Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) icon

Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму)




Скачати 157.5 Kb.
НазваТеорема 4 (друга достатня ознака екстремуму)
Дата12.09.2012
Розмір157.5 Kb.
ТипДокументи

48154

Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму). Якщо в околі точки друга похідна неперервна, причому , а , то функція має в точці максимум, коли , і мінімум, коли .

Доведення. Нехай . Зважаючи на неперервність , існує деякий окіл точки , в якому . Тому в цьому околі функція буде спадною, бо її похідна - - від’ємна. Але ж при , отже, при переході (зліва направо) через точку функція змінює знак з плюса на мінус. А це означає, що в точці функція має максимум.

Аналогічно доводиться, що, коли і , то - мінімум функції .

Якщо ж в деякій критичній точці , то друге правило не застосовне і дослідження слід проводити за допомогою першої похідної (спираючись на теорему 3).

Приклад 3. Дослідити на максимуми та мінімуми.



  1. Знаходимо похідну .

  2. Прирівнюємо до нуля і знаходимо її корені, тобто критичні точки



  1. Обчислюємо другу похідну



  1. Підставляючи у вираз другої похідної знайдені корені першої похідної, отримаємо (правило не застосовне), (максимум), (мінімум).

Через те що при , вдаємося до першого правила. Маємо при , при (але ) .

Похідна не змінює знака, екстремуму в точці немає.

За допомогою теорії максимумів та мінімумів функції розв’язуються численні задачі з геометрії, економіки, механіки та з інших наук.

4.3. Знаходження найменшого й найбільшого значень

Зупинимося на питанні про відшукання найменшого й найбільшого значень функції , неперервної на відрізку [a;b]. За теоремою Вейєрштрасса (див. гл.7, §1) така функція обов’язково набуде цих значень в деяких точках [a;b]. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.

Отже, для відшукання найменшого (найбільшого) значення неперервної на [a;b] функції потрібно знайти її локальні екстремуми на (a;b) і порівняти їх із значеннями . Найменше (найбільше) із цих значень і буде найменшим (найбільшим) значенням функції на відрізку [a;b].

Може статися, що функція на (a;b) зовсім не має точок екстремуму. В цьому випадку її найменше (найбільше) значення буде серед значень і .

При практичній роботі слід мати на увазі, що оскільки найменше (найбільше) значення досягається в критичних точках або на кінцях відрізку, то не потрібно перевіряти достатні умови наявності екстремуму функції в критичних точках. Досить лише знайти значення функції в усіх критичних точках і порівняти їх із значеннями , . Найменше (найбільше) з них і буде найменшим (найбільшим) значенням функції на [a;b].

Приклад 4. З пункту А, який лежить на лінії прямолінійної залізниці, в пункт В, що знаходиться від цієї лінії на відстані , потрібно перевозити вантажі. Вартості перевозу одиниці вантажу на одиницю відстані залізницею і дорогою дорівнюють відповідно m і n . До якої точки М лінії залізниці слід прокласти дорогу, щоб транспортування вантажу з А до В було найбільш економічним?

Нехай ,

тоді (рис.54а). Вартість перевезення k одиниць вантажу по дорозі ВМ складе , залізницею МА - відповідно. Загальна вартість транспонування вантажу



Рис.54

.

Знайдемо найменше значення цієї функції при .

Беручи похідну



і прирівнюючи її до нуля, отримаємо рівняння , розв’язок якого визначає єдину критичну точку . Легко перевірити, що похідна в цій точці змінює знак з мінуса на плюс. Отже, якщо , тобто CM вартість транспортування вантажу з А в В найменша.

Якщо ж при , тобто (рис.54б), то дорогу слід, очевидно, прокласти вздовж прямої ВА.

^ 4.4 Опуклість, угнутість та точки перегину кривої

Відносно функції , графік якої подано на рис.55 , припускається, що вона має неперервну другу похідну.

Визначення 1. Крива зветься опуклою (угнутою) в деякий точці М, якщо в околі цієї точки лежить під (над) дотичною, проведеною в точці М (на рис.55 в точці крива опукла, - угнута).

Крива зветься опуклою (угнутою) на деякому проміжку, якщо вона опукла (угнута) в усіх точках цього проміжку.



Рис. 55

При побудові графіка дуже важливо знати, на яких проміжках графік функції опуклий і на яких він угнутий.

Теорема 5. Якщо на проміжку (a;b) друга похідна функції від’ємна, то крива опукла на цьому проміжку; якщо ж додатна на (a;b), то крива угнута.

Представимо лише деякі міркування геометричного характеру. Якщо скрізь на проміжку (a;b), , то це означає, що сама функція, тобто - спадна. Отже, спадає на розглянутому проміжку кутовий коефіцієнт дотичної () до кривої і, звичайно, спадає й кут , утворюваний дотичною з віссю ОХ (рис. 56)


Очевидно, крива в усіх точках проміжку (a;b), розташована під дотичною, тобто вона опукла.

Якщо , то такі ж геометричні міркування доводять, що крива буде угнутою (рис. 77).

Визначення. Точка, яка відокремлює опуклу частину неперервної кривої від угнутої чи навпаки, зветься точкою перегину кривої.

На рис. точка є точкою перегину. У точках перегину дотична перетинає криву, бо з одного боку від цієї точки крива лежить під дотичною, а з другого боку - над нею.

Теорема. Якщо друга похідна функції в деякій точці стає , а при переході через цю точку змінює знак, то точка кривої з абсцисою є точкою перегину.

Доведення. Припустимо, що в точці М з абсцисою і змінює знак, наприклад, з плюса на мінус. Тоді ліворуч від М крива угнута , а праворуч – крива опукла . Отже, в точці М крива змінює угнутість на опуклість, а точка М є точкою перегину.

Приклад 5. Знайти точки перегину та визначити проміжки опуклості та угнутості кривої .

Маємо .

Друга похідна стає нулем при . Якщо , то; коли .

Таким чином, на проміжку графік опуклий, а на проміжку - угнутий. Точка кривої з абсцисою є точкою перегину.

Приклад 6. Дослідити на точки перегину криву .

Маємо . При . Досліджуємо зміну знака. При (крива угнута), при (крива теж угнута). Друга похідна не змінює знака, крива не має точок перегину.

^ 3.5. Асимптоти. Дослідження графіка функції в цілому

При вивчені поведінки функції, якщо або поблизу точок розриву другого роду, часто трапляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Ці прямі називаються асимптотами.

Визначення . Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з границь або нескінченна. Наприклад, пряма - вертикальна асимптота графіка функції , оскільки

, .

Визначення . Пряма називається похилою асимптотою графіка функції при , якщо

.

Теорема . Для того щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції при , необхідно й достатньо, щоб існували границі



Доведення. Необхідність. Для конкретності розглядатимемо випадок, коли. Нехай - похила асимптота графіка функції при . Оскільки

,

то в силу визначення ,



Достатність. Нехай існують границі, вказані в теоремі. Тоді з другої границі випливає, що , а тому пряма дійсно є похилою асимптотою графіка функції при .

При дослідженні графіка функції в цілому рекомендується, наприклад, схема, за якою слід знайти:

  1. область визначення функції, її точки розриву й проміжки неперервності;

  2. асимптоти графіка функції;

  3. точки локального екстремуму функції;

  4. проміжки монотонності функції;

  5. точки перегину, проміжки опуклості і вгнутості.

Враховуючи дослідження, побудувати графік функції.

Порядок дослідження доцільно обирати згідно з особливостями функції. При розв’язанні конкретної задачі окремі пункти можна дещо розширити, а деякі можуть виявитися зайвими.

§ 5 Застосування похідної в економічній теорії.

Розглянемо деякі приклади застосування похідної в економічній теорії. Звернемо увагу на те, що багато, в тому числі і базові закони теорії виробництва і споживання, попиту і пропозиції є прямим наслідком математичних теорем, сформульованих в даній главі.

Спочатку розглянемо економічну інтерпретацію теореми Ферма.

Один із базових законів теорії виробництва є таким: оптимальний для виробника рівень випуску товару визначається рівністю граничних витрат і граничного доходу.

Тобто рівень випуску є оптимальним для виробника, якщо , де MS – граничні витрати, а MD – граничний доход. Позначимо функцію прибутку за . Тоді . Очевидно, що оптимальним рівнем виробництва є той, при якому прибуток максимальний, тобто таке значення випуску , при якому функція має екстремум (максимум). За теоремою Ферма в цій точці . Оскільки , тоді , тобто .

Друге важливе поняття теорії виробництва – це рівень найбільш економічного виробництва, при якому середні витрати по виробництву товару мінімальні. Відповідний економічний закон твердить: рівень найбільш економічного виробництва визначається рівністю середніх і граничних витрат.

Отримаємо цю умову як наслідок теореми Ферма. Середні витрати визначаються як , тобто витрати по виробництву товару поділені на вироблену його кількість. Мінімум цієї величини досягається в критичній точці функції , тобто за умови

,

звідси або , тобто .

Поняття випуклості функції також знаходить свою інтерпретацію в економічній теорії.

Один з найбільш відомих економічних законів – закон спадаючої дохідності – формулюється таким чином: зі збільшенням виробництва додаткова продукція, отримана на кожну нову одиницю ресурсу (трудового, технологічного, і т.ін.), з деякого моменту спадає.

Іншими словами, величина , де - приріст ресурсу, а - приріст випуску продукції, зменшується при зростанні . Таким чином, закон спадаючої дохідності формулюється так: функція , яка виражає залежність випуску продукції від вкладеного ресурсу, є функцією, випуклою вверх.

Другим базисним поняттям економічної теорії є функція корисності , де - товар, а - корисність. Ця величина дуже суб’єктивна для кожного окремого споживача, але достатньо об’єктивна для суспільства в цілому. Закон спадаючої корисності стверджується таким чином: із ростом кількості товару додаткова корисність від кожної нової його одиниці із деякого моменту спадає. Очевидно, цей закон можна переформулювати так: функція корисності є функцією випуклою вверх. В такій постановці закон спадаючої корисності є відправною точкою для математичного дослідження теорії попиту і пропозиції.

Приклад 7. Виробник реалізує свою продукцію по ціні p за одиницю, а витрати при цьому задаються кубічною залежністю

.

Знайти оптимальний для виробника обсяг випуску продукції і відповідний йому прибуток.

∆ Позначимо обсяг продукції, що випускається, через. Складемо функцію прибутку

,

де - доход від продукції, що реалізується.

  1. Знаходимо .

  2. Знаходимо критичні точки: , звідки (другу критичну точку не розглядаємо за змістом задачі).

  3. Знаходимо і визначаємо знак другої похідної при : (в даному випадку при будь-якому ), отже, при прибуток максимальний.

  4. Знаходимо максимум функції (тобто максимальний розмір прибутку)

.

¦

Приклад 8. Капітал в 1 млрд. гривень може бути розміщений в банку під 50% річних або інвестований у виробництво, причому ефективність вкладу очікується в розмірі 100%, а витрати задаються квадратичною залежністю. Прибуток обкладається податком в p%. При яких значеннях p вклад у виробництво є більш ефективним, ніж чисте розміщення капіталу в банку?

∆ Нехай (млрд. гривень) інвестується у виробництво, а - розміщується під проценти. Тоді розміщений капітал через рік стане дорівнювати

,

а капітал, вкладений у виробництво . Витрати складуть , тобто прибуток від вкладу у виробництво . Податки складуть , тобто чистий прибуток стане дорівнювати

.

Загальна сума через рік складе:

.

Потрібно знайти максимальне значення цієї функції на відрізку [0,1].

Маємо



і

при

,

тобто згідно другої достатньої умови екстремуму   точка максимуму.

Щоб належало відрізку [0,1], необхідно виконання умови

або .

Таким чином, якщо, , то вигідніше нічого не вкладати у виробництво і розмістити увесь капітал у банку. Якщо, , тоді можна показати, що при

,

тобто вклад у виробництво є більш вигідним, ніж чисте розміщення під проценти.

§ 5. Розв’язки задач

Приклад 9. Визначити проміжки монотонності функції

.

∆  Область визначення .

Знаходимо похідну і розв’язуємо нерівності та . При похідна , а при похідна .

Отже, в інтервалі (-4,4) функція зростає, а в інтервалі функція спадає.

Приклад 10. Дослідити на екстремум функцію

.

  а) Область визначення . Знаходимо і визначаємо критичні точки

;

;

;

.

Отже, .

Застосовуючи перше правило дослідження на екстремум, будуємо таблицю

Х



-1

(-1,1)

1





 

0

+

+

 

Y




min






max






б) Область визначення . Знаходимо похідну .

Прирівнюємо її до нуля і знаходимо стаціонарну точку:

.

Застосовуючи друге правило, знайдемо другу похідну і отримаємо

.

Обчислимо значення другої похідної в стаціонарній точці. При маємо

,

отже, згідно достатньої умови другого типу в точці функція має мінімум

.



Приклад 11. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [-2,3].

∆  . Знаходимо похідну

;

,

тобто   стаціонарні точки.

Визначаємо значення функції в цих точках .

Обчислюємо значення даної функції на границях проміжку: .

Із отриманих чотирьох значень вибираємо найбільше і найменше. Отже, найбільше значення функції на заданому відрізку дорівнює 2, а найменше дорівнює -18.



Приклад 12. Знайти точку перегину і інтервали випуклості функції

.

∆  Знаходимо похідну та другу похідну і будуємо таблицю, враховуючи, що при .

х



0





+

0

 

y



~



Отже, на проміжку графік функції   угнутий, а на проміжку   опуклий. Точка , в якій друга похідна змінює знак з “+” на “-“   точка перегину графіка.



Приклад 13. Знайти асимптоти кривих а) ; б) .

  а) Досліджувана функція має вертикальну асимптоту . Очевидно,

,

функція має розрив другого роду.

Знаходимо похилу асимптоту :

;



Отже, являється похилою асимптотою кривої

.

б) Очевидно, вертикальних асимптот крива не має. Якщо . Отже вісь Ох є горизонтальною асимптотою даної кривої. Дослідимо наявність похилої асимптоти:

.

Отже, є тільки горизонтальна асимптота .

Приклад 14. Дослідити функцію



І побудувати її графік.

ÿ 1. Область визначення . Функція парна, оскільки і графік її симетричний відносно осі ординат.

2. Вертикальних асимптот немає, оскільки функція визначена при всіх дійсних значеннях х.

Поведінка функції на нескінченності:



В силу парності функції , тобто пряма (вісь абсцис) – горизонтальна асимптота.

3. Екстремуми і інтервали монотонності:

;

при ;



тобто критичні точки .


Таким чином, є точка максимуму,   точка мінімуму,   точка максимуму.



Функція зростає на інтервалах і і спадає на (-1;0) і .

4. Інтервали опуклості та вгнутості і точки перегину:

.

при .


Таким чином, функція опукла на інтервалах

і

і вгнута на інтервалах

і

а   точки перетину.

5. . Рівняння має єдиний розв’язок х=0, тобто графік функції проходить через початок координат.


Приклад 15. Дослідити функцію



і побудувати її графік.

ÿ 1. Область визначення . Дана функція не являється ні парною, ні непарною.

2. Досліджувана функція має вертикальну асимптоту х=3.. Очевидно,



отже, в точці х=3 функція має розрив другого роду. Далі

.

Знаходимо похилу асимптоту .





Отже, y=x+3 являється похилою асимптотою кривої .

3. Обчислимо похідну функції і розв’яжемо рівняння

:

х=5, х=1.

Досліджуючи знак похідної, складаємо таблицю

Х



1

(1,3)

(3,5)

5





+

0

 

 

0

+

Y




max









min






4. Знаходимо другу похідну

.

Бачимо, що рівняння коренів не має, отже, точок перегину не існує. Будуємо таблицю:

Х







 

+

Y





5. Рівняння , тобто має два корені , тобто графік перетинає вісь абсцис в точках .

На підставі добутих даних будуємо графік функції




Схожі:

Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconSdfield> Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму)
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму). Якщо в околі точки друга похідна неперервна, причому, а, то функція має в точці максимум,...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) icon1. Математичний аналіз
Формула Ньютона Лейбніца. Числові ряди. Основні ознаки збіжності (ознака порівняння, Даламбера. Коші, інтегральна ознака) для рядів...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) icon01. 01. 02 Диференціальні рівняння (фізико математичні науки) київ 2004
Задача Коші для системи диференціальних рівнянь у нормальній формі. Теорема Пікара. Теорема Пеано. Теореми Каратеодорі та Осгуда...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconПитання до екзамену з дисципліни “Аналітична геометрія І лінійна алгебра” (І фіа, 2009/2010 н р.)
Ранг матриці. Теорема про існування та кількість розв'язків слр (теорема Кронекера-Капеллі)
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconSdfield> Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума)
Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума). Если в окружении точки вторая производная непрерывная, причем, а, то функция имеет...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconТеорема 4 (второй достаточный признак экстремума)
Теорема 4 (второй достаточный признак экстремума). Если в окружении точки вторая производная непрерывная, причем, а, то функция имеет...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Соціальна інформатика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Прикладна математика»
Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі...
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconЗавдання №1
Яка рентгенологічна ознака свідчить про наявність нижньої трахеостравохідної нориці при атрезії стравоходу?
Теорема 4 (друга достатня ознака екстремуму) iconТема сутність І призначення бюджету
Яка основна ознака ділення фінансових моделей суспільства на скандінавську, західноєвропейську І американську?
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи