3. Динаміка точки icon

3. Динаміка точки




Назва3. Динаміка точки
Сторінка1/5
Дата21.08.2012
Розмір0.64 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5



3. Динаміка точки


Динаміка  розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух матеріальних об’єктів (матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого тіла) під дією прикладених до них сил та з урахуванням їх мас.

3.1. Закони динаміки (Ньютона)

Перший (закон інерції): ізольована матеріальна точка перебуває в стані спокою або прямолінійного рівномірного руху доти, доки вплив зовнішніх сил не виведе її з цього стану.

Другий (основний закон динаміки): сила, що діє на матеріальну точку, надає їй прискорення, яке пропорційне величині сили і має напрям сили:

^ Третій (закон рівності дії та протидії): дві матеріальні точки взаємодіють між собою з силами, рівними за величиною і протилежними за напрямом:

^ Четвертий закон динаміки (закон незалежності дії сил): якщо на матеріальну точку одночасно діють декілька сил, то прискорення, одержуване точкою, дорівнює геометричній сумі прискорень, які точка одержує від кожної сили зокрема.

3.2. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної

точки

Основне рівняння динаміки: - можна записати у вигляді диференціального рівняння (векторна форма):



де – маса точки;

- радіус-вектор точки, який є функцією часу.

Дане рівняння можна подати у вигляді проекцій на три осі декартових координат х,у,z (алгебраїчна форма):

; ;

де - алгебраїчні суми проекції всіх сил, що діють на точку, на координатні осі.

Диференціальні рівняння руху матеріальної точки в натуральній формі:



де - проекція швидкості на дотичну; - радіус кривизни траєкторії в даній точці; - алгебраїчні суми проекцій сил, що діють на точку, на натуральні осі . Цими рівняннями зручно користуватися, коли точка рухається, наприклад, по колу.

3.3. Дві задачі динаміки

перша або пряма задача динаміки точки - рух точки, а також її маса, відомі. Треба знайти силу, яка діє на точку.

Друга або обернена задача динаміки точки - відомі сили, що діють на точку, її маса, а також початкові умови руху. Треба визначити закон руху точки.

Розв'язання першої задачі - знаходження сили за даним законом руху матеріальної точки зводиться до знаходження прискорення точки.

Розв'язання другої задачі - знаходження закону руху матеріальної точки за даними силами пов'язане з інтегруванням диференціальних рівнянь руху. Загальний розв'язок цих рівнянь визначає координати точки як функції часу і сталих інтегрування.

^ Початкові умови - величини, що визначають положення точки (її координати) і проекції вектора швидкості на осі координат у деякий фіксований момент часу (звичайно =0): , , , , ,

Приклад: матеріальна точка масою m рухається по прямій у напрямку осі Ох під дією сталої сили . Знайти закон руху точки при початкових умовах

,

.



Розв’язання:

1) складемо диференціальне рівняння руху матеріальної точки:

, або

2) після інтегрування диференціального рівняння отримаємо:

;



де С1, С2 - сталі інтегрування;

3) визначимо сталі інтегрування за допомогою початкових умов при t = 0:





4) закону руху визначимо у вигляді:

.

3.4. Прямолінійні коливання матеріальної точки

Механічні рухи, які періодично повторюються, називаються механічними коливаннями. При цьому на матеріальну точку можуть діяти поновлюючі сили (сили, що намагаються повернути точку в положення рівноваги), сила опору руху, яка залежить від швидкості точки, та зовнішня збурююча сила. рух точки здійснюється по прямій, співпадаючої з сумісною лінією дії вказаних сил.

Залежно від комбінації цих сил розрізняють наступні види коливального руху.

3.4.1. Вільні коливання, які відбуваються під дією тільки поновлюючої сили, величина якої пропорційна відхиленню матеріальної точки від положення її статичної рівноваги.

Механічна схема, яка моделює вільні прямолінійні коливання вантажу (матеріальної точки) масою m у напрямку осі Ох показана на рис., де 1 - вантаж; 2 - пружина; 3 - нерухома основа. Тут: - довжина недеформованої пружини; - статична деформація пружини під дією вантажу; х - поточна координата вантажу відносно положення статичної рівноваги при його русі; - сила ваги (; - сила пружності пружини, яка є різновидністю поновлюючої сили де - повна деформація пружини; с - коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини; точка О - положення статичної рівноваги



вантажу (початок відліку координати х); точка О1 – положення вільного кінця недеформованої пружини; точка О2 - поточне положення вантажу на осі Ох.

Основне рівняння динаміки вантажу має вигляд:

(1)

або , (2)

де - прискорення вантажу.

У положенні статичної рівноваги

вантаж 1 нерухомий, координата , а сила ваги ( зрівноважується силою пружності пружини, яка дорівнює .

Тому диференціальні рівняння руху вантажу приймають вигляд



або , (3)

де - кругова (циклічна, власна) частота коливань вантажу (матеріальної точки).

Закон коливань вантажу в цьому випадку буде

, (4)

де , - постійні інтегрування; - початкові умови (початкове положення і початкова швидкість вантажу на момент розгляду руху, тобто при ); , -

амплітуда і початкова фаза коливань точки.

У відповідності з (4) вантаж (матеріальна точка) здійснює гармонічний коливальний рух. Розглянута на рисунку механічна система називається консервативною.

Пружини, які з’єднують вантаж з основою, можуть утворювати систему паралельно, послідовно і паралельно-послідовно (змішано) з’єднаних пружних елементів. У цьому випадку подані на рисунках вихідні механічні



схеми необхідно методом еквівалентних перетворень звести до розрахункової схеми з одним пружним елементом, який має еквівалентну жорсткість с. Еквівалентна пружина на розрахунковій схемі при паралельному з’єднанні пружних елементів буде мати жорсткість , при послідовному з’єднанні ,

а при змішаному з’єднанні .





3.4.2. Вільні коливання матеріальної точки при наявності сил опору. При русі в середовищі (рідина), а також при деформації реальних пружин на матеріальну точку діє сила опору, яку при малих швидкостях руху можна вважати прямо пропорційною швидкість точки: , де b - коефіцієнт опору руху.



Механічна система, яка моделює в цьому випадку коливання вантажу наведена на рисунку. Умовні позначення в формулах та на рисунках розділу 3.4 співпадають.

Диференціальне рівняння руху вантажу буде мати вигляд



або ,

або ,

або ,

де - коефіцієнт демпфування коливань; .

Характер руху вантажу істотним чином залежить від співвідношення h і . Закон коливання вантажу у випадку малого опору (h < ) має вигляд

, (5)

де ; ; ; .

Відповідно рисунку механічна система називається дисипативною, а рух вантажу має затухаючий коливальний характер. При цьому амплітуда коливань з часом спадає за експоненціальним законом до нуля.

При (випадок великого опору) закон коливань вантажу буде мати вигляд

, (6)

де ; ;

; .

Це рівняння описує аперіодично затухаючий рух. Координата х вантажу при монотонно зменшується, а вантаж наближається до положення статичної рівноваги.

Гранично аперіодичний рух (граничний випадок) має місце при . Тут закон руху вантажу буде

, (7)

де ; .

Розглянутий рух (7) також є аперіодичним затухаючим ( при ).

^ 3.4.3. Вимушені коливання у випадку, коли збурююча сила змінюється за гармонійним законом.

Силове збудження коливань

При силовому збудженні коливань збурююча сила прикладена безпосередньо до матеріальної точки (вантажу).



Розглянемо випадок консервативної системи: ; ; .

Диференціальне рівняння руху вантажу має вигляд



або ,

або .

або , де

Закон коливання вантажу:

(8)

або ,

де ; ; ; .

Характер руху вантажу істотно залежить від співвідношення величин (власної частоти консервативної системи) і (частоти збурюючої сили).

Якщо або , то закон коливань вантажу бігармонійний (двочастотний). Відбувається накладення вільних коливань консервативної механічної системи на її коливання з частотою збурюючої сили. При цьому амплітуда і початкова фаза вільних коливань вантажу залежить одночасно і від початкових умов вантажу, параметрів збурюючої сили, і від механічних характеристик m, с самої системи.

У випадку близькості частоти збурюючої сили до частоти власних коливань (), виникає явище биття, при якому закон коливань вантажу (8) перетворюється, наприклад, при нульових початкових умовах на вигляд

. (9)

Такий рух називається биттям: коливальних рух, який відбувається з частотою збурюючої сили та амплітудою, яка являється періодичною (з частотою ) функцією часу.

При співпаданні частоти збурюючої сили з власною частотою вантаж коливається за законом

. (10)

З часом амплітуда вимушених коливань вантажу безмежно зростає. Таке



явище називається резонансом. В реальних конструкціях явище резонансу може служити причиною їхнього руйнування.

Для дисипативної системи, коли ; ; та (випадок малого опору) диференціальне рівняння руху вантажу має вигляд.



або

або ,

або ,

де .

При заданих початкових умовах вантаж здійснює коливання за законом

(11)

або

де ; ; ;

; ;

;

.

Коливання вантажу є двочастотними: вони відбуваються одночасно як з частотою вільних коливань дисипативної системи, так і з частотою . Наявність множника у першому доданку призводить до швидкого затухання коливального руху вантажу з частотою . Проте вимушені коливання з частотою збурюючої сили відбуваються постійно, незалежно від часу, амплітудою і зсувом фаз , величини яких визначаються конкретним значенням частоти . Якщо значення частоти збурюючої сили дорівнює , а параметри механічної систем задовольняють нерівності , де - відносне демпфування, то амплітуда вимушених коливань вантажу буде найбільшою:

.

При в системі наступає явище резонансу. Однак, на відміну від консервативної системи, амплітуда змушених коливань вантажу в дисипативній системі необмежено не зростає, а приймає кінцеве значення, яке дорівнює

.


^ 3.4.4. Кінематичне збудження коливань

При кінематичному збудженні коливань вантажу заданий рух здійснює основа у точці В прикріплення до нього вільного кінця пружини за законом .

Для консервативної системи диференційне рівняння коливань вантажу буде:








х

в

О


або ,

або ,

або ,

де .

Закон вимушених коливань вантажу має вигляд

(12)


або



Для дисипативної системи диференціальне рівняння коливального руху вантажу буде



або

або

або

де .

Вантаж буде здійснювати при заданих початкових умовах рух за законом

(13)

або де



- початкова фаза;


^ 3.4.5. Приклади розв’язання задач по дослідженню

коливального руху матеріальної точки

Приклад 1. Знайти рівняння коливального руху вантажу D у напрямку осі Ох з моменту дотику ним плити, вважаючи, що при подальшому русі вантаж від плити не відділяється. Плита, яка займає в стані спокою горизонтальне положення, є невагомою. Рухи плити та основи вважати поступальними.

^ Умови задачі. Пролетівши без початкової швидкості відстань 0,2 м, вантаж D (20 кг) з’єднується у момент часу з плитою, яка зв’язує систему двох недеформованих паралельно закріплених пружин, які мають коефіцієнти жорсткості та опору с1 = 100 Н/см, с2 = 200 Н/см, 0. Одночасно основа починає здійснювати рух за законом (см).



Розв’язання. Визначаємо тип механічної системи, вид схеми з’єднання пружних елементів вихідної системи, вид коливального руху вантажу, а також засіб збудження його коливань. Наведена на рисунку система є консервативною з паралельним з’єднанням пружних елементів, вантаж робить змушені коливання, а збудження коливань вантажу є кінематичним.

Перетворимо вихідну механічну схему в розрахункову з одним пружним елементом який має еквівалентну жорсткість се12 . На рис. точка О на осі Ох визначає положення статичної рівноваги вантажу, точка О1 − положення вантажу D в момент дотику плити, - статична деформація




пружини се під дією вантажу, - відповідно сила ваги вантажу та сила пружності пружини, - напрямок кінематичного збудження в точці В кріплення пружини до рухомої основи.

Знаходимо еквівалентну жорсткість:

= 100 + 200 =300 Н/см =

= 3104 Н/м.

  1   2   3   4   5

Схожі:

3. Динаміка точки iconЧастина третя динаміка
Динаміка   розділ теоретичної механіки, в якому визначається механічний рух матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого...
3. Динаміка точки iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
З математики: алгебра, геометрія, тригонометрія, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння; з фізики: механіка;...
3. Динаміка точки iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
«Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,...
3. Динаміка точки iconТаблиця Динаміка контингенту студентів за 2009 – 2012 рр
Ще два роки тому в нас було 20 тис студентів. Сьогодні їх – близько 16 тис. Динаміка зміни контингенту студентів наведена в таблиці...
3. Динаміка точки iconМ. Г. Шульженко, С. О. Закурдай динаміка рухомого складу конспект лекцій
Динаміка рухомого складу. Конспект лекцій /для студентів 4 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 050702 – «електромеханіка»...
3. Динаміка точки iconМомент инерции. Теорема Штейнера
...
3. Динаміка точки iconПрограма вступних фахових випробувань на освітньо-кваліфікаційний рівень
Закони динаміки матеріальної точки. Сили І взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
3. Динаміка точки iconПрограма вступних фахових випробувань на освітньо-кваліфікаційний рівень
Закони динаміки матеріальної точки. Сили І взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
3. Динаміка точки iconПрограма вступних фахових випробувань на освітньо-кваліфікаційний рівень " бакалавр"
Закони динаміки матеріальної точки. Сили і взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
3. Динаміка точки iconПротокол №6/5 Голова Вченої ради проф. Половинко І. І
Закони динаміки матеріальної точки. Сили і взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи