Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» icon

Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм»




Скачати 188.14 Kb.
НазваМетодические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм»
Дата14.11.2012
Розмір188.14 Kb.
ТипМетодические указания

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ


к выполнению контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ»


«Численное решение системы нелинейных уравнений лучистого

теплообмена в системе из N поверхностей»


Цель работы

Освоение метода Ньютона при решении системы нелинейных уравнений, характерных для задач лучистого теплообмена в нагревательных печах.


Теоретические основы

Пусть имеется печь для нагрева материала. Схема печи показана на рис. 1. Условно считаем, что в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, печь имеет бесконечную протяженность. Требуется определить температуры поверхностей, стен, свода и металла, если заданы тепловые потоки на эти поверхности.

S




























Рис. 1 Схема теплообмена в рабочем пространстве печи

при нагреве металла излучением в лучепрозрачной среде


Угловые коэффициенты в данной геометрической системе определяются по формулам:

(1)

Если записать уравнение теплового баланса для любой из зон (1-3), то получим:

(2)

где – тепловые потоки, соответственно, результирующий, эффективный, конвективный и собственный, [Вт]; εi – степень черноты i-й поверхности.

В свою очередь, конвективный тепловой поток равен:

, [Вт], (3)

где αi – коэффициент конвективной теплоотдачи [Вт/(м2·К)]; Т2 и Тi – температуры газа и i-й поверхности, [К]; Fi – площадь i-й поверхности, [м2].

Собственный тепловой поток определяется по формуле:

(4)

где σ = 5,67·10-8 [Вт/(м2·К4)] – коэффициент излучения абсолютно черного тела.

Для определения температур зон через известные результирующие тепловые потоки надо составить систему из уравнений, подобных (2). Относительно температур уравнение (2) будет нелинейным, т.к. температуры присутствуют в 4-й степени и в 1-й степени (в выражении для ). Запишем такую систему нелинейных уравнений, раскрыв через (4) и обозначив . Получим:

(5а)

(5б)

(5в)

Такая запись (5) является громоздкой и неудобной при применении конкретного математического метода для решения системы.

Для упрощения записи системы (5) введем обозначения:

А = σ·F1·φ12 = σ·F2·φ21; (6а)

В = σ·F1·φ13 = σ·F3·φ31; (6б)

С = σ·F2·φ23 = σ·F3·φ32; (6в)

(6г)

(6д)

(6е)

(6ж)

(6з)

Теперь, если раскрыть выражение для по (4), получим:



Система уравнений (7) по-прежнему неудобна для решения. Поэтому введем дополнительные обозначения:

L1 = α1·Тг·F1; L2 = α2·Тг·F2; L3 = α3·Тг·F3; (8а)

Н1 = – S11·L1 – S21·L2 – S31·L3 + Д1; (8б)

Н2 = – S12·L1 – S22·L2 – S32·L3 + Д2; (8в)

Н3 = – S13·L1 – S23·L2 – S33·L3 + Д3; (8г)

М11 = S11·α1·F1; М21 = S21·α2·F2; М31 = S31·α3·F3; (8д)

М12 = S12·α1·F1; М22 = S22·α2·F2; М32 = S32·α3·F3; (8е)

М13 = S13·α1·F1; М23 = S23·α2·F2; М33 = S33·α3·F3. (8ж)

Получим окончательное выражение для системы нелинейных выражений в формализованном виде:



Система (9) удобна для решения.

Обозначим левую часть уравнений через f:



Для решения систем типа (9) используется метод Ньютона, метод простых итераций и другие итерационные методы. Из них метод Ньютона и его разновидности характеризуются высокой скоростью сходимости последовательных приближений и, следовательно, высокой экономичностью.

Согласно методу Ньютона система уравнений решается итерационным способом по формуле последовательных приближений:

при n = 0, 1, 2, …, (11)

где n – номер итерации; – матрица, обратная матрице Якоби:

(12)

При n = 0 имеем начальное приближение: . В качестве начального приближения в задачах излучения удобнее задавать одну из известных температур, в данном случае температуру газов Тг:

(13)

Расчет по итерационной формуле заканчивается тогда, когда значения неизвестных на последующем шаге (n + 1) будут примерно (с некоторой погрешностью) соответствовать значениям на шаге (n), т.е. . Это условие строго записывается так: при i = 1 ÷ N или , если . Здесь δ – абсолютная погрешность, а εδ [%] – относительная погрешность, значения которых надо знать до итерационного расчета. Обычно для задач лучистого теплообмена применительно к печам можно принимать: δ ≈ 1-5 °С и εδ ≈ 0,1-1 %.

Таким образом, последовательность расчета данной системы нелинейных уравнений (9) по методу Ньютона включает в себя:


– задание начального приближения искомых неизвестных: при n = 0;

– расчет вектора функций :



– расчет элементов матрицы Якоби :

(15)

– расчет элементов обратной матрицы:

(16)

Элементы обратной матрицы находятся из понятия единичной матрицы:

(17)

Перемножение матриц и происходит путем почленного умножения каждой строки матрицы на каждый столбец матрицы и приравнивания результата соответствующему элементу единичной матрицы Е, находящемуся на пересечении строк и столбцов.

Таким образом, первый столбец матрицы может быть найден из решения системы линейных уравнений:

(18)

Второй столбец – из решения системы:

(19)

Третий столбец – из решения системы:

(20)

После определения элементов обратной матрицы новое приближение происходит по формулам:

(20а)

(20б)

(20в)


^ Пример расчета


Задание

Выполнить расчет температуры внутренних поверхностей рабочего пространства печи (схема печи на рис. 1) при известных результирующих тепловых потоках и известной температуре греющих газов. Расчет выполняется на 1 м длины печи. Погрешность последовательных приближений: δ < 1 K и ε < 0,5 %.


^ Исходные данные


Ширина печи: S = 4 м.

Высота печи: h = 1,5 м.





Зоны




1

2

3

Результирующие тепловые потоки, кВт

10,4

200

3,9

Коэффициент теплоотдачи конвекцией, Вт/(м2·К)

50

30

35

Степень черноты

0,8

0,7

0,8


Температура газов: Тг = 1473 К.


Расчет


Для исключения потери точности расчет ведем с четырьмя значащими цифрами.


1. Расчет площадей зон:

F1 = S·1 = 4 м2; F2 = S·1 = 4 м2; F3 = 2·h·1 = 3 м2.


2. Расчет угловых коэффициентов:



φ23 = φ13 = 1 – φ12 = 1 – 0,6930 = 0,3070;






3. Расчет вспомогательных коэффициентов для упрощения исходной системы уравнений:

А = σ·F1·φ12 = 5,67·10-8·4·0,6930 = 15,72·10-8;

В = σ·F1·φ13 = 5,67·10-8·4·0,3070 = 6,957·10-8;

С = σ·F2·φ23 = 5,67·10-8·4·0,3070 = 6,957·10-8;































L1 = α1·Тг·F1 = 50·1473·4 = 29,46·104;

L2 = α2·Тг·F2 = 30·1473·4 = 17,68·104;

L3 = α3·Тг·F3 = 35·1473·3 = 15,47·104;

Н1 = – (S11·L1 – S21·L2 – S31·L3 + Д1) =

= – (– 1,250·29,46·104 + 0,2970·17,68·104 + 0,1023·15,47·104 – 46,80·103) =

= 346,7·103;

Н2 = – (S12·L1 – S22·L2 + S32·L3 – Д2) =

= – (0,1739·29,46·104 – 1,429·17,68·104 + 0,1023·15,47·104 + 283,6·103) =

= – 97,8·103;

Н3 = – (S13·L1 + S23·L2 + S33·L3 – Д3) =

= – (0,07675·29,46·104 + 0,1316·17,68·104 – 1,205·15,47·104 – 22,42·103) =

= 162,9·103;

М11 = S11·α1·F1 = – 1,250·50·4 = – 250;

М21 = S21·α2·F2 = 0,2970·30·4 = 35,64;

М31 = S31·α3·F3 = 0,1023·35·3 = 10,74;

М12 = S12·α1·F1 = 0,1733·50·4 = 34,66;

М22 = S22·α2·F2 = – 1,429·30·4 = – 171,5;

М32 = S32·α3·F3 = 0,1023·35·3 = 10,74;

М13 = S13·α1·F1 = 0,07675·50·4 = 15,35;

М23 = S23·α2·F2 = 0,1316·30·4 = 15,79;

М33 = S33·α3·F3 = – 1,205·35·3 = – 126,5.


4. Задаемся начальным приближением для температур зон:


при n = 0.


5. Определение значения функции f, соответствующего заданным температурам зон:








6. Расчет коэффициентов матрицы Якоби – W(T):

W11 = 4·К1· + М11 = 4·(– 22,68·10-8)·14733 – 250 = – 3,149·103;

W12 = 4·А· + М21 = 4·15,72·10-8·14733 + 35,64 = 2,045·103;

W13 = 4·В· + М31 = 4·6,957·10-8·14733 + 10,74 = 900,1;

W21 = 4·А· + М12 = 4·15,72·10-8·14733 + 34,66 = 2,044·103;

W22 = 4·К2· + М22 = 4·(– 22,68·10-8)·14733 – 171,5 = – 3,071·103;

W23 = 4·С· + М32 = 4·6,957·10-8·14733 + 10,74 = 900,1;

W31 = 4·В· + М13 = 4·6,957·10-8·14733 + 15,35 = 904,7;

W32 = 4·С· + М23 = 4·6,957·10-8·14733 + 15,79 = 905,2;

W33 = 4·К3· + М33 = 4·(– 13,93·10-8)·14733 – 126,5 = – 1,907·103.

7. Решение систем линейных уравнений с определением коэффициентов обратной матрицы W1(T). Для решения систем может быть использован метод определителей, метод простых итераций и др. Ввиду тривиальности решения систем ход решения не показан. Приведены только результаты решения систем:



Z11 = – 2,432·10-3; Z21 = – 2,273·10-3; Z31 = – 2,232·10-3;



Z12 = – 2,274·10-3; Z22 = – 2,504·10-3; Z32 = – 2,267·10-3;



Z13 = – 2,221·10-3; Z23 = – 2,254·10-3; Z33 = – 2,648·10-3.

8. Получение нового приближения в решении системы нелинейных уравнений:








9. Определение погрешности последовательного приближения:

– абсолютная погрешность:







δmax = δ2 ≈ 556 К;

– относительная погрешность:







εmax = ε2 ≈ 60,5 %.

10. Остальные приближения при n = 1, 2, … выполняются точно также, начиная с п. 5. Эти приближения выполняются на ЭВМ с помощью математического пакета MathCAD. Результаты расчетов сведены в таблицу 1.


Таблица 1

Результаты расчетов системы нелинейных уравнений при последовательных

приближениях методом Ньютона

n

T1

T2

T3

δmax, °C

εmax, %

0

1473

1473

1473





1

989,4

917,5

991,4

555,5

60,5

2

1036

792,2

1041

125,3

15,8

3

1041

779,4

1045

12,8

1,6

4

1041

779,3

1045

0,1

0,01


11. Окончательным результатом решения данной задачи лучистого теплообмена следует считать следующее.

Температуры поверхностей теплообмена в печи составляют: Т1 = 1041 К;

Т2 = 779,3 К; Т3 = 1045 К с погрешностью последовательных приближений не более 0,1 К или 0,01 %. Этот результат удовлетворяет предельным заданным значениям погрешности (1 К или 0,5 %).


Содержание отчета по контрольному заданию

1. Название и цель работы.

2. Схема лучистого теплообмена (рис. 1).

3. Численный расчет одного (первого) приближения при решении системы нелинейных уравнений. Выполняется «вручную» по своему варианту.

4. Запись протокола всех действий и операций, выполняемых в среде MathCAD. Возможна распечатка на принтере протокола (содержимого окна рабочего документа MathCAD).

5. Результаты в виде, подобном показанному в табл. 1.


Контрольные вопросы

1. Какие уравнения являются нелинейными?

2. Какие математические методы применяются при решении системы нелинейных уравнений?

3. Укажите последовательность или блок-схему решения системы нелинейных уравнений (9) методом Ньютона.

4. Как Вы оцениваете скорость убывания погрешности последовательных приближений при использовании метода Ньютона?

5. Какие стандартные процессы есть в математическом пакете MathCAD для решения систем уравнений (линейных и нелинейных)?


Варианты для выполнения домашнего задания

1. Варианты приведены в таблице 2. Для всех вариантов принять: α1 = α2 = α3 =

= 40 Вт/(м2·К); ε1 = ε2 = ε3 = 0,75; δ < 5 K и ε < 1 %.Номер варианта выбирается по последним двум цифрам зачетной книжки.


Таблица 2

Варианты домашнего задания




варианта

S, м

h, м

q1, кВт

q2, кВт

q3, кВт

Тг, К

1

2,1

1,1

11

101

3,1

1501

2

2,2

1,2

12

102

3,2

1502

3

2,3

1,3

13

103

3,3

1503

4

2,4

1,4

14

104

3,4

1504

5

2,5

1,5

15

105

3,5

1505

6

2,6

1,6

16

106

3,6

1506

7

2,7

1,7

17

107

3,7

1507

8

2,8

1,8

18

108

3,8

1508

9

2,9

1,9

19

109

3,9

1509

10

3,0

2,0

20

110

4,0

1510

11

3,1

1,1

21

111

4,1

1511

12

3,2

1,2

22

112

4,2

1512

13

3,3

1,3

23

113

4,3

1513

14

3,4

1,4

24

114

4,4

1514

15

3,5

1,5

25

115

4,5

1515

16

3,6

1,6

26

116

4,6

1516

17

3,7

1,7

27

117

4,7

1517

18

3,8

1,8

28

118

4,8

1518

19

3,9

1,9

29

119

4,9

1519

20

4,0

2,0

30

120

3,0

1520

21

4,1

1,1

31

121

5,1

1521

22

4,2

1,2

32

122

5,2

1522

23

4,3

1,3

33

123

5,3

1523

24

4,4

1,4

34

124

5,4

1524

25

4,5

1,5

35

125

5,5

1525

26

4,6

1,6

36

126

5,6

1526

27

4,7

1,7

37

127

5,7

1527

28

4,8

1,8

38

128

5,8

1528

29

4,9

1,9

39

129

5,9

1529

30

5,0

2,0

40

130

6,0

1530

31

5,1

1,1

41

131

6,1

1531

32

5,2

1,2

42

132

6,2

1532

33

5,3

1,3

43

133

6,3

1533







Схожі:

Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconМетодические указания по организации выполнения контрольной работы рисунок 1 Пример оформления таблицы
Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Локальные информационные сети» для студентов специальности 090803...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconГородского хозяйства методические указания
Методические указания к выполнению контрольной работы (ргр) по дисциплине «Объектно-ориентированное программирование» (для студентов...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconМетодические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Основы программирования и алгоритмические языки»
Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Основы программирования и алгоритмические языки» для студентов...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconГородского хозяйства методические указания
Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Языки программирования» (для студентов заочной формы обучения...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconМетодические указания
Методические указания для проведения контрольной работы по дисциплине «Основы гидромелиорации» (для студентов 3 курса дневной и заочной...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconМинистерство образования и науки Украины Харьковская национальная академия городского хозяйства
Методические указания к выполнению контрольной работы и задания по курсу „Прогнозирование” (для студентов 3, 4 курсов заочной формы...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconО. А. Шовкопляс Ответственный за выпуск В. Д. Карпуша Декан факультета С. М. Верещака
Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов экономических...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconГ. В. Стадник методические рекомендации
Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Основы менеджмента» (для студентов 3 курса заочной формы обучения спец....
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconПрограмма курса «Организация производства»
Программа изучения курса «Организация производства» и методические указания к выполнению контрольной работы (для студентов и слушателей...
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Математические методы и модели в расчетах на эвм» iconМинистерство образования и науки Украины Харьковская национальная академия городского хозяйства методические рекомендации к выполнению контрольний работы и задание по курсу «Страхование»
Методические рекомендации к выполнению контрольной работы по курсу „Страхование” (для студентов 3, 4 курсов заочной формы обучения...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи