П. И. Чайковский icon

П. И. Чайковский




Скачати 278.6 Kb.
НазваП. И. Чайковский
Дата20.09.2012
Розмір278.6 Kb.
ТипДокументи

Теорія ігор

«Що наше життя? - Гра. »

«Пікова дама»

П. И. Чайковский



1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ІГОР І ЇХ КЛАСИФІКАЦІЯ

1.1. Предмет і задачі теорії ігор

Першу спробу створити математичну теорію ігор почав у 1921 р. Э.Борель. Як самостійна область науки вперше теория ігор була систематизована викладена в монографії Дж.фон Неймана й О.Моргенштерна "Теорія ігор і економічне повідіння'' у 1944 р. С тих пір багато поділів економічної теорії (наприклад, теорія недосконалої конкуренції, теорія економічного стимулювання й ін.) розвивалися в тісному контакті з теорією ігор [2]. Теорія ігор з успіхом застосовується й у соціальних науках (наприклад, аналіз процедур голосування, пошук рівноважних концепцій, що визначають кооперативні і некооперативные поводження осіб). Як правило, виборці відводять кандидатів, що подають крайні точки зору, але при обранні одного з двох кандидатів, що пропонують різноманітні компромісні рішення, виникає боротьба. Навіть ідея Руссо про еволюцію від «природної свободи» до «цивільної свободи» формально відповідає з позицій геории ігор точці зору на кооперацію.

Гра - це ідеалізована математична модель колективного поводження декількох осіб (гравців), інтереси яких різноманітні, що і породжує конфлікт. Конфлікт не обов'язково предполагае наявність антагоністичних протиріч сторін, але завжди пов'язаний із визначеного роду разногласиями. Конфліктна ситуація буде антагоністичной, якщо збільшення виграшу однієї зі сторін на деякий розмір призводить до зменшення виграшу іншої сторони на такі ж розмір і навпаки. Антагонізм інтересів породжує конфлікт, а збіг інтересів поведе гру до координації дії (кооперації).

Прикладами конфліктної ситуації є ситуації, що укладаються у взаємовідносинах покупця і продавця; в умовах конкуренції різноманітних фірм; у ході бойових дій і ін. Прикладами ігор є і звичайні ігри: шахии, шашки, карткові, салонні й ін. (тому і назва теорія ігор" і її термінологія).

У більшості ігор, що виникають з аналізу фінансово-економічних, управлінських ситуацій, інтереси гравців (сторін) не є строго антагоністичними ні абсолютно збіжними. Покупець і продавець згодні, що в їхніх загальних інтересах домовитися про купівлю-продаж, проте вони енергійно торгуються при виборі конкретної ціни в межах взаємної вигідності.

Теорія ігор - це математична теорія конфліктних ситуацій.

Ціль теорії ігор - виробітку рекомендацій по розумному поводженню учасників конфлікту (визначення оптимальних стратегії і поводження гравців).

Від реального конфлікту гра відрізняється тим, що ведеться по визначених правилах. Ці правила встановлюють послідовність ходів, обсяг інформації кожної із сторін про поводження інший і результат гри в залежності від сформованої ситуації. Правилами встановлюються також кінець гри, коли деяка послідовність ходів уже зроблена, і більше ходів робити не вирішується.

Теорія ігор, як і всяка математична модель, має свої обмеження. Одним із них є припущення про повну ("идеальну'') розумность супротивників. У реальному конфлікті найчастіше оптимальна стратегія складається в том. щоб угадати, у чому супротивник "дурни" і скористатися цією дурістю у свою користь [I].

Ще одною хибою теорії ігор є те, що кожному з гравців повинні бути відомі всі можливі дії (стратегії) супротивника, невідомо лише те, яким саме з них він скористається в даній партії. У реальному конфлікті це звичайно не так: перелік усіх можливих стратегій супротивника саме і невідомий, а найкращим рішенням у конфліктной ситуації нерідко буде саме вихід за межі відомих супротивнику стратегій, "ошарашивание" його чимсь цілком новим, непередбаченим [I].

Теорія ігор не включає елементів ризику, що неминуче супроводжує розумні рішення в реальних конфліктах. Вона визначає найбільше обережне, "перестраховочне" поводження учасників конфлікту.

Крім того, у теорії ігор знаходяться оптимальні стратегії по однім показнику (критерію). У практичних ситуаціях часто припадає брати до уваги не один, а декілька числових критеріїв. Стратегія, оптимальна по однім показнику, може бути неоптимальної по іншим.

Усвідомлюючи ці обмеження і тому, не притримуючись сліпо рекомендацій, що дає теорій ігр. можна усе ж виробити цілком прийнятну стратегію для багатьох реальних конфліктних ситуацій.

В даний час ведуться наукові дослідження, спрямовані на розширення областей застосування теорії ігор.


1.2. Термінологія і класифікація ігор

У теорії ігор передбачається. що гра складається з ходів, виконуваних гравцями одночасно або послідовно.

Ходи бувають особистими і випадковими. Хід називається особистим, якщо гравець свідомо вибирає його із сукупності можливих варіантів дії і здійснює його (наприклад, будь-який хід у шаховій грі). Хід називається випадковим, якщо його вибір провадиться не гравцем, а яким-небудь механізмом випадкового вибору (наприклад, по результату. кидання монети).

Сукупність ходів початих гравцями від початку до закінчення гри, називається партією.

Одним з основних понять теорії ігор є поняття стратегії. Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій при кожному особистому ході в залежності від ситуації, що склалася в процесі гри. У простих (одноходових) іграх, коли в кожній партії гравець може зробити лише по одного ходу, поняття стратегії і можливого варіанта дій збігаються. У цьому випадку сукупність стратегій гравця охоплює всієї можливої його дії, а будь-яке можливе для гравця дія є його стратегією. У складних (многоходових іграх) поняття «варіанта можливих дій» і «стратегії» може відрізнятися друг від друга.

Стратегія гравця називається оптимальної, якщо вона забезпечує даному гравцю при багатократному повторенні гри максимально можливий середній виграш або мінімально можливий середній програш, незалежно від того, які стратегії застосовує супротивник. Можуть бути використані й інши критерії оптимальності.

Можливо, що стратегія, що забезпечує максимальний виграш, не обладает другим важливим уявленням оптимальності, як усталеністю (рівноважнистью) рішення. Рішення гри є стійким (рівноважним), якщо відповідному цьому рішенню стратегії утворять ситуацію, що жодний із гравців не зацікавлений змінити.

Повториємо, що задача теорії ігор – находження оптимальних стратегій.

Класифікація ігор подана на мал. 1.1.

1. У залежності від видів ходів гри підрозділяються на стратегічні й азартні. Азартні ігри складаються тільки з випадкових ходів - ними теорія ігор не займається. Якщо поряд із випадковими ходами є особисті ходи, або всі ходи особисті, то такі ігри називаються стратегічними.

2. У залежності від числа учасників гри підрозділяються на парні і множинні. У парній грі число учасників дорівнює двом, у множинної -більш двух.

3. Учасники множинної гри можуть утворювати коаліції, як постійні, так і тимчасові. По характері взаємовідносин гравців гри діляться на бескоаліційні, коаліційні і кооперативні.

Бескоаліційними називаються ігри, у яких гравці не мають право вступати в угоди, утворювати коаліції, і ціллю кожного гравця є одержання по можливості найбільшого індивідуального виграшу.

Гри, у яких дії гравців спрямовані на максимизацію виграшів колективів (коаліцій) без наступного їхнього поділу між гравцями, називаються коаліційними.





Виходом кооперативної гри є поділ виграшу коаліції, що виникає не як слідство тих або інших дій гравців, а як результат їх наперед визначених угод.

У узгодженні з цим у кооперативних іграх дорівнюються по перевазі не ситуації, як що має місце в бескоаліційних іграх, а дележи ; і це порівняння не обмежується розглядом індивідуальних виграшів, а носить більш складний характер.

^ 4. По кількості стратегій кожного гравця гри підрозділяються на кінцеві (число стратегій кожного гравця звісно) і безкінечні (множина стратегій кожного гравця нескінчена).

^ 5. По кількості інформації, наявної в гравців щодо минулих ходів, ігри підрозділяються на ігри з повною інформацією (є вся інформація про попередні ходи) і неповною інформацією. Прикладами ігор із повною інформацією можуть бути шахии, шашки і т.п.

^ 6. По виду опису гри підрозділяються на позиційні ігри (або гри в розгорнутій формі) і гри в нормальній формі. Позиційні ігри задаються у виді дерева гри. Але будь-яка позиційна гра може бути зведена до нормальної форми, у которої кожний із гравців робить тільки по одного незалежного ходу. У позиційних іграх ходи робляться в дискретні моменти часу. Існують диференціальні ігри, у який ходи робляться безупинно. Ці ігри вивчають задача переслідування керованого об'єкта іншим керованим об'єктом з урахуванням динаміки їх поводження, що описується диференціальними рівняннями.

Існують також рефлексивні ігри, що розглядають ситуації з урахуванням уявного відтворення можливої уяви дій і поводження супротивника.

7. Якщо будь-яка можлива партія деякої гри

має нульову суму вигришей f i, i=1,N ;усіх N гравців

(  f i=0 ), то говорять про гру з нульовою сумою. У




противному випадку ігри називаються іграми з ненульовою сумою.

Очевидно, що парна гра з нульовою сумою є антагоністичної! тому що виграш одного гравця дорівнює програшу другого, а отже цілі цих гравців прямо протилежні

Кінцева парна гра з нульовою сумою називається матричною грою. Така гра описується платіжною матрицею, у якій задаються виграші першого гравця. Номер рядка матриці соответвует номеру застосовуваної стратегії першого гравця, стовпчик - номеру застосовуваної стратегії другого гравця: на перетинанні рядки і стовпчика знаходиться відповідний виграш першого гравця (програш другого гравця).

Кінцева парна гра з ненульовою сумою називається біматричной грой. Така гра описується двома платіжними матрицями, кожна для відповідного гравця.

1.3. Приклади ігор

Гра 1. Залік

Нехай гравець 1 - студент, що готується до заліку, а гравець 2 - викладач, що приймає залік. Будемо вважати, що в студента дві стратегії: А1- добре підготуватися до заліку: А2- не підготуватися. У викладача є теж дві стратегії: В1- поставити залік; В2- не поставити залік. У основу оцінки значень виграшів гравців можна покласти, наприклад, розуміння, яки відбиті в матрицях виграшів


А1

А2


А1

А2






+ (0)

- (-3)

(усе

(проявив

добре)

кривду)







-2

-1

(дав себе

(студент

обдурити)

прийде ще




раз)

В 1 В2











+ (5)

- (-6)

(оцінили


(кривдно)

по




заслугам)




(1)

(0)

(удалося

(получив

словчити)

по




заслугам)

^

Виграші студента Виграші викладача



Дана гра в згідности з приведеною вище класифікацією є стратегічної, парної, бескоаліційною, кінцевої, описана в нормальної формі із ненульовою сумою. Більш коротко дану гру можна назвати біматричною.

Завдання полягає у визначенні оптимальних стратегій для студента і для викладача.

^ Гра 2. Морра


В 1 В2

Грою "морра" називається гра будь-якого числа осіб, у якому всі гравці одночасно показують ("викидають") деяке число пальців. Кожної ситуації приписуються виграші, котрі гравці в умовах цієї ситуації одержують із "банку". Наприклад, кожний гравець виграє показане їм число пальців,

якщо всі інші гравці показали інше число; він нічого не виграє в усіх інших випадках. Відповідно до приведеної класифікації дана гра є стратегічної: у загальному випадку, множинної (у цьому випадку гра може бути бескоалиционною, коаліційною і кооперативною) кінцевою.

У окремому випадку, коли гра парна - це буде матрична гра (матрична гра завжди є антагоністичною).

Нехай два гравці “викидають” одночасно один, два або три пальці. При четной сумі виграє перший гравець, при нечетной - другий. Виграш дорівнює сумі “викинутих пальців”. Таким чином, у даному випадку кожний із гравців має по три стратегії, а матриця виграшів першого гравця (програшів другого) має вид:


А1


А2


2

-3

4

-3

4

-5

4

-5

6


В1 В2 В3

де Аi - стратегія першого гравця, що полягає в “викідиванні” i пальців;

Bj- стратегія другого гравця, що полягає в

“викідиванні” j пальців.

Що повинний робити кожний із гравців, щоб забезпечити собі максимальний виграш?

Гра 3. Боротьба за ринки

Фірма А, маючи у своєму розпорядженні 5 умовних грошових одиниць, намагається утримати два рівноцінних ринки збуту. Її конкурент (фірма B), маючи суму рівну 4 умовним грошовим одиницям, намагається витиснути фірму А с одного з ринків. Кожний із конкурентів для захисту і завоювання відповідного ринку може виділити ціле число одиниць своїх засобів. Рахується, що якщо для захисту хоча б одного ринку


фірма А виділить менше засобів, чим фірма В, те вона програє, а у всіх інших випадках - виграє. Нехай виграш фірми А дорівнює 1, а програш дорівнює (-1), тоді гра зводиться до матричної гри, для якої матриця виграшів фірми А (програшів фірми В) має вид:


1

-1

-1

-1

-1

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

-1

-1

1

1

1

1

-1

1

1

1

1

-1

1

-1

-1

1


В 1 В 2 В 3 В 4 В5

А2

А3



А1


А1


А2


А3

А4

А5

АА55



Тут Ai - стратегія фірми А, що полягає у виділенні i умовних грошових одиниць на захист першого ринку; Bj - стратегія фірми B, що полягає у виділенні j умовних грошових одиниць на завоювання першого ринку.

Якби на захист або завоювання ринків фірми могли виділити будь-яку кількість засобів із наявних, то гра стала бы бесконечною.

ТЕСТИ

(В - Вірно. Н - невірно)

1. Всяка конфліктна ситуація є антагоністичною.

2. Всяка антагоністична ситуація є конфліктною.

3. Ціль теорії ігор - виробітку рекомендацій по розумному поводженню учасників конфлікта.

4. Хибою теорії ігор є припущення про повну розумність супротивників.

5. У теорії ігор передбачається, що не всі можливі стратегії супротивника відомі.

6. Теорія ігор включає елементи ризику, що неминуче супроводжують розумні рішення в реальних конфліктах.

7. У теорії ігор перебування оптимальної стратегії здійснюється по баготьмах критеріях.

8. Стратегічні ігри складаються тільки з особистих ходів.

9. У парній грі число стратегій кожного учасника дорівнює двом.

10. Гри, у яких дії гравців спрямовані на максимізацію виграшів коаліцій без наступного їхнього поділу між гравцями, називаються коаліційними.

11. Виходом кооперативної гри є поділ виграшу коаліції, що виникає не як слідство тих або інших дій гравців, а як результат їх наперед визначених угод.

12. По виду опису гри діляться на ігри з повною інформацією або гри з неповною інформацією.

13. Кінцева множинна гра з нульовою сумою називається матричної.

14. Кінцева парна гра з нульовою сумою називається биматричной грою


2.^ МАТРИЧНІ ІГРИ


2.1. Опис матричної гри


Найбільше розробленої в теорії ігор є кінцева парна гра з нульовою сумою (антагоністична гра двох осіб або двох коаліцій), називана матричною грою.

Роздивимося таку гру С, у якій беруть участь два гравці А и В, що мають антагоністичні інтереси: виграш одного гравця дорівнює програшу другого. Тому що виграш гравця А дорівнює виграшу гравця В з оберненим знаком, можемо цікавитися тільки виграшем а гравця А. Природно, гравець А хоче максимізувати а, а гравець В - минимизировать а. Для простати отождествимо себе мислено з одним із гравців (нехай це буде гравець А), тоді будемо називати гравця В - "супротивник" (зрозуміло, якихось реальних переваг для А з цього не випливає).

Нехай у гравця А є m можливих стратегій A1 A2,…Am а у супротивника - і можливих стратегій В1,В2,...,ВN (така гра називається грою m х n).

Обозначим через aij виграш гравця А, у випадку, якщо він скористається стратегією Аi, а гравець B - стратегією ВJ. Передбачається, що виграш аIJ відомий. Тоді ми можемо скласти прямокутну таблицю (матрицю), у якій

перераховані стратегії гравців і відповідні виграші



Ai \ Bj

B1

B2

……

Bn


A1


a11

a12

……

aln

A2


a21

a22

……

a2n













































…..

……

……

……

……


Am


am1

am2

……

amn



мал. 2.1




Якщо така таблиця складена, те говорять, що гра G приведена до матричної форми. Звідси аналізована гра й одержала назву матрична. Саме по собі приведення гри до такої форми вже може скласти важку задачу, а іноді і нездійсненну, через неозору множину можливих стратегій гравців і трудності визначення виграшів аij.

Роздивимося деякі задачі, рішення яких зводиться до рішення матричних ігор.

^ Гра1. Варіант гри «Морра»

Гра складається в том, що кожний із двох гравців незалежно друг від друга вибирає визначену сторону монети ("герб" або "решка"), потім одночасно називають свій вибір. Якщо гравці вибрали одну саму сторону монети, то другий гравець сплачує першому одну гривню, якщо різні, то перший сплачує другому таку ж суму. Легко бачити, що матриця виграшів (платіжна матриця) цієї гри имеет вид






Aj Bj



B1



B2



A1


1


-1





A2



-1



1



Тут стратегії A1 і B1, - гравці А и В вибирають "герб", а А2 і B2 - гравці А и В вибирають "решку".

Нетривіальність сформульованої задачі, як і будь-якої матричної гри, складається в тому, що кожний із гравців робить свій вибір незалежно друг від друга.

^ Гра 2.Боротьба за ринки

Фірми А и В роблять однаковий товар і в даний час кожна «контролює» 50% ринку. Поліпшивши якість товару, фірми збираються розгорнути рекламні кампанії. При цьому придбання

нових покупців одною фірмою супроводжується втратою цих покупців інший фірмою. Дослідження показало, що 60% потенційних покупців одержують інформацію через телебачення, 30% - через газети і 10% -через радіомовлення.

Задача кожної фірми - вибрати стратегію рекламної кампанії.

У даній грі в кожного з гравців по три стратегії:

а1, B1 - рекламувати товар через телебачення;

A2, B2 - через газети;

А3, B3- через радіомовлення.

Оскільки це гра з нульовою сумою, то матрицю виграшів фірми А можна уявити в такому виді:






B,

B,



А,

0

30

50

А,

-30

0

20

А,

-50

-20

0



де aij - кількість покупців товару фірми А в відсотках, на який воно збільшується, якщо фірма А застосовує стратегію Аi , а фірма B - стратегію Вj.


2.2. Принцип максиміна в антагоністичних іграх. Сєдлова точка


Як відзначалося, найважливішим питанням у теорії ігор (у тому числі і матричних) є питання про вибір оптимальних стратегій для кожного з гравців.

^ Оптимальною стратегією гравця в матричній грі називається така, що забезпечує йому максимальний виграш. Якщо гра повторюється неодноразово, те оптимальна стратегія повинна забезпечувати максимальний середній виграш.

При виборі цієї стратегії основою міркувань є припущення, що супротивник є, що найменше, так само розумний, як і ми самі. і робить усе, щоб домогтися такої ж цілі.

Розрахунок на розумного супротивника - лише одна з можливих позицій у конфлікті, але в теорії ігор саме вона кладеться в основу.

При цьому для вибору оптимальної стратегії використовують принцип максиміна: вибирай ту стратегію. щоб при найгіршому для нас поводженні супротивника одержати максимальний виграш. Іншими словами, принцип максиміна припускає вибір тієї стратегії, при котрої наш мінімальний виграш для різноманітних стратегій максимальний. Звідси і назва «принцип максиміна».

Як очевидно, принцип максиміна - це принцип вкрай обережного гравця, але саме він є основним принципом теорії матричних ігор.

Для пояснення принципу максиміна роздивимося приклад 1 матричної гри (4*5) із платіжною матрицею, приведеної на мал. 2.2.






Bj



















Ai

B,

B,

B,

B4

B5

аi

А,

5

6

7

4

5

4

А2

Ч

10

6

5

6

3

А3

12

5

3

9

8

3

А4

б

7

5

6

10

5

bj

12

10

7

9

10



Приклад 1.


максимін

тах тт а ' 7





максимін

тах тт а ' 7




Мал.2.2

Якою стратегією гравцю А скористатися? Є соблазниї виграш 12, при

застосуванні стратегії аз. Але при цьому супротивник може вибрати стратегію Вз, і гравець А одержить виграш, рівний усього трем.

Для визначення оптимальної стратегії відповідно до принципу максиміна, запишемо в правому додатковому стовпчику платіжної матриці мінімальне значення а ( у кожному рядку- мінімум рядка). З усіх значень а (правий стовпчик) виділимо найбільше. Йому відповідає стратегія А4 Обравши цю стратегію, ми у всякому разі можемо бути упевнені, що при будь-якому поводженні супротивника виграш буде не менше п'ятьох.

Цей розмір - наш гарантированний виграш. Він називається нижньою ціною гри (або «максиміном» -максимальний із мінімальних виграшів). Будемо позначати його а. У нашому прикладі а = max min a ij=5.

Тепер станемо на точку зору гравця В и пораздумаемо за нього. Обираючи стратегію, він хотів би віддати поменше, але повинний считати найгірше для нього поводження гравця А.

Припишемо до платіжної матриці (мал. 2.2) нижній рядок і в ній запишемо найгірше для гравця В можливі значення (максимуми стовпчиків bj).

Очевидно, обережний супротивник повинний вибрати стратегію, при якій розмір bj мінімальна. Цей розмір називається верхньою ціною гри (або "мінімаксом" - мінімальний із максимальних програшів). Будемо позначати його b. У нашому прикладі b =min max aij = 7.

Отже, виходячи з принципу обережності, гравець А повинний вибрати стратегію А4, а його супротивник – В3. Таки стратегії називаються максимінними стратегіями (витекаючії з принципа максиміна).

Доти, поки обидві сторони в нашому прикладі будуть притримуватися своїх максимінних стратегій, виграш гравця А и програш гравця У дорівнює а43=5.

Легко показати, що нижня ціна гри ніколи не перевершує верхньої ціни гри.


Лемма 1. Нехай задана матриця виграшів

А ((aij)) і визначені b і 

Тоді min max аij  min max аij

Доказ. По визначенню максимуму і мінімуму для будь-яких фіксованих значень I і j маємо

max аij аij  min аij . (2.1)

i j

Оскільки ліва частина нерівності (2.1) не залежить від i, тo можемо записати

max аi max min аij (2.2 )

Тому що права частина нерівності (2.1) не залежить від j , тоди

min max аij > min аij (2.3)


Об`еднeня нерівності (2.2) і (2.3), дае нерівність (2.1), що і було потрібно довести. Отже, завжди bа

Випадок b=а, відповідає наявності в платіжної матриці так називаної седлової точки.

Визначення. Точка (i*, j*) називається седлової точки платіжної матриці (( аij)), якщо для всіх інших і та j цієї матриці виконується умова

aij  aij  aij.

тобто aij є одночасно мінімумом свого рядка і максимумом свого стовпчика.

Призведемо без доказу таку теорему.

Теорема 1. Для того щоб

min max аij = max min аij

j i i j

необхідно і достатньо, щоб матриця_(( аij)) мала седлову точку. Крім того, якщо (i*, j*) - седлова точка

матриці || аij ||, то

aij = min max аij = max min аij . (2.4)

j i i j

Говорять, що матрична гра має седлову точку, якщо матриця виграшів (платіжна матриця) має седлову точку.

Приклад 2. Знайти рішення гри С (3х3), платіжна матриця якої має такий вид:















































BJ






















B,

B,

B,

а,







А,



















А,

0

-1

-2

-2







А,

3

2

-1

-1







А,

6

3

0

0







bj

6

3

0









  1. -1 -2

3 2 -1

6 3 0


Визначим аi = min аij і bi = max аi j

J i

Нижня ціна гри а = max аi = max min аij = 0.

i i j

Верхня ціна гри b = min bj = min max аi j = 0.

J j i

Тому що а = b = 0 , то платіжна матриця і матрична гра мають седлову точку. Оптимальними стратегіями для гравця А є стратегія A3 , а для гравця B - Вз.

Легко зауважити, що відхилення гравця А від оптимальної стратегії призводить до зменшення його виграшу, а одностороннє відхилення гравця B - до збільшення його програшу.

Можуть зустрічатися випадки, коли платіжна матриця має декілька седлових точок, проте це не змінить характеру що рекомендуюмих рішень, оскільки всі ситуації рівноваги мають ту саму ціну, а отже, еквіваленти.

Приклад 3. Наші рішення гри G (3х4), платіжна матриця якої імеет вид


BJ



















B,

B,

B,

В4

а,

А,
















А,

7

6

9

6

-2

А;

8

4

2

4

-1

А,

7

6

8

6

0

b,

8

6

9

6






Знайдемо аi і bj і запишем їх в таблицю. Знайдемо нижню та верхню ціну гри:

а = max аi =6: b = min bj =6.Бачимо, що гра мае

i j

чотире седлови точки с парами оптимальних стратегій: А 1 В2 , А 1 В4 , А3 В5 , А3 В4 . Цена гри дорівнюе 6.

В заключенні відмітем, що с позиций грока 1 другий грок руководствуется принципом мінімакса, яки обеспечує мінімизацию максимальних втрат. Алє с собственной точки зору грока 2, яки оценюває свій виграш, він також руководствуется принципом максиміна. Тому, як правило, говорять лишє про використання у антагонистичної гри принципа максиміна обома гроками.


Схожі:

П. И. Чайковский iconОригінальні дослідження Чайковский Ю. Б., Храпай Е. В
Ранняя восстановительная фармакотерапия травмы периферического нерва в эксперименте 6
П. И. Чайковский iconП. И. Чайковский 4 основные понятия теории игр и их классификация 4 > Предмет и задачи теории игр 4 > Терминология и классификация игр 7 > Примеры игр 12 тесты
Книга содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать для проведения практических занятий, а также для самостоятельного...
П. И. Чайковский iconП. И. Чайковский 3 основные понятия теории игр и их классификация 3 > Предмет и задачи теории игр 3 > Терминология и классификация игр 4 > Примеры игр 6 тесты
Книга содержит большое количество тестов и задач, которые можно использовать для проведения практических занятий, а также для самостоятельного...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи