Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” icon

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”




Скачати 442.07 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”
Сторінка1/4
Дата21.08.2012
Розмір442.07 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3   4


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ

МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА


Математичний вступ до курсу фізики

(для студентів І курсу денної і заочної форм навчання бакалаврів

за напрямом 0708 - „Екологія”)


ХАРКІВ-ХНАМГ-2007


Математичний вступ до курсу фізики.(для студентів 1 курсу денної і заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 0708 - “Екологія” Укл.: Єфімова О.В.– Харків: ХНАМГ, 2007. – 52 с.


Рецензент: канд. фіз.-мат. наук, доц. А.С. Сисоєв


Рекомендовано кафедрою фізики

протокол № 10 від 17 травня 2007 р.


ВСТУП


У цих вказівках стисло, конспективно викладено відомості з векторної алгебри, математичного аналізу й векторного числення, які потрібні для курсу фізики вже на початку першого семестру, а також метод комплексних амплітуд.

Розглянуто далеко не всі питання математики, потрібні в курсі фізики, а тільки мінімальні відомості, що дозволяють почати виклад курсу фізики із застосуванням необхідного математичного апарату.

Питання елементарної математики (арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія) не викладаються, оскільки вважається, що вони загальновідомі.


1. ВЕКТОРИ


1.1. Поняття вектора


Вектори зображуються у просторі або на площині орієнтованим відрізком (стрілкою). На рис. 1.1 показаний вектор та його координати-проекції на осі координат x, y, z: Ах, Аy, Аz.

Вектор повністю визначений завданням своїх проекцій, так що можна записати: =(Ах, Аy, Аz). Радіус-вектор має координати x, y, z: = (x, y, z). Модуль (довжина) вектора позначається || або А ‌‌(без стрілки) і дорівнює

.

(1.1)






Рис. 1.1


Якщо одна із проекцій дорівнює нулю, то вектор лежить у площині. Наприклад, якщо Ах=0, то вектор лежить у площині Y, Z. Вектор =0, якщо Ахyz=0, тобто при || = 0.

Вектор не змінюється при паралельному перенесенні.


1.2. Додавання векторів


Сумою двох векторів і називається вектор =+ (рис. 1.2), в якого проекції на осі дорівнюють сумі відповідних проекцій доданків: Сххх; Суу+Bу; Сzzz (рис. 1.3). Геометрично знайти суму двох векторів можна двома способами: за допомогою правила паралелограма (рис. 1.2) або якщо сполучити початок одного (наприклад, ) з кінцем іншого, і побудувати вектор , що з'єднує початок вектора з кінцем вектора (рис. 1.3). Другий спосіб зручніший, коли число доданків більше двох. На рис. 1.4 показана сума чотирьох векторів: =1+2+3+4.





Рис. 1.2 Рис. 1.3




Рис. 1.4


1.3. Скалярний добуток векторів


Скалярний добуток двох векторів і позначається так: . Крапка між векторами іноді не ставиться. Скалярний добуток – це число (скаляр), яке дорівнює:

= АВcos,

(1.4)


де – кут між векторами і .

За допомогою проекцій на осі скалярний добуток записується так:

=Ах∙Вху∙Ву+ Аz∙Вz.

(1.5)

Як видно з формули (1.4), скалярний добуток максимальний і дорівнює АВ, коли кут =0, тобто вектори і паралельні. Скалярний добуток дорівнює нулю, якщо вектори і ортогональні (кут = 90°), або один з векторів дорівнює нулю.


^ ФІЗИЧНИЙ СМИСЛ СКАЛЯРНОГО ДОБУТКА


Якщо вектор (рис. 1.5) зображує переміщення матеріальної точки, а вектор силу, що діє на цю точку, то скалярний добуток чисельно дорівнює роботі сили .

Дійсно, роботу виконує тільки компонента сили . Виходить, робота з абсолютного значення дорівнює добутку довжин векторів й .

При цьому вона вважається позитивною, якщо вектори й є рівноскерованими, і негативною в протилежному випадку. Отже, робота дорівнює модулю вектора , помноженому на алгебраїчну проекцію вектора за напрямком вектора , тобто робота дорівнює скалярному добутку .





Рис. 1.5


1.4. Векторний добуток векторів


Векторний добуток двох векторів позначається так: ×.
Іноді можна зустріти інше позначення: [,]. Векторний добуток двох векторів – вектор. Модуль (довжина) цього вектора визначається так:


|×|=АВsin,

(1.5)


де – кут між векторами та .

Напрямок цього вектора визначається правилом буравчика (правого гвинта). Якщо обертати буравчик у напрямку від першого співмножника до другого за найкоротшим кутом, то поступальний рух буравчика вкаже напрямок векторного добутку × (рис. 1.6). Векторний добуток векторів і ортогональний площині, в якій лежать вектори і , отже, ортогональний як вектору , так і вектору .

×




Рис. 1.6


Відзначимо, що векторний добуток, на відміну від скалярного, залежить від порядку співмножників: при зміні порядку співмножників воно змінює знак:


× = -×.

(1.6)


Модуль векторного добутку максимальний, коли вектори ортогональні ( = 90°).

Векторний добуток паралельних (антипаралельних) векторів дорівнює нулю ( = 0 або = 180°).


^ ФІЗИЧНИЙ СМИСЛ ВЕКТОРНОГО ДОБУТКУ


Із численних фізичних величин, що зображені векторним добутком, розглянемо тільки момент сили.

Нехай А є точка прикладання сили . Моментом сили відносно точки О називається векторний добуток . Оскільки модуль цього векторного добутку чисельно дорівнює площі паралелограма AFLO (рис. 1.7), то модуль моменту дорівнює добутку основи на висоту ОК, тобто силі, що помножена на відстань від точки О до прямої, уздовж якої діє сила.

У механіці доводиться, що для рівноваги твердого числа необхідно, щоб дорівнювали нулю не тільки сума векторів які представляють сили, прикладені до тіла, але й сума моментів сил. У тому випадку, коли всі сили паралельні одній площині, додавання векторів, що представляють моменти, можна замінити додаванням і відніманням їхніх модулів. Але при довільних напрямках сил така заміна неможлива. Відповідно до цього векторний добуток визначається саме як вектор, а не як число.




Рис. 1.7


1.5. Мішаний добуток трьох векторів


Мішаним добутком трьох векторів , , називається скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :(×) (рис. 1.6). Мішаний добуток за абсолютною величиною дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , (рис. 1.8). Коли вектори , , ортогональні, мішаний добуток максимальний і дорівнює АВС.





Рис. 1.8


Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо два з векторів , , паралельні, або всі вектори лежать в одній площині, або один з векторів дорівнює нулю.


^ 2. ПОХІДНА Й ДИФЕРЕНЦІАЛ


2.1. Похідна й диференціал функції однієї змінної


Нехай y є функція однієї змінної х : y=f(х). Похідна позначається так: або коротше . Похідну за часом t позначають часто так: .

Визначення похідної:

.

(2.1)

Тут Δх – прирощення аргументу, тобто різниця кінцевого х1 і початкового х0 значення аргументу (Δх = х1 - х0), Δy = y(х1)- y(х0) прирощення функції. Таким чином, похідна функції – це границя відносин прирощення функції до прирощення її аргументу, коли прирощення аргументу прагне до нуля. Надалі, якщо це не оговорено, будемо вважати, що границя у формулі (2.1), тобто похідна в розглянутій точці існує. При малих прирощеннях похідну можна приблизно обчислювати так:

.

(2.2)

Співвідношення (2.2) тим точніше, чим менше прирощення Δх, Δy. Зі співвідношень (2.1), (2.2) зрозумілий зміст похідної: вона визначає швидкість зміни функції.



Рис. 2.1

Формулу (2.2) можна використати для приблизного визначення похідної за графіком функції (рис. 2.1). Якщо по осях відкладені безрозмірні величини, то, як видно з рис. 2.1,

.

(2.3)

Таким чином, похідна в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту tg дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці. При малих прирощеннях Δх й Δy дотична майже збігається з хордою, проведеною через початкову й кінцеву точку. Якщо по осях відкладаються розмірні величини, то для одержання похідної потрібно кутовий коефіцієнт помножити на відношення масштабів за осями Y та X. Наприклад, якщо по осі Х відкладена напруга U, а по осі Y струм J, то ,

де mJ – масштаб струму по осі Y, mU – масштаб напруги по осі X.

З формули (2.2) випливає наближена рівність для збільшення функції:

.

(2.4)

Права частина цієї рівності називається диференціалом dy функції y=f(х):

.

(2.5)
  1   2   3   4

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка
Конспект лекцій для студентів 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 070101 “Транспортні технології (за видами...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconХарківська національна академія міського господарства методичні вказівки до самостійної роботи з вивчення курсу фізики для студентів 1-2 курсів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямками 0906 “Електротехніка”
Електротехніка”, 0708 “Екологія”, 0921 “Будівництво”, 0922 “Електромеханіка”, 0926 “Водні ресурси”, 1004 “Транспортні технології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка Частина Розрахунок на міцність повітряних ліній електропередач
...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства будівельна механіка
Конспект лекцій для студентів 3 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика
Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства в. А. Бардаков конспект лекцій з курсу «вступ до спеціальності»
Конспект лекцій з курсу «Вступ до спеціальності» (для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 030601...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Механіка (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства
Прикладна літоекологія та радіологія” (для студентів 3 курсу денної та 4 курсу заочної форм навчання спец. 070800 „Екологія та охорона...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання практичних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи