6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х icon

6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х




Скачати 84.79 Kb.
Назва6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х
Дата20.09.2012
Розмір84.79 Kb.
ТипДокументи

6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Совокупность n случайных величин (Х1, Х2, … Хn), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной случайной величиной.

В
частном случае при n=2 имеем систему случайных величин (X, Y), которая геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (x, y) на плоскости x0y (рис. 6.1.) или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (x, y).

Рис. 6.1


Законами распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений являются таблица распределения и функция распределения, а для системы непрерывных случайных величин – функция распределения и плотность распределения. В таблице распределения указываются вероятности того, что случайная величина Х примет значение и одновременно с этим случайная величина Y примет значение , , (рис.7.2).

























































Рис. 6.2.

Все возможные события , , образуют полную группу событий, поэтому

.

При этом

.

Наиболее общей формой закона распределения системы случайных величин является функция распределения.

Функцией распределения системы n случайных величин (Х1, Х2, … Хn) называется вероятность совместного выполнения n неравенств , :

.

Для системы двух случайных величин (X, Y) функция распределения является вероятностью выполнения двух неравенств:

.

Г
еометрически функция распределения интепретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левую нижнюю часть квадрата плоскости с вершиной в точке (рис. 6.3).

Рис. 7.3

Основные свойства функции распределения для системы случайных величин очевидны из данной геометрической интепретации:

1.

2.

3.

4.

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

, если

, если

6. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 6.4) вычисляется по формуле


.

Рис. 7.4

При изучении непрерывных систем случайных величин (каждая случайная величина, входящая в систему, непрерывна) чаще всего используют плотность распределения.

Если функция распределения дифференцируема по каждой переменной, то плотность вероятности



Аналогично для системы двух случайных величин (X, Y)

, а .

Поверхность, изображающая функцию , называется поверхностью распределения.

Плотность вероятности системы двух случайных величин имеет следующие свойства, которые легко обобщаются на систему случайных величин большей размерности:

1. .

2. .

3. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему (X, Y), выражаются через плотность вероятности системы формулами:

; .

4. Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формуле:

при .

при

5. Вероятность попадания случайной точки в область D плоскости x0y определяется по формуле .

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая:

и .

Для независимых случайных величин

.

Основными числовыми характеристиками системы двух случайных величин (Х, Y) являются следующие.

  1. Математические ожидания и .

Для системы дискретных случайных величин

.

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

.

  1. Дисперсии и .

Для системы дискретных случайных величин

.

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

.

  1. Корреляционный момент , характеризующий линейную связь между случайными величинами Х и Y, а также их разброс вокруг точки .

Для системы дискретных случайных величин корреляционный момент равен:

.

Для системы непрерывных случайных величин

.

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Однако случайные величины могут быть зависимыми, но некоррелированными . Корреляционный момент удобно вычислять по формуле



Размерность корреляционного момента равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Чтобы получить безразмерную величину к тому же характеризующую только степень линейной зависимости между случайными величинами X и Y, а не их разброс относительно точки , вводят коэффициент корреляции:

.

Еще раз подчеркнем, что коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между случайными величинами. Если линейной зависимости нет, то . Если между случайными величинами существует жесткая функциональная зависимость:



то коэффициент корреляции , где знак плюс берется в случае, когда а>0, а знак минус, когда а<0. В случае, когда , говорят, что X и Y связаны положительной корреляцией, а когда - отрицательной корреляцией. При возрастании одной случайной величины в случае положительной корреляции другая проявляет тенденцию также возрастать, а при отрицательной корреляции - убывать.

Как уже отмечалось, из независимости случайных величин следует их некоррелированность, но их некоррелированности () еще не вытекает из независимость. Если , это означает только отсутствие линейной связи между случайными величинами; любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Для системы n случайных величин (Х1, Х2, … Хn) корреляционный момент записывается следующим образом:

,

если случайные величины непрерывны, а для дискретных случайных величин интегрирование заменяется суммированием по всем возможным значениям случайных величин.

Свойства корреляционного момента следующие:

  1. , т.е. при перемене индексов местами корреляционный момент не меняется.

  2. , если случайные величины X и Y независимы.

  3. .

  4. Если , то .

  5. .

Корреляционной матрицей системы n случайных величин (Х1, Х2, … Хn) называется матрица, составленная из корреляционных моментов всех этих величин взятых попарно:

,

где .

Так как , то элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично главной диагонали, равны. Поэтому обычно заполняется только половина корреляционной матрицы:


.

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин системы:

; ; …; .

Нормированной корреляционной матрицей системы n случайных величин называется матрица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно:

,

где - коэффициент корреляции между случайными величинами и .

В заключение отметим, что для случайных величин распределенных по закону Гаусса термины «независимость» и «некоррелированность» эквиваленты, т.е. если две нормально распределенные случайные величины Х и Y некоррелированны, то они и независимы.


ПРИМЕР.

Два стрелка, независимо друг от друга, делают по одному одиночному выстрелу каждый по своей мишени. Пусть случайная величина Х – число попаданий первого стрелка, Y – число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания для первого стрелка р=0,8, для второго р=0,6. Построить матрицу распределения системы случайных величин (Х, Y).

РЕШЕНИЕ.

Возможные значения случайных величин Х и Y:

; ; ; .

Возможные пары значений системы случайных величин:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Соответствующие этим парам вероятность вычисляем пользуясь теоремой умножения для независимых событий.

Имеем:

.

.

.

.

Матрица распределения системы случайных величин имеет вид





0

1

0

0,08

0,12

1

0,32

0,48


.





.









.

Это следует и из условия задачи, в котором сказано, что стрелки стреляют независимо друг от друга. Следовательно, случайные величины Х и Y независимы, а из этого следует их некоррелированность.


ПРИМЕР.

Дана корреляционная матрица системы случайных величин (Х1, Х2, Х3) вида

.

Найти нормированную корреляционную матрицу.

РЕШЕНИЕ.

Т.к. ; ; , то ; ; .

; .

; .

; ; .

.

Схожі:

6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х icon6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х
Совокупность n случайных величин (Х1, Х2, … Хn), рассматриваемых совместно, называется системой n случайных величин или n-мерной...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х icon2. 4 Законы распределения
В разделе 1 мы рассматривали элементарные примеры случайных величин. В случаях с монетой и кубиком говорили о том, что все возможные...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х icon4. случайные величины и их законы распределения. Числовые характеристики случайных величин случайной величиной
Случайной величиной называется величина Х, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (но только одно), причем,...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х iconРаспределения случайных величин, важные для практики биномиальное распределение
Биномиальное распределение имеет место в том случае, когда случайная величина Х выражает число появлений некоторого события а при...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х icon7. Имитационное моделирование
Во всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х iconПриме Найти, при каком аргументе достигается минимум функции
Во всех случаях используется программный датчик случайных чисел, равномерно распределённых на интервале 0,1. Из этих чисел при...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х iconПрограма предмет Загальна фізика
Фізика як наука. Зв’язок фізики з математикою, іншими природни­чими науками, технікою. Методи фізичних досліджень. Вимірювання фізичних...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х icon§ Системи випадкових величин
При вивченні випадкових явищ в залежності від їх складності доводиться використовувати дві, три або більше випадкових величин. Наприклад,...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х iconПрограма предмет Загальна фізика (механіка, молекулярна фізика)
Фізика як наука. Предмет фізики та її зв’язок фізики з іншими природни­чими науками, технікою. Методи фізичних досліджень. Вимірювання...
6. системы случайных величин совокупность n случайных величин Х iconЗакон розподілу функції випадкових величин
Тому при розв’язуванні задач такого типу необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують в постановці задачі. Звичайно...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи