Розділ механічні коливання І хвилі icon

Розділ механічні коливання І хвилі




Скачати 135.75 Kb.
НазваРозділ механічні коливання І хвилі
Дата15.09.2012
Розмір135.75 Kb.
ТипДокументи

Розділ 3. МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ



Коливання – це рухи або процеси, які повторюються у часі.

Залежно від фізичної природи коливання поділяються на:

  • механічні,

  • електричні,

  • електромеханічні,

  • електромагнітні,

  • акустичні.

Залежно від зовнішньої дії коливання можуть бути:

  • вільними – здійснюються за рахунок енерґії, що була початково надана системі,

  • вимушеними – здійснюються за рахунок енерґії, яку система одержує в процесі руху


3.1. Характеристики гармонічних коливань

Коливання називаються гармонічними якщо величина, що коливається, змінюється в часі за косинусоїдальним (синусоїдальним) законом:


φ0); (3.1)

швидкість:

φ0)φ0) ; (3.1а)

прискорення:

φ0)φ0) (3.1б)

x – зміщення – відхилення тіла від положення рівноваги;
А – амплітуда коливань – найбільше відхилення тіла від

положення рівноваги;

φφ0)  фаза коливань, визначає положення тіла у

момент часу t;

φ0 початкова фаза коливань, визначає положення тіла у момент

часу t=0;

 власна циклічна частота;

Т – період – час здійснення одного повного коливання.

Зв’язок між періодом і власною циклічною частотою коливань має вигляд:

. (3.2)

^ 3.2. Пружинний маятник


Пружинний маятник – це тверде тіло, підвішене на абсолютно пружній невагомій пружині, яке під дією пружної сили може здійснювати гармонічні коливання .


Якщо тіло висить нерухомо (рис.3.1Б), то пружина видовжена на xст (статичний розтяг) порівняно з ненавантаженою пружиною (рис.3.1А), а умова рівноваги тіла запишеться у вигляді:

, (3.3)

де - kxст =Fст ( k – коефіцієнт жорсткості пружини).





Рис.3.1
Якщо тіло вивести з положення рівноваги (рис.3.1В), то на нього буде діяти додатково сила пружності:

(3.4)

і другий закон Ньютона запишеться у вигляді:

. (3.5)

Врахувавши (3.3), рівняння (3.5) подамо у вигляді:

=, або (3.6)  0, тому можна представити . (3.7)

З врахуванням (3.7) рівняння (3.6) прийме вигляд:

. (3.8)

Розв’язок (3.8) є рівнянням гармонічних коливань:

φ0) (3.9)

Період коливань визначаються масою тіла і жорсткістю пружини:

. (3.10)

^ 3.3. Фізичний маятник




Рис.3.2

Фізичний маятник - це тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут виникає обертальний момент (рис.3.2):

, (3.11)

де  складова сили тяжіння яка повертає

маятник у положення рівноваги.

Використавши рівняння динаміки обертального руху твердого тіла:

, (3.12)

де J0 – момент інерції маятника відносно осі, що проходить

через точку О;

 кутове прискорення маятника

, (3.13)

одержимо:

, (3.14)

або: (3.15)

Позначивши: , (3.16)

одержуємо диференціальне рівняння коливань маятника:

. (3.17)

Якщо кут відхилення малий (), то ; рівняння (3.17) набуде вигляду:

. (3.18)

і його розв’язком є рівняння гармонічних коливань:

φ0), (3.19)

де - максимальний кут відхилення;


Період коливань фізичного маятника:

. (3.20)

Позначимо: , тоді . (3.21)


Зведена довжина фізичного маятника Lзв – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого співпадає з періодом коливань даного фізичного маятника.

^ Оборотний маятник – це фізичний маятник, який має дві осі обертання, паралельні одна одній (О та О ). Ці осі знаходяться на віддалі Lзв. Точка Оназивається центром гойдання. Точка підвісу О і центр гойдання Омають властивість взаємозамінності: при перенесенні точки підвісу у центр гойдання Опопередня точка підвісу О стане новим центром гойдання. Період коливань при цьому не зміниться.


^ 3.4. Математичний маятник


Математичний маятник – це підвішена на невагомій нерозтяжній нитці матеріальна точка, яка під дією сили тяжіння може здійснювати періодичні коливання.

Математичний маятник можна розглядати як частинний випадок фізичного маятника, вся маса якого зосереджена в одній точці – центрі мас.

Період коливань такого маятника:

, ( 3.22)

де L – довжина нитки.

Таким чином, період коливань математичного маятника:

( 3.23)

Коливання математичного маятника, як і фізичного, є гармонічними лише при малих кутах відхилення.


^ 3.5. Крутильний маятник


Крутильний маятник – це тверде тіло, закріплене на жорсткій підвісці, яке може здійснювати крутильні коливання під дією сил пружності деформації кручення підвіски .

При закручуванні маятника на кут виникає момент пружної сили, який намагається повернути маятник у положення рівноваги

M = - f, (3.24)



де f  модуль кручення дротини, який залежить від розмірів

і пружних властивостей матеріалу дротини.


Рис.3.3

Оскільки після закручування маятник буде здійснювати обертальний рух навколо своєї вертикальної осі, яка проходить через точку підвісу вздовж дротини, то:

M = J, (3.25)

де J– момент інерції маятника відносно осі закручування.

Врахувавши (3.13), (3.24), рівняння (3.25) запишемо у вигляді:

, (3.26)

або:

. (3.27)


Ввівши позначення :

, (3.28)

отримаємо диференціальне рівняння гармонічних коливань крутильного маятника:

. (3.29)

Розв’язком (3.28) є рівняння гармонічних коливань:

φ0). (3.30)

Період коливань крутильного маятника:

. (3.31)


3.6. Згасаючі коливання


Реальні механічні коливання здійснюються при наявності сил опору середовища. Тому механічна енерґія коливної системи з часом зменшується, а самі коливання загасають. Сила опору середовища переважно пропорційна швидкості руху тіла, що здійснює коливання:

, (3.32)

де r – коефіцієнт опору середовища,

знак ( - ) вказує на протилежний напрям сили опору

і швидкості руху.

Нехай тіло масою m під дією пружної сили kx і сили опору здійснює коливання вздовж осі OX. Рівняння руху такого тіла:

, (3.33)

або: . (3.34)

Позначивши:

; ,

де  коефіцієнт згасання,

запишемо диференціальне рівняння згасаючих коливань:

. (3.35)

Якщо , розв’язком (3.35) є рівняння:


φ0), (3.36)

яке описує гармонічні коливання з циклічною частотою і змінною у часі амплітудою при початко-

вій амплітуді А0 (рис.3.4)

X


A0


An


An+1


t


T




Рис.3.4





Період згасаючих коливань: . (3.37)

  • Декрементом згасання D називається відношення амплітуд двох послідовних коливань:

. (3.38)

  • Лоґарифмічним декрементом згасання називається фізична величина:

. (3.39)

  • Часом релаксації коливальної системи називається проміжок часу протягом якого амплітуда коливань зменшується в е разів (е – основа натурального лоґарифму)



  • Коефіцієнтом згасання називається фізична величина, обернена до часу релаксації:

. (3.40)

  • Nе – число коливань, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів, так що = NеT.

= Т = . (3.41)

Отже лоґарифмічний декремент згасання  це фізична величина, обернена до числа коливань Ne, після здійснення яких амплітуда зменшується в е разів.

  • Добротністю системи називається фізична величина:

, (3.42)

де ^ Е – енерґія системи у даний момент часу;

E – енерґія, втрачена протягом одного періоду.

Отже добротність системи тим більша, чим менші втрати

енерґії системи E. Можна показати, що:

= Ne . (3.43)


^ 3.7. Механічні хвилі


Хвиля – це процес поширення коливань у просторі. При поширенні хвилі частинки середовища не втягуються у поступальний рух, а лише коливаються навколо положень рівноваги. При цьому частинки обмінюються енерґією. Тому хвилі переносять енерґію без перенесення речовини.

Механічні (пружні) хвилі  це процес поширення коливань у пружному середовищі. Хвилі бувають поздовжніми і поперечними.

У випадку поперечної хвилі частинки середовища коливаються в напрямі, перпендикулярному до напряму поширення хвилі. Поперечні хвилі поширюються у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто в твердих тілах. Поперечна хвиля може поширюватися також на поверхні рідини.

Швидкість поширення поперечної хвилі:

, (3.44)

де G – модуль зсуву,

 густина середовища.

У випадку поздовжньої хвилі частинки середовища коливаються у напрямі поширення хвилі. Поздовжні хвилі поширюються у середовищах, де виникають пружні сили при

деформаціях стиску (розтягу), тобто у твердих тілах, рідинах і газах. Швидкість поширення поздовжньої хвилі:

, (3.45)

де Е – модуль Юнґа,

 густина середовища.

Для опису хвиль поряд з такими характеристиками, як амплітуда, період, частота, фаза використовують поняття:

  • хвильовий фронт – ґеометричне місце точок середовища, до яких доходять коливання в даний момент часу;




  • хвильова поверхня – ґеометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі. За формою хвильової поверхні розрізняють плоскі, сферичні і інші хвилі;




  • промінь –лінія, перпендикулярна до хвильової поверхні;




  • довжина хвилі () – найменша відстань між двома точками середовища у напрямі, перпендикулярному до напряму поширення, які коливаються в однаковій фазі;




  • швидкість хвилі (u) – швидкість поширення постійної фази хвилі;

  • хвильове число  .

Довжина хвилі, швидкість, період і частота зв’язані співвідношеннями:

= uT;

u = ν.

Плоска біжуча хвиля

Хвилі, які переносять у просторі енерґію, називаються біжучими. Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі OX, то -зміщення з положення рівноваги частинок, що коливаються, залежить від їхніх координат x та часу t, тобто .

Ч
ζ
астинка В знаходиться на відстані x від джерела коливань О (рис.3.5) . Якщо коливання частинок, які лежать в площині x=0, описуються функцією , то частинка В коливатиметься за таким же законом, але її коливання будуть запізнюватися у часі порівняно з коливаннями джерела на


Рис.3.5



u

x

X


0

λ

B





Тому рівняння біжучої хвилі має вигляд:

. (3.46)

Якщо плоска хвиля поширюється у протилежному напрямі, то:

. (3.47)

У загальному випадку:

[φ0] . (3.48)

Враховуючи :

,

надамо рівнянню плоскої хвилі вигляду:

φ0). (3.49)

Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.

Хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі:



φ  (φ1 – φ2)

Інтерференція – це явище перерозподілу енергії хвиль в просторі з утворенням стійких в часі областей максимуму і мінімуму енерґії, яке відбувається в результаті накладання когерентних хвиль.

Особливим випадком інтерференції є утворення стоячих хвиль.

Стоячі хвилі – це результат накладання двох біжучих когерентних хвиль з однаковими амплітудами, які поширюються назустріч одна одній:

; φ ; .

Рівняння вказаних хвиль відповідно мають вигляд:

; (3.50)

. (3.51)

При додаванні цих рівнянь отримаємо рівняння стоячої хвилі:



(3.52)

Амплітуда стоячої хвилі залежить від координати x:

. (3.53)

В точках середовища, де

(m = 0, 1, 2, …), (3.54)

амплітуда Аст досягає максимального значення, яке дорівнює 2А.

Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі.

В точках середовища, де

(m = 0, 1, 2, …), (3.55)

амплітуда Аст = 0.

Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі.


З рівнянь (3.54) і (3.55) отримаємо координати пучностей та вузлів:

; (3.56)

. (3.57)

Відстань між двома сусідніми вузлами (або пучностями) стоячої хвилі називають довжиною стоячої хвилі :

. (3.58)

Всі точки стоячої хвилі між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами.

Стояча хвиля не переносить енерґію, тому що падаюча і відбита хвилі однакової амплітуди несуть однакову енерґію в протилежних напрямках.

Якщо середовище, від якого відбувається відбивання, менш густе, то в місці відбивання отримується пучність, якщо більш густе – вузол.



Схожі:

Розділ механічні коливання І хвилі iconМетодичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики Розділ „коливання та хвилі частина 2 Для студентів інженерно-технічних спеціальностей
Методичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики розділ „Коливання та хвилі”. Частина Для студентів інженерно-технічних спеціальностей...
Розділ механічні коливання І хвилі iconМетодичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики Розділ „коливання та хвилі частина 1 Для студентів інженерно-технічних спеціальностей
Методичні вказівки до лабораторного практикуму з фізики розділ „Коливання та хвилі”. Частина Для студентів інженерно-технічних спеціальностей...
Розділ механічні коливання І хвилі icon«затверджую» Ректор С. В. Савченко 2012 р. Програма
Механічні коливання. Вільні І вимушені коливання, гармонійний осцилятор. Коливання при наявності тертя. Резонанс
Розділ механічні коливання І хвилі iconОснови біологічної фізики” ( Дисципліна: Медична та біологічна фізика ) 2012 / 2013 навч рік
Механічні коливання. Характеристики механічних коливань. Гармонічні коливання (рівняння, закон, графік). Згасаючі коливання (рівняння,...
Розділ механічні коливання І хвилі iconК. Д. Ушинський Сьогодні головна мета середньої загальноосвітньої школи сприяти розумовому, емоційному, моральному й фізичному розвитку особистості, всебічно розкривати її творчі можливості, забезпечувати умови для
Матеріали до уроків з теми «Механічні коливання І хвилі», орієнтованих на застосування диференційованого підходу при організації...
Розділ механічні коливання І хвилі iconПитання для підготовки до модульного контролю з фізики в гр. Ра-11-1-2 2-го курсу фекі
Механічні вільні загасаючі коливання. Рівняння коливань, коефіцієнт загасання. Аперіодичні загасаючі коливання
Розділ механічні коливання І хвилі iconНазва модуля: Фізика. Ч код модуля: кзф 6001 с тип модуля
Кінематика І динаміка поступального руху твердого тіла. Кінематика І динаміка обертального руху твердого тіла. Механічні коливання...
Розділ механічні коливання І хвилі iconНеоборотного процесу є гальмування тіла під дією сили тертя. Всі процеси, які супроводжуються тертям, є необоротними. Усі реальні процеси є необоротними
Прикладом оборотного процесу є незатухаючі коливання тіла, підвішеного у вакуумі на абсолютно пружній пружині. Механічні коливання...
Розділ механічні коливання І хвилі iconПитання для підготовки до модульного контролю з фізики в гр. Сі-11-1 1-го курсу іеесу
Механічні гармонічні коливання. Гармонічний осцилятор на прикладі пружинного маятника
Розділ механічні коливання І хвилі iconПлан лекційних занять
Електромагнітні коливання та хвилі. Змінний струм. Фізичні процеси у тканинах при впливі струму та електромагнітних полів. Рентгенівське...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи