Поверхні icon

Поверхні




Скачати 242.52 Kb.
НазваПоверхні
Дата14.09.2012
Розмір242.52 Kb.
ТипЛекція

Лекція 4

ПОВЕРХНІ





    1. Утворення та задання поверхонь.


Поверхня в геометрії визначається як двопараметрична множина точок простору, тобто множина точок простору, координати яких є диференційованими функціями двох параметрів. Це визначення дозволяє розглянути поверхню як неперервну множину послідовних положень змінної лінії – твірної, що рухається в просторі за певним правилом, або перетин твірної (у всіх її послідовних положеннях), з деякими фіксованими лініями, які називаємо напрямними.




Рис. 4.1

В нарисній геометрії користуються головним чином кінематичним способом утворення поверхонь. На поверхні ^ Ф можливо в загальному випадку провести два типи сімейства ліній l та m, яким будуть задовольняти слідуючі умови:

-ніякі дві лінії одного сімейства не перетинаються між собою.

-кожна лінія одного сімейства перетинає всі лінії другого.

На рис. 4.1 поверхня ^ Ф утворена рухом твірної l по нерухомим напрямним m. Твірні та напрямні можуть мінятись місцями.

З великої кількості поверхонь оточуючого нас простору ми будемо розглядати два класи, поверхні обертання і гранні поверхні.

Поверхнею обертання називається поверхня, яка описується якою-небудь лінією (прямою, кривою) твірною при її обертанні навколо нерухомої осі.

Визначник поверхні обертання: 1. Нерухома пряма – вісь обертання; твірна - пряма або крива лінія. 2. Твірна обертається навколо осі так, щоб кожна точка твірної здійснила повний оберт.

Щоб викреслити складну деталь, треба навчитись будувати прості геометричні фігури, форми яких складають деталі: призми, циліндри, сфери, конуси, піраміди. Проектування геометричних тіл заключається не тільки в побудові за заданими розмірами проекцій цих тіл, але і в умінні провести повний аналіз креслення, тобто вказати ребро, вершини, грані, визначити взаємне розміщення цих елементів, знайти видимі і невидимі частини фігури, визначити проекції точок , які лежать на поверхні тіла, тощо.

Положення точки, яка лежить на поверхні задана, якщо відома одна її проекція і вказано, на якій частині поверхні (видимої або невидимої) точка розміщена. Якщо немає вказівок, вважають, що точка розміщена на видимій частині поверхні.

Щоб побудувати недостаючі проекції точки яка лежить на поверхні, необхідно: 1) визначити вид поверхні (проектуюча або загального положення) на якій лежить задана точка; 2) вибрати графічно просту для побудови на кресленні лінію поверхні яка б проходила через задану точку; 3) побудувати проекції цієї лінії на кресленні; 4) побудувати шукані на кресленні задані точки.

Будь-яка лінія являє собою сукупність точок, тому побудова проекцій лінії, розміщеної на поверхні, зводиться до побудови проекцій декількох точок, які належать цій лінії.

Розглянемо деякі поверхні, утворені обертанням прямої лінії.


4.2 Відображення поверхонь.Точки на поверхнях

4.2.1 Циліндр.


Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами (основами). Прямим називається циліндр, в якого твірні перпендикулярні до основи рис. 4.2,а.

Проводячи аналіз креслення циліндра можна відмітити, що верхня основа циліндра паралельна площині 1^ П, нижня основа належить 1П. Бокова циліндрична поверхня – горизонтально – проектуюча. На 1П вона проектується в коло. Твірні даної поверхні (позначені як а, b, c, d) являються горизонтально-проектуючими прямими.

Розглянемо аксонометричне зображення циліндра (рис. 4.2,б) на горизонтальній проекції видимою буде верхня основа циліндра. На фронтальній проекції видимою буде передня частина циліндра (до площини ). Площина  умовно поділяє зображення циліндра на фронтальній площині проекцій на видиму і невидиму частини. Площина  розділяє поверхню циліндра на видиму і невидиму частини на профільній площині проекцій. 3П. Всі точки, що знаходяться зліва від даної площини на профільній площині 3П будують видимі, а точки, що знаходяться справа – невидимі. Невидимі точки на комплексному кресленні зображуються в круглих дужках (точка E на рис. 4.2,е).

Побудова всіх проекцій точок здійснюється з допомогою ліній зв’язку по відповідних координатах. Яку б точку ми не взяли на поверхні циліндра, горизонтальна проекція цієї точки буде знаходитись на основі циліндра, тобто на колі.

^ Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: точка А на фронтальній проекції належить твірній а та верхній основі  . У символьному записі - 2А2а2 (рис. 4.2,в).



Рис. 4.2

Креслення: проекція точки 1А на горизонтальній площині співпадає із проекцією твірної 1А1а. Проекція точки 3А на профільній площині проекцій співпадає із профільною проекцією твірної 3а та належить верхній основі - 3 (твірна - а належить фронтальній площині , що проходить через вісь симетрії (див. рис. 4.2, б) тому на профільній площині не викреслюється).

2. Задано: точка В на фронтальній проекції належить верхній основі  та боковій поверхні  . У символьному записі - 2B  22 (рис. 4.2,г).

Креслення: проекція 1В на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція 3^ В на профільній площині проекцій видима належить верхній основі - 3 і знаходиться вправо від осі симетрії на відстані yB

3. Задано: на фронтальній проекції точка C належить боковій поверхні  . У символьному записі - 2C2 (рис. 4.2,д).

Креслення: проекція 1С на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція 3С на профільній площині проекцій видима і знаходиться від проекції 2С по горизонтальній лінії з’вязку вправо від осі симетрії на відстані yС

4. Задано: на фронтальній проекції точка D належить боковій поверхні  . У символьному записі – 2D2 (рис. 4.2,д).

Креслення: проекція 1D на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція 3D на профільній площині проекцій невидима і знаходиться від проекції 2D по горизонтальній лінії з’вязку вправо від осі симетрії на відстані yD

5. Задано: невидима на фронтальній проекції точка E належить боковій поверхні  . У символьному записі – 2E2 (рис. 4.2,е).

Креслення: проекція 1E на горизонтальній площині видима і знаходиться на колі основи. Проекція 3E на профільній площині проекцій невидима і знаходиться від проекції 2E по горизонтальній лінії з’вязку вліво від осі симетрії на відстані yE

4.2.2 Сфера.


Сферична поверхня може бути одержана шляхом обертання кола навколо осі, яка лежить в площині кола і проходить через його центр. Рис. 4.3,а.

Проекції контуру сфери на епюрі представляють собою кола які зображені на рис. 4.3,б. Довільний перетин сфери площиною рівня (горизонтальна, фронтальна, профільна) утворює коло і воно проектується без спотворення на відповідну площину проекцій.

Горизонтальна площина проходить через центр сфери і ділить її на дві рівні частини. Коло, що утворюється в перетині, називається екватор. Верхня половина сфери дає видимі точки на горизонтальній проекції (точки D і E на рис. 4.3,г), а нижня – невидимі.

Фронтальна площина також ділить сферу на дві рівні частини. Коло, що утворюється в перетині, називається головний мередіан. Точки, які знаходяться попереду цієї площини на фронтальній проекції видимі (точка F на рис. 4.3,д), які позаду – невидимі(точка G на рис. 4.3,д).

Ще одне коло одержимо як січення профільною площиною. Коло, що утворюється в перетині, називається профільний мередіан. Точки будут видимі на профільній проекції, тоді коли вони будуть з лівої сторони від цієї січної площини (точки F і G на рис. 4.3,д), і невидимі, коли вони будуть справа (точки H і I на рис. 4.3,е).

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: точка А на фронтальній проекції знаходиться в перетині головного фронтального та профільного мередіанів. У символьному записі - 2А2b2c (рис. 4.3,в). (Аналогічно можно провести аналіз побудови точки В, що знаходиться в перетині екватора та профільного мередіана та аналіз побудови точки C що знаходиться в перетині екватора та головного мередіана)

Креслення: проекція точки 1А на горизонтальній площині буде знаходитись в перетині головного фронтального та профільного мередіанів- 1А1b1c. Проекція точки 3А на профільній площині буде знаходитись в перетині головного фронтального та профільного мередіанів- 3А3b3c.

Аналогічно можно провести аналіз побудови точки B, що знаходиться в перетині екватора та профільного мередіана та аналіз побудови точки C що знаходиться в перетині екватора та головного мередіана (рис. 4.3,в)

2. Задано: точка D на фронтальній проекції належить головному (фронтальному) мередіану. У символьному записі – 2D2b (рис. 4.2,г).

Креслення: проекція точки 1D на горизонтальній площині буде знаходитись на перетині вертикальної лінії з’вязку і осьової лінії, а саме належати головному мередіану – 1D1b. Координата точки D по осі ОХ визначається колом радіусом – R1 утвореним в горизонтальній площині.

Аналогічно можно провести аналіз побудови точки E, (рис. 4.3,г) її проекція на горизонтальній площині визначається екватором сфери– 1E1a, фронтальна проекція буде знаходитись на перетині вертикальної лінії з’вязку і осьової лінії – 2E2b. Координата точки E на профільній проекції визначається колом радіусом – R3 утвореним в профільній площині.

3. Задано: точка F - видима та точка G - невидима на фронтальній проекції. У символьному записі – 2F2G (рис. 4.3,д).

Креслення: проекції точок 1F і 1G на горизонтальній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R1, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій. Проекції точок 3F і 3G на профільній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R3, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій.

4. Задано: точка H - видима та точка I - невидима на горизонтальній проекції. У символьному записі – 2H2I (рис. 4.3,е).

Креслення: проекції точок 2H і 2I на горизонтальній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R2, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій. Проекції точок 3F і 3G на профільній площині будуть знаходитись на колі радіусом – R3, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій.



Рис. 4.3

4.2.3 Конус.


Конус – геометричне тіло, обмежене боковою конічною поверхнею -  і площиною основи - , що перетинає всі його твірні. Основа конуса лежить в площині 1П. Прямим круговим називається конус, у якого основа є коло, а висота проходить через центр основи. Бічна поверхня прямого конуса утворена твірними які проходять через загальну точку S - вершину конуса (див.рис 4.4,а). На рис. 4.4,б зображено проекції конуса на площини проекцій.

Твірні a, b є окреслюючими по відношенню до 2П, вони лежать у фронтальній площині. Твірні c, d – окреслюючі по відношенню до площини проекцій 3П, знаходяться в профільній площині (рис. 4.4,в). Всі інші твірні конуса - прямі загального положення і на епюрі не зображуються.

Проекції точок, які лежать на основі конуса, знаходять на інших площинах проекцій за допомогою ліній зв’язку.

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

  1. Задано: проекція точки - 2С належить основі конуса (рис. 4.4,г).

Креслення: проекції точки - 1С на горизонтальній площині знайдемо на колі основи, а проекцію точки - 3С на профільній площині знайдемо на відстані YС в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

2.Задано: точки – 1D і 1E , що належать окреслюючим твірним - 1d, 1c конуса (рис. 4.4,д).

Необхідно: Побудувати проекції точок. Вказати іх видимість.

Аналіз: На горизонтальній проекції видимою буде вся бічна поверхня конуса. Фронтальні окреслюючі твірні 2а, 2в ділять бічну поверхню конуса на передню - видиму і задню - невидиму (по відношенню до 2П – рис. 4.4.д). Профільні окреслюючі твірні - 3d, 3c ліву видиму і праву невидимі частини (по відношенню до 3П, рис. 4.4. д).

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - 2 через фронтальну проекцію точки – (2^ D) –невидима, та горизонтальну площину - 2 через фронтальну проекцію точки – 2E. Побудуємо коло радіусом - R1 в площині 1 та коло радіусом – R2 в площині - 2 на горизонтальній площині проекцій. Проекції точок – 1D і 1E на горизонтальній площині знайдемо в перетині кіл радіусами R1 та R2 з горизонтальною проекцією окреслюючих твірних - 1d, 1c. Профільні проекції точок- 3D і 3E знаходяться в перетині горизонтальних ліній зв’язку від фронтальних проекцій точок- 2D і 2E та профільних проекцій окреслюючих твірних - 3d та 3c.

3. Задано: точка – 2F , що належить конічній поверхні (рис. 4.4,е).

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - 2 через фронтальну проекцію точки – 2^ F. Побудуємо коло радіусом - R1 в цій площині на горизонтальній проекції. Горизонтальну проекцію точки - 1F знайдемо в перетині цього кола і вертикальної лінії зв’язку від фронтальної проекції точки – 2F. Профільну проекцію точки – 3F знайдемо в площині - 3 на відстані YF в напрямку додатніх значень осі координат – Y.




Рис. 4.4

4.2.4 Призма.


Призма – многогранник, утворений перетином призматичної поверхні двома паралельними площинами - і . На рис.4.5,а зображені проекції призми і її деяких складових елементів. Елементами призм вважають: вершини (точки), ребра (прямі), грані (площини). Призму називають прямою, якщо бокові ребра її перпендикулярні до основи. Призму називають правильною, якщо в основі її лежить правильний многокутник. Аксонометричне зображення призми наведено на рис. 4.5,б.

Призма, яку зображено на рис.4.5,в має 6 граней, 2 основи, 18 ребер (із них 6 бокових –a, b, c, d, e, f), 12 вершин. Верхня основа паралельна горизонтальній площині проекцій 1П нижня – належить 1П. Грані ВСМК, FEOT – фронтальні площини. На 3П кожна з них проектується в лінію – слід площини. Інші грані – горизонтально-проектуючі площини. Ребра основи – горизонтальні лінії рівня. На горизонтальній проекції видимою буде верхня основа призми. На фронтальній проекції видимі грані АВKL, ВСМК, СDNM, інші – невидимі. На профільній проекції видимі грані – ABKL, АFТL, інші – невидимі.

^ Комплексне креслення правильної призми слід починати з горизонтальної проекції. Побудову всіх проекцій точок на боковій поверхні призми здійснють за допомогою ліній зв’язку по відповідних координатах. Яку б точку ми не взяли на боковій поверхні призми, горизонтальна проекція цієї точки буде знаходитись в основі призми.

^ Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: проекція точки - 2P належить грані ABKL (площина - , див.рис. 4.5,г).

Креслення: горизонтальна проекція точки – 1P знаходиться в основі призми на ребрі – 1K1L. Профільну проекцію точки – 3P знаходимо на горизонтальній лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – 2P, на відстані YP в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

2. Задано: проекція точки – 2S належить грані CDNM (площина - , див.рис. 4.5,д).

Аналіз: грань CDNM видима на горизонтальній, фронтальній та невидима на профільній проекціях (див. рис.4.5,б), аналогічно позначимо проекції точки – 1S, 2S і (3S).

Креслення: горизонтальна проекція точки – 1S знаходиться в основі призми на ребрі – 1N1M. Профільну проекцію точки – 3P знаходимо на горизонтальній лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – 2P, на відстані YS в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

3. Задано: проекція точки – 2I належить грані BCMK (площина - 2, див.рис. 4.5,e).

Аналіз: грань BCMK – фронтальна площина.

Креслення: горизонтальна проекція точки – 1I знаходиться в основі призми на ребрі – 1K1M. Профільну проекцію точки – 3I знаходимо по горизонтальній лінії з’вязку на проекції грані BCMK (площина - 3).



Рис. 4.5

4.2.5 Піраміда.


Піраміда – многогранник, утворений перетином пірамідальної поверхні площиною основи -. На рис.4.6,а зображені проекції піраміди і її деяких складових елементів. Елементами пірамід вважають: вершини (точки), ребра (прямі), грані (площини). Піраміду називають прямою, якщо її висота перпендикулярна основі. Піраміду називають правильною, якщо в основі її лежить правильний многокутник. Аксонометричне зображення піраміди наведено на рис. 4.6,б.

Піраміда, яку зображено на рис.4.6,в має 6 граней, 1 основу, 12 ребер (із них 6 бокових), 7 вершин. Основа піраміди належить горизонтальній площині проекцій 1П або паралельна їй. Бокові ребра SA та SD - фронтальні прямі рівня. Інші бокові ребра – прямі загального розташування. Ребра основи – горизонтальні лінії рівня. На горизонтальній проекції видимими будуть всі грані піраміди. На фронтальній проекції видимі грані SAB, SBC, SCD, інші – невидимі. На профільній проекції видимі грані – SAB, SAF, інші – невидимі.

^ Комплексне креслення правильної піраміди слід починати з горизонтальної проекції.

Розглянемо декілька прикладів знаходження проекцій точок.

1. Задано: проекція точки – 2G належить ребру - AB в основі піраміди (площина -  , див.рис. 4.6,г).

Креслення: горизонтальна проекція точки – 1G знаходиться в основі піраміди на ребрі – 1A1B. Профільну проекцію точки – 3G знаходимо на горизонтальній лінії з’вязку,яку проводимо від фронтальної проекції точки – 2G, на відстані YG в напрямку додатніх значень осі координат – Y.

2. Задано: проекція точки – 2H належить боковому ребру SB (див.рис. 4.6,д).

Креслення: горизонтальна проекція точки – 1H знаходиться в перетині вертикальної лінії з’вязку та ребра – 1S1B піраміди. Профільну проекцію точки – 3H знаходимо на перетині горизонтальної лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – 2H, із ребром -3S3B.

3. Задано: проекція точки – 2I належить грані SAB (див.рис. 4.6,e).

Аналіз: грань SAB – площина загального розташування.

Креслення: Проведемо горизонтальну площину - 2 через фронтальну проекцію точки – 2^ I. Утворюється лінія перетину n, що належить горизонтальній площині - n . Горизонтальна проекція точки – 1I знаходиться на перетині вертикальної лінії з’вязку, яку проведено від фронтальної проекції точки – 2I, із горизонтальною проекцією лінії - 1n. Профільну проекцію точки – 3I знаходимо по горизонтальній лінії з’вязку, яку проводимо від фронтальної проекції точки – 2I, на відстані YI в напрямку додатніх значень осі координат – Y.



Рис. 4.6

^ 4.3 Перетин поверхонь площинами.


При перетині поверхонь геометричних тіл, площинами отримуємо лінії прямі і плоскі алгебраїчні криві другого порядку (коло, еліпс, парабола, гіпербола). Будь-яка лінія представляє собою сукупність точок, тому побудова проекцій ліній, розміщених на поверхнях геометричних тіл базується на побудові проекцій декількох точок (двох для прямих і більше - для кривих) цих ліній.

На рис. 4.7 зображені три проекції і аксонометрія призми яку перетинають: горизонтальною площиною -  (рис. 4.7,а); фронтальною -  (рис. 4.7,б); профільною -  (рис. 4.7,в); фронтально-проектуючою площиною -  (рис. 4.7,в) та побудову решти проекцій точок для яких задано - 1A (рис. 4.7,а), 2B (рис. 4.7,б), 3C (рис. 4.7,в), 1D (рис. 4.7,в), які належать переліченим вище площинам.



Рис. 4.7

На рис. 4.8 зображені три проекції і аксонометрія піраміди яку перетинають: горизонтальною площиною -  (рис. 4.7,а); фронтально-проектуючою площиною -  (рис. 4.7,б) та побудову решти проекцій точок для яких задано - 1A (рис. 4.7,а), 1B (рис. 4.7,б), які належать переліченим вище площинам.



Рис. 4.8

На рис. 4.9 зображені три проекції і аксонометрія циліндра який перетинають: фронтально-проектуючою площиною -  (рис. 4.9,а); профільною площиною рівня-  (рис. 4.9,б) та побудову решти проекцій точок для яких задано - 1E (рис. 4.9,а), 3F (рис. 4.9,б), які належать переліченим вище площинам. Перетин циліндра фронтально-проектуючою площиною -  утворює криву лінію на його поверхні – еліпс, який на профільній проекції будують по точках визначених проектуванням на горизонтальну проекцію циліндра - коло.



Рис. 4.9

На рис. 4.10 зображені три проекції і аксонометрія сфери яку перетинають: горизонтальною площиною -  (рис. 4.10,а); фронтальною -  (рис. 4.10,б); профільною -  (рис. 4.10,в); фронтально-проектуючою площиною -  (рис. 4.10,в) та побудову недостаючих проекцій точок для яких задано проекція точки 1A належить фронтальному мередіану та площині-  (рис. 4.7,а), проекція точки 2B належить екватору сфери та площині-  (рис. 4.7,б), проекція точки 3C належить екватору сфери та площині-  (рис. 4.7,в) які належать переліченим вище площинам.

Зріз сфери фронтально-проектуючою площиною -  (рис. 4.10,в) зображується на інших площинх проекцій - 1, 3 у вигляді еліпсів. Зрештою зріз іншими проектуючими площинами (горизонтально-проектуючою та профільно-проектуючою) також зумовить зображення еліпсів на інших площинах проекцій - 2, 3 (для горизонтально-проектуючої) та 1, 2 (для профільно-проектуючої).



Рис. 4.10

На рис. 4.12,а зображені три проекції і аксонометрія конуса який перетинає горизонтальна площина рівня - . В перетині конічної поверхні утворюється коло.

На рис. 4.12,б зображені три проекції і аксонометрія конуса який перетинає фронтально-проектуюча площина рівня - , яка проходить через його вершину. В перетині конічної поверхні його дві твірні утворюють трикутник.

На рис. 4.12,в та 4.12,г зображені три проекції і аксонометрія конуса який перетинає фронтально-проектуюча площина - , яка нахилена до осі конуса під кутом, більшим за кут нахилу твірної конуса до осі. В перетині конічної поверхні утворюється еліпс. Неповний еліпс утворюється, якщо фронтально-проектуюча площина перетинає основу конуса. На першому етапі побудови (див.рис. 4.12,в) слід побудувати горизонтальні проекції точок 1A і 1B (велика піввісь еліпса) та 1C і 1D (мала піввісь еліпса). Пошук профільної проекції цих точок розглянуто вище (див. рис.4.4,г). На другому етапі побудови (див.рис. 4.12,д) проекції допоміжних точок еліпса як належних конусові точок знаходимо за допомогою площин-посередників і, які являють горизонтальні площини рівня, у такій послідовності (рис.11).



а) б) в) г)

Рис. 4.11. Побудова проекцій належної поверхні конуса точки Е.

Через задану на поверхні конуса фронтальну проекцію 2E точки E (рис. 4.11,а) проводимо горизонтальну площину рівня 2 як площину-посередник (рис. 4.11,б). Ця площина перетинає конус по колу радіуса R. Будуємо горизонтальну проекцію кола, що являє дійсну величину перерізу конуса площиною . На перетині лінії проекційного зв’язку з колом будуємо горизонтальну проекцію 1E точки E (рис. 4.11,в). Профільну проекцію 3E точки E будуємо, визначивши на горизонтальній проекції значення координати yE (рис. 4.11,г).

На рис. 4.12,д зображені три проекції і аксонометрія конуса який перетинає фронтально-проектуюча площина паралельна одній твірній конуса - 2. В перетині конічної поверхні утворюється парабола. Побудову характерних точок параболи – 1, 2, 6 розглянуто вище (див. рис.4.4, в, г, д ,точки –B, C, D, E). Проекції допоміжних точок – 3, 4, 5 знаходимо за допомогою площин посередників (див.рис. 4.12).

На рис. 4.12,е зображені три проекції і аксонометрія конуса який перетинає фронтально-проектуюча площина паралельна двом твірним або осі конуса - 2. В перетині конічної поверхні утворюється гіпербола.



Рис.4.12

    1. Взаємний перетин поверхонь площинами.


^ 4.4.1 Тіло обмежене сферичною і циліндричною поверхнею.


На рис. 4.13,а представлено виконані на комп’ютері твердотільні моделі півсферичної поверхні -  та циліндричної поверхні -  які перетинає чотирьохгранна поверхня - , а також результат поєднання поверхонь -  і  та віднімання від них поверхні -  (рис.4.13,б).



а б

Рис. 4.13

Перетин сферичної поверхні-  гранню - 1 (горизонтальна площина рівня) утворює колову лінію радіусом - R1(див.рис.4.14). Перетин сферичної поверхні гранню - 2 (профільна площина рівня) утворює лінію кола, радіусом - R2. В перетині площин позначаємо точки 21 і 22, що визначають початок та закінчення дуги радіусом R1 та початки дуг радіусом R2. На лінії екватора сфери позначаємо точки 23 і 24 в яких буде закінчуватись побудова дуг радіусом R2. Горизонтальну проекцію точок 11 і 12 знаходимо на перетині вертикальної лінії з’вязку із колом радіусом R1, а точок 13 і 14 із екватором сфери. На профільній площині проекцій точки 31 і 32 та точок 33 і 34 будуть знаходитись на колі радіусом – R2, його радіус визначено з фронтальної площини проекцій.



Рис. 4.14. Побудова ліній перетину гранної поверхні -  із сферичною поверхнею - 

Перетин циліндричної поверхні -  гранню - 2 (профільна площина рівня) проходить по твірним циліндра. На фронтальній проекції циліндра позначимо точки 25 та 26 – закінчення вертикальних відрізків. Побудову решти проекцій точок 5 та 6 виконуємо згідно опису, наведеному на рис. 4.2.

Перетин циліндричної поверхні -  гранню - 3 (фронтально-проектуючою площиною) утворює криву лінію на його поверхні – еліпс, який на профільній проекції будують по точках, визначених проектуванням на горизонтальну проекцію циліндра – коло (див. рис. 4.15).



Рис. 4.15. Побудова ліній перетину гранної поверхні -  з циліндричною поверхнею - 



Рис. 4.16. Комплексне креслення поєднаної сферичної та ціліндричної поверхні.

^ 4.4.2 Тіло обмежене пірамідальною і циліндричною поверхнею.


На рис. 4.17,а представлено виконані на комп’ютері твердотільні моделі поверхні піраміди -  та циліндричної поверхні -  які перетинає поверхня - , а також результат поєднання поверхонь -  і  та віднімання від них поверхні -  (рис.4.13,б).



а б

Рис. 4.17

Перетин лівої половини поверхні піраміди -  гранню - 2 (горизонтальна площина рівня) утворює в нашому випадку правильний чотирикутник подібний основі піраміди (див.рис. 4.18, а). Перетин піраміди гранню - 1 (профільна площина рівня) утворює лінії зрізу паралельні ребрам піраміди. В основі піраміди позначаємо точки 23 і 211. В перетині площини 2 з ребрами піраміди позначаємо точки 25 і 213. Точки 24 і 212 позначаємо на перетині площин 21 та 22 .

Перетин правої половини поверхні піраміди -  гранню - 3 циліндричною поверхнею утворює просторову криву Вибір кількості допоміжних площин впливає на докладність побудови кривої. В основі піраміди позначаємо точки 26 і 214.

Побудову решти проекцій точок на поверхні піраміди виконуємо згідно опису наведеному на рис. 4.6.



а б

Рис. 4.18. Побудова ліній перетину поверхні  із поверхнею піраміди - .

Перетин циліндричної поверхні - гранню - 1 (профільна площина рівня) проходить по твірним циліндра. На фронтальній проекції циліндра позначимо точки 21 та 29 – закінчення вертикальних відрізків (див. рис. 4.19,а). Побудову решти проекцій точок 1 та 9 виконуємо згідно опису наведеному на рис. 4.2.

Перетин циліндричної поверхні-  гранню - 4 (фронтально-проектуючою площиною) утворює криву лінію на його поверхні – еліпс. На верхній основі циліндра позначаємо точки 27 і 215. Точки 28 і 216 позначаємо на перетині площин 24 та 25 . Побудова еліптичної кривої проводиться по дискретним точкам за допомогою декількох допоміжних горизонтальних площин рівня. Ці точки на профільній проекції будують по точках визначених проектуванням на горизонтальну проекцію циліндра – коло (див. рис. 4.19,б).



а б

Рис. 4.19. Побудова ліній перетину поверхні -  з циліндричною поверхнею - .



Рис. 4.20. Комплексне креслення поєднаної сферичної та ціліндричної поверхні.


^ 4.4.3 Тіло обмежене конічною і сферичною поверхнею.


На рис. 4.21,а представлено виконані на комп’ютері твердотільні моделі конічної поверхні -  та півсферичної поверхні -  які перетинає чотирьохгранна поверхня - , а також результат поєднання поверхонь -  і  та віднімання від них поверхні -  (рис.4.21,б).




а б

Рис.4.21

Перетин конічної поверхні-  гранню - 5 (фронтально-проектуюча площина парельна твірній конуса) утворює параболічну криву на конічній поверхні (див.рис 4.22,а). В основі конуса позначаємо точки 25 і 26. Точки 213 і 214 позначаємо на перетині площин 21 та 25. Побудова параболічної кривої проводиться по дискретним точкам за допомогою декількох допоміжних горизонтальних площин рівня. Ці точки на горизонтальній проекції знаходять в перетині вертикальних ліній зв’язку із відповідними січними колами (див. рис. 4.22,а). Побудову профільних проекцій точок на поверхні конуса виконуємо згідно опису, наведеному на рис. 4.11.

Перетин конічної поверхні гранню - 1 (горизонтальна площина рівня) утворює лінію дуги, радіус якої дорівнює відстані від осі до твірної(див.рис 4.22,б).

Перетин конічної поверхні гранню - 2 (профільна площина рівня) утворює гіперболічну криву на конічній поверхні (див.рис 4.22,б)



а б

Рис. 4.22. Побудова ліній перетину поверхні  із конічною поверхнею - .

Перетин сферичної поверхні-  гранню - 4 та гранню - 2 (профільні площини рівня) утворють лінії кола радіусом - ^ R3. Перетин сферичної поверхні гранню - 3 (горизонтальна площина рівня) утворює лінії кола радіусом - R1. В перетині площин позначаємо точки 21 і 22, та 227 і 228, що визначають початок та закінчення дуги радіусом R3 та початки дуг радіусом R1. На лінії екватора сфери позначаємо точки 23 і 24 та 225 і 226 в яких буде закінчуватись побудова дуг радіусом R3. Горизонтальну проекцію точок 11 і 12 та 127 і 128 знаходимо на перетині вертикальної лінії з’вязку із колом радіусом R1, а точок 13 і 14 та 125 і 126 із екватором сфери. На профільній площині проекцій точок 31 і 32 та 327 і 328, а також точок 33 і 34 та 325 і 326 будуть знаходитись на колі радіусом – R3, його радіус визначено із фронтальної площини проекцій.



Рис. 4.23. Побудова ліній перетину гранної поверхні -  із сферичною поверхнею - .



Рис. 4.24. Комплексне креслення поєднаної конічної та сферичної поверхні.
^

4.5 Побудова зображень геометричних тіл з подвійним проникненням



4.5.1 Тіло, обмежене призматичною і конічною поверхнями.


На рис. 4.25 представлено виконані на комп’ютері твердотільні моделі призматичної поверхні - , конічної поверхні -  та гранної поверхні - . Завдання - викреслити фігуру -  яку ми отримаємо в результаті віднімання від поверхні -  поверхні -  та наступного віднімання від новоутвореної поверхні ще однієї поверхні - .



Рис. 4.25

На рис 4.26 показано процес моделювання шуканої фігури – Ф. Шляхом попарного віднімання однієї поверхні від іншої.



а б в г

Рис. 4.26

На кресленні побудову ліній перетину зовнішньої призматичної поверхні -  з внутрішньою конічною поверхнею -  показано на рис. 4.27,а. Перетин поверхонь  і  на фронтальній та профільній проекції зображено двома твірними (штрихові лінії невидимого контура). Горизонтальна проекція зображена коловими лініями верньої та нижньої основ перевернутого конуса.



а б



в г

Рис. 4.27

Побудову ліній перетину зовнішньої призматичної поверхні -  з внутрішньою гранною поверхнею -  показано на рис. 4.27,б. На фронтальній проекції призми -  викреслюємо наскрізний отвір трапецієвидної форми (позначено точками 2A, 2B, 2C, 2D). Горизонтальна проекція точок 1A, 1B, 1C, 1D знаходиться по вертикальній лінії з’вязку на поверхні призми - . Профільні проекції точок 3A 3B та 3C 3D знаходимо по горизонтальній лінії з’вязку на боковій грані призми.

Побудову ліній перетину внутрішньої конічної поверхні  з гранною поверхнею  показано на рис. 4.27,в. Лінія перетину поверхонь  і  являє собою чотири відрізки параболічних кривих (оскільки сторони трапеції AD і BC паралельні твірній конуса) і чотири дугових сегмента (див.рис. 4.26,в).

Побудова параболічної кривої проводиться по дискретним точкам за допомогою декількох допоміжних горизонтальних площин рівня. Нами вибрано п’ять січних площин дві з яких співпадають із горизонтально розташованими гранями поверхні -. Ці точки на горизонтальній проекції знаходять в перетині вертикальних ліній зв’язку із відповідними січними колами (див. рис. 4.27,в). Побудову профільних проекцій точок на поверхні конуса виконуємо згідно опису, наведеному на рис. 4.11.

На рис.4.27,г виконано корисний розріз суміщеної фігури та розріз по ізометричних осях 0X та 0Y.

Більш детально інформація про розрізи та перерізи буде надана в шостому розділі книги, а відомості про послідовність виконання аксонометричних проекцій у наступному - сьомому розділі.

Для закріплення даного матеріалу виконуються графічна робота Гр02.02 (Конічні перетини) та Гр02.07 (Проекційне креслення). Проекційна частина роботи Гр02.09 (Модель)

Схожі:

Поверхні iconПрограма предмет "Фізика поверхневих явищ"
Чистота реальної поверхні. Фізичні і хімічні неоднорідності. Методи перевірки чистоти поверхні. Методи отримання атомарно однорідних...
Поверхні iconПаспорт спеціальності 01. 04. 18 фізика І хімія поверхні
Фізика І хімія поверхні” область науки, що вивчає поверхневі явища на границі розділу фаз, принаймні одна з яких є твердою
Поверхні icon§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку
Перш ніж почати вивчення просторових геометричних образів, відповідних рівнянням 2-го степеню, розглянемо один спеціальний клас поверхонь,...
Поверхні icon§5 Циліндричні поверхні з твірними, паралельними координатним осям; поверхні другого порядку
Перш ніж почати вивчення просторових геометричних образів, відповідних рівнянням 2-го степеню, розглянемо один спеціальний клас поверхонь,...
Поверхні iconЧернівецький національний університет, кафедра кореляційної оптики портативний інтерференційний прилад для вимірювання шорсткості поверхні
Вимірювання шорсткості поверхні довільної фоми з радіусом кривизни більше ніж 2 м
Поверхні iconТема Якість поверхонь деталей машин
Якість обробленої поверхні деталей машин характеризується шорсткістю та хвилястістю поверхні, а також фізико-механічними властивостями...
Поверхні iconТема Якість поверхонь деталей машин
Якість обробленої поверхні деталей машин характеризується шорсткістю та хвилястістю поверхні, а також фізико-механічними властивостями...
Поверхні iconЗатверджую Ректор С. В. Мельничук
Землі. Елементи вимірів на земній поверхні. Зображення поверхні Землі на площині. Масштаби топографічних карт і планів. Рельєф місцевості....
Поверхні iconАктуальність : однією з найбільш перспективних задач розвитку автотранспо­рту є формування енергозберігаючих транспортних технологій. Мета та задачі дослідження
Отримані залежності показників транспортної енергоефективності вантажного автомобіля від характеристик поверхні кочення. Методика...
Поверхні iconА, з яким падає кругла металева пластинка в однорідному магнітному полі, паралельному поверхні Землі. Пластинка падає вертикально вниз І орієнтована своєю площиною паралельно магнітному поля І перпендикулярно до поверхні Землі. Товщина пластинки d
Землі. Пластинка падає вертикально вниз І орієнтована своєю площиною паралельно магнітному поля І перпендикулярно до поверхні Землі....
Поверхні iconВ. М. Шмаров, канд техн наук Вплив геометричного фактора на відновлення поверхні великогабаритних виробів з використанням світлодалекомірів
На прикладі вимірювальної системи з двома фазовими світлодалекомірами розглянуто вплив геометричного фактора на розрізнювальну здатність...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи