Зміст Раздел іі. вступление к математическому анализуГЛАВА V: Граница и беспрерывность РАЗДЕЛ ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ГЛАВАVI: Производные и дифференциалы ГЛАВА 7: Применение производных к исследованию функций |
|
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА т.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени. §1 -§4 Вычислить определители ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() §5 Решить системы по правилу Крамера.
Решить системы методом Гауса (метод последовательного исключения неизвестных)
§6 Вычислить ранг матриц с помощью элементарных преобразований
Вычислить ранг матриц методом окаймления
§7 1.63. Найти произведение ![]() ![]() ![]() 1.64. Найти произведение матриц ![]() ![]() 1.65. Найти произведение матриц АВ и ВА, если ![]() 1.66. Найти значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е при ![]() §8 Найти обратные матрицы 1.75. ![]() ![]() ![]() 1.78. ![]() ![]() ![]() Решить матричные уравнения 1.81. ![]() ![]() 1.83. ![]() ![]() Решить системы, представив их в виде матричных уравнений 1.85. ![]() ![]() 1.87. Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы: коэффициенты прямых затрат аik, то есть количество единиц продукции і-й фирмы, которая используется как промежуточный продукт для выпуска единицы продукции k-й фирмы; количество единиц yi продукции фирмы, рассчитанных на реализацию (конечный продукт). Определить: а) коэффициенты полных затрат; б) валовой выпуск (план) для каждой фирмы; в) коэффициенты непрямых затрат.
Глава ІІ. Векторная алгебра §1-§3 Исследовать на линейную зависимость систему векторов. 1.92. ![]() 1.93. ![]() 1.94. ![]() 1.95. ![]() Найти координаты вектора ![]() ![]() ![]() 1.96. ![]() 1.97. ![]() 1.98. ![]() Написать разложение вектора ![]() ![]() 1.99. ![]() 1.100. ![]() 1.101. ![]() §4-§8 Коллинеарные векторы ![]() ![]() ![]() ![]() 1.117. ![]() 1.118. ![]() 1.119. ![]() Найти косинус угла между векторами ![]() ![]() 1.120. А(1, -2, 3),В(0, -1, 2), С(3, -4, 5) 1.121. А(0, -3, 6),В(-12, -3, -3), С(-9, -3, -6) 1.122. А(-1, 2, -3),В(3, 4, -6), С(1, 1, -1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ![]() ![]() 1.123. ![]() 1.124. ![]() 1.125. ![]() Проверить на компланарность векторы ![]() 1.126. ![]() 1.127. ![]() 1.128. ![]() Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3 1.129. А1(1, 3, 6), А2(2, 2, 1), А3(-1, 0, 1), А4(-4, 6, -3) 1.130. А1(-4, 2, 6), А2(2, -3, 0), А3(-10, 5, 8), А4(-5, 2, -4) 1.131. А1(7, 2, 4), А2(7, -1, -2), А3(3, 3, 1), А4(-4, 2, 1) Глава ІІІ. Аналитическая геометрия §3 1. 176 Записать уравнение окружности с центром в точке ![]() 1. 177 Записать уравнение окружности, которая проходит через точки А(5;7) и В(-2;4), если центр ее лежит на прямой 4х+3у-18=0. 1. 178 Записать каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку М(5;0), если фокальное расстояние равно 6. 1. 179 Доказать, что уравнение 36х2+100у2-3600=0 является уравнением эллипса. Найти координаты фокусов и фокальное расстояние. 1. 180 Записать уравнение эллипса, фокусами которого являются точки ![]() 1. 181 Записать уравнение эллипса с фокусами на оси ох, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет Е=0,6. 1. 182 Записать уравнение эллипса с фокусами на оси ох, если он проходит через точки ![]() 1. 183 Построить эллипсы ![]() ![]() 1. 184 Найти координаты точек пересечения эллипса ![]() 1. 185 Какую линию определяет уравнение 7х2-9у2=63? 1. 186 Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, которые заданы уравнением 4х2-5у2=20. Вычислить длины фокальных радиусов точки М(-5;4). 1. 187 Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 9х2-25у2=225. 1. 188 Гипербола проходит через точки М ![]() ![]() 1. 189 Написать уравнение касательных к гиперболе х2-4у2=16, проведенных из точки А(0;-2). 1. 190 Найти расстояние от фокуса гиперболы ![]() 1.191 Написать уравнение параболы: 1) которая проходит через точки (0;0) и (-1;2) и симметрична относительно оси ох; 2) проходит через точки (0;0) и (2;4) и симметрична относительно оси оу. 1. 192 Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2=20х. Вычислить расстояние точки М ![]() 1. 193 Составить уравнение параболы, которая симметрична относительно оси ох, которая проходит через точки М(4;-5) и N (6;15). 1. 194 На параболе у2=6х найти точку М, фокальный радиус которой равен 4,5. 1. 195 Написать уравнение касательных к параболе у2=8х , проведенных из точки А(0;-2). 1. 196 Составить параметрическое уравнение окружности, если точка М(х;у) описывает окружность радиуса r с центром в начале координат. 1. 197 Дано уравнение эллипса 9х2+16у2=144. Записать его параметрическое уравнение. 1.198 Даны параметрические уравнения эллипса х=5cost, y=3sint, t [0;2). Записать его каноническое уравнение. §5 1. 205 Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2+y2+z2-x+2y+1=0 1. 206 Составить уравнение сферы, которая проходит через точки А(1;2;-4), В(1;-3;1) и С(2;2;3), если центр находится в плоскости хоу. 1. 207 По какой линии пересекается конус x2+y2-2z2=0 с плоскостью у=2? 1. 208 Привести к каноническому виду уравнение x2-y2-4x+8y-2z=0. 1. 209 Какая поверхность определяется уравнением 4x2-y2+4z2-8x+4y+8z+4=0? 1. 210 Какое геометрическое содержание уравнения х2+y2+z2-yz-xz-ху=0? §6 1. 142. Определить площадь S и периметр треугольника, образованного прямой 3х-4у-12=0 и осями координат. 1. 143. Записать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и точку и (-1;8). 1. 144. Даны вершины треугольника А(1;-2), В(5;4) и С(-2; 0). Записать уравнение биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. 1. 145. Записать уравнение прямых, на которых лежат катеты равностороннего прямоугольного треугольника, зная уравнение прямой, на которой лежит гипотенуза 3х-у+5=0 и вершину угла С(4;-1). х-2у-6=0 и 2х+у-7=0. 1. 146. Установить, какие из пар прямых параллельны, совпадают или пересекаются, в последнем случае найти их точку пересечения: 1) х+у-3=0 и 2х+3у-8=0 2) в=х+5 и 2х-2у+3=0 3) в= ![]() ![]() 1. 147. Определить точку, симметричную с точкой М(8;-9) относительно прямой, которая проходит через точки А(3;-4) и В(-1;-2). 1. 148. Записать уравнение прямых, на которых лежат катеты равностороннего прямоугольного треугольника, зная уравнение прямой, на которой лежит гипотенуза 3х-у+5=0 и вершину прямого угла С(4;-1). Вычислить величину угла между прямыми: 1) у=3х и в=-2х+5; 2) у=4х-7 и в= ![]() 3) у 5х-3 и в=5х+8. 1. 149. Основа равнобедренного треугольника лежит на прямой х-2у=0, а одна из боковых сторон на прямой х+у-3=0. Записать уравнения прямой, на которой лежит вторая боковая сторона, зная, что она проходит через точку (1;-1). 1. 150. Записать уравнение прямой, параллельной и равноудаленной от двух параллельных прямых х+у-1=0 и у х+ у +13=0. 1. 151. Записать уравнение прямой, на которой лежит перпендикуляр, установленный в точке пересечения прямых 4х+3у-5=0 и 8х-5у+23=0, к первой прямой. 1. 152. Записать уравнение прямой, на которой лежат биссектрисы углов между прямыми 3х-4у+7=0 и 5х+12у-1=0. 1. 153. При каких значениях параметра “а” прямая (а+2)х+(а2+9)у+3а2-8а+5=0:
1. 154. Записать уравнение прямых, на которых размещены стороны треугольника АВС, зная координаты вершины А(1;3) и уравнение двух его медиан у-1=0 и х-2у+1=0. 1. 155. Записать уравнения сторон треугольника АВС, если заданы координаты одной из его вершин В(-4;-5) и уравнения прямых, на которых лежат две его высоты: 5х+3у-4=0 и 3х+8у+13=0. 1. 156. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х-12у-65=0, 5х-12у+26=0. Вычислить площадь квадрата. 1. 157. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2; 3; -1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0. 1. 158. Найти длину перпендикуляра, который опущен из точки М0(2; 3; -5) на плоскость 4х-2у+5z-12=0. 1. 159. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку Р(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х+2у-z+5=0. 1. 160. Найти уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и через точки Р(4; -2; 1) и Q(2; 4; -3). 1. 161. Найти уравнение плоскости, которая проходит через линию пересечения плоскостей х+5у+9z+13=0, 3х-у-5z+1=0 и через точку М(0; 2; 1). 1. 162. Составить уравнение плоскости, которая проходит через линию пересечения плоскостей 2х-у-12z-3=0 и 3х+у-7z-2=0 и перпендикулярно плоскости х+2у+5z-1=0. 1. 163. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(0; 2; 1) и параллельно векторам ![]() ![]() 1. 164. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку N(5; -1; -3) и параллельно прямой ![]() 1. 165. Вычислить расстояние между параллельными прямыми ![]() ![]() 1. 166. Заданы точки А(-1; 2; 3) и В(2; -3; 1). Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(3; -1; 2) и параллельна вектору ![]() 1. 167. Найти угол между прямыми ![]() ![]() 1. 168. Заданы точки А(1; 1; 1), В(2; 3; 3) и С(3; 3; 2). Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А и перпендикулярно вектором ![]() ![]() 1. 169. Найти уравнение плоскости, которая проходит через прямую ![]() 1. 170. Найти уравнение проекции прямой ![]() ^ ГЛАВА IV: Функции§4 9. Найти область определения функций:
10. Найти множество значений функций: 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 11. Выяснить парность (непарность) функций:
12. Найти основные периоды функций: 1. ![]() 2. ![]() ^ 1). Доказать, что при ![]() ![]() ![]() ![]() 2). Доказать, что при ![]() ![]() ![]() 3). Доказать, что при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4). Доказать, что при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5). Показать, при х=4 функция у= ![]() ![]() 6). Показать, что при х=5 функция у= ![]() 7). Найти точки разрыва функции ![]() 8). Какие из данных функций являются непрерывными в точке х=1? Если есть нарушение непрерывности, установить характер точки разрыва у= ![]() ![]() ![]() ![]() у= ![]() ![]() ^ Найти производные функций: 15) ![]() ![]() 17) ![]() ![]() 19) ![]() ![]() 21) ![]() ![]() 23) ![]() ![]() 25) ![]() ![]() 27) ![]() ![]() 29) ![]() ![]() 31) ![]() ![]() 33) ![]() ![]() 35) ![]() ![]() Найти производные функций и вычислить их значение при ![]() 37) ![]() ![]() ![]() ![]() 39) ![]() ![]() ![]() ![]()
а) в точках пересечения ее с прямой ![]() б) параллельно и перпендикулярно этой прямой.
Найти производные от неявных функций: 44) ![]() ![]() 46) ![]() ![]() Найти производные от функций заданных параметрично: 48) ![]() ![]()
а) ![]() б) ![]() в) ![]()
а) ![]() б) ![]() ![]() в) ![]() г) ![]()
Используя понятие дифференциала, определить, на сколько процентов изменится величина степени ![]()
![]() где t - время (часах). Найти производительность труда через 2 час. после начала работы.
![]() Определить средние и предельные затраты при объеме продукции, который равен 5 ед.
![]() ![]() Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при повышении цены на 5% от равновесной. ^ Вычислить границы, применив правило Лопиталя: 16) ![]() ![]() 18) ![]() ![]() Применяя правило Лопиталя, вычислить границы (предварительно приводя их к неопределенностям типа ![]() ![]() 20) ![]() ![]() 22) ![]() ![]() 24) ![]() ![]() 26) ![]() ![]() Исследовать на экстремум функции: 28) ![]() ![]() 30) ![]() ![]() 32) ![]() Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 33) ![]() 34) ![]() 35) ![]() 36) Нужно выделит прямоугольную площадь земли в 512 ![]() 37) Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр р этой фигуры. При каких размерах х и y сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций: 38) ![]() ![]() 40) ![]() ![]() Найти асимптоты графиков функции: 42) ![]() ![]() 44) ![]() ![]() Провести полное исследование заданных функций и построить их графики: 46) ![]() ![]() 48) ![]() ![]() 50) ![]() ![]() 52) ![]() ![]() |
![]() | Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы | ![]() | Тематическийпла н Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного... |
![]() | Высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве | ![]() | В. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии |
![]() | Вопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальностей «Судовождение» и Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности... | ![]() | Вопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение» Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности... |
![]() | Контрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными | ![]() | 5. системы линейных уравнений Исследование и нахождение решений систем линейных уравнений является одной из центральных задач линейной алгебры. Можно сказать,... |
![]() | Решение нормальных уравнений с помощью обратной матрицы | ![]() | 3. Матрицы и определители Матрицей порядка (размерности) mn называется прямоугольная таблица, каждый элемент которой снабжен двумя индексами: первый указывает... |