3. Динаміка точки icon

3. Динаміка точки




Назва3. Динаміка точки
Сторінка2/5
Дата21.08.2012
Розмір0.64 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5

Величина статичної деформації пружини під дією вантажу:



Визначаємо значення власної частоти і початкових умов :

,

м,

.

Закон руху вантажу визначаємо формулою (12) розділу 3.4:





(м).

Перевірка: При одержимо м, що співпадає з величиною раніше визначеної початкової умови .

Відповідь: Вантаж здійснює двочастотні коливання за законом (м).

Приклад 2. Знайти рівняння коливального руху вантажу D по гладенькій похилій площині у напрямку осі ^ Ох, що співпадає з віссю пружини.

Умова задачі. Система встановлених на пружині вантажів D (2 кг) і Е 1 кг) знаходиться в положенні статичної рівноваги. У момент часу вантаж ^ Е знімають з вантажу D. Одночасно вантажу D надають початкову швидкість м/с у напрямку позитивного відліку координати х. Коефіцієнти жорсткості та опору пружини дорівнюють с = 2·104 Н/м, 1,5 Нс/м. Прийняти кут .



Розв’язання. Визначаємо тип механічної системи та вид коливального руху: система, яка розглядається, є дисипативною, а вантаж D здійснює вільні коливання.



O1
O



O2




с, в

D



х
А












Перетворимо вихідну механічну схему в розрахункову, де - відповідно сила ваги вантажу D, сили пружності та опору пружини, точка А - положення вантажу D у момент зняття вантажу Е.

В даній схемі в положенні статичної рівноваги вантажу D (точка О) сила пружності

пружини зрівноважує не всю силу ваги вантажу , а тільки її складову у напрямку осі Ох, яка співпадає з віссю пружини Знайдемо величину статичної деформації пружини, коефіцієнт демпфування h системи, власні частоти і , а також початкову умову :



м; ;

,

.

Закон руху вантажу визначаємо за виразом (5) розділу 3.4.2:





Перевірка: При одержимо м, що співпадає з величиною раніше визначеної початкової умови .

Відповідь: Вантаж здійснює одночастотні затухаючі коливання за законом х = (м).

3.5. Загальні теореми динаміки точки

3.5.1. Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки

Кількістю руху матеріальної точки називається вектор, що дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості

^ Елементарним імпульсом сили називається вектор



Імпульсом сили за певний проміжок часу називається вектор



Проекція імпульсу сили на координатні осі визначається так:



Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки - в диференціальній формі:

перша похідна від кількості руху матеріальної точки за часом дорівнює рівнодійній сил, прикладених до точки



Цю теорему в проекціях на координатні осі можна записати так:



- в інтегральній формі: зміна кількості руху матеріальної точки за якийсь проміжок часу дорівнює імпульсу рівнодійної сили за той самий проміжок часу:

де - швидкість точки у моменти часу t0 i t1відповідно.

У проекціях на осі декартової системи координат



^ 3.5.2. Теорема про зміну кінетичної енергії точки

Кінетичною енергією матеріальної точки називається скалярна величина що дорівнює половині добутку маси точки на квадрат її швидкості: Т =

^ Елементарна робота сили на елементарному (нескінченно малому)



переміщенні точки прикладення сили є скалярною величиною, що визначається за формулою



Якщо під дією сили матеріальна точка переміщується з положення в положення , то робота сили на шляху дорівнює



Формули для визначення елементарної і повної роботи сили в аналітичному вигляді:





^ Робота сталої за модулем і напрямком сили на прямолінійному переміщенні точки її прикладення визначається за формулою



Розмірність роботи   м=Дж.


М1



^ Робота сили ваги:

де - різниця висот початкового і кінцевого положення точки.




^ Робота сили пружності при деформації пружини із стану до стану дорівнює:



^ Теорема про зміну кінетичної енергії точки:

- у диференціальній формі: диференціал кінетичної енергії матеріальної точки дорівнює елементарній роботі сил, прикладених до точки, або

dT =

- в інтегральній формі: приріст кінетичної енергії матеріальної точки на скінченій ділянці шляху дорівнює роботі рівнодійної всіх сил, прикладених до точки, на тій самій ділянці шляху, або



де - швидкість точки в кінці пройденого шляху; - швидкість точки на початку шляху (початкова швидкість);

- алгебраїчна сума робіт усіх сил, прикладених до точки, на пройденому шляху.

3.5.3. Терема про зміну моменту кількості руху

матеріальної точки

Момент кількості руху матеріальної точки відносно центра О є вектором, що дорівнює векторному добуткові радіуса - вектора точки, початок якого є в точці О, на кількість руху цієї точки



^ Момент кількості руху матеріальної точки відносно координатної осі:

.



Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки: похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомого центра О дорівнює моменту рівнодійної сил, прикладених до цієї точки, відносно того ж центра



В проекціях на осі прямокутної системи координат теорему можна записати у вигляді трьох рівнянь:



Отже похідна за часом від моменту кількості руху матеріальної точки відносно нерухомої осі дорівнює моменту рівнодійної сили відносно тієї ж осі.

3.6. Принцип Даламбера для матеріальної точки

Сила інерції матеріальної точки за величиною дорівнює добутку маси точки на величину її прискорення і напрямлена протилежно вектору прискорення точки





При русі точки по кривій силу інерції можна подати як суму двох складових:

,

де



Принцип Даламбера для невільної матеріальної точки: при русі матеріальної точки активні сили і реакції в'язей, а також сила інерції матеріальної точки, якщо її умовно прикласти, являють собою зрівноважену систему сил:

,

де - рівнодійна активних сил; - рівнодійна реакцій в'язей; - сила інерції точки.


4. динаміка механічної системи і твердого тіла

Механічною системою (матеріальною системою) називається сукупність матеріальних точок, положення і рух кожної з яких залежать від положення і руху інших.

Сили, що діють на механічну систему, поділяються на зовнішні й внутрішні.

^ Зовнішні сили - це сили взаємодії точок механічної системи з тілами, що не належать даній системі.

Внутрішні сили - це сили взаємодії між точками механічної системи.

Властивості внутрішніх сил:

1) Головний вектор внутрішніх сил системи дорівнює нулю: .

2) Головний момент внутрішніх сил системи відносно будь-якої точки дорівнює нулю: .

Маса механічної системи дорівнює сумі мас усіх точок системи:



Центром мас механічної системи називається геометрична точка, радіус-вектор якої визначається за формулою



Координати центра мас визначаються за формулами

,

За визначенням центр мас є геометричною ( а не матеріальною) точкою. Центр ваги системи збігається з центром мас.

4.1. Теорема про рух центра мас механічної системи

Теорема. Центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі системи і на яку діє сила, що дорівнює головному вектору зовнішніх сил системи:



Диференціальні рівняння руху центра мас у проекціях на осі декартової системи координат:



Ці рівняння є також диференціальними рівняннями поступального руху абсолютно твердого тіла.

Внутрішні сили не входять в ці рівняння і безпосередньо не впливають на рух центра мас механічної системи. У змінюваній системі внутрішні сили викликають рух точок системи, змінюють їх взаємне розташування, не змінюючи положення центра мас.

У ряді випадків внутрішні сили є причиною появи зовнішніх сил, які викликають рух центра мас. Наприклад, в колісних транспортних засобах (трамвай, тролейбус, автомобіль та ін.) внутрішні сили двигуна впливають на їх рух через сили тертя між ведучими колесами та опорною поверхнею (рейками, шляхом).

Наслідки з теореми (закон збереження руху центра мас).

1) Якщо , то і - центр мас системи рухається рівномірно і прямолінійно або знаходиться у стані спокою.

2) Якщо , то і - проекція швидкості центра мас на вісь є сталою величиною.

4.2.Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Кількістю руху механічної системи називається вектор, що дорівнює геометричній сумі кількостей руху всіх матеріальних точок системи:



Кількість руху механічної системи дорівнює добутку маси системи на вектор швидкості її центра мас:



^ Теорема про зміну кількості руху системи матеріальних точок

- у диференціальній формі: похідна за часом від кількості руху механічної системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, діючих на систему:



у проекціях на осі координат:



- в інтегральній формі: зміна кількості руху механічної системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу головного вектора зовнішніх сил, діючих на точки системи, за той же відрізок часу:



де і - кількість руху системи в кінцевий t1 і початковий t0 моменти часу,

- імпульс головного вектора зовнішніх сил системи за даний відрізок часу .

Наслідки з теореми (закон збереження кількості руху системи):

1) Якщо , то - кількості руху системи залишається незмінною;

2) Якщо , то - проекція кількості руху системи на вісь Ох є сталою.

4.3. Теорема про зміну моменту кількості руху (кінетичного

моменту) механічної системи

Головним моментом кількості руху або кінетичним моментом відносно будь-якої нерухомої точки О називається геометрична сума моментів кількості руху всіх точок системи відносно даної точки:



^ Кінетичним моментом системи відносно даної осі (алгебраїчна величина) називається сума моментів кількості руху матеріальних точок системи відносно даної осі:



або

^ Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи: похідна за часом від кінетичного моменту механічної системи відносно будь-якої нерухомої точки дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно тієї ж точки:



де - головний момент усіх зовнішніх сил, діючих на систему, відносно даної точки О.

Проектуючи векторне рівнянням на осі декартової нерухомої системи координат, одержуємо

; ; .

Отже, похідна за часом від кінетичного моменту системи відносно будь-якої нерухомої осі дорівнює головному моменту зовнішніх сил, діючих на систему, відносно тієї ж осі.

Закон збереження кінетичного моменту системи відносно точки й осі запишеться у вигляді:

1) Якщо то - кінетичний момент системи відносно точки О є сталим як за величиною, так і за напрямком;

2) Якщо , то - кінетичний момент системи відносно осі Оz залишається незмінним.

^ 4.3.1. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла відносно нерухомої осі Оz :



де - момент інерції твердого тіла відносно осі ; - кутова швидкість тіла навколо цієї осі х; - момент і-тої зовнішньої сили відносно осі Оz.

^ 4.3.2. Моменти інерції механічної системи твердого тіла.

Моментом інерції системи відносно осі (осьовий момент інерції) називається сума добутків мас точок системи на квадрати їх відстаней від осі:

.

Момент інерції твердого тіла:

,

де - відстань від осі частинки тіла масою - координати частини тіла.

Осьові моменти інерції тіла:

.

Поряд з осьовими моментами інерції розглядають полярні (відносно полюса О) і планарні (відносно площини) моменти інерції:

,

де - відстань частинки від полюса О.

Полярний момент інерції дорівнює півсумі осьових моментів інерції і сумі планарних моментів інерції:



Відцентровими моментами інерції називаються величини, що виражаються рівностями



Відцентрові моменти інерції можуть бути від’ємними і додатніми. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то осі координат x, y, z називають головними осями інерції тіла в точці О, яка є полюсом системи координат. Якщо ця точка співпадає з центром мас тіла, то осі координат є головними центральними осями інерції.

У техніці широко використовується також поняття радіуса інерції тіла відносно осі.

^ Радіусом інерції тіла відносно осі z називається величина, яка дорівнює відстані від осі до матеріальної точки, маса та осьовий момент інерції якої дорівнює масі та осьовому моментові інерції тіла:



Теорема^ Гейгенса - Штейнера: Момент інерції тіла відносно будь-якої осі дорівнює сумі моменту інерції тіла відносно паралельної осі, що проходить через центр мас ^ С тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані h між осями: ,

де - довільна вісь; z- вісь, що проходить через центр мас С тіла паралельно осі .






Обчислення моментів інерції деяких однорідних тіл.

Однорідний стержень

де М - маса тіла.




Прямокутна тонка пластина






Порожнистий циліндр:

.

^ Кругла тонка циліндрична оболонка (кільце)



Суцільний циліндр (диск)









4.4. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної

системи

Кінетична енергія механічної системи - це скалярна величина, яка

дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок системи:



де - маса і - тої точки системи, - її швидкість.

Теорема Кеніга. Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичної енергії центра мас системи і кінетичної енергії системи в її відносному русі по відношенню до системи координат, яка рухається поступально разом з центром мас:

,

де - маса і-тої точки системи; - відносна швидкість точки по відношенню до центра мас; - маса всієї системи; - швидкість центра мас системи. Кінетична енергія твердого тіла визначається за формулами:

при поступальному русі



при обертальному русі навколо нерухомої осі



при плоскопаралельному русі ,



де М - маса тіла, - швидкість центра мас тіла; - момент інерції тіла відносно осі z (вісь обертання) або осі z, що проходить через центр мас; - кутова швидкість тіла.

^ Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи:

- у диференціальній формі: диференціал кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі елементарних робіт зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до точок системи:



- в інтегральній формі: зміна кінетичної енергії системи матеріальних точок на певному переміщенні дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил на тому самому переміщенні:



де і - кінетична енергія системи в кінці і на початку шляху; - сума робіт зовнішніх сил; - сума робіт внутрішніх сил.

Робота сили, прикладеної до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі , дорівнює добутку моменту сили відносно даної осі на кут повороту тіла:



де - момент сили відносно осі; - елементарний і певний кут повороту тіла.

У випадку сталого моменту отримаємо

^ Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, що вільно рухається, дорівнює сумі роботи головного вектора системи сил на елементарному переміщенні полюса О і роботи головного моменту цієї системи сил відносно полюса на елементарному обертальному переміщенні:



Потужність є фізичною величиною, що характеризує швидкість, з якою виконується робота



де - швидкість точки прикладення сили, - проекція сили на дотичну, - момент сили відносно осі обертання, - кутова швидкість тіла. За одиницю потужності прийнято Вт

4.5. Принцип Даламбера для механічної системи

Принцип Даламбера для матеріальної системи: при русі системи матеріальних точок геометрична сума головних векторів активних сил, реакцій в'язей і сил інерції дорівнює нулю; геометрична сума головних моментів активних сил, реакцій в'язей і сил інерції відносно деякого нерухомого О центра дорівнює нулю:



Сили інерції тіла приводяться:

- при поступальному русі до рівнодійної сил інерції :



яка прикладена у центрі мас;



- при обертальному русі до головного моменту сил інерції та головного вектора сил інерції , який прикладений в точці О на осі обертання:






- вісь z - головна центральна вісь інерції:







- при плоскопаралельному русі - до головного вектора сил інерції , який прикладений до центра мас, та головного моменту сил інерції :





де М - маса тіла; - прискорення центра мас тіла; - кутове прискорення обертального руху; - моменти інерції тіла відносно осі обертання та осі , що проходить через центр мас.

4.6. Елементи аналітичної механіки

^ 4.6.1. Класифікація в’язей

Розрізняють вільні й невільні механічні системи. Механічна система називається вільною, якщо рух її точок необмежений ніякими сторонніми тілами (в'язами). Якщо рух механічної системи обмежений в’язами, то вона називається невільною.

^ Класифікація в'язей. Обмеження, які в'язі накладають на механічну систему, аналітично виражаються у вигляді співвідношень (рівнянь або нерівностей) між часом, координатами і швидкостями матеріальних точок, що утворюють систему.

Геометричні (скінченні) в'язі — це такі в'язі, до рівняння яких не входять швидкості точок системах:

.

Кінематичні (диференціальні) в'язі - це такі в'язі, до рівняння яких входять швидкості точок системи:



Якщо рівняння кінематичної в'язі після інтегрування можна перетворити у рівняння геометричної в'язі, то така кінематична в'язь називається голономною (інтегрованою). У протилежному випадку кінематична в'язь називається неголомною (неінтегрованою).

Стаціонарні в'язі - це в'язі, до рівнянь яких час не входить у явному вигляді.

^ Нестаціонарні в'язі — це в'язі, до рівнянь яких час входить у явному вигляді.

Двобічні (утримуючі) в'язі — це в'язі, що обмежують рух точок механічної системи у двох взаємно протилежних напрямах зовнішніх нормалей до поверхні в'язі.

0днобічні (неутримуючі) в'язі — це в'язі, що обмежують рух точок механічної системи в якомусь одному напрямі зовнішньої нормалі до поверхні в'язі і не обмежують його в протилежному напрямі.

Утримуючі в'язі аналітично виражаються рівнянням



а неутримуючі - нерівностями



^ 4.6.2. Принцип можливих переміщень

Можливими (або віртуальними) переміщеннями системи називаються умовні нескінченно малі її незалежні переміщення, що дозволяються в'язами системи в даний момент часу (в даному положенні системи).

Ідеальні в'язи — це такі в'язі, сума робіт реакцій яких на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю:



Приклади ідеальних в’язей: абсолютно гладенька поверхня (напрямні); ідеальні шарніри (підшипник), стержні та ін.

^ Принцип можливих переміщень: для рівноваги системи зі стаціонарними двобічними ідеальними в'язями необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт усіх активних сил, діючих на систему, на будь-якому можливому переміщенні системи з даного її положення рівноваги дорівнювала нулю:



або в скалярній формі

або в аналітичній формі

^ 4.6.3. Узагальнені координати, швидкості та узагальнені сили.

Узагальненими координатами називають такі незалежні один від одного параметри, заданням яких можна однозначно визначити положення усіх точок системи. Такими параметрами можуть бути декартові координати, кути, віддалі та ін. Число цих незалежних параметрів називають числом ступенів вільності механічної системи.

Похідні за часом від узагальнених координат, тобто величини , називаються узагальненими швидкостями системи.

Обчислимо роботу прикладених до точок системи активних сил на можливому переміщенні системи:



де

Величини , що є множниками при можливих (віртуальних) переміщеннях узагальнених координат у формулі роботи активних сил на можливому переміщенні системи, називаються узагальненими силами.

Щоб обчислити узагальнену силу досить надати можливе переміщення координаті і визначити роботу активних сил на переміщеннях точок системи, які зумовлені тільки зміною координати .

Маємо

Якщо активні сили є потенціальними то узагальнені сили дорівнюватимуть частинним похідним від потенціальної енергії П (q1, q2,…, qs) по узагальнених координатах:



^ 4.6.4. рівняння динаміки системи.

Загальне рівняння При русі системи, підпорядкованої голономним двостороннім ідеальним в'язям, сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи повинна дорівнювати нулю:



або

де - сила інерції точки; - узагальнена сила інерції; - можливе переміщення точки.

Рівняння Лагранжа II роду мають такий вигляд:



де Т - кінетична енергія системи, представлена як функція узагальнених координат, узагальнених швидкостей і часу; - частинні похідні кінетичної енергії по узагальнених швидкостях і координатах.

4.7. Удар

Удар - явище, при якому швидкості точок тіла за дуже малий (близький до нуля) проміжок часу змінюються на скінченну величину.

ударні сили - сили, при дії яких відбувається удар. Ударні сили діють протягом дуже малого проміжку часу і досягають дуже великих значень.

В теорії удару в якості міри взаємодії розглядають не самі ударні сили, а їх імпульси.

^ Ударний імпульс - вектор, який визначається за формулою



де - тривалість удару.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки при ударі (основне рівняння теорії удару матеріальної точки): зміна кількості руху матеріальної точки під час удару дорівнює геометричній сумі ударних імпульсів, які діють на точку:



де - швидкості точки після і до удару відповідно.

Коефіцієнт відновлення при ударі:

, 0 ≤ к ≤ 1,

де , - модулі нормальних складових відносної швидкості точки торкання тіл після і до удару відповідно.

^ Окремі випадки: 1) К = 1 - абсолютно пружний удар (тіла, що співударяються, після удару мають різні швидкості);

2) К = 0 - абсолютно непружний удар (тіла, що співударяються, після удару рухаються як одне тіло).

^ Теорема про зміну кількості руху механічної системи при ударі:

зміна кількості руху системи під час удару дорівнює геометричній сумі усіх зовнішніх ударних імпульсів, які діють на систему:



де - кількість руху системи після і до удару відповідно.

^ Теорема про зміну моменту кількості руху механічної системи при ударі: зміна головного моменту кількості руху системи відносно нерухомого полюса А під час удару дорівнює геометричній сумі моментів усіх зовнішніх ударних імпульсів відносно того ж полюса:



де - головні моменти кількості руху системи відносно полюса А після і до удару відповідно.

Удар називається центральним, якщо нормаль до поверхонь тіл, що співударяються, в точці їх дотику (лінія удару) проходить через центри мас цих тіл.

Удар називається прямим, якщо швидкості тіл, що співударяються, напрямлені по лінії удару. В протилежному випадку удар називається косим.

Основні рівняння прямого центрального удару:



де - проекції швидкості тіл до удару на вісь х, що співпадає з лінією удару ; - проекції швидкості тіл на вісь х після удару; - маси тіл; - коефіцієнт відновлення.

Теорема ОстроградськогоКарно:



де - втрата кінетичної енергії двох тіл при ударі; - кінетичні енергії системі до і після удару відповідно; - втрачені швидкості.

У випадку косого удару мають місце рівняння



де і - проекції швидкостей тіл на вісь п, що проходить через центри мас цих тіл до удару і після нього.

Додаток 1
1   2   3   4   5

Схожі:

3. Динаміка точки iconЧастина третя динаміка
Динаміка   розділ теоретичної механіки, в якому визначається механічний рух матеріальної точки, системи матеріальних точок, твердого...
3. Динаміка точки iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
З математики: алгебра, геометрія, тригонометрія, диференціальне та інтегральне числення, диференціальні рівняння; з фізики: механіка;...
3. Динаміка точки iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
«Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,...
3. Динаміка точки iconТаблиця Динаміка контингенту студентів за 2009 – 2012 рр
Ще два роки тому в нас було 20 тис студентів. Сьогодні їх – близько 16 тис. Динаміка зміни контингенту студентів наведена в таблиці...
3. Динаміка точки iconМ. Г. Шульженко, С. О. Закурдай динаміка рухомого складу конспект лекцій
Динаміка рухомого складу. Конспект лекцій /для студентів 4 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 050702 – «електромеханіка»...
3. Динаміка точки iconМомент инерции. Теорема Штейнера
...
3. Динаміка точки iconПрограма вступних фахових випробувань на освітньо-кваліфікаційний рівень
Закони динаміки матеріальної точки. Сили І взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
3. Динаміка точки iconПрограма вступних фахових випробувань на освітньо-кваліфікаційний рівень
Закони динаміки матеріальної точки. Сили І взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
3. Динаміка точки iconПрограма вступних фахових випробувань на освітньо-кваліфікаційний рівень " бакалавр"
Закони динаміки матеріальної точки. Сили і взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
3. Динаміка точки iconПротокол №6/5 Голова Вченої ради проф. Половинко І. І
Закони динаміки матеріальної точки. Сили і взаємодії. Маса, як міра інертності. Рух системи матеріальних точок. Момент імпульсу матеріальної...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи