2. кінематика кінематика icon

2. кінематика кінематика




Скачати 273.83 Kb.
Назва2. кінематика кінематика
Сторінка1/5
Дата21.08.2012
Розмір273.83 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5



2. КІНЕМАТИКА

Кінематика - розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух тіл з геометричної точки зору, тобто без урахування їх маси та сил, що діють на ці тіла.

Механічний рух - це зміна зі спливанням часу положення одного тіла відносно іншого (відносно тіла відліку).

Система відліку - сукупність системи координат, яка жорстко зв’язана з тілом відліку, і годинника, за яким відлічується час.



^ Основна задача кінематики - за законом руху даного тіла визначити кінематичні характеристики цього руху, тобто траєкторії різних точок тіла, їх швидкості та прискорення.

^ Найпростіший об’єкт кінематики - точка - це тіло, розмірами якого можна нехтувати у порівнянні з характерними відстанями задачі.


2.1. Кінематика точки

Траєкторія точки - неперервна лінія, яку описує рухома точка відносно даної системи відліку.

^ Задати рух або закон руху точки - означає указати спосіб, за яким можна визначити положення точки відносно даної системи відліку в будь-який момент часу.

Для задання руху точки і визначення її кінематичних характеристик можна застосувати один з трьох способів: векторний, координатний та натуральний.

2.1.1. Векторний спосіб

В даному випадку - закон руху (рівняння руху точки у векторній формі), де - радіус-вектор точки (вектор, проведений із нерухомої точки О до розглядуваної);

- швидкість точки - векторна величина, яка:

1) дорівнює першій похідній радіуса-вектора точки за часом;

2) напрямлена по дотичній до траєкторії точки у бік її руху;

3) характеризує бистроту зміни положення точки за часом;

або - прискорення точки - векторна величина, яка:




1) дорівнює першій (другій) похідній швидкості (радіуса-вектора) точки за часом;

2) напрямлена у бік угнутості траєкторії точки;

3) характеризує бистроту зміни швидкості точки за часом.

^ 2.1.2. Координатний спосіб

При даному способі задання руху - закон руху (рівняння руху точки у координатній формі), де х, у, z - декартові координати точки;

- швидкість точки,

де - координатні складові швидкості точки; - орти осей координат.

- модуль (величина) швидкості;

- проекції вектора швидкості на осі координат;

- прискорення точки,

де - координатні складові прискорення точки;

- модуль (величина) прискорення точки,

- проекції вектора прискорення на осі координат.

У випадку плоскої траєкторії рисунок може бути, наприклад, таким:




^ 2.1.3. Натуральний спосіб

При натуральному способі задання руху відомими є:

а) траєкторія руху точки;

б) початок і напрямок відліку руху точки;

в) - закон руху (рівняння руху точки в натуральній формі),



де  - дугова координата (криволінійна координата, яка відлічується уздовж траєкторії).

При натуральному способі застосовується натуральна система координат: вісь дотичної - напрямлена по дотичній до траєкторії у даній точці в бік додатного напрямку відліку дугової координати; вісь головної нормалі n лежить у стичній площині і напрямлена перпендикулярно до дотичної у бік угнутості траєкторії; вісь бінормалі b - доповнює систему координат



до просторової, тобто перпендикулярна площині , так що її орт дорівнює ,

де - орти дотичної та головної нормалі;

- швидкість точки;

- складова швидкості точки уздовж дотичної (завжди збігається з вектором швидкості);

- проекція швидкості точки на вісь дотичної;

- модуль (величина) швидкості;

- прискорення точки,

де - складові прискорення точки уздовж осей и п;

- проекція прискорення точки на вісь дотичної (називається дотичним прискоренням), характеризує бистроту зміни модуля швидкості точки за часом;

- проекція прискорення точки на вісь головної нормалі,

де ρ – радіус кривизни траєкторії в даній точці (називається нормальним

прискоренням) характеризує бистроту зміни напряму вектора швидкості точки за часом;

- модуль (величина) прискорення.



Зв’язок між натуральним і координатним способами задання руху:







^ 2.1.4. Особливі випадки

1) Прямолінійний рух: у цьому випадку , , радіус кривизни

.



2) Криволінійний рух: у цьому випадку , .





Прискорений рух, напрямки і збігаються, знаки проекцій і однакові.

Сповільнений рух, напрямки і протилежні, знаки проекцій і різні.




3) Рівнозмінний рух: (рівноприскорений, якщо і мають однакові знаки і рівносповільнений - якщо різні).

У цьому випадку ,

,

де - початкові координата і швидкість точки;

4) Рівномірний рух: , у цьому випадку ,

,

,







Рівномірний прямолінійний рух.

Рівномірний криволінійний рух.


2.1.5. Приклад розрахунку

За заданими рівняннями руху точки (х, у - у сантиметрах)



визначити її траєкторію, швидкість, прискорення, дотичне та нормальне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії в момент часу, коли точка знаходиться на осі ОХ. Одержані результати зобразити на рисунку.

Розв'язання.

1. Визначимо траєкторію руху точки. Для цього виключимо параметр часу t з рівнянь руху. Виразимо з рівнянь руху:

;

;

.

Отже, рівнянням траєкторії є парабола. Зобразимо параболу на рисунку в системі координат Оху.





2. Знайдемо положення точки на траєкторії , коли ордината у=0:

;

.

Корені цього квадратного рівняння: . Визначимо координату х в момент часу :

(см).

Зобразимо точку М1 з координатами (4; 0) на траєкторії.

3. Знайдемо швидкість точки М1. Для цього спочатку визначимо проекції швидкості на осі координат х1, у1 :

(см/с);

.

Для заданого моменту часу

(cм/с).

Зобразимо складові швидкості на рисунку, відкладаючи їх з точки М1, відповідно зі знаками проекцій у масштабі швидкостей (відзначимо, що він може і не збігатися з масштабом віддалей). Проекція додатна, тому складову відкладаємо у напрямку додатного відліку координати х. Проекція від'ємна, тому складову відкладаємо у напрямку від'ємного відліку координати у. Вектор швидкості зображаємо діагоналлю прямокутника, побудованого на складових як на сторонах. При правильних розрахунках та побудовах вектор швидкості повинен бути напрямленим по дотичній до траєкторії в точці М1.

За величиною швидкість точки М1 дорівнює:

(см/с).

4. Знайдемо прискорення точки. Визначимо спочатку проекції прискорення на осі координат:

;

(cм/с2).

Зобразимо складові прискорення на рисунку, відкладаючи їх з точки М1 відповідно зі знаками проекцій у масштабі прискорень (який може і не збігатися з масштабом швидкостей та віддалей). Проекція від'ємна, тому складову відкладаємо у напрямку від'ємного відліку координати у. Вектор прискорення а1 зображаємо діагоналлю прямокутника, побудованого на складових як на сторонах. При правильних розрахунках та будуваннях вектор прискорення а1, повинен бути напрямленим в бік угнутості траєкторії.

Величину прискорення точки в положенні М1 визначимо як:

(см/с2).

5. Знайдемо дотичне прискорення точки:

.

Для заданого моменту часу

(см/с2).

6. Знайдемо нормальне прискорення точки:

.

Для заданого моменту часу t = отримаємо

(см/с2).

Будуємо на рисунку на осях τ і n дотичне й нормальне прискорення.

7. Радіус кривизни траєкторії визначимо за формулою:

.

Для заданого моменту часу :

(cм).

Висновок: Точка рухається уздовж параболи за стрілкою годинника (на це указує напрямок вектора швидкості ) рівноприскоренно. При цьому лінія вектора прискорення напрямлена до центру увігнутості.

Відповідь: В момент часу t = точка має наступні кінематичні характеристики:

х = 4 см; у = 0 см; v = 5 см/с; a =6 cм/c2; a =4,8 cм/с2;

аn = 3,6 cм/с2; = 6,9 см.


2.2. Кінематика твердого тіла

^ 2.2.1. Поступальний рух твердого тіла

Поступальним називається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається паралельною самій собі.

Приклади:



- тіло ковзає по прямолінійній поверхні, траєкторії точок – прямі лінії;




- спарник АВ при обертанні стержнів ОА та NВ (ОА=NВ), траєкторії точок - кола.

Теорема про траєкторії, швидкості й прискорення точок твердого тіла при поступальному русі:

При поступальному русі твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії, мають у будь-який час геометрично рівні швидкості й прискорення.



На рисунку:






Тому поступальний рух твердого тіла можна визначити, вивчивши рух тільки однієї його точки (здебільшого це центр мас).

^ 2.2.2. Обертання твердого тіла

Обертанням навколо нерухомої осі називається такий рух твердого тіла, при якому будь-які дві точки цього тіла залишаються під час руху нерухомими.



Пряма, що проходить через ці нерухомі точки, називається віссю обертання.

На рисунку:

I - нерухома площина,

II - площина, яка жорстко скріплена з тілом і обертається разом з ним.

Двогранний кут між площинами І і ІІ – φz – називається кутом повороту тіла.

закон обертання (рівняння обертального руху тіла навколо нерухомої осі z). Вимірюється кут у радіанах: [φ] = рад.

- вектор кутової швидкості, напрямлений уздовж осі обертання z у той бік, звідки обертання тіла видно проти стрілки годинника, характеризує бистроту зміни кута повороту тіла (на рисунках його часто зображують у вигляді стрілки, яка показує напрям обертання);

, де - орт осі z;

- проекція кутової швидкості на вісь обертання z;

- модуль (величина) кутової швидкості.

Кутова швидкість вимірюється у радіанах за секунду: .

- вектор кутового прискорення, напрямлений уздовж осі обертання, характеризує бистроту зміни кутової швидкості за часом;

,

- проекція кутового прискорення на вісь обертання;

- модуль (величина) кутового прискорення.

Кутове прискорення вимірюється у радіанах за секунду в квадраті:







Прискорене обертання, напрямки збігаються

Сповільнене обертання, напрямки протилежні

Особливі випадки:

1) Рівнозмінне обертання: (рівноприскорене, якщо і мають однакові знаки, і рівносповільнене, якщо різні).

у цьому випадку ,

,

де - початкові кут повороту та кутова швидкість.

2) ^ Рівномірне обертання: .

у цьому випадку ,



Кут повороту можна виразити через число обертів тіла за весь період обертання:



Кутову швидкість у техніці часто задають числом обертів за хвилину :



^ Формули, за допомогою яких визначають кінематичні величини будь-якої точки тіла:

- дугова координата точки по колу;

h - відстань від даної точки А до осі обертання;

- модуль лінійної швидкості точки А, вектор і напрямлений



у напрямку дугової стрілки кутової швидкості ;

- обертальне прискорення точки А; вектор і напрямлений у напрямку дугової стрілки кутового прискорення ;




- доцентрове прискорення точки А, вектор напрямлений вздовж відрізка ОА від точки А до нерухомої точки О;

;

- модуль (величина) прискорення точки А.

^ 2.2.3. Передача обертального руху





Тут для зубчастої передачі



або

Звідси

Для ремінної передачі

.

або .

Тут

У зубчастих колесах числа зубців пропорційні радіусам коліс, тому виконується співвідношення:

.


^ 2.2.4. Плоскопаралельний рух твердого тіла

Плоскопаралельним називають такий рух твердого тіла, при якому всі точки тіла рухаються у площинах, паралельних деякій нерухомій площині. Вивчення плоскопаралельного руху можна звести до вивчення руху плоскої фігури в її площині, або відрізка прямої цієї фігури. Положення фігури в даний момент часу визначається координатами довільної її точки А, яку називають полюсом, і кутом повороту фігури навколо полюса.



Рівняння руху плоскої фігури мають вигляд:

,

де А - точка, яку вибрано в якості полюса.

Перші два рівняння характеризують поступальний рух фігури, при якому всі точки фігури рухаються так само, як і полюс, а третє - обертальний рух навколо полюса.

Кутова швидкість і кутове прискорення обертального руху фігури не залежать від вибору полюса.

Теорема про швидкості точок плоскої фігури:

Лінійна швидкість будь-якої точки М фігури при її плоскому русі дорівнює геометричній сумі швидкості полюса А і швидкості точки М в її обертальному русі навколо полюса:


.

При цьому МА ,

де - кутова швидкість фігури; а швидкість МА .



Теорема про проекції швидкостей двох точок плоскої фігури: При плоскому русі фігури проекції швидкостей кінців А і В відрізка АВ на його напрям рівні між собою:




або

де і - кути між і напрямом відрізка АВ відповідно.



Плоский рух тіла у даний момент часу можна розглядати як обертальний рух навколо миттєвого центра обертання, або миттєвого центра швидкостей (МЦШ).

^ Миттєвий центр швидкостей - це точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю.

Визначення положення МЦШ та з його допомогою кутової швидкості фігури і швидкості будь-якої точки фігури:


Методи визначення МЦШ

1.



У загальному випадку МЦШ лежить в точці перетину перпендикулярів, проведених з двох точок плоскої фігури до їх швидкостей. Кутова швидкість плоскої фігури у кожний момент часу

дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані від МЦШ:

.

Тому швидкість будь-якої точки плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює добутку кутової швидкості на відстань від даної точки до

М

ЦШ:

і т.п.


2. Якщо




а)



б)







3. При








Це випадок миттєво - поступального руху.

4. Фігура котиться без ковзання по нерухомій поверхні. В цьому ви-



падку МЦШ знаходиться в точці дотику фігури з поверхнею,


Теорема про прискорення точок плоскої фігури:

Прискорення будь-якої точки М фігури при її плоскому русі дорівнює геометричній сумі прискорень полюса А і прискорення точки М в її обертальному русі навколо полюса:



або, оскільки



де

при цьому і напрямлене відповідно зі стрілкою , напрямлене уздовж відрізка МА від точки М до точки А.





2.2.5. Кінематичний аналіз плоского механізму

При розв’язанні задач треба послідовно розглянути рух окремих ланок механізму і провести розрахунок кожної з них (визначити швидкість і прискорення точки, яка належить одночасно до розглядуваної і поступової ланки). Розрахунок почати з ланки, рух якої є заданим. Якщо ланка виконує обертальний рух (у неї є нерухома точка, наприклад, у вигляді нерухомого шарніра), то будь-яка її точка рухається за колом і для визначення швидкості і прискорення цієї точки треба використовувати формули параграфа 2.2.2. Якщо ланка виконує плоскопаралельний рух (нема нерухомої точки), треба використовувати формули параграфа 2.2.4.

Приклад 1. Плоский механізм складається з кривошипа ОА, шатуна





АВ і повзуна В. Тут ОА = 20 см, АВ = 40 см. Кривошип ОА має у даний момент часу кутову швидкість рад/с і кутове прискорення рад/с2. Для заданого поло-

ження механізму треба визначити швидкість і прискорення точки ^ В, а також кутові швидкість і прискорення шатуна АВ.

Розв’язання.

1. Визначимо швидкість точки В.

1) Спочатку розглянемо кривошип ОА, рух якого є заданим.





Він виконує обертальний рух навколо нерухомої точки ^ О, тому швидкість точки А визначається за формулою

(см/с).

Вектор і напрямлений у бік

обертання стержня (за “стрілкою” ).

2) Розглянемо шатун АВ. Він виконує плоскопаралельний рух,




тому спочатку треба побудувати його МЦШ. Швидкість точки ^ А знайдена при розрахунку стержня ОА. Точка В належить повзуну, тому лінія дії її швидкості паралельна напряму руху повзуна. Будуємо МЦШ (точка ) як точку перетину перпендикулярів до швидкості і швидкості
  1   2   3   4   5

Схожі:

2. кінематика кінематика iconЧастина друга кінематика
Вона умовно поділяється на два розділи: 1 кінематика точки, тобто тіла, розмірами якого можна знехтувати І положення якого можна...
2. кінематика кінематика iconНазва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля
Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання...
2. кінематика кінематика iconCols=2 gutter=0> Тема Кінематика матеріальної точки та абсолютно твердого тіла
Розподіл молекул за швидкостями І потенціальними енергіями
2. кінематика кінематика iconВ. П. Шпачук, М. С. Золотов, О.І. Рубаненко, А. О. Гарбуз, В. О. Скляров теоретична механіка кінематика
Конспект лекцій для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 092100 “Будівництво”
2. кінематика кінематика iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
З математики: алгебра, геометрія, тригонометрія, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння; з фізики: механіка;...
2. кінематика кінематика iconКінематика матеріальної точки
Завдання навчання фізиці можна вважати повністю вирішеним, якщо студент здатний самостійно розв’язувати фізичні проблеми відповідного...
2. кінематика кінематика iconКінематика матеріальної точки та твердого тіла
Тому виникла потреба разом з новим курсом мати скорочений у вигляді конспект лекцій, який відповідає об’єму викладання у Академії,...
2. кінематика кінематика iconІ. механiка кінематика матеріальної точки та поступального руху тіл. Основнi формули
Перед початком руху перший автомобіль перебував на відстані S1 = 50 км від перехрестя, другий на відстані S2 = 100 км. Через скільки...
2. кінематика кінематика iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
«Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи