Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець icon

Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець




Скачати 78.32 Kb.
НазваВалентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець
Дата28.07.2012
Розмір78.32 Kb.
ТипДокументи

Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець


За доброю традицією кінець жовтня стає святом творчості на плідному ґрунті могутньої науки Математики, своєрідним ярмарком ідей та досягнень освітян-математиків та їх вихованців у розв’язанні непростих дослідницьких завдань та захоплюючому, яскравому змаганні з їх презентації.

Всіх небайдужих до математики


Міністерство освіти і науки України

Інститут інноваційних технологій і змісту освіти

запрошує на


ХІІІ ВСЕУКРАЇНСЬКИЙ ТУРНІР ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ


Завдання для відбірних етапів турніру


Вельмишановні учасники Турніру! Задачі, що пропонуються нижче, досить складні, і не обов’язково повинні бути розв’язані повністю. Оцінюватися будуть і окремі часткові просування, розбір суттєвих окремих випадків тощо. У деяких ситуаціях вашій команді буде варто поставити і розв’язати аналогічну, але, можливо, більш просту задачу. Усе це є важливим елементом турнірної "боротьби", оскільки дає підстави для цікавих і корисних наукових дискусій. Задачі, які видаються занадто простими, варто спробувати узагальнити: це завжди високо оцінюється журі Турніру (нехтування ж можливостями узагальнення інколи призводить до втрати балів).

^ Бажаємо вам успішної підготовки до Турніру!


  1. "Число підмножин". Знайдіть число підмножин множини (включаючи порожню множину), які: а) не містять жодної пари послідовних чисел; б) не містять жодної трійки послідовних чисел.




  1. "Нерівність Коші-Буняковського". Доведіть, що для довільних дійсних чисел виконується нерівність



причому знак рівності буде тоді й тільки тоді, коли існують дійсні числа такі, що і

Доведіть нерівність



де В якому випадку має місце рівність?


  1. "Вимірювання відстані." Відомий наступний спосіб наближеного вимірювання відстані. Нехай, наприклад, спостерігач знаходиться на березі річки у точці і має на меті виміряти її ширину. Для цього він фіксує точку на протилежному березі так, щоб кут між лінією берега і прямою був близьким до прямого. Потім спостерігач витягує вперед праву руку з піднятим вгору великим пальцем, заплющує ліве око і суміщає піднятий палець з точкою . Далі, відкриває ліве око, заплющує праве і оцінює відстань між точкою на протилежному березі, на яку вказує палець, і точкою . Цю відстань множить на 10 і отримує наближене значення відстані до точки , тобто ширини річки. Обґрунтуйте цей спосіб вимірювання відстані.




  1. "Сума к-тих степенів". Дослідіть, для яких натуральних показників сума ділиться на для всіх натуральних




  1. "Добутки чисел Фібоначчі". Нехай послідовність задається рівностями: Розглянемо добуток .

А). Доведіть, що для числа не можуть бути точними квадратами при жодному значенні . Б). Дослідіть це питання для інших значень .

В). Дослідіть, чи може бути точним квадратом число .


  1. "Чудові точки всередині трикутника." Всередині трикутника знайдіть точки для яких відповідно середнє геометричне і середнє гармонічне відстаней до сторін трикутника набувають максимальних значень.

У яких випадках відрізок паралельний до однієї із сторін трикутника? Знайдіть довжину такого відрізка .


  1. "Подільність многочленів". Нехай натуральні числа.

А). Нехай двочлен ділиться на двочлен Доведіть, що ділиться на

Б). Нехай двочлен ділиться на двочлен Доведіть, що непарне число.

В). Нехай двочлен ділиться на двочлен Доведіть, що двочлен ділиться на двочлен

Г). Нехай тричлен ділиться на тричлен Доведіть, що тричлен тричлен ділиться на тричлен

Узагальніть результати попередніх пунктів для інших многочленів.


  1. "Рівновіддалені точки". На координатній площині зобразіть множину всіх тих точок для яких




  1. "Кількість розв’язків". Знайдіть кількість розв’язків рівняння

,

де ціла частина числа дробова частина числа , у залежності від значення параметра


  1. "Розбиття". Представлення натурального числа у вигляді суми натуральних доданків назвемо розбиттям цього числа (наприклад, 15=7+3+3+2). Порядок доданків не враховується, тобто 3=2+1 і 3=1+2 – одне й те саме розбиття.

Через P(N) позначимо число всіх розбиттів числа і нехай число всіх тих розбиттів числа що задовольняють додаткову умову: довільні два доданки розрізняються не більше, ніж на Наприклад, розбиття 15=8+7 та 15=4+4+3+2+2 враховуються при підрахунку а 15=7+5+3 – ні. Через позначимо число всіх тих розбиттів, для яких довільні два доданки розрізняються не більше, ніж на і всі доданки непарні. А). Знайдіть Б). Знайдіть для довільного натурального числа В). Знайдіть Г). Знайдіть Д). Знайдіть для довільного натурального числа Е). Знайдіть для довільного натурального числа Є). Нехай фіксоване натуральне число і розглядається як функція Доведіть, що існує такий многочлен що та знайдіть степінь многочлена


  1. "Два факторіали". Нехай – просте число. Знайдіть усі натуральні такі, що число ділиться на




  1. "Дотична до кола". На площині зображено трикутник і коло яке проходить через вершину середини сторін та і точку перетину медіан трикутника На колі відзначена точка така, що Користуючись лише лінійкою, проведіть дотичну до кола у точці




  1. "Тура на шаховій дошці". Тура відвідує кожну клітинку шахової дошки рівно один раз і повертається на початкове поле.. За один хід вона переходить на сусідню клітинку (із спільною стороною). А). Таким чином маршрут тури замкнений і являє собою неопуклий многокутник без самоперетинів. Знайдіть його площу (площа однієї клітинки дорівнює 1, маршрут проходить через центри клітинок). Б). Відомо, що тура потрапила на поле b2 з поля a2. З котрого поля вона потрапила на поле h8?




  1. "Найкоротші шляхи". У задачі йдеться про найкоротші шляхи між точками та складені із відрізків прямих та

Кожний такий шлях – ламана. Вона може містити від двох (таких ламаних дві) до (таких ламаних також дві ) ланок. Щоб дістатися від до уздовж ламаної, складеної з ланок, слід змінювати напрям руху на кожному перехресті. Поділимо всі можливі ламані (шляхи від до ) на класи, в залежності від того, із скількох прямолінійних відрізків вони складені. А). Скільки є ламаних, котрі мають рівно ланок?

Нехай натуральне число, Б). Скільки є ламаних, котрі мають рівно ланок? В). Скільки є ламаних, котрі мають рівно ланок?

Маючи числа, котрі визначають кількісний склад усіх класів ламаних, складіть тотожність для біномних коефіцієнтів.


  1. "Центри мас трикутників". На сторонах трикутника зовнішнім чином побудовані правильні трикутники . Доведіть, що точки перетину медіан трикутників та співпадають.




  1. "Точки на сфері". Точки лежать на сфері радіуса 1. Відомо, що виконується така рівність:



Доведіть, що – правильний тетраедр.


  1. "Ціна опціона "basket". Про невід’ємні числа де відомо, що кожна з подвійних сум дорівнює 1. Для заданого числа знайти найбільше і найменше значення виразу де




  1. "Математика по-гвінейськи". Маємо 7 словосполучень мовою сеймат (одна з 800 мов у Папуа-Новій Гвінеї) та їх переклад у довільному порядку: {tehu ing, huhua seilon, tel seilon, toluhu ing, toluok sinen, tok sinen, huok sinen}, {три собаки, один будинок, дві собаки, один собака, дві людини, одна людина, три будинки}.

А). У першому стовпчику виконані дії з числами, у другому – ті ж дії у тому ж порядку, записані словами:

tepanim toluhu huohu = …;

… = seilon hinalo huopanim toluhu;

huopanim + tepanim huohu = tolupanim huohu;

… + huopanim huohu = seilon tel toluhu;

… + seilon tohu = seilon tepanim;

Заповніть пропуски.

Б). За поданими матеріалами опишіть систему числівників мовою сеймат.


  1. "Рекурентна послідовність". Послідовність дійсних чисел задається у такий спосіб: і для всіх Знайдіть




  1. "Детермінована гра". Грають двоє. Перший називає цифру від 2 до 9. Другий множить її на довільну цифру від 2 до 9. Потім перший множить результат на довільну цифру від 2 до 9 і т.д. Виграє той, хто вперше отримає добуток, більший за: 1) 2010; 2) задане число С. Хто виграє при правильній грі: перший гравець чи другий?


Матеріали для проведення відбірних етапів турніру підготували:

В. О. Борисова, О. Г. Кукуш, О. О. Курченко, В. М. Лейфура, І. М. Мітельман, О. М. Назаренко, О. Н. Нестеренко, М. О. Перестюк, К. В. Рабець, В. М. Радченко, М. М. Рожкова, О. Ю. Теплінський, О. К. Толпиго, А. А. Томусяк, І. В. Федак, В. А. Ясінський.


 Для проведення шкільних, районних, міських та обласних етапів турніру відповідні журі й оргкомітети можуть частково змінювати запропонований перелік задач.

Схожі:

Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconБорисова Т. С
Борисова Т. С. Стереотипи лексичних засобів характеристики персонажів пригодницьких творів // Мова І культура: Науковий щорічний...
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconЯнковий Олександр Григорович завідувач кафедри економіки підприємства, д е. н., професор. Семенова Валентина Григорівна к е. н., доцент кафедри економіки підприємства. Члени конкурс
Янковий Олександр Григорович – завідувач кафедри економіки підприємства, д е н., професор
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconЯнковий Олександр Григорович завідувач кафедри економіки підприємства, д е. н., професор. Семенова Валентина Григорівна к е. н., доцент кафедри економіки підприємства. Члени конкурс
move to 0-3583787
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconКонкурс до Дня Св. Валентина
Згідно регламенту роботи хду та з метою організації змістовного дозвілля студентів проводиться університетське свято «День Святого...
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconОстровська катерина Олексіївна
Островська катерина Олексіївна V. 1965, Львів) – психолог, канд психол наук (Взаємозв’язок образу Я, самооцінки та ціннісних орієнтацій...
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconОстровська катерина Олексіївна
Островська катерина Олексіївна V. 1965, Львів) – психолог, канд психол наук (Взаємозв’язок образу Я, самооцінки та ціннісних орієнтацій...
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconЗміст Колонка головного редактора
Давиденко І. С., Пішак В. П., Коломоєць М. Ю., Сидорчук І. Й., Пішак О. В., Курченко І. Ф. Апоптоз у стромальних клітинах проміжних...
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconУ період з 23 по 26 жовтня 2012 року у місті Кривий Ріг в палаці спорту «Локомотив» проводився Кубок України зі стрибків на акробатичній доріжці
Баєва Катерина, майстри спорту – Леонід Пантело, Артур Юшковський (гр. Лв-10), Іван Юшковський (гр. Ксм-10-1), Дмитро Ніколаєв (гр....
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconЗ днем святого Валентина!!!
Сердечно вітаю всіх Вас з Днем святого Валентина – днем кохання, яке оселилося в нашому житті без будь-яких законів І правил. Після...
Валентина Борисова, Олександр Курченко, Катерина Рабець iconПлан лекції: Особливості прокаріот
Медицинская микробиология, вирусология, иммунология / Под ред. Л. Б. Борисова, А. М. Смирновой. М.: Медицина, 1994
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи