Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру icon

Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру




Скачати 48.41 Kb.
НазваIv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру
Дата01.08.2012
Розмір48.41 Kb.
ТипДокументи

IV ТУРНІР ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ

Завдання для відбірних етапів турніру

Дорогі друзі — юні шанувальники математики! Деякі із задач, що пропонуються нижче, досить складні і не обов'язково повинні бути розв'язані повністю. Оцінюватися будуть і окремі часткові просування, розбір суттєвих окремих випадків тощо. У певних ситуаціях вашій команді буде варто поставити й розв'язати аналогічну, але, можливо, більш просту задачу. Усе це є важливим елементом турнірної «боротьби», оскільки дає підстави для цікавих і корисних наукових дискусій. Задачі, які видаються занадто простими, варто спробу­вати узагальнити: це завжди високо оцінюється журі Турніру (нехтування ж можливостями узагальнення інколи призводить до втрати балі).

^ Бажаємо вам успішної підготовки до Турніру!


1.«Найменше значення». Знайдіть усі такі трійки натуральних чисел a,b,c, для яких вираз  набуває свого найменшого значення

2.«Ланцюжок кіл». Вісім кіл радіуса r розташовані в прямокутному трикутнику ABC (кут С — прямий) так, як зображено на рисунку (кожне з кіл дотикається до відпові­дних сторін трикутника та інших кіл). Знай­діть радіус вписаного кола трикутника ABC.

3.«Числові конструкції та суми кубів і квадратів».

а) Доведіть, що для будь-якого натурального k≥ 2 існує таке натуральне число, яке можна подати у вигляді суми 2, 3,..., k кубів натуральних чисел.

б) Доведіть, що для будь-якого натурального n≥ 3 існує таке натуральне число, куб якого можна подати у вигляді суми кубів n попарно різних натуральних чисел.

в) Доведіть, що для будь-якого натурального п існує таке натуральне число, квадрат якого можна подати у вигляді суми 2, 3, ..., n квадратів попарно різних натуральних чисел.

^ 4.«Біноміальні коефіцієнти та системи числення».

а) Як за розкладами натуральних чисел п і т у двійковій системі числення визначити, чи є біноміа­льний коефіцієнт  парним числом?

б) Як за розкладами натуральних чисел п і m двійковій системі числення визначити показник найбільшого степеня числа 2, на який ділиться без остачі біноміальний коефіцієнт 

^ 5.«Ковзаюче коло». Коло ω0 дотикається до прямої l у точці А. Нехай R — задане додатне число. Розглядаються всілякі кола ω0 радіуса R, які дотикають­ся до прямої l та мають з колом ω0 дві різні спільні точки. Точку дотику кола ω з прямою l позначимо через D, а точки перетину кіл ω та ω0 — через В і С (вважаємо, що відстань від точки В до прямої l більше за відстань від точки С до цієї прямої). Знайдіть геометричне місце центрів описаних кіл усіх таких трикутників АВD.

^ 6. «Функціональне рівняння». Знайдіть усі такі функції f:R→R, що для всіх x і y виконується рівність:

а) f(f(x)+)=x+

b) f(f(f(x)+y)=x+y);

7. «Складна нерівність». Нехай задано трійки дійсних чисел:

(),(),().

Доведіть, що має місце нерівність



8. «Намисто симетричних нерівностей». Для нерівних додатних дійсних чисел x і y доведіть такі нерівності:

а)

б)

в)

Для кожної з нерівностей знайдіть усі пари додатних чисел х і у, х≠у, для яких досягається рівність.

9.«Несподівані точні квадрати». Доведіть, що існує така трійка натуральних чисел а,b і с, що кожне з чисел а + b + с, аb + bс + са,  та аbс є точний квадрат. Дослідіть питання щодо скінченності чи нескінченності мно­жини всіх таких трійок (вважаємо, що числа одної трійки не можуть бути отримані множенням відповідних чисел іншої трійки на одне й те саме число).

10.«Вага многочлена». Вагою μ[р(х)] відмінного від константи многочлена

Р(х) з дійсними коефіцієнтами, записаного в стандартному вигляді — тобто у вигляді Р(х) = , де , — будемо називати суму квадратів усіх його коефіцієнтів: μ[P(x)]=

Нехай Q(х) = 3х2 +7х + 2. Знайдіть принаймні один такий многочлен Р(х), що Р(0) = 1, і для будь-якого натурального числа т виконується рівність

μ[P(х)]т =μ [Q(х)]т

11.«Бісектриса та висоти». Нехай висоти ВВ1 і СС1 гострокутного трикут­ника АВС перетинають його бісектрису АL у двох різних точках Р і Q відпові­дно. Позначимо через Р таку точку, що РР || АВ та QР || AС, а через Т — точку перетину дотичних, проведених у точках В і С до описаного кола трикутника АВС. Доведіть, що точки А, F і Т лежать на одній прямій.

12.«Циклічна система рівнянь». Розв'яжіть систему рівнянь



13. «Дробові частини». Нехай [x]– найбільше ціле число, яке не перевищує x, {x}=x-[x]

а) Доведіть, що існує число λ>0, яке задовільняє умови:



б) Чи може таке число λ належати проміжку (0;5)?

14.«Вписаний чотирикутник». Дано вписаний у коло ω чотирикутник АВСD, у якому АВ=АD, СВ = СD. Візьмемо точку Р є ω. Нехай вершини чотири­кутника  симетричні точці Р відносно прямих АВ, ВС, СD і DA відпо­відно.

а) Доведіть, ЩО ТОЧКИ, симетричні ТОЧЦІ Р ВІДНОСНО прямих  і , лежать на одній прямій.

б) Доведіть, що коли точка Р рухається по колу ω, то всі такі прямі проходять через одну спільну точку.

15.«Розбиття на групи». Задано деяку послідовність натуральних чисел  У якій кожне натуральне число зустрічається рівно один раз (тобто для кожного натурального числа s існує рівно одне рє N таке, що ар =s

а)Чи завжди знайдеться таке т, що в множині {аг, а2,..., аm} існує підмножи- на, сума елементів якої дорівнює?

б) Таке ж саме питання, якщо в заданій послідовності для всіх натуральних к виконується нерівність ак2.

16.«Перерізи многогранників». Дослідіть питання щодо найбільшої кількос­ті сторін многокутників, які можна отримати в перерізі площиною:

а) правильних многогранників;

б) опуклих октаедрів, які не є правильними (тут ми вважаємо опуклим октаед­ром будь-який опуклий многогранник з 8 трикутними гранями, 12 ребрами та 6 вершинами, з кожної з яких виходить по 4 ребра).

Чи існує такий опуклий и-гранник, що будь-який многокутник, отриманий у його перерізі площиною, має не більше за n / 10 сторін?

17.«Розрізання шахівниць». Дослідіть питання щодо умов (необхідних та/або достатніх], за яких клітчасті прямокутники можна розрізати по лініях сітки на фігурки, кожна з яких є або клітчастим квадратом розміру 2x2, або шестиклітинковим поліміно вигляду в довільній орієнтації (з повертаннями та перегортаннями).


Матеріали для проведення турніру підготували: Н. І. Бєлухов, В. О. Борисова, Р. А. Заторський, О. В. Карлюченко, О. Г. Кукуш, О. О. Курченко, В. М.Лейфура, І. М. Мітельман, Д. Ю. Мітін, М. О. Перестюк, О. Н. Нестеренко, В. В. Плахотник, К. В.Рабець, В. М. Радченко, М. М. Рожкова, О. Ю. Теплінський, О. К. Толпиго, І. В.Федак, Ф. В. Чайковський, В. А. Ясінський.

Схожі:

Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconПерелік завдань на І обласний турнір юних правознавців (листопад 2009 року)
На початку листопада 2009 р відбудеться І обласний турнір юних правознавців. До участі в турнірі запрошуються учні 9-11-х класів....
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconНаказ №327 Про підсумки фінального етапу XV всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка у 2012/2013 навчальному році
М. Й. Ядренка у 2012/2013 н р.» з 30 жовтня по 04 листопада 2012 року на базі комунальної обласної загальноосвітньої школи-інтернат...
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconОбласний турнір юних журналістів
Відповідно до наказу управління освіти І науки облдержадміністрації від 12. 09. 2014 №408-од «Про проведення ХІІ обласного турніру...
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconПрограма проведення фінального етапу ХV всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка
Реєстрація та поселення учасників турніру. Екскурсія до розважального центру в магазині «Епіцентр»
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconНаказ №1062 м. Севастополь Про підсумки міського етапу ХІ всеукраїнського турніру юних правознавців
«Про проведення міського етапу ХІ всеукраїнського турніру юних правознавців» 08 жовтня 2013 року на базі загальноосвітньої школи...
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconНаказ №254 Про проведення XV всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка у 2012/2013 н р
Всеукраїнських учнівських турнірів юних біологів, економістів, географів, математиків імені професора М. Й. Ядренка, хіміків, правознавців,...
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconСклад членів штабу лічильної комісії ХV всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка

Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconПравила проведення Всеукраїнського турніру юних інформатиків Загальні положення про Турнір Юних Інформатиків
Міністерства освіти України від 18 серпня 1998 р. №305. Правила Всеукраїнського тюі розробляються та затверджуються Організаційним...
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconМ. Й. Ядренка Турнір юних математиків проводиться відповідно до Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади, турніри, конкурс
Всеукраїнські учнівські олімпіади, турніри, конкурси з навчальних предметів, конкурси-захисти науково-дослідницьких робіт, олімпіади...
Iv турнір юних математиків завдання для відбірних етапів турніру iconМ. Й. Ядренка Турнір юних математиків проводиться відповідно до Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади, турніри, конкурс
Всеукраїнські учнівські олімпіади, турніри, конкурси з навчальних предметів, конкурси-захисти науково-дослідницьких робіт, олімпіади...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи