Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени icon

Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени




Скачати 184.44 Kb.
НазваЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Дата12.09.2012
Розмір184.44 Kb.
ТипДокументи

48162

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА т.1.


ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ


Глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени.


§1 -§4


Вычислить определители















§5

Решить системы по правилу Крамера.


1.27.



1.30.



1.28.



1.31



1.29.



1.32.





Решить системы методом Гауса

(метод последовательного исключения неизвестных)

1.33.



1.34.



1.35.



1.36.



1.37.



1.38.





§6

Вычислить ранг матриц с помощью элементарных преобразований

1.47.



1.48.



1.49.



1.50






Вычислить ранг матриц методом окаймления

1.51.



1.52.



1.53.



1.54.



1.55.



1.56.



1.57.



1.58.





1.59.





1.60




§7


1.63. Найти произведение на произведение двух матриц



1.64. Найти произведение матриц



1.65. Найти произведение матриц АВ и ВА, если



1.66. Найти значение матричного многочлена

2+3А+5Е при , если Е - единичная матрица третьего порядка.


§8


Найти обратные матрицы

1.75. 1.76. 1.77.

1.78. 1.79. 1.80.

Решить матричные уравнения

1.81. 1.82.

1.83. 1.84.

Решить системы, представив их в виде матричных уравнений

1.85. 1.86.

1.87. Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы:

коэффициенты прямых затрат аik, то есть количество единиц продукции і-й фирмы, которая используется как промежуточный продукт для выпуска единицы продукции k-й фирмы;

количество единиц yi продукции фирмы, рассчитанных на реализацию (конечный продукт).


Определить:

а) коэффициенты полных затрат;

б) валовой выпуск (план) для каждой фирмы;

в) коэффициенты непрямых затрат.

Вариант

Фирмы

Прямые затраты аik

Конечный продукт

І

ІІ

ІІІ

yi




І

0.1

0

0.1

30

1

ІІ

0.3

0

0.1

40




ІІІ

0.1

0.2

0

50




І

0.2

0.1

0

50

2

ІІ

0

0.3

0.1

60




ІІІ

0.2

0.1

0

20




І

0

0.2

0.2

40

3

ІІ

0.3

0.1

0

50




ІІІ

0.1

0.2

0.1

60




І

0.1

0.2

0

100

4

ІІ

0.2

0.1

0.3

120




ІІІ

0

0.1

0

110




І

0

0.1

0.3

70

5

ІІ

0.1

0.1

0

100




ІІІ

0

0.2

0.2

120




І

0.2

0.1

0

180

6

ІІ

0.2

0

0.1

200




ІІІ

0.1

0.1

0

210




І

0

0.3

0.1

30

7

ІІ

0.3

0.2

0.1

60




ІІІ

0.1

0.2

0

100




І

0.2

0.1

0.1

400

8

ІІ

0.2

0.1

0

300




ІІІ

0.1

0.1

0

200


Глава ІІ. Векторная алгебра

§1-§3


Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

1.92.



1.93.



1.94.



1.95.



Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .

1.96.



1.97.



1.98.



Написать разложение вектора по векторам

1.99.



1.100.



1.101.




§4-§8

Коллинеарные векторы и , построенные на векторах и ?

1.117.



1.118.



1.119.



Найти косинус угла между векторами и .

1.120.

А(1, -2, 3),В(0, -1, 2), С(3, -4, 5)

1.121.

А(0, -3, 6),В(-12, -3, -3), С(-9, -3, -6)

1.122.

А(-1, 2, -3),В(3, 4, -6), С(1, 1, -1)

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и

1.123.



1.124.



1.125.



Проверить на компланарность векторы

1.126.



1.127.



1.128.



Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3

1.129. А1(1, 3, 6), А2(2, 2, 1), А3(-1, 0, 1), А4(-4, 6, -3)

1.130. А1(-4, 2, 6), А2(2, -3, 0), А3(-10, 5, 8), А4(-5, 2, -4)

1.131. А1(7, 2, 4), А2(7, -1, -2), А3(3, 3, 1), А4(-4, 2, 1)


Глава ІІІ. Аналитическая геометрия

§3

1. 176 Записать уравнение окружности с центром в точке и с радиусом, который равен 2. Построить эту окружность.

1. 177 Записать уравнение окружности, которая проходит через точки А(5;7) и В(-2;4), если центр ее лежит на прямой 4х+3у-18=0.

1. 178 Записать каноническое уравнение эллипса, который проходит через точку М(5;0), если фокальное расстояние равно 6.

1. 179 Доказать, что уравнение 36х2+100у2-3600=0 является уравнением эллипса. Найти координаты фокусов и фокальное расстояние.

1. 180 Записать уравнение эллипса, фокусами которого являются точки , а большая ось равна 6.

1. 181 Записать уравнение эллипса с фокусами на оси ох, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет Е=0,6.

1. 182 Записать уравнение эллипса с фокусами на оси ох, если он проходит через точки

1. 183 Построить эллипсы и. Для каждого эллипса вычислить эксцентриситет.

1. 184 Найти координаты точек пересечения эллипса с прямой х+2у-14=0.

1. 185 Какую линию определяет уравнение 7х2-9у2=63?

1. 186 Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, которые заданы уравнением 4х2-5у2=20. Вычислить длины фокальных радиусов точки М(-5;4).

1. 187 Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 9х2-25у2=225.

1. 188 Гипербола проходит через точки М и N . Найти ее каноническое уравнение.

1. 189 Написать уравнение касательных к гиперболе х2-4у2=16, проведенных из точки А(0;-2).

1. 190 Найти расстояние от фокуса гиперболы до ее асимптот и угол между асимптотами.

1.191 Написать уравнение параболы:

1) которая проходит через точки (0;0) и (-1;2) и симметрична относительно оси ох;

2) проходит через точки (0;0) и (2;4) и симметрична относительно оси оу.

1. 192 Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2=20х. Вычислить расстояние точки М до фокуса.

1. 193 Составить уравнение параболы, которая симметрична относительно оси ох, которая проходит через точки М(4;-5) и N (6;15).

1. 194 На параболе у2=6х найти точку М, фокальный радиус которой равен 4,5.

1. 195 Написать уравнение касательных к параболе у2=8х , проведенных из точки А(0;-2).

1. 196 Составить параметрическое уравнение окружности, если точка М(х;у) описывает окружность радиуса r с центром в начале координат.

1. 197 Дано уравнение эллипса 9х2+16у2=144. Записать его параметрическое уравнение.

1.198 Даны параметрические уравнения эллипса х=5cost, y=3sint, t [0;2). Записать его каноническое уравнение.


§5


1. 205 Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

x2+y2+z2-x+2y+1=0

1. 206 Составить уравнение сферы, которая проходит через точки А(1;2;-4), В(1;-3;1) и С(2;2;3), если центр находится в плоскости хоу.


1. 207 По какой линии пересекается конус x2+y2-2z2=0 с плоскостью у=2?

1. 208 Привести к каноническому виду уравнение x2-y2-4x+8y-2z=0.

1. 209 Какая поверхность определяется уравнением 4x2-y2+4z2-8x+4y+8z+4=0?


1. 210 Какое геометрическое содержание уравнения х2+y2+z2-yz-xz-ху=0?


§6


1. 142. Определить площадь S и периметр треугольника, образованного прямой 3х-4у-12=0 и осями координат.

1. 143. Записать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и точку и (-1;8).

1. 144. Даны вершины треугольника А(1;-2), В(5;4) и С(-2; 0). Записать уравнение биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

1. 145. Записать уравнение прямых, на которых лежат катеты равностороннего прямоугольного треугольника, зная уравнение прямой, на которой лежит гипотенуза 3х-у+5=0 и вершину угла С(4;-1).

х-2у-6=0 и 2х+у-7=0.

1. 146. Установить, какие из пар прямых параллельны, совпадают или пересекаются, в последнем случае найти их точку пересечения:

1) х+у-3=0 и 2х+3у-8=0

2) в=х+5 и 2х-2у+3=0

3) в= и

1. 147. Определить точку, симметричную с точкой М(8;-9) относительно прямой, которая проходит через точки А(3;-4) и В(-1;-2).

1. 148. Записать уравнение прямых, на которых лежат катеты равностороннего прямоугольного треугольника, зная уравнение прямой, на которой лежит гипотенуза 3х-у+5=0 и вершину прямого угла С(4;-1).

Вычислить величину угла между прямыми:

1) у=3х и в=-2х+5;

2) у=4х-7 и в= +2;

3) у 5х-3 и в=5х+8.

1. 149. Основа равнобедренного треугольника лежит на прямой х-2у=0, а одна из боковых сторон на прямой х+у-3=0. Записать уравнения прямой, на которой лежит вторая боковая сторона, зная, что она проходит через точку (1;-1).

1. 150. Записать уравнение прямой, параллельной и равноудаленной от двух параллельных прямых х+у-1=0 и у х+ у +13=0.

1. 151. Записать уравнение прямой, на которой лежит перпендикуляр, установленный в точке пересечения прямых 4х+3у-5=0 и 8х-5у+23=0, к первой прямой.

1. 152. Записать уравнение прямой, на которой лежат биссектрисы углов между прямыми

3х-4у+7=0 и 5х+12у-1=0.

1. 153. При каких значениях параметра “а” прямая (а+2)х+(а2+9)у+3а2-8а+5=0:

  1. параллельна оси Ох;

  2. параллельна оси Оу;

  3. проходит через начало координат?

1. 154. Записать уравнение прямых, на которых размещены стороны треугольника АВС, зная координаты вершины А(1;3) и уравнение двух его медиан у-1=0 и х-2у+1=0.

1. 155. Записать уравнения сторон треугольника АВС, если заданы координаты одной из его вершин В(-4;-5) и уравнения прямых, на которых лежат две его высоты: 5х+3у-4=0 и 3х+8у+13=0.

1. 156. Две стороны квадрата лежат на прямых 5х-12у-65=0, 5х-12у+26=0.

Вычислить площадь квадрата.

1. 157. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2; 3; -1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0.

1. 158. Найти длину перпендикуляра, который опущен из точки М0(2; 3; -5) на плоскость 4х-2у+5z-12=0.

1. 159. Найти уравнение плоскости, которая проходит через точку Р(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х+2у-z+5=0.

1. 160. Найти уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и через точки Р(4; -2; 1) и Q(2; 4; -3).

1. 161. Найти уравнение плоскости, которая проходит через линию пересечения плоскостей х+5у+9z+13=0, 3х-у-5z+1=0 и через точку М(0; 2; 1).

1. 162. Составить уравнение плоскости, которая проходит через линию пересечения плоскостей 2х-у-12z-3=0 и 3х+у-7z-2=0 и перпендикулярно плоскости х+2у+5z-1=0.

1. 163. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(0; 2; 1) и параллельно векторам и .

1. 164. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку N(5; -1; -3) и параллельно прямой



1. 165. Вычислить расстояние между параллельными прямыми ; .

1. 166. Заданы точки А(-1; 2; 3) и В(2; -3; 1). Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(3; -1; 2) и параллельна вектору .

1. 167. Найти угол между прямыми

и

1. 168. Заданы точки А(1; 1; 1), В(2; 3; 3) и С(3; 3; 2). Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А и перпендикулярно вектором и .

1. 169. Найти уравнение плоскости, которая проходит через прямую и перпендикулярно плоскости : 3х+у-z+2=0.

1. 170. Найти уравнение проекции прямой на плоскость 2х+3у-z-5=0.


^

РАЗДЕЛ ІІ. ВСТУПЛЕНИЕ К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ГЛАВА IV: Функции



§4

9. Найти область определения функций:







  1. ;


10. Найти множество значений функций:

1.

2.

3.

11. Выяснить парность (непарность) функций:



  1. .

  2. .


12. Найти основные периоды функций:

1.

2.


^

ГЛАВА V: Граница и беспрерывность




1). Доказать, что при последовательность имеет границу число 1, начиная с которого n абсолютная величина разности между и 1 не превышает ?

2). Доказать, что при последовательность имеет границу число .

3). Доказать, что при последовательность ; ; имеет границу, равную 4.

4). Доказать, что при последовательность 1; ; ;…... .…… ...является бесконечно малой.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

5). Показать, при х=4 функция у=имеет разрыв.

6). Показать, что при х=5 функция у= имеет разрыв.

7). Найти точки разрыва функции

8). Какие из данных функций являются непрерывными в точке х=1?

Если есть нарушение непрерывности, установить характер точки разрыва

у=; у=, ;

у=; у=;


^

РАЗДЕЛ ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ГЛАВАVI: Производные и дифференциалы




Найти производные функций:

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34)

35) ; 36) .

Найти производные функций и вычислить их значение при .

37) ; ; 38) ; ;

39) ; ; 40) ; ;

  1. Составить уравнение касательной к кривой

а) в точках пересечения ее с прямой ;

б) параллельно и перпендикулярно этой прямой.

  1. Найти угол между кривыми и прямой .

  2. Тело двигается прямолинейно по закону , где измеряется в метрах, а t- в секундах. Найти скорость и ускорение тела в момент .

Найти производные от неявных функций:

44) ; 45) ;

46) ; 47) .

Найти производные от функций заданных параметрично:

48) ; 49) ;

  1. Найти прирост и дифференциал функции в точке при .

  1. Вычислить прирост и дифференциал функции в точке при

  1. ;

  2. .

  1. Найти абсолютную погрешность и относительную погрешность , которые допускаются при замене прироста функции ее дифференциалом.

  2. Найти дифференциал заданных функций:

а) ;

б) ;

в) .

  1. Используя понятие дифференциала, вычислить:

а) ;

б);

в) ;

г) .

  1. Используя понятие дифференциала, выяснить, с какой точностью должен быть измерен радіус круга, чтобы его площадь можно было определить с точностью до 10%?

Используя понятие дифференциала, определить, на сколько процентов изменится величина степени при изменении основы степени на 5%.

  1. Объем продукции (усл.ед.) цеха на протяжении рабочего дня представляет функцию

,

где t - время (часах). Найти производительность труда через 2 час. после начала работы.

  1. Зависимость между затратами производства y (денежные ед.) и объемом производимой продукции x (ед.), выражается функцией

.

Определить средние и предельные затраты при объеме продукции, который равен 5 ед.

  1. Функции спроса g и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями

і .

Найти:

а) равновесную цену;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода (в процентах) при повышении цены на 5% от равновесной.

^

ГЛАВА 7: Применение производных к исследованию функций


Вычислить границы, применив правило Лопиталя:

16) ; 17) ;

18) ; 19) .

Применяя правило Лопиталя, вычислить границы (предварительно приводя их к неопределенностям типа или ):

20) ; 21) ;

22) ; 23) ;

24) ; 25) ;

26) ; 27) .

Исследовать на экстремум функции:

28) ; 29) ;

30) ; 31) ;

32) .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

33) .

34) .

35) .

36) Нужно выделит прямоугольную площадь земли в 512 , загородить ее изгородью и разделит изгородью на три равные части параллельно одной из сторон площади. Какие должны быть размеры площадки, чтобы на построение изгороди пошло наименьшее количество материалов.

37) Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр р этой фигуры. При каких размерах х и y сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций:

38) ; 39) ;

40) ; 41) .

Найти асимптоты графиков функции:

42) ; 43) ;

44) ; 45) .

Провести полное исследование заданных функций и построить их графики:

46) ; 47) ;

48) ; 49) ;

50) ; 51) ;

52) ; 53) .





Схожі:

Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconЗадачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени
Для производства промышленной продукции созданы 3 фирмы, каждая из которых выпускает один вид продукции. В таблице заданы
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconТематическийпла н
Тема Матрицы и основные операции с матрицами. Определители матриц. Системы уравнений первой степени: правило Крамера. Метод полного...
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconВысшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconВ. П. Туров элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальностей «Судовождение» и
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение»
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения
Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени icon5. системы линейных уравнений
Исследование и нахождение решений систем линейных уравнений является одной из центральных задач линейной алгебры. Можно сказать,...
Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени iconРешение нормальных уравнений с помощью обратной матрицы

Задачи и упражнения для самостоятельной работы высшая математика т элементы линейной алгебры и аналитической геометрии глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени icon3. Матрицы и определители
Матрицей порядка (размерности) mn называется прямоугольная таблица, каждый элемент которой снабжен двумя индексами: первый указывает...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи