Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів icon

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів

Реклама:



НазваЕкономічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів
Сторінка4/7
Дата25.10.2012
Розмір0.68 Mb.
ТипДокументи
джерело
1   2   3   4   5   6   7
1. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/ЖїФТЅ.doc
2. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/чј_ЯЖ.doc
3. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/я_ФСУсФТУс.doc
4. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-II_2.5.doc
5. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-II_2.doc
6. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-II_3.3.doc
7. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-II_3.doc
8. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-II_7.doc
9. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-_I_1.doc
10. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-_I_6.doc
11. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-__1.doc
12. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-__2.doc
13. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-__3.doc
14. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-__4-5.doc
15. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-___4.doc
16. /2763/04-2763/NEW/єСУЯФмс/щ-___5.doc
17. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 1/1.2.doc
18. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 1/1.3.doc
19. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 1/1.4.doc
20. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 1/1.5.doc
21. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 1/VSTUP.doc
22. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.1/~$ЯФїбс 2 щцЖфЕ.doc
23. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.1/щсЯФїбс 2 1.1-1.2.doc
24. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.1/щсЯФїбс 2 1.3.doc
25. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.1/щсЯФїбс 2 щцЖфЕ.doc
26. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.2/щсЯФїбс 2 2.1..doc
27. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.2/щсЯФїбс 2 2.2..doc
28. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.2/щсЯФїбс 2 2.3..doc
29. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.2/щсЯФїбс 2 2.4..doc
30. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.2/щсЯФїбс 2 2.5..doc
31. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.3/щсЯФїбс 2 3.1-3.2.doc
32. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.3/щсЯФїбс2 3.3..doc
33. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.4/2.4.doc
34. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.4/~$2.4.doc
35. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.5/2.5.1.doc
36. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.5/2.5.2.doc
37. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.5/2.5.3.doc
38. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.5/~$2.5.3.doc
39. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.6/2.6.doc
40. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.6/~$2.6.doc
41. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.7/2.7.doc
42. /2763/04-2763/STAROE/CHAST 2/2.7/~$2.7.doc
43. /2763/04-2763/STAROE/LITERATURA.doc
44. /2763/04-2763/STAROE/чј_ЯФ.doc
45. /2763/04-2763/STAROE/юСФлё »УлЯФлз млєєблз ЯСУСёбэлз јлкбс »лУ_єбґФї _є юсЯФлФбїј х_ЅэФУлј.doc
Київський національний економічний університет
Частина моделі соціально-економічного прогнозування
Книга по прогнозированию. М: Мысль, 1982. Горелова В. Л., Мельникова Е. Н
2 Аналіз часових рядів Бокса-Дженкінса
Загальна лінійна модель стаціонарного ряду
3 Прогнозування тенденції часового ряду за алгоритмічними методами
3 Прогнозування тенденції часового ряду за середніми характеристиками
7 цінювання прогнозів Критерії визначення якісного прогнозу
Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів
Експертизою розуміють проведення вимірювань певних характеристик об’єкта до прийняття рішення. Методи індивідуальної та колективної експертизи
Частина моделі соціально-економічного прогнозування
П 2 рогнозування економічного зростання
П 3 рогнозування розвитку міжгалузевих виробничих зв’язків в економіці
П 4 рогнозування інфляції та безробітя
О 4 собливості прогнозування тренд-сезонних процесів
Е 5 конометричні методи прогнозування
Частина I. Моделі соціально-економічного прогнозування Прогнозування економічного зростання
3. Прогнозування структури національної економіки Лінійна статична міжгалузева модель
4. Прогнозування економічної нестабільності Моделі прогнозування інфляції
5. Прогнозування комплексного соціально-економічного розвитку країни
Вступ Соціально-економічні процеси країни як об’єкт прогнозування
1. Основні поняття та попередній аналіз часових рядів
1 Ідентифікація часових рядів
Частина Методи соціально-економічного прогнозування Вступ
2. Прогнозування часових рядів із використанням arima моделей
2 Процеси ковзної середньої (-процеси)
2 Авторегресійні процеси (-процеси)
2 Змішані та процеси
2 Аналіз часових рядів Бокса-Дженкінса
3 Прогнозування тенденції часового ряду за середніми характеристиками
3. 3 Прогнозування тенденції часового ряду за алгоритмічними методами
4. Особливості прогнозування тренд-сезонних процесів Методи фільтрації сезонної компоненти
5. Економетричні методи прогнозування. Прогнозування на основі багатофакторних регресійних моделей
5 Економетричне прогнозування на основі arima та var
5 Прогнозування на основі моделей коригування помилки (коінтегрування)
6. Суб’єктивні (експертні) методи прогнозування
7. Оцінка прогнозів Критерії визначення якісного прогнозу
Книга по прогнозированию. М: Місль,1982
Частина Моделі соціально-економічного прогнозування
Метод простої ковзної середньої можна порівняти із частотним фільтром. При відносно невеликій ширині вікна згладжування

Коефіцієнт автокореляції між зрушеними на рівнями часового ряду — це автоковаріація, розділена на корінь із добут-
ку двох дисперсій, та оскільки дисперсія стала, отримуємо просто або . Розраховують коефіцієнт автокореляції за формулою:


. (1.2.8)

Вираз (1.2.8) визначає автокореляційну функцію (АКФ) часового ряду, яка показує наскільки статистично залежними є значення часового ряду для різних зрушень у часі (наприклад, для річних спостережень рік чи два роки тощо). Автокореляційна функція стаціонарного часового ряду залежить лише від різниці між двома моментами часу , і є парною функцією, тобто . Задаючи різні значення = 1, 2, 3,..., отримують послідовність значень , , ,... Графік автокореляційної функції називають корелограмою. За корелограмою можна визначити запізнення, із яким зміна показника позначається на його наступних значеннях.

У широкому сенсі оцінки наведених статистик є консистентними, тобто для них існує межа щодо ймовірності, яка збігається з їхніми справжніми значеннями для генеральної сукупності. Далі замість стаціонарності в широкому сенсі будемо просто говорити стаціонарність, оскільки інші різновиди стаціонарності не розглядатимуться.


Приклад 1.2.1.

На рис. 1.2.2 зображено часовий ряд щоквартальних значень доходів консолідованого бюджету України (млн грн) із 1999-го до 2002 року. Цей показник за 4 роки збільшився із 6008,5 до 17298,2. Аналіз середньої й середнього квадратичного відхилення, зроблений за кожен рік, свідчить, що середня величина і середнє квадратичне відхилення впродовж першого року будуть нижчими, ніж впродовж другого року тощо, і очевидно, що в останньому році, коли показник зростає до 17298,2 млн грн, його середній рівень буде вищий, ніж за перший рік.



Рис. 1.2.2. Нестаціонарний часовий ряд

Величина дисперсії й середнього квадратичного відхилення може бути функцією від значення показника. Отже, дисперсія показника, що коливається навколо 6008,5 (значення першого рівня), цілком може бути нижчою за дисперсію показника, що коливається навколо позначки 17298,2 (значення останнього рівня). Коваріація також може залежати від рівня значень даних, що аналізуються. У такому разі існує коваріація між послідовними спостереженнями.



Рис. 1.2.3. Часовий ряд доходів консолідованого бюджету,
виражений у відсотках до ВВП

На рис. 1.2.3 показано часовий ряд доходів консолідованого бюджету, виражений у відсотках до ВВП. Доходи, виражені у відсотках до ВВП, характеризуються постійними середньою, середнім квадратичним відхиленням і коваріацією спостережень, яка залежить суто від інтервалів між спостереженнями. Очевидно, ряд значень показника доходів бюджету не є стаціонарним, тоді як ряд значень відсотка до ВВП доходів бюджету може бути стаціонарним. 8

Інтуїтивно можна очікувати, що небагато (якщо взагалі знайдуться) часових рядів соціально-економічних показників будуть стаціонарними, оскільки зростаючі й спадні значення є головною рисою соціально-економічних показників.

Оптимальний предиктор і його властивості. Практика розроблення різноманітних прогнозів спирається на цілу систему методів, які стосуються оцінювання (прогнозування) величин, недоступних для безпосереднього спостереження в конкретний момент, і їх потрібно знайти за допомогою доступних для вимірювання (спостереження) супровідних величин.

Завдання стохастичного прогнозування полягає в тому, щоб за відомою сукупністю спостережень за випадковими величинами побудувати таку функцію від цих величин, яку можна було б використати для оцінювання прогнозованої величини . При цьому та стохастично пов’язані, тобто мають сумісну щільність розподілу . Наприклад, належить до майбутнього, а — до теперішнього. Функцію називають предиктором величини за

Для вимірювання точності предиктора, як правило, використовують середньоквадратичну похибку . Предик­тор, який мінімізує в заданому класі предикторів, називають оптимальним предиктором, або прогнозом. Розроблення методів побудови оптимальних предикторів становить зміст стохастичного прогнозування. На підставі предиктора, можна одержати варіанти прогнозу, що відповідатимуть сформульованим гіпотезам та умовам, урахованим під час його побудови.

Теорія стохастичного прогнозування величини за супровід­ними величинами передбачає, що сумісний закон розподілу — відомий. У практичному застосуванні точний вид залежності між та найчастіше невідомий і пошук найкращого предиктора обмежується лінійними прогнозами, тобто коли . Тоді оптимальний лінійний предиктор існує та збігається із функцією регресії на , тобто задається як умовне математичне сподівання1:

.

Ця функція має максимальну кореляцію з серед усіх лінійних предикторів. Для побудови оптимального предиктора досить знати перші та другі моменти початкового розподілу , які знаходять шляхом оброблення результатів відомих спостережень. Підставляючи ці оцінки замість теоретичних характеристик, отримують емпіричний предиктор, який використовують для прогнозування майбутніх значень

Отже, головну роль у статистичному підході до прогнозування відіграє вибір відповідної моделі. В разі наповнення її числовими параметрами вона стає безпосереднім інструментом прог­нозування — предиктором.

Білий шум (White noise). Білим шумом називають часові ряди, рівні яких мають середню, що дорівнює нулю, сталу дисперсію та нульову коваріацію послідовних спостережень, тобто нульову автокореляцію. Наприклад, залишки регресії, що задовольняють умовам теореми Гауса-Маркова, є «білим шумом»: ; ; за .

Наведене визначення білого шуму характеризує його як стаціо­нарний ряд. Хоча стаціонарний ряд необов’язково буде білим шумом, оскільки може мати середню або коваріацію, відмінні від нуля.

Якщо ~, то йдеться про гаусівський білий шум, хоча змінна білого шуму не обов’язково підпорядковується закону нор­мального розподілу. Найкращим передбаченням або прогнозом білого шуму є його нульове середнє значення. Білий шум відіграє важливу роль в аналізі часових рядів. На практиці білий шум трапляється не надто часто, але він утворює складніші процеси. Прикладом цього є процес випадкового блукання.

Випадкове блукання (Random walk). Іноді його називають броунівським рухом. Це стохастичний процес, де зміна рівня ряду, скажімо, рівня інфляції, досягається додаванням до нього випадкової змінної t із постійною дисперсією та середнім, що дорів­нює нулю. Випадкове блукання задається так:

, (1.2.9)

де — білий шум. Цей процес можна розглядати як авторегресію із коефіцієнтом 1. Зазначимо, що лише має нульову середню та постійну дисперсію.

Термін «випадкове блукання» виник у зв’язку із жартівливою задачкою: якщо в поле випустити п’яного, то де він опиниться через деякий час? Результат — якщо п’яний блукає випадково, то його слід очікувати на тому самому місці, тобто в середньому його місцезнаходження не зміниться.

За умови наявності певної початкової точки підстановка у (1.2.9) значень змінної за попередні моменти часу дає вираз , який за t, що прямує до нескінченності, включатиме необмежену кількість доданків , кожен із яких має нульове математичне сподівання та ненульову диспер­сію .

Обрахуємо математичне сподівання процесу випадкового блукання: , тобто математичне сподівання задовольняє умові стаціонарності.

Дисперсія процесу випадкового блукання дорівнює : . Після розкриття дужок подвоєні добутки після взяття математичного сподівання будуть дорівнювати нулю, і залишиться математичне сподівання суми квадратів. Ураховуючи властивості дисперсії білого шуму, одержимо . Отже, процес випадкового блукання не стаціонарний, оскільки дисперсія зростає з часом.

Прогноз такого процесу на 1 крок уперед дорівнює . Але незалежно від . Отже прогноз на крок уперед становить: . На два кроки уперед: тощо. Прогноз на кроків уперед становитиме:

.

Хоча величина прогнозної оцінки зі зростанням періоду виперед­ження прогнозу залишається постійною, дисперсія помилки прогнозу зростає. Так, помилка прогнозу на один крок вперед дорівнює та її дисперсія дорівнює . Для прогнозу на два кроки вперед — , а дисперсія — , оскільки та — незалежні. Аналогічно для прогнозу на кроків уперед дисперсія помилки прогнозу становитиме . Середньоквадратичне відхилення прогнозу зростає пропорційно , і можна оцінити інтервал надійності прогнозу.

Якщо рівняння , де збурення є білим шумом, переписати як , отримаємо процес білого шуму. Приріст, або першу різницю (first difference), можна розглядати як інший часовий ряд , який є стаціонарним. Перехід до перших різниць є розповсюдженим засобом зведення нестаціонарного часового ряду до стаціонарного.

Іноді випадкове блукання може передбачати елемент зсунення. Зсунення означає тенденцію (дрейф). Отже, випадкове блукання зі зсуненням — це випадкове блукання із дрейфом. Наприклад:

, (1.2.10)

де — стала величина.

Тепер та .


Середньоквадратичне відхилення прогнозу в цьому разі не зміниться, оскільки: .

Прогноз зростає лінійно за , а інтервал надійності прогнозу розширюється пропорційно .

Середнє значення перших різниць становить швидкість зростання фактичного ряду спостережень, при цьому кожна зміна не залежить від усіх попередніх змін і має ідентичний розподіл імовірностей. .

Марківський процес. Марківськими називають процеси, в яких стан об’єкта в кожен наступний момент часу визначається станом поточного моменту і не залежить від того, яким шляхом об’єкт досяг поточного стану. Це стаціонарна послідовність не­залежних, однаково розподілених випадкових величин. У термінах кореляційного аналізу часових рядів марківський процес можна описати таким чином: існує статистично значущий кореляційний зв’язок початкового ряду із рядом, зрушеним на один часовий інтервал, і цей зв’язок відсутній із рядами, зрушеними на два, три тощо часові інтервали. В ідеальному випадку ці коефіцієнти кореляції дорівнюють нулю.

За допомогою рівняння авторегресії такий ряд можна представити як:

або , (1.2.11)

розкладаючи , отримуємо: тощо. Очевидно, що залежить від усіх ми-
нулих (але не майбутніх) . Якщо , то й . Знайдемо добуток (1.2.11) на і визначимо математичне сподівання:

або ,

остаточно , тобто є першою автокореляцією процесу.

розділимо на : .

Отже, всі кореляції марківського процесу можна виразити через першу автокореляцію.

Окрім марківських з-поміж стаціонарних процесів авторегресії часто трапляються процеси Юла, в яких ураховано авторегресію не лише першого, а й другого порядку, тобто .

Розкладення (декомпозиція) часового ряду. Реальні часові ряди в економіці, як правило, є динамічно нестабільними, отже — не стаціонарними, і поняття стаціонарності процесу часто є лише зручною абстракцією для застосування статистичних методів. Кожен рівень часового ряду формується під впливом великої кіль­кості чинників, які відображають закономірність і випадковість його формування. В аналізі часових рядів прийнято представляти часовий ряд у вигляді суми систематичної складової (середньої) та випадкового відхилення від неї:

, (1.2.12)

де — невипадкова функція часу (детермінована частина);

— випадкова, недетермінована частина.

Завдання розкладення часового ряду полягає в аналізі чинників, що впливають на значення його рівнів, у вирізненні серед них головних і другорядних (випадкових), а потім серед голов­них — еволюційних та періодичних (сезонних тощо).

  • Еволюційні чинники визначають загальний напрям розвитку економічного показника, провідну його тенденцію. Тенденція — це невипадкова складова часового ряду, яка змінюється повільно, і описується за допомогою певної функції , яку називають функ­цією тренду або просто трендом. Тренд відображає вплив на економічний показник деяких постійних чинників, дія яких акумулюється в часі. У широкому сенсі під трендом розуміють будь-який упорядкований процес, що відрізняється від випадкового, тобто функцію у (1.2.12). Іноді під трендом розуміють також зміщення у часі математичного сподівання. Відносно припускається, що це певна гладка функція, ступінь гладкості якої заздалегідь не відомий. Під ступенем гладкості розуміють мінімаль­ний ступінь поліному, що найкраще згладжує компоненту . На рис. 1.2.4 а) зображено умовний часовий ряд із тенденцією, що лінійно зростає.

  • Серед чинників, що визначають регулярні коливання ряду, розрізняють такі:

Сезонні, що відповідають коливанням, які мають періодичний або близький до нього характер упродовж одного року. Наприклад, ціни на сільгосппродукцію взимку вищі, ніж улітку ; рівень безробіття в курортних містах у зимовий період зростає відносно до літнього. Сезонні чинники можуть охоплювати причини, пов’язані з діяльністю людини (свята, відпуст-
ки, релігійні традиції тощо). Так, у ряду щомісячних даних слід очікувати наявності сезонних коливань із періодом 12, у квартальних рядах — із періодом 4. На рис. 1.2.4 б) зображено умовний часовий ряд, який містить лише сезонну компоненту.
Результат дії сезонних чинників моделюють за допомогою функ­ції .

Циклічні (кон’юнктурні) коливання схожі на сезонні, але виявляються на триваліших інтервалах часу. Циклічні коливання пояснюються дією довготермінових циклів економічної, демографічної або астрофізичної природи. Наприклад, за багаторічними спостереженнями активність сонця має циклічність у 10,5—11 років, причому сплески сонячної радіації впливають на врожайність зернових культур, репродуктивну властивість тварин тощо. Отже динаміка показника міситиме характерні зміни, що повторюються з однаковою циклічністю. Результат дії цикліч­них чинників моделюють за допомогою функції .

Тренд, сезонна й циклічна компоненти не є випадковими, тому їх називають систематичними компонентами часового ряду.

  • Випадкові чинники не підлягають вимірюванню, але неминуче супроводжують будь-який економічний процес і визначають стохастичний характер його елементів. До випадкових чинників можна віднести помилки вимірювання, випадкові збурення тощо. Деякі часові ряди, наприклад стаціонарні, не мають тенден­ції та сезонної складової, кожен наступний рівень їх утворюється як сума середнього рівня ряду і випадкової (додатної або від’ємної) компоненти. Приклад такого ряду демонструє рис. 1.2.4 в). Результат впливу випадкових чинників позначається випадковою компонентою εt, яку обчислюють як залишок або похибку, що залишається після вилучення з часового ряду систематичних компонент. Це не означає, що така складова не підлягає подальшому аналізу, оскільки містить лише хаос.



Рис. 1.2.4. Головні компоненти часового ряду:
а
— тренд, що зростає; б — сезонна компонента;
в — випадкова компонента

За декомпозицією Вольда суто недетермінований стаціонарний у широкому сенсі випадковий процес можна записати у
вигляді:

, (1.2.13)

де — детермінована складова або математичне сподівання цього процесу, — білий шум з обмеженими математичним сподіванням та дисперсією. Розкладення Вольда (1.2.13) ще називають лінійним фільтром, начебто білий шум пропустили крізь лінійний фільтр. Це означає, що, не втрачаючи цілого, обмежуються зручним лінійним представленням і переходять до вивчення стаціонарних процесів.

Щоб вираз (1.2.13) мав сенс, повинна виконуватися умова збіжності за ймовірністю, оскільки підсумовуються випадкові величини. Ця умова записується, як . Припускається, що . Чим більший ваговий коефіцієнт , тим більший вплив випадкового збурення в момент на поточний момент t.

Аналіз випадкової компоненти є важливою інформативною частиною дослідження часових рядів. Пояснюється це тим, що в короткотерміновому та певною мірою середньотерміновому прогнозуванні результати прогнозу тісно пов’язані із випадковою компонентою, тоді як у довготерміновому прогнозуванні головну увагу приділяють визначенню тенденції й взаємозв’язків між чинниками.

Очевидно, реальні дані цілковито не відповідають лише одній із наведених функцій, тож часовий ряд , можна уяви­ти у вигляді розкладення:

, (1.2.14)

або різноманітних поєднань окремих функцій. Однак завжди припускають обов’язкову наявність випадкової складової. Розкладення (декомпозиція) часового ряду відбувається за такими варіантами моделей:

модель тренду , ; (1.2.15)

модель сезонності , ; (1.2.16)

тренд-сезонна модель , . (1.2.17)

Моделі тренду й сезонності (тренд-сезонні) можуть відображати як відносно постійну сезонну хвилю (цикл), так і динамічно змінювану залежно від тренду. Перша форма — (1.2.14—1.2.17) належить до адитивних, друга (, , (1.2.18)) — до мультиплікативних моделей.

Моделі для врахування циклічних чинників будують аналогіч­но до тренд-сезонних, тільки замість сезонної складової вводять циклічну.

Процес окремого обчислення функцій і називають фільтрацією компонент часового ряду . Процедура оцінювання детермінованої частини разом з усіма невипадковими компонентами має назву згладжування часового ряду.

Успішне розв’язання завдань виявлення й моделювання дії розглянутих складових чинників є підґрунтям, відправним пунктом для зрозуміння механізму формування соціально-економіч­ного процесу та його прогнозування.

Утім, слід пам’ятати, що операція розкладення часового ряду, яка є допустимою з математичної точки зору й корисною для моделювання динаміки зміни показників у часі, подеколи може ввес­ти в оману. Зокрема, за такого підходу дуже спрощеним може виявитися припущення стосовно незалежного впливу названих компонент, їхньої чіткої структури.

Типи нестаціонарних часових рядів. За видом нестаціонарності часові ряди, що застосовують в економічній практиці, розподіляють на ряди типу: TS, DS, тренд-сезонні, нелінійні.

Часовий ряд типу TS (trend stationary process). До цього типу відносять нестаціонарні часові ряди із детермінованим поліноміальним трендом , де поліном ступеня від , а — стаціонарний процес, який не обов’язково є білим шумом. Наприклад, простий лінійний тренд . Тут нестаціонарна змінна виражена через детермінований, тобто невипадковий тренд. Попри те, що додавання стаціонарної змінної призводить до коливань навколо тренду й робить випадковою, ми, власне, маємо інформацію тільки про середнє значення , тобто часовий ряд характеризується наявністю тренду в середньому значенні. Отже, ані поточна, ані минулі події не змінюють довготермінових прогнозів цього процесу. Вплив випадкового збурення (поточний шок) забувається одразу на наступному кроці (). Похибка довготермінового прогнозу буде мати обмежену дисперсію , тому невизначеність є обмеженою навіть у далекому майбутньому.

Нестаціонарний процес типу TS зводять до стаціонарного за допомогою кількох методів. Наприклад, для лінійного тренду перехід до стаціонарності може відбуватися:

  • шляхом виділення лінійного тренду. Наприклад, будують лінійну регресію за часом і розглядають стаціонарний залишок ;

  • узяттям перших різниць: різниці двох суміжних рівнів часового ряду

(1.2.20)

є першими різницями ряду , або . Звідси , де — випадкова величина, розподіл якої цілком визначається розподілом величини . Окрім того, перші різниці часового ряду з лінійною тенденцією мають постійне математичне сподівання, що дорівнює певній константі , не залежній від .

Загалом якщо часовий ряд має тенденцію, що виражається через поліном ступеня , то різниці порядку

(1.2.21)

є випадковими величинами з постійним математичним сподіванням. У цьому разі .

Якщо тенденція часового ряду відповідає експоненціальному або степеневому тренду, то метод послідовних різниць слід застосовувати не до початкового ряду, а до його логарифмів. Наприклад, процес у своєму розвитку наближається до певної величини та може бути представлений у вигляді

, , (1.2.22)

де — аналогічна (1.2.20). Тоді процес, утворений із величин , має постійне середнє () і може бути зведений до стаціонарного процесу авторегресії.

Часовий ряд типу DS (differencing stationary process). Це ряди без періодичної складової та тенденції зростання, але наявність тренду в дисперсії засвідчує їхню нестаціонарність. Прикладом таких рядів є процес випадкового блукання . Як уже зазначалося, цей процес накопичує випадкові збурення від усіх попередніх шоків, тобто має нескінченну пам’ять. Такий процес описують стохастичним трендом і зводять до стаціонарного шляхом узяття першої різниці, звідси й відповідна назва.

Тренд-сезонні часові ряди окрім тренду містять чітко виражені сезонні коливання, які, своєю чергою, спричинюють нестаціонарність. Якщо процес включає періодичні (сезонні) коливання навколо середнього значення з періодом , тобто

(1.2.23)

із точністю до випадкової складової, то d цьому разі різниці через часових інтервалів представляють стаціонарний процес

, де , (1.2.24)

середнє значення якого збігається із середнім значенням початкового ряду.

Амплітуда сезонних коливань може зростати з часом і не обов’язково лінійно. Ці ряди характеризуються наявністю тренду в середньому значенні й дисперсії.

Нелінійні динамічні процеси. До цього типу відносять часові ряди зі складною структурою, вони мають тренд і містять різні види коливань, зокрема сезонні та циклічні. Структуру таких рядів узагалі не можна описати за допомогою відомих функцій, оскільки для різних ділянок часового ряду набір цих функцій буде різним, тобто в цьому разі можна говорити про ряди зі змінною структурою, які характерні для нелінійних динамічних процесів. Вони спостерігаються в динаміці цін на ринках капіталу тощо.

Лише в останні роки завдяки розвитку математичних методів нелінійної динаміки та комп’ютерних технологій з’явилася мож­ливість досліджувати такі процеси. У певному аспекті [29] будь-який динамічний процес зрештою є детермінованим, і моделювання його як реалізації випадкового процесу є зручним спрощенням. Невипадковий часовий ряд відображає невипадкову природу впливів. Стрибки даних відповідають стрибкам впливових чинників і відбивають властиву їм кореляцію. Детерміновані процеси, що виглядають як випадкові, у теорії нелінійностей називають детермінованим хаосом. Добре відомо, що просте детерміноване нелінійне різницеве рівняння може пород­жувати надзвичайно складні часові траєкторії, які видаються випадковими. Наприклад, рівняння, яке трапляється в аналізі фінансових ринків , де є ціною облігацій. У багатьох економічних застосуваннях значення параметру лежить між 1 та 4, таким чином виключають від’ємні значення рівно­ваги для і уникають прямування процесу до нескінченності. За зміни від 1 до 4 динаміка системи зазнає суттєвих змін. Наприклад, для 1 <  < 3, за будь-яким відхиленням від , динаміка процесу прямує до рівноваги . Разом із тим для 3,75 <  < 4 спостерігатиметься нескінченна кількість циклів із різною періодичністю і нескінченне число положень рівноваги з еволюцією процесу залежно від початкового його стану. Такий тип поведінки називають «хаосом». Властивістю цього процесу є те, що хоча він детермінований, випадкове блукання є задовільною моделлю для описання механізму породження даних. У цьому випадку зміни неможливо передбачити, хоча всю траєкторію перебігу процесу цілком можна передбачити.

1.3. Ідентифікація часових рядів

Структуру часового ряду в деяких випадках можна визначити графічно. Це стосується, наприклад, таких компонент ряду, як тренд і сезонні коливання. Однак чисту випадковість інколи помилково сприймають як наявність певної структури, і, навпаки, за шумом можна не розгледіти існування структури. Тому потрібні методи або інструменти, за допомогою яких можна було б звести нанівець ефект впливу шуму, після чого з’ясувати характеристики ряду, необхідні для побудови відповідної прогнозової моделі. Як правило, спочатку з’ясовують, із яким процесом доведеться працювати — стаціонарним чи нестаціонарним. Для будь-якого нестаціонарного ряду важливо визначити ознаку його нестаціонарності: чи описується він детермінованим трендом, чи є інтегрованим процесом і описується стохастичним трендом (лінійним або нелінійним), визначити наявність періодичної складової.

Перевірка стаціонарності часового ряду. Стаціонарні часові ряди передбачають, що процес породження наявних даних є лінійним. Вони не мають тренду або періодичної зміни середнього та дисперсії.

Перевірку гіпотез стосовно сталості середнього значення та дисперсії часового ряду можна здійснити кількома способами. Найпростішими з них є перевірка значущої відмінності двох серед­ніх значень для деяких підмножин вибірки (наприклад, для першої та останньої третин усього обсягу даних) за — критерієм (критерій перевірки гіпотези про рівність середніх двох нормально розподілених вибірок) і для дисперсії, якщо справедливе припущення про нормальний розподіл, можна використати F-критерій. Розглянемо два поширені методи: метод перевірки різниць середніх рівнів і метод Форстера-Стьюарта.

Метод перевірки різниць середніх рівнів. Реалізація цього методу передбачає такі чотири кроки.

Крок перший. Вхідний часовий ряд розподіляють на дві приблизно однакові за кількістю спостережень частини: в першій частині п1 першої половини рівнів вхідного ряду, у другій — решта рівнів п2 ().

Крок другий. Для кожної з цих частин розраховують середні значення й дисперсії: ; ; ; .

Крок третій. Перевірка рівності (однорідності) дисперсій обох частин ряду за допомогою F-критерію, що порівнює розрахункове значення цього критерію:

(1.3.1)

із табличним (критичним) значенням критерію Фішера Fα із заданим рівнем значущості α. Якщо розрахункове значення F менше за табличне Fα, то гіпотезу про рівність дисперсій приймають, і можна переходити до четвертого кроку. Якщо F більше або дорів­нює Fα, гіпотезу про рівність дисперсій відхиляють і доходять висновку, що цей метод не дає відповіді щодо наявності тренду.

На четвертому кроці перевіряють гіпотезу про відсутність тренду за допомогою t-критерію Стьюдента. Для цього визначають розрахункове значення критерію Стьюдента за формулою:

, (1.3.2)

де — оцінка середньоквадратичного відхилення різниць середніх:

.

Якщо розрахункове значення t менше за табличне tα, то нульову гіпотезу не відхиляють, тобто тренд відсутній, інакше — тренд є. Зазначимо, що в цьому разі табличне значення tα приймають для числа ступенів вільності, яке дорівнює , до того ж цей метод застосовують суто для рядів із монотонною тенденцією. Недолік методу полягає у неможливості правильно визначити існування тренду в тому разі, коли часовий ряд містить точку зміни тенденції у середині ряду.

Приклад 1.3.1.

Застосуємо метод перевірки різниць середніх рівнів для двох часових рядів: доходів консолідованого бюджету (млн грн) і доходів консолідованого бюджету (% ВВП). Для цього початкові часові ряди поділяють на дві однакові частини: перша охоплює 1999—2000 роки, друга — 2001—2002 роки. Кількість кварталів-спостережень в обох частинах однакова: п1 = п2 = 8. Результати розрахунків наведено в табл. 1.3.1. На рівні значущості , тобто з імовірністю 0,95, із числом ступенів вільності k1 = п1 – 1 = 8 – 1 = 7 і k2 = п2 – 1 = 8 – 1 = 7 табличне значення критерію Фішера дорівнює = 3,79.

Таблиця 1.3.1


Доходи

Роки

Середнє
значення

Дисперсія

F



t

Млн грн

1999—2000
2001—2002

9860,2
13695,8

8349206
4459451

1,87

2733,44

2,8

% до ВВП

1999—2000
2001—2002

26,0
24,5

6,41
1,92

3,34

2,2

1,37

Для обох часових рядів F розрахункові менші за табличне значення, тобто приймається гіпотеза про рівність дисперсій.

На рівні значущості із числом ступенів свободи п1 + п2 2 = 16 – 2 = 14 табличне значення t-розподілу дорівнює = 2,145.

Для часового ряду доходів, виражених у млн грн, t-розрахункове перевищує табличне значення , тобто нульова гіпотеза не приймається, тренд існує.

Для часового ряду доходів, виражених у відсотках до ВВП, t-роз­рахункове менше за табличне значення , тобто приймається гіпотеза про відсутність тренду. 8

Метод Форстера-Стьюарта. Цей метод має більші можливос­ті та дає надійніші результати, ніж попередній. Окрім тренду са-
мого ряду (тренду в середньому), він дає змогу встановити існування тренду дисперсії часового ряду: якщо тренду дисперсії
немає, то розкид рівнів ряду постійний; якщо дисперсія збільшується, то ряд «розхитується». Реалізація методу передбачає чотири кроки.

Крок перший. Порівнюють кожен рівень вхідного часового ряду, починаючи з другого рівня, з усіма попередніми, при цьому визначають дві числові послідовності:

(1.3.3)

(1.3.4)

t = 2, 3, …, n.

Крок другий. Розраховують величини с і d:

; (1.3.5)

. (1.3.6)

Величина c, яка характеризує зміну рівнів часового ряду, набуває значення від 0 (усі рівні ряду однакові) до п – 1 (ряд монотонний). Величина d характеризує зміну дисперсії часового ряду та змінюється від [–(п – 1)] — ряд поступово згасає, до (п – 1) — ряд поступово розхитується.

Крок третій Перевіряється гіпотеза стосовно того, чи можна вважати випадковими: 1) відхилення величини c від математичного сподівання ряду, в якому рівні розташовані випадково, 2) відхи­лення величини d від нуля. Цю перевірку здійснюють на підставі обчислення t-відношення відповідно для середньої та для дисперсії:

; ; (1.3.7)

; , (1.3.8)

де — оцінка математичного сподівання ряду; 1 — оцінка середньоквадратичного відхилення для величини c; — оцінка середньоквадратичного відхилення для величини d.

Таблиця 1.3.2

п

10

20

30

40



3,858

5,195

5,990

6,557

1

1,288

1,677

1,882

2,019

2

1,964

2,279

2,447

2,561

Фрагмент розрахованих значень величин , 1 і 2 для різних п наведено в табл. 1.3.2 [25].

Крок четвертий. Розрахункові значення tс i td порівнюють із табличним значенням t-критерію із заданим рівнем значущості tα. Якщо розрахункове значення t менше за табличне tα, то гіпотезу про відсутність відповідного тренду приймають, в іншому разі тренд існує. Наприклад, якщо tс більше табличного значення tα, a td менше tα, то для заданого часового ряду існує тренд у серед­ньому, а тренду дисперсії рівнів ряду немає.

Приклад 1.3.2.

Застосування методу Форстера-Стьюарта для двох часових рядів: доходів консолідованого бюджету (млн грн) та доходів консолідованого бюджету (% до ВВП) дає розрахунки, наведені в табл. 1.3.3.

Таблиця 1.3.3


Доходи

kt

lt

c

d

tс

td

Млн грн

8

0

8

8

3,28

4,07

% до ВВП

4

1

5

3

0,9

1,53

На рівні значущості , тобто з імовірністю 0,95 та з числом ступенів волі п – 2 = 16 – 2 = 14 табличне значення критерія Стьюдента дорівнює = 2,145.

Для часового ряду доходів, виражених у млн грн, розрахункові значення tс і td перевищують табличне значення , тобто нульова гіпотеза не приймається, існує тренд як середнього, так і дисперсії ряду.

Для часового ряду доходів, виражених у відсотках до ВВП, розрахункові значення tс і td менші за табличне значення , тобто приймається гіпотеза про відсутність тренду в тенденції й дисперсії ряду. 

Розглянуті вище два методи перевірки стаціонарності часового ряду — метод перевірки різниць середніх рівнів і метод Фостера−Стьюарта — дають різні результати щодо існування тренду дисперсії ряду доходів, виражених у % до ВВП. Якщо їхні виснов­ки виявляються протилежними, перевагу віддають методу Фостера−Стьюарта.

Визначення типу нестаціонарності та ступеня інтеграції часового ряду. Стаціонарні ряди ще називають динамічно стабіль­ними або такими, що мають нульовий порядок інтеграції .

Порядком інтеграції є число, що показує, скільки разів часовий ряд потребує застосування оператора перших різниць, щоб стати стаціонарним рядом.

Позначимо через порядок інтеграції. Часовий ряд має одиничний корінь, або порядок інтеграції одиницю (), якщо є стаціонарним рядом, тобто ряд перших різниць має нульовий порядок інтеграції (). Часовий ряд має два одиничні корені, або порядок інтеграції 2, якщо його другі різниці є стаціонарним рядом: ; . У загальному випадку часовий ряд має порядок інтеграції : , якщо . Зазначимо: якщо ряд стаціонарний, то будь-які його різниці залишаються стаціонарним рядом: тощо.

Тест Діккі-Фуллера призначений для того, щоб розрізняти часові ряди типу TS та DS. Відповідно нульовій гіпотезі досліджуваний ряд належить до типу DS. За альтернативною гіпотезою він може бути типу TS, але одночасно бути або нестаціонарним — мати детермінований тренд, або не мати тренду — бути стаціонарним. Виділяють простий тест Діккі-Фуллера — DF-тест — та розширений тест Діккі-Фуллера — АDF-тест. Розглянемо їх по порядку.

Простий DF-тест. Припустімо, що може бути описано моделлю:

, (1.3.9)

де випадкова величина є «білим шумом». Зазначимо, що модель (1.3.9) увібрала в себе риси як DS, так і TS процесів. Якщо , то — це випадкове блукання із дрейфом , тобто є нестаціонарним DS процесом. Якщо , тоді маємо справу зі стаціонарним марківським процесом. Зазначимо, що не набуває значень, більших за 1, оскільки це передбачає вибуховий процес. Оскільки такі ряди мало імовірні в економічних дослідженнях, ми їх далі не розглядатимемо. Гіпотези щодо характеру ряду можна записати таким чином:

: ряд є DS, якщо .

: ряд є TS, якщо .

У класичній лінійній регресії для перевірки такої гіпотези використовують односторонню t-статистику. Для зведення процедури перевірки нульової гіпотези до більш звичної (коли коефіцієнт за дорівнює нулю) віднімемо з обох частин (1.3.9) . У результаті отримаємо регресію:

, (1.3.10)
1   2   3   4   5   6   7

Реклама:

Схожі:

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconТема доповіді
Статистичне прогнозування промислового розвитку регіону в умовах перервності часових рядів

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconЗавдання Вправи для роботи в комп’ютерному класі. Вправа1
Використовуючи умовні дані наведеної нижче таблиці, побудуйте вибіркові корелограми до 25 лагу включно для часових рядів Y2, Y3,...

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconІнституційні передумови імплементації Стратегічної екологічної оцінки: аналіз стану державного планування та прогнозування соціально-економічного розвитку
Сного стану державного планування та прогнозування соціально-економічного розвитку як одного з основних напрямків впровадження сео...

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconТема 10 "arch, garh моделі"
Загальні поняття про нелінійні моделі та їх застосування при моделюванні фінансових часових рядів

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconЕконометричні методи в фінансовому менеджменті тема есм”
Перевірка часових рядів на коїнтеграцію Поняття про моделі корегування помилки та коінтеграцію

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconТема 10. Прогнозування як функція менеджменту поняття прогнозування
Поняття прогнозування. Динамічний І невизначений характер зовнішнього середовища підприємства робить необхідним прогнозування її...

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів icon1. Математичний аналіз
Формула Ньютона Лейбніца. Числові ряди. Основні ознаки збіжності (ознака порівняння, Даламбера. Коші, інтегральна ознака) для рядів...

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconЕконометричні методи в фінансовому менеджменті
Теоретичні основи моделювання за допомогою arima моделей. Стаціонарність та нестаціонарність часових рядів

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconДомашнє завдання Група 1
Поясніть, чому стаціонарність часових рядів є необхідною умовою для розробки var (вектор авторегресійних) моделей

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconОБҐрунтування фінансово-економічного механізму підприємства
Проведено аналіз понять системи управління, господарського, фінансового та економічного механізмів підприємства, запропоновано поняття...

Економічного прогнозування в 1 ступ основні поняття та попередній аналіз часових рядів iconУкраїни вінницький національний технічний університет інститут магістратури, аспірантури та докторантури кафедра ммсс на правах рукопису Іваненко Іван Іванович
Практичне застосування розробленої технології для ідентифікації фінансових часових рядів 14

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи