Теоретична механіка icon

Теоретична механіка




Скачати 329.34 Kb.
НазваТеоретична механіка
Сторінка1/3
Дата21.08.2012
Розмір329.34 Kb.
ТипЗакон
  1   2   3


ВСТУП


Теоретична механіка - одна з найважливіших наук фізико-математичного профілю, що формує науковий світогляд інженера. На її законах базуються такі загально інженерні дисципліни, як опір матеріалів, будівельна механіка, прикладна механіка, деталі машин, теорія машин і механізмів, гідравліка та ін. Тому вивчення теоретичної механіки необхідне як для розуміння цих дисциплін, так і для наукового тлумачення явищ природи.

Даний навчально-методичний посібник складено з метою допомоги студентам будівельних, електромеханічних, екологічних і транспортних спеціальностей вузу в самостійній роботі, при підготовці до занять, контрольних робіт, тестового контролю, захисту змістовних модулів, заліків та іспитів з теоретичної механіки.

Визначення:

Теоретична механіка - наука про найбільш загальні закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл і виникаючі між ними взаємодії.


1. СТАТИКА

Статика - розділ теоретичної механіки, який вивчає методи перетворення одних систем сил в інші, їм еквівалентні, а також умови рівноваги твердих тіл під дією системи сил.

^ Абсолютно тверде тіло - матеріальне тіло, в якому відстань між будь-якими двома точками не змінюється.

Матеріальна точка - найпростіша модель матеріального тіла, розмірами якого при умовах даної задачі можна знехтувати. ^ Механічна система - сукупність взаємозв’язаних матеріальних точок, положення і переміщення кожної з яких залежить від положення і переміщення всіх інших.

Сила - це величина, що є мірою механічної взаємодії двох тіл. Сила - векторна величина, яка визначається модулем, лінією дії, напрямком дії та точкою прикладення.




Одиницею виміру сили є 1 ньютон (1 Н = 1 кгм/с2), або 1 кілограм сили (1 кг), 1 кг  9,8 Н.

^ Лінія дії сили - лінія ДЕ, уздовж якої напрямлена сила.

Система сил - сукупність сил, що діють на будь-яке тіло.

Еквівалентні системи сил - системи сил, під дією яких тверде тіло знаходиться в однаковому стані (рівноваги або руху). Позначається «~».

^ Зрівноважена система сил (або еквівалентна нулю) - система сил, під дією якої тверде тіло знаходиться у стані рівноваги.

Рівнодійна системи сил - сила, еквівалентна даній системі сил.

^ Аксіоми статики:

  1. Дві сили, що діють на вільне абсолютно тверде тіло, зрівноважені





тоді і тільки тоді, коли вони рівні за величиною, протилежні за напрямом і діють уздовж однієї прямої:

.

2. Приєднання і відкидання взаємно зрівноваженої системи не порушує рівновагу абсолютно твердого тіла.

^ Наслідок з аксіом 1 і 2: Дія сили на абсолютно тверде тіло не змінюється, якщо перенести силу уздовж лінії дії в іншу точку тіла.



3. Система двох сил, прикладених в одній точці під деяким кутом одна до одної, має рівнодійну, яка за своєю величиною і напрямом дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах.

4. Сили взаємодії двох тіл завжди рівні за величиною і діють по одній прямій у протилежних напрямах.

5. Невільне матеріальне тіло можна розглядати як вільне, якщо в’язі замінити їх реакціями.

6. Принцип затвердіння: рівновага здеформованого тіла не порушиться, якщо тіло вважати абсолютно твердим.

^ Вільне тіло - це таке тіло, на переміщення якого не накладені обмеження.

В’язі - це тіла, що обмежують рух даного тіла.

Реакція в’язі - це сила, з якою в’язь діє на тіло, рух якого вона обмежує.

Види в’язей і напрям їх реакції:



1. Ідеальна гладенька поверхня.






реакція такої поверхні спрямована перпендикулярно до дотичної площини, проведеної до поверхні цієї опори у точці стику з даним тілом.

  1. Ребро



Якщо опора є ребром, реакція в’язі спрямована по нормалі до тієї поверхні, до якої можна провести нормаль.


3. Гнучка в’язь.



Такі в’язі працюють тільки на розтяг. Їх реакції напрямлені вздовж нитки, каната, ланцюга, якщо вони прямолінійні, або по дотичній в точці А в іншому випадку.

  1. Рухомий шарнір.




Реакція такої в’язі спрямована перпендикулярно до опорних площин, на яких знаходяться котки.

5. нерухомий шарнір.


Реакція нерухомого шарніра може мати довільний напрям залежно від сил, прикладених до тіла. Тому реакцію нерухомого шарніра показують у вигляді двох взаємно перпендикулярних складових, напрямлених звичайно вздовж координатних осей:

.


6. Ідеальний стержень.




Так називається тонкий невагомий стержень, закріплений двома шарнірами на його кінцях. Такий стержень працює тільки на розтяг або на стиск, якщо в проміжних точках на нього не діють ніякі сили. Реакція ідеального стержня напрямлена по осі стержня.

7. Жорстке защемлення (нерухоме закріплення).




Балка АВ одним своїм кінцем жорстко закріплена в стіні, а другий іі кінець служить опорою для конструкції. Якщо на балку діють сили, то в закріпленні виникають реакції, що складаються із сили яку зображують у вигляді двох взаємно перпендикулярних складових і пари сил з моментом .

8. Сила тертя ковзання .

У цьому випадку реакцію опори можна розкласти на дві складові: силу , нормальну до поверхні опори, і силу , дотичну до поверхні опори (силу тертя). Сила тертя дорівнює:

,

де f - коефіцієнт тертя ковзання, , - сила ваги тіла.

9. підп’ятник і підшипник.



Якщо циліндричний шарнір не перешкоджає переміщенню тіла тільки в одному напрямі вздовж осі циліндра і перешкоджає переміщенню у протилежному напрямі, то такий циліндричний шарнір називається підп’ятником. Опорна реакція підп’ятника має три складові по трьох взаємно перпендикулярних напрямах

.

Якщо циліндричний шарнір не перешкоджає переміщенню тіла тільки в одному напрямі вздовж осі циліндра, то такий циліндричний шарнір називається підшипником. Опорна реакція підшипника має дві складові по двом взаємно перпендикулярним напрямам

.

10. Сферичний шарнір.



У випадку сферичного шарніра тіло може обертатися навколо центра шарніра, але не має змоги переміщуватись у будь-якому напрямі. Реакцію сферичного шарніра виражають трьома складовими у трьох взаємно перпендикулярних напрямах:

.

1.1. Система збіжних сил

Система збіжних сил - це така система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці. Тут точка О - точка збігу сил.




Теорема про три непаралельні сили:

Якщо тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, то лінії дії усіх трьох сил перетинаються в одній точці.

За допомогою цієї теореми можна в певному випадку визначити лінію дії, наприклад, реакції нерухомого шарніра, враховуючи, що лінії дії сили ваги і реакції відомі.




Теорема про рівнодійну системи збіжних сил:

Система збіжних сил має рівнодійну, що дорівнює геометричній



(векторній) сумі цих сил і прикладена в точці перетину їх ліній дій.

.

^ Умови рівноваги системи збіжних сил:

Для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодійна системи сил дорівнювала нулю (геометричні умови):

,

або сума проекцій цих сил на осі координат дорівнювала нулю (аналітичні умови):



Якщо всі сили системи збіжних сил розташовані в площині, наприклад ХОУ, то для їх рівноваги повинно бути



1.2. Проекція сили на вісь

Проекція сили на вісь - алгебраїчна величина, що дорівнює довжині відрізка між проекціями початку і кінця сили на цю вісь. Проекція має знак «+», якщо вектор сили нахилений у бік додатного напрямку осі, і знак



«-» - якщо в бік від’ємного напрямку.

Величина проекції сили визначається розв’язанням трикутника АВС, який утворюється початковою силою і лініями, паралельними осям координат.

Якщо сила перпендикулярна до осі, то її проекція на цю вісь дорівнює нулю. Тому Fx = F  cos, Fy= - F  sin ,

Tx = 0, Ty = T.

Якщо сила знаходиться у просторі, то її проекції визначаються так:









1.3. Моменти сили і пари сил

1.3.1. Момент сили відносно точки

Плечем h сили відносно точки О називається довжина перпенди-куляра, проведеного з точки до лінії дії сили.





модуль моменту

.


^ Моментом сили відносно точки О називається вектор , модуль якого дорівнює добутку сили на плече, прикладений у цій точці ^ О і напрямлений перпендикулярно до площини, що проходить через точку О і лінію дії сили, у той бік, звідки обертання сили відносно точки видно проти ходу стрілки годинника.

Вектор моменту сили можна подати як векторний добуток радіуса-вектора точки прикладення сили на вектор сили:

,

де - декартові координати точки А прикладання сили; - проекції сили на осі координат; - орти осей .

При розв’язанні задач у площині використовують поняття алгебраїчного моменту сили відносно точки.

Правило визначення алгебраїчного моменту сили відносно точки :

  1. Провести лінію дії сили ( пряма ДЕ ).

  2. З вибраної точки ^ О провести перпендикуляр на лінію дії сили (його довжина h - плече сили).



3. Скласти добуток модуля сили на плече ().

4. Взяти знак «+», якщо сила прагне обертати плече відносно точки проти руху годинникової стрілки, і знак «-» - якщо за стрілкою годинника:

Алгебраїчний момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку. Тоді плече h=0, а момент


^ 1.3.2. Момент сили відносно осі

Моментом сили відносно осі z називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно точки, що лежить на осі:




.

Момент сили відносно осі характеризує обертальну дію сили навколо даної осі.

Правило визначення моменту сили відносно осі z:



  1. Провести площину, перпендикулярну до осі z і знайти точку О перетину осі з площиною.

  2. Спроектувати силу на проведену площину (вектор - проекція сили на площину).

  3. Знайти момент отриманої сили віднос-

но точки перетину осі з площиною Оху: . Взяти знак «+», якщо з додатного кінця осі z видно, що проекція сили прагне обертати площину навколо осі проти руху годинникової стрілки, і знак «-» - якщо за стрілкою годинника.

4. Момент сили відносно осі z визначити як



Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо:

а) сила паралельна осі (в цьому випадку проекція сили на площину );

б) лінія дії сили перетинає вісь (при цьому плече ).


^ 1.3.3. Момент пари сил

Парою сил називається система двох розташованих в одній площині сил, які рівні за величиною, протилежно напрямлені і не лежать на одній лінії дії.




^ Плече пар d - найкоротший відрізок між лініями дії сил, що скла-дають пару.

Моментом пари сил називається вектор , модуль якого



дорівнює добутку однієї з сил пари на плече пари, напрямлений перпендику-лярно до площини дії пари у той бік, звідки обертання пари сил видно проти ходу стрілки годинника.

Модуль моменту пари


^ Властивості пари сил:

  1. Пара сил не має рівнодійної. Тому пару сил не можна замінити або зрівноважити однією силою; її можна зрівноважити тільки іншою парою.

  2. Геометрична сума моментів сил, які складають пару, відносно будь-якої точки О не залежить від вибору цієї точки і дорівнює моменту пари сил: .

  3. Дві пари еквівалентні, якщо їх моменти геометрично рівні.

Наслідком цієї властивості є те, що пару сил, яка діє на абсолютно тверде тіло, можна переміщати у площині її дії, або у паралельну площину, при цьому можна змінювати модулі сил або плече пари, але зберігати величину моменту і напрям обертання:





якщо


4. Система кількох пар, як завгодно розташованих у просторі, еквівалентна одній парі, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів

складових пар:

.

^ Умова рівноваги системи пар сил:

Пари сил, як завгодно розташовані у просторі, перебувають у рі-вновазі, якщо геометрична сума їх моментів дорівнює нулю:



1.4. Довільна просторова система сил

Просторова система сил - система сил, як завгодно розташованих у просторі.

^ Лема про паралельний перенос сили:

Не змінюючи механічного стану абсолютно твердого тіла, силу можна перенести паралельно її початковому напряму в іншу довільну точку тіла, додаючи при цьому пару сил, момент М якої дорівнює моменту початкової сили відносно точки перенесення:




модуль моменту



^ Головний вектор системи сил - вектор , який дорівнює геометричній сумі всіх сил системи:

.

Величина головного вектора визначається за формулами



де - проекції головного вектора на осі координат:



Напрям головного вектора визначається напрямними косинусами:



Головний момент системи сил відносно точки О - вектор , який дорівнює геометричній сумі моментів сил системи відносно тієї ж точки:

Величина головного моменту відносно деякого центра зведення О дорівнює:



де - проекції головного моменту на осі координат, рівні алгебраїчним сумам моментів усіх сил відносно осей , що проходять через центр зведення О:




Напрям головного моменту визначається за формулами




Теорема про зведення довільної системи сил (основна теорема статики): Довільну систему сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, можна звести: до сили , яка дорівнює головному вектору цієї системи сил і прикладена у довільному центрі зведення О, і до пари сил, момент якої дорівнює головному моменту системи сил відносно центра зведення:



де ,



Окремі випадки зведення сил:

1) - система сил зрівноважена, тобто тверде тіло під дією такої системи сил знаходиться у рівновазі;

2) - система сил зводиться до пари сил, момент якої не залежить від центра зведення;

3) , скалярний добуток (іншими словами, і або , або ) - система сил зводиться до рівнодійної , яка або проходить через центр зведення (якщо ), або ні (якщо );

4) , скалярний добуток (тобто і ) - система сил зводиться до динамічного гвинта або динами, яка складається з сили і пари сил, площина дії якої перпендикулярна до напрямку (осі



динами). Якщо вектор паралельний до , то вісь динами проходить через центр зведення; якщо не паралельний до , то вісь динами не проходить через центр зведення.

^ Умови рівноваги довільної просторової системи сил: для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю (геометричні умови):

=0,

або суми проекцій усіх сил на кожну з трьох координатних осей і суми їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю (аналітичні умови):







^ Умови еквівалентності двох систем сил: Дві системи сил і статично еквівалентні, якщо їх головні вектори і головні моменти відносно будь-якого центра рівні між собою:





^ Теорема Варіньйона (про момент рівнодійної): Якщо просторова система сил має рівнодійну , то момент рівнодійної відносно будь-якої точки О дорівнює геометричній сумі моментів усіх сил системи відносно тієї ж точки:




1.5. Довільна плоска система сил

Плоска система сил - це така система сил, лінії дій яких розміщені в

одній площині.



^ Зведення плоскої довільної системи сил: Ця система сил зводиться відносно центра зведення до сили , яка дорівнює головному вектору системи сил і прикладена у довільному центрі зведення, і до пари сил, момент якої дорівнює головному моменту системи відносно центра О.

.

^ Умови рівноваги довільної плоскої системи сил: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю (геометричні умови):

=0,

або алгебраїчна сума проекцій усіх сил на дві взаємно перпендикулярні осі і алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно будь-якої точки на площині дорівнювали нулю (аналітичні умови):



Відзначимо, що кількість рівнянь рівноваги плоскої системи сил у загальному випадку дорівнює трьом. Ці рівняння можна подати ще у двох формах, а саме:



(при цьому вісь Ох не повинна бути перпендикулярною до прямої АВ) або



(при цьому точки А, В і С не повинні лежати на одній прямій).

^ Теорема Варіньйона для плоскої системи сил: Якщо плоска система сил зводиться до рівнодійної, то її момент відносно будь-якої точки площини дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил системи відносно тієї ж точки:

()=

Цю теорему зручно використовувати для знаходження алгебраїчного моменту сили відносно точки, розкладаючи силу на складові, паралельні осям координат:







де модулі складових

,



1.6. Плоска система паралельних сил. Розподілені сили.




Система паралельних сил - це така система сил, лінії дії яких паралельні між собою.

^ Умова рівноваги плоскої системи паралельних сил: для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій усіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно будь-якої точки на площині дорівнювали нулю:



(якщо всі сили паралельні осі Оу).

Складання двох паралельних сил:

1. Сили напрямлені в один бік:






2. Сили напрямлені в різні боки :






^ Розподілені сили (розподілене навантаження) - система паралельних сил, які діють на кожну точку об’єму, поверхні або лінії.



Система розподілених сил (сили розподілені уздовж лінії) характеризується її інтенсивністю q, тобто силою, яка припадає на одиницю довжини: і т.п.

^ Деякі найпростіші приклади розподілених сил:

1) Рівномірно розподілені сили: .


а/2

а

а/2

q


Рівнодійна такої системи сил дорівнює за модулем



і прикладена посередині відрізка, на який діють розподілені сили.

2) Сили, розподілені за лінійним законом:



Рівнодійна дорівнює за модулем



і прикладена на відстані від краю, де інтенсивність максимальна.

1.7. Методика розв’язання задач на рівновагу системи тіл

Якщо конструкція складається з кількох твердих тіл, з’єднаних між собою за допомогою в’язів (складена конструкція), то можна розв’язати задачу одним з двох способів:

1) розглянути рівновагу всієї конструкції і додатково рівновагу одного або кількох окремих твердих тіл, що складають конструкцію;

2) початкову конструкцію відразу розчленити на окремі тверді тіла і розглянути рівновагу кожного з них окремо.

Приклад 1. Два невагомих стержні АDС i BC з’єднані між собою шарніром С і закріплені нерухомими шарнірами А і В. На конструкцію діють сили Р1=10 кН, Р2=20 кН, розподілене навантаження інтенсивністю q = 4 кН/м і пара сил з моментом М=50 кНм. Розміри задані на вихідній схемі. Треба визначити реакції опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С складеної конструкції.

Розв’язання. При розв’язанні задачі першим способом будемо розглядати рівновагу всієї складеної конструкції, а також стержня СВ окремо. Побудуємо розрахункову схему: відкинемо опори і замінимо їх реакціями , замінимо розподілене навантаження зосередженою силою Q=3q, прикладеною в середині ділянки AD, побудуємо осі координат.




при цьому шарнір С вважатимемо нерухомим, використавши аксіому 5 затвердіння.


Визначимо величини сил і :




Q = 3q = 34 = 12 кН,

Р=Рsin 30o,

P2y=Pcos 30o.


Складемо рівняння рівноваги нерозчленованої конструкції:

(1)

(2)

(3)





Далі розчленимо конструкцію на складові елементи і розглянемо окремо стержень ^ ВС. Дію відкинутої конструкції ADC замінимо реакціями у шарнірі С.

примітка. Напрямки осей координат на обох розрахункових схемах повинні співпадати.

Складемо рівняння рівноваги стержня ВС:

(4)

(5)

(6)

відповідно до розглянутих розрахункових схем ми маємо шість невідомих реакцій опор та реакції у шарнірі С. Визначимо їх із складених шести рівнянь рівноваги.

Із третього рівняння знаходимо



з другого рівняння отримаємо



Із шостого рівняння знаходимо

з п’ятого отримаємо ,

з четвертого - і, нарешті, з першого -

Значення менші нуля, відповідно ці реакції в дійсності спрямовані протилежно зображеним на рисунку.


Для перевірки одержаних величин реакцій опор розглянемо складену конструкцію в цілому і складемо рівняння моментів відносно точки, через яку не проходять лінії дій цих реакцій, наприклад, відносно точки Е. шарнір С знову будемо вважати нерухомим.

Перевірка:



при цьому рівність нулю суми моментів сил відносно точки Е означає правильність визначених реакцій.

Приклад 2. Знайти реакції опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С складеної конструкції, на яку діють сили Р1 = 6 кН, Р2 = 10 кН, розподілене навантаження інтенсивністю q = 1,4 кН/м і пара сил з моментом М = 15 кНм. Розміри задані на початковій схемі, кут = 60о.

Розв’язання. При розв’язанні задачі другим способом будемо розглядати рівновагу стержнів ADC i BC конструкції окремо. Побудуємо розрахункові схеми за звичайним правилом. Тут слід враховувати, що відповідно до аксіоми 4 реакції і в шарнірі С задовольняють наступним рівностям: . розподілене навантаження замінимо зосередженою силою Q = 4q, яку прикладемо в середині ділянки СВ.




Визначимо величини сил , що діють на стержень СВ:

кН,






Q = 4q = 5,6 кН.

Складемо рівняння рівноваги стержня ВС:

(1)

(2)

(3)

Далі складемо рівняння рівноваги стержня ADC:




(4)

(5)

(6)

З отриманих шести рівнянь визначимо невідомі реакції: .

Із третього рівняння знаходимо



з першого рівняння

з другого рівняння ,

з п’ятого рівняння



з четвертого



з шостого





Для перевірки розглянемо конструкцію в цілому і складемо для неї рівняння моментів відносно точки ^ С, через яку не проходять лінії дій визначених реакцій. Шарнір С вважаємо затверділим .





  1   2   3

Схожі:

Теоретична механіка iconТеоретична механіка
Теоретична механіка: (Навчально-методичний посібник І завдання для контрольних робіт студентів факультету післядипломної освіти І...
Теоретична механіка iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства о.І. Рубаненко, В. П. Шпачук теоретична механіка. Спецкурс
Теоретична механіка. Спецкурс: Конспект лекцій (для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 060101 “Будівництво”)....
Теоретична механіка iconТеоретична механіка
Механікою називається наука про механічний рух або рівновагу матеріальних тіл І виникаючу при цьому взаємодію між ними. Відноситься...
Теоретична механіка iconТеоретична механіка

Теоретична механіка iconТа робоча програма навчальної дисципліни "теоретична механіка (спецкурс)"
На механіка (спецкурс)" (для слухачів другої вищої освіти заочної форми навчання за напрямом підготовки 0921– Будівництво спеціальності...
Теоретична механіка icon«теоретична механіка»
«Гідротехніка (водні ресурси)», 070101 «Транспортні технології (за видами транспорту)»)
Теоретична механіка iconВ. П. Шпачук, М. С. Золотов, О.І. Рубаненко, А. О. Гарбуз, В. О. Скляров теоретична механіка кінематика
Конспект лекцій для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 092100 “Будівництво”
Теоретична механіка iconТип модуля: обов’язковий Семестр: ІV обсяг модуля
Автомобілі”, “Вступ до фаху”, “Теорія машин І механізмів”, «Опір матеріалів», “Основи теплотехніки”, “Теоретична механіка”
Теоретична механіка iconНових надходжень до бібліотеки квітень
Федорченко, А. М. Теоретична фізика [Текст] : Підручник т. 1 : Класична механіка І електородинаміка / А. М. Федорченко. – У 2-х т....
Теоретична механіка iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика
Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи