2 , і нехай початкова вартість аргументу х0=5, а нова х1=8. Тоді приріст аргументу буде х=8-5=3, а приріст функції у=64-25=39. Якщо ж x0=5, а x1=3, то приріст х буде: х=3-5=-2, а приріст функції у=9-25=-16.

Повернемося тепер до рівності (1), що визначає неперервність функції в точці x0. Якщо ж припустити х-х0=х, х=х0+х, рівність (1) запишеться


f(х0+х)=f(x0),

бо, коли , . Останню рівність можна представити у вигляді

[f(х0+х)-f(x0)]=0.

Вираз у квадратних дужках є приріст функції у, отже

у=[f(х0+х)-f(x0)]=0,

і маємо в іншій формі визначення неперервності функції: Функція f(х) називається неперервною в точці х=х0, якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу Δх відповідає нескінченно малий приріст функції Δу.

У цьому строгому математичному визначенні втілено наше інтуїтивне уявлення про неперервність функції як “поступову” зміну аргументу.

^ Функція, неперервна в кожній точці проміжку (a,b), називається неперервною на цьому проміжку.

Зауважимо, нарешті, що рівність (1), яка виражає неперервність функції в точці, можна переписати ще й так:

f(x)=f(x0)=f(lim x)

бо х0=lim x. Тобто, якщо функція неперервна, то знак границі і знак функції можна переставляти.

Розглянемо тепер декілька прикладів.

Приклад. у=х. Тут приріст функції Δу дорівнює приросту аргументу Δх. Неперервність очевидна.

Приклад. Дослідити на неперервність функцію у=х2. Нехай х=х0 – якась початкова вартість х. Надаючи аргументу х0 приріст , отримаємо



Віднімаючи початкову вартість функції у0=, будемо мати величину приросту функції



З цієї рівності видно, що яка б не була фіксована вартість х, якщо тільки нескінченно малий, також буде нескінченно малим.

Отже, у=х2 є неперервною функцією на нескінченному проміжку (-, ).

Так само доводиться і неперервність функції у=хn, де n – натуральне число.

Приклад. Довести неперервність функції у=sin х. При будь-якому х=х0 маємо

.


Звідси, користуючись формулою




Через те, що 1 і для будь-якого α, α>0, |sin α|<| α |

(зважаючи на нерівність із 5.1 і на те, що |sin α|1), будемо мати



тобто

|

Неперервність функції y=sin x на проміжку (-, ) доведена. Так само доводиться неперервність y=cos x. Власне кажучи, у цьому доведенні немає потреби, бо cos x=sin.

Слід визначити такі майже очевидні твердження про неперервні функції:

Якщо f1(x) та f2(x) неперервні в точці х=х0, то сума f1(x)+ f2(x) та добуток f1(x)∙ f2(x) неперервні в цій точці; частка також неперервна в точці х=х0 за умови, що f2(x0)0, тобто х=х0 не є коренем знаменника.

Справді,

;

;

, якщо f2(x0) 0.

Спираючись на ці твердження, приходимо до таких висновків:

  1. Ціла раціональна функція або многочлен

P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

є неперервною функцією в будь-якій точці проміжку (-∞, ∞).

  1. Дробово-раціональна функція



(припускається, що дріб нескоротний) є неперервною скрізь, за винятком тих вартостей х, які перетворюють знаменник на нуль.

3. Функція неперервна скрізь, за винятком точок x=(2k+1), k=0, ±1, ±2,…, які перетворюють на нуль cos x.

4. Функція неперервна скрізь, за винятком точок , k=0, ±1, ±2,…, що є коренями sin x.

Неперервними є також функції: у=ах для всіх х з проміжку (-, ) та у=ха (а – дійсне число) для x>0. Доведення цих факторів грунтується на теорії дійсних чисел; читач може його знайти в повних курсах математичного аналізу.

Що ж стосується обернених функцій, зокрема у=, у=, у=arcsin x, у=arccos x, у=arctg x, у=arcctg x, то їх неперервність прямо випливає з теореми (подаємо її без доведення).

Теорема. Якщо у=f(x) неперервна зростаюча (або спадна) функція на замкненому проміжку [a, b], причому f(а)=А, f(b)=B, то для неї існує однозначна обернена функція теж зростаюча (або спадна) і неперервна на [^ A, B].

Отже, з неперервності sin x випливає неперервність функції arcsin x; з неперервності у=ах випливає неперервність у= і т.д.

Нагадаємо, що елементарними функціями називаються функції, які можна дістати з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і суперпозицій основних елементарних функцій.

На підставі неперервності показникової і логарифмічної функцій і другої важливої границі =е доведемо кілька важливих рівностей. Їх можна розглядати як продовження списку важливих границь і успішно використовувати, зокрема, при обчисленні похідних від елементарних функцій.

Отже виконуються такі рівності:

  1. , а>0, , зокрема, при а=е

;

2. , а>0, зокрема, при а=е

;

3. , R.

Послідовно доведемо ці співвідношення.

  1. Оскільки , і логарифмічна функція неперервна в точці е, то

.

  1. Нехай . Припустимо, у=aх-1, тоді aх=1+у, х=, причому внаслідок неперервності показникової функції у0 при х0. Отже,

.

  1. Нехай . Врахуємо, що

,

і припустимо, . Внаслідок неперервності логарифмічної функції в точці 1 у0 при х0. Отже, з урахуванням попередніх границь,

;

.

Остаточно








Схожі:

§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції icon§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції
Визначення Функція f(X) називається нескінченно малою при х→х0 (або в точці х0), якщо f(X)=0
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconПитання до екзаменів І мі
Представлення збіжної послідовності у вигляді суми її границі та нескінченно малої послідовності. Теореми про границю суми І добутку...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconПитання до колоквіуму І мі
Представлення збіжної послідовності у вигляді суми її границі та нескінченно малої послідовності. Теореми про границю суми І добутку...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції icon9 етіологія І патогенез віл-інфекції. Класифікація клінічних стадій кРитерії діагнозу – великі та малі. Роль віл-інфекції у формуванні синдрому лімфаденопатії, диференціальна діагностика цього синдрому тривалість
Етіологія І патогенез віл-інфекції. Класифікація клінічних стадій кРитерії діагнозу – великі та малі. Роль віл-інфекції у формуванні...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconФеномен масової свідомості надія Слободенюк
Масова політична свідомість включає в себе ідеї, теорії, погляди, уявлення, почуття, настрої, ілюзії, помилкові твердження, традиції,...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconA – Пароль Степана
Він дізнався, що пароль є криптостійким, якщо він включає в себе І малі латинські букви, І великі латинські букви, І цифри, при цьому...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconНазва модуля: Математичний аналіз, ч. 1
Границя функції в точці. Важливі границі. Неперервність функції в точці. Точки розриву І їх класифікація. Диференціальне числення...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconЛекція 8 Функції Функції користувача Стандартні процедури та функції Рекурсія Функції користувача
А отже, функцію, на відміну від процедури, можна викликати у виразах. Наприклад, вираз sin(5)+l є коректним у тому разі, коли sin(X)...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconТип модуля: обов'язковий Семестр: І, ІІ обсяг модуля
Сі; оператори, функції та директиви мови Сі. Принципи ооп; глобальні функції; перевантаження функції; об‘єкти та операції над ними;...
§6 Нескінченно малі та нескінченно великі функції iconТип модуля: обов'язковий Семестр: І, ІІ обсяг модуля
Сі; оператори, функції та директиви мови Сі. Принципи ооп; глобальні функції; перевантаження функції; об‘єкти та операції над ними;...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи