Розділ 3 класифікація образів методи класифікації icon

Розділ 3 класифікація образів методи класифікації




Скачати 198.32 Kb.
НазваРозділ 3 класифікація образів методи класифікації
Дата14.09.2012
Розмір198.32 Kb.
ТипДокументи
1. /LekIZSU/Lek3.doc
2. /LekIZSU/Lek4.doc
3. /LekIZSU/lek1.doc
4. /LekIZSU/lek2.doc
5. /LekIZSU/lek5.doc
6. /LekIZSU/lek6.doc
7. /LekIZSU/lek7.doc
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації
Імовірнісний підхід до класифікації образів
Розділ 1 вступ
Інформація про зовнішній світ зберігається в згорнутому стані, що дає можливість збільшити її обсяг для запамятовування. Наприклад, одне І теж слово, вимовлене різними особами, має для людини один І той же зміст. Приклад 1
Розділ 6 алгоритми навчання класифікаторів
Розділ 7 вибір множини ознак в системах розпізнавання 1 Характеристика проблеми вибору множини ознак образів

РОЗДІЛ 3

КЛАСИФІКАЦІЯ ОБРАЗІВ

3.1. Методи класифікації

В попередньому розділі було вказано, що в розпізнаванні образів розрізняють такі основні задачі:

  1. Визначення повного апріорного набору ознак (первинних параметрів), що описують об’єкти розпізнавання.

  2. Розподіл множини об’єктів по їх описах на класи (систему підмножин, що не перетинаються) – кластеризація.

  3. Виділення інформативних ознак з апріорного словника ознак і зменшення розмірності векторів зображень.

  4. Розробка способу представлення вибраних ознак.

  5. Вибір правил віднесення сприйнятих образів до одного з класів – класифікація.

  6. Розробка ефективних алгоритмів розпізнавання.

Центральною задачею розпізнавання образів є задача класифікації. Вона може бути вирішена за допомогою евристичних або математичних методів. В основу евристичного підходу покладені інтуїція і досвід людини; в ньому використовуються принципи спільності властивостей і перерахування членів класу.

Приклад 3.1. Розробити алгоритм розподілу на класи такої множини літер: П, Л, А, Д.

Розв’язування. По ознаці нахилу лівої риски ці літери можна розбити на два класи: 1 і 2. В класі 1 нараховуємо одну літеру П, тобто 1=П, а в класі 2 – літери Л, А і Д, тобто 2=Л, А, Д. По наявності горизонтальної лінії клас 2 можна поділити на два: 3=Л і 4=А, Д. По місцеположенню горизонтальної риски клас 4 можна розбити на два класи: 5=А, 6=Д.

В цьому прикладі ми на основі визначених для даної множини спільних ознак визначаємо різні класи літер шляхом їх перерахування. Проста процедура класифікації цих літер зображена на рис. 3.1.

З наведеного прикладу зразу ж можна зробити висновок про недоліки евристичного підходу – він має вузьке застосування, тому що він орієнтований на конкретну задачу розпізнавання і не дає загальних принципів синтезу систем розпізнавання. Наприклад, якщо до множини вказаних літер додати літеру Н, то наведена процедура буде працювати невірно, оскільки вона не аналізує наявність верхньої горизонтальної риски.





Рисунок 3.1- Схема простої евристичної процедури класифікації


Тому при розгляді задачі класифікації будемо опиратися на математичні методи, в основу яких покладені правила класифікації, що формулюються і виводяться в рамках математичного формалізму з допомогою принципів спільності властивостей і кластеризації. Цим математичний підхід відрізняється від евристичного, в якому правила рішень тісно пов’язані з характером вирішуваної задачі. Математичні методи можна поділити на такі типи:

  • детерміновані;

  • статистичні (імовірнісні);

  • структурні (лінгвістичні);

  • логічні;

  • на базі нейронних мереж.

Останній клас математичних методів виділений умовно, оскільки неважко показати, що нейронну мережу можна розглядати як різновидність нелінійного класифікатора 1-го або 2-го типу.

В даному розділі будуть розглянуті основні положення детермінованого методу класифікації.

Повернемося до розділу 2 і розглянемо рис. 2.4. З нього видно, що два класи 1 і 2 зручно розмежувати прямою. Її рівняння можна записати у вигляді:

, (3.1)

де – вагові параметри, а – ознакові координати вектора зображення в двомірному просторі.

З рис. 2.4 зрозуміло, що підстановка в будь-якого вектора , що належить класу , дасть додатне значення, а будь-якого вектора з класу 2 – від’ємне значення, тобто:

і . (3.2)

Таким чином, функцію можна використовувати за вирішувальну (дискримінантну), оскільки за її знаком можна вирішити, до якого класу відноситься об’єкт з відомим ознаковим описом . Структурна схема лінійного класифікатора на два класи, що відповідає лінійній функції (3.1), зображена на рис. 3.2.


3

2

Компаратор

Рисунок 3.2 – Схема лінійного класифікатора на два класи: 1 – вагові коефіцієнти, 2 – суматор, 3 – компаратор нуля








Приклад 3.2. Лінійна вирішувальна функція задана у вигляді площини з рівнянням:

,

що розділяє два класи 1 і 2. Визначити, до якого класу відноситься вектор = (0.5; 1; 3).

Розв’язання: Підставляємо координати вектора в рівняння гіперплощини:

.

Функція – додатна, тому робимо висновок, що 1.

В подальшому буде показано, що цей метод класифікації неважко узагальнити на довільну кількість класів, описаних в просторі ознак довільної розмірності.

Ефективність використання вирішувальної функції для класифікації визначається двома факторами:

  1. Виглядом функції ;

  2. Практичною можливістю визначення її коефіцієнтів.

Перший фактор пов’язаний з геометричними властивостями простору образів. Наприклад, з рис. 3.3 видно, що для розподілу заданої сукупності об’єктів на класи потрібні границі, значно складніші, ніж в розглянутому на рис.2.4 випадку лінійної розмежованості.





Крім того, за розмірності простору ознак більше трьох, зорова уява не дозволяє нам взагалі визначити вигляд вирішувальної функції по розміщенню точок в просторі. Тому в більшості випадків для вибору вигляду вирішувальної функції звертаються до аналітичних процедур.

Після вибору її вигляду приступають до визначення вагових коефіцієнтів. Для цього використовують адаптивні процедури навчання, застосовані до заданої вибірки об’єктів (розділ 6).

3.2 Лінійні вирішувальні функції і їх властивості.

Узагальнимо простий варіант лінійної вирішувальної функції, зображеної на рис. 2.4, на n-мірний випадок. Загальний вигляд лінійної вирішувальної функції задається формулою

(3.3)

де вектор називається ваговим або параметричним, а вектор - вектор об’єкта.

Співвідношення (3.3) можна також подати у вигляді:

, (3.4)

де - поповнені вектори ваг і зображень відповідно.

Розглянемо основні геометричні властивості гіперплощин (3.3), які є лінійними вирішувальними функціями в n-мірному ознаковому просторі. У випадку двох класів рівняння розподільної гіперплощини буде мати вигляд:

. (3.5)

Зобразимо схематично гіперплощину так, як це показано на рис. 3.4.




Рисунок 3.4 – Ілюстрація деяких геометричних властивостей гіперплощин




Нехай - одинична додатноорієнтована нормаль, тобто одиничний вектор, перпендикулярний до гіперплощини в деякій точці і напрямлений в додатну сторону гіперплощини. З геометричної точки зору рівняння гіперплощини можна записати у вигляді

, (3.6)

або

. (3.7)

Поділимо рівняння (3.5) на довжину вагового вектора , отримаємо:

. (3.8)

Порівняємо (3.8) і (3.7), звідки запишемо

. (3.9)

З цього виразу видно, що при рівності 0 якої-небудь координати вектора гіперплощина паралельна цій координаті.

. (3.10)

З рисунка 3.4 видно, що добуток характеризує відстань від початку координат до гіперплощини і дорівнює чисельно:

. (3.11)

З (3.11) витікає, що при гіперплощина проходить через початок координат. З рис.3.4 також видно, що відстань від гіперплощини до довільної точки ознакового простору визначається рівнянням:

. (3.12)

Ще однією з характеристик лінійної вирішувальної функції є число способів класифікації заданої множини об‘єктів, які можна здійснити з її допомогою. Розглянемо для прикладу рис. 3.5, на якому наведені всі можливі розподіли на два класи чотирьох двомірних зображень





7

Рисунок 3.5 – Дихотомія лінійними вирішувальними функціями для чотирьох “добре” розташованих зображень в двохмірному просторі (площини)

Пряма 1, наприклад, розбиває всі зображення на два класи: , . Так як назви класів можна поміняти (, а ), то пряма 1 визначає два можливих розподіли на два класи.

Теж саме можна сказати про прямі 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Тому загальна кількість розподілів на 2 класи (число дихотомій) в даному випадку дорівнює 14. Як відомо, в загальному випадку кількість можливих способів розподілу чотирьох об‘єктів по двох класах дорівнює 24=16. Очевидно з рис 3.5, що 2 з цих 16 дихотомій (а саме і ) лінійно реалізувати неможливо.

Кількість лінійних дихотомій N точок в n-мірному евклідовому просторі дорівнює подвоєному числу способів розподілу цих точок (n-1)- мірною площиною. В [Ty] показано, що при “хорошому” розташуванні точок, число лінійних дихотомій (дихотомізаційна потужність лінійних функцій) для N зображень розмірності n визначається таким виразом

(3.13)

де - число сполучень із N-1 по k точок. Множина N точок називається “добре” розташованою в n-мірному просторі, якщо ні одна із її підмножин, що містить n+1 точок, не лежить на (n-1) – мірній гіперплощині. Наприклад, N двохмірних точок добре розташовані, якщо ніякі три точки не лежать на одній прямій (одномірній гіперплощині).

Розглянемо різні випадки розподілу об’єктів сукупності на декілька класів 1, 2,…,k. Можливі три таких випадки.

Випадок 1. Кожен клас можна відділити від всіх інших однією розподільною поверхнею (гіперплощиною). Це спостерігається для достатньо рознесених в просторі класів (рис 3.6).




Рисунок 3.6 – Геометрична ілюстрація розподілу на класи в випадку 1 (ОНР – область невизначених рішень)

В цьому випадку існує k лінійних вирішувальних функцій таких, що

, (3.13)

де .

Наприклад, якщо об‘єкт належить образу 1, то . Границя, що відділяє клас 1 від всіх інших класів, визначається значеннями , для яких .

З рис. 3.6 можна визначити рівняння розподільних границь:


.

Віднесення об‘єкта, що класифікується, здійснюється безпосередньо підстановкою його координат в рівняння вирішувальної функції.

Приклад 3.3. Виконати класифікацію зображення , використовуючи правило (3.13).

Розв’язування. Виконавши підстановку координат вектора в рівняння вирішувальних функцій, отримаємо:



Так як , то відповідно з (3.13) приймаємо рішення, що .

Недоліком такого розподілу на класи є те, що в просторі ознак існують області невизначених рішень (ОНР), в яких вирішувальна функція більше нуля більш ніж при одному значенні і.

Випадок 2. Кожен клас можна відділити від будь якого іншого взятого окремо класу “індивідуальною” розподільною поверхнею, тобто класи попарно роздільні. Це характерно для близько згрупованих в просторі класів (рис 3.7).

В даному випадку існує розподільних поверхонь (кількість сполучень із k класів по два). Вирішувальні функції мають вигляд:



і здійснюють класифікацію за правилом

якщо , (3.14)

що читається наступним чином: для всякого , що належить класу і, виконується нерівність для всіх . Крім того .

З рис. 3.7 видно, що ні один клас неможливо відділити від всіх інших з допомогою єдиної розподільної поверхні. Кожна з проведених границь забезпечує розподіл точно двох класів.





Рисунок 3.7- Геометрична ілюстрація розподілу класів у випадку 2

Наприклад, границя проходить через клас 2, вона ефективно розподіляє тільки класи 1 і 3.

Наведені на рис. 3.7 вирішувальні функції мають наступний вигляд:



Області рішень в даному випадку, як видно з рисунку 3.7, можуть містити декілька зон, де вказані функції додатні. Зокрема, область, що відповідає класу 1, визначається значеннями зображень , при яких і . Значення вирішувальної функції в цій області неістотно, так як ця вирішувальна функція ніяк не пов‘язана з класом 1. З рисунка 3.7 також видно, що області рішень необмежені, і що існують області неприйняття рішень, для яких умови (3.14) випадку 2 не виконуються.

Приклад 3.4. Виконати класифікацію об‘єкта, заданого вектором , використавши правило (3.14).

Розв’язування. Підставимо значення координат вектора в вирішувальні функції, отримаємо:



що автоматично приводить до значень:



Оскільки для j=1,2 і в область невизначеності ми не потрапили, то згідно з правилом (3.14) .

Випадок 3. Існує k вирішувальних функцій таких, що, якщо образ належить класу і, то виконується умова

. (3.15)

Ця ситуація є різновидністю випадку 2, так як можна покласти

. (3.16)

Легко впевнитися в тому, що з справедливості умови для всіх витікає справедливість виразу для всіх , тобто, якщо класи розділяються так, як у випадку 3, то вони автоматично розділяються і як у випадку 2. Границя між класами і і j визначається тими значеннями вектора при яких , тобто . Таким чином, при виведенні рівняння розподільної границі для образів і значення вирішувальних функцій використовують сумісно.

Геометрична ілюстрація випадку 3 для трьох класів (k=3) приведена на рис 2.9.

В даному прикладі вирішувальні функції, що відділяють кожен клас, мають вигляд:


.

Відповідно до вказаного в (3.15) для даного випадку правила класифікації, для зображень, що належать класу Ω1, повинні виконуватися умови і ­, для зображень класу Ω2 - і , для зображень класу Ω3 і .

Це еквівалентно вимозі того, щоб зображення, що входять в клас і, розміщувались в додатних зонах поверхонь , . При цьому додатна зона границі збігається з від‘ємною .

Р


озподільні границі для трьох класів будуть мати в даному прикладі наступний вигляд:








Рисунок 3.8 – Геометрична ілюстрація розподілу класів для випадку 3




Як видно з рис 3.8, область рішень, що відповідає класу 1, збігається з додатними зонами для прямих i . Область прийняття рішень про належність зображення до класу 2 збігається з додатними зонами прямих i . Область класу 3 визначається додатними зонами для прямих i .

Використання правила класифікації (3.15) для випадку 3 дає можливість позбавитися областей неприйняття рішень, які мають місце для правила класифікації (3.13) у випадку 1.

Приклад 3.5. Виконаємо класифікацію об‘єкта, зображеного вектором .

Розв’язування: Підставимо компоненти вектора в задані функції , маємо

Оскільки , то згідно з правилом (3.15) зображення відноситься до класу 2.

Класи, які можна розділити функціями, описаними для випадків 1, 2 і 3, називаються такими, що лінійно розділяються. Основна проблема, яка виникає після визначення набору вирішувальних функцій, полягає в знаходженні вагових коефіцієнтів. Як уже раніше підкреслювалось, для їх визначення використовується доступна вибірка зображень об‘єктів.


3.3 Узагальнені вирішувальні функції

Зрозуміло, що для класів, що не містять однакових зображень об‘єктів, можна завжди побудувати розподільні границі. Їх складність може змінюватись від найпростіших лінійних до складних, суто нелінійних, які описуються великою кількістю членів. Обчислення складних нелінійних функцій може вимагати великих затрат часу і пам‘яті, які в багатьох випадках є недоступними, і в цьому випадку образи в істинному розумінні не є розподілюваними. В таких випадках шукають їх наближення у вигляді композиції деяких простіших вирішувальних функцій

Щоб узагальнити на такі випадки математичні результати для лінійних вирішувальних функцій, введемо вирішувальні функції виду

, (3.17)

де - дійсні однозначні функції зображення , , а – кількість членів в розкладі. Співвідношення (3.17) репрезентує нескінчену множину вирішувальних функцій, вигляд яких залежить від вибору функцій і кількості членів, використаних в розкладі.

Використання перетворення (3.17) дозволяє працювати з складними вирішувальними функціями як з лінійними. Покажемо це. Визначимо вектор наступним чином:

. (3.18)

Тоді вираз (3.17) можна записати як

, (3.19)

де .

Перетворення всіх початкових зображень в зображення шляхом обчислення всіх М значень функції перетворює задачу класифікації в лінійну. Незважаючи на те, що в М-мірному просторі вирішувальні функції можна вважати лінійними, в n-мірному просторі початкових зображень вони повністю зберігають свій принципово нелінійний характер.

Найбільш поширеним є спосіб задання узагальнених вирішувальних функцій у вигляді многочленів. Многочлен першої степені задає лінійну вирішувальну функцію вигляду (3.3). При цьому . Многочлен другої степені задає вирішувальні функції другого порядку (квадратичні). Наприклад, для двохмірного простору вирішувальні функції мають вигляд:

(3.20)

Лінійне зображення функції (3.20) можна отримати, поклавши

і ,

тоді .

В загальному випадку для n – мірного випадку квадратна функція за аналогією з (3.20) запишеться у вигляді:

. (3.21)

Кількість членів, а отже, і параметрів в (3.21) дорівнює

.

Вирішувальні функції, що задаються многочленом r–ої степені, можна записати рекурентним співвідношенням:

, (3.22)

де

Приклад 3.6. Записати квадратичну вирішувальну функцію, скориставшись формулою (3.22), для двохмірного простору ознак, n=2.

Розв’язування: За умовою маємо r=2, n=2, тоді з (3.22) можемо записати

, (3.23)

де .

Підставляємо це значення в (3.23) замість і розкриваємо суми:

.

Останній вираз збігається з (3.20), що і потрібно було показати.

Число членів Nw, необхідне для представлення поліноміальної вирішувальної функції, є функцією від порядку r і розмірності n і дуже швидко зростає при їх збільшенні. Використовуючи метод математичної індукції, неважко показати, що

, (3.24)

де - число сполучень із n+r по r. Слід визначити, що немає необхідності завжди використовувати всі члени, що визначають загальний вигляд розкладу (3.22). Так, при побудові вирішувальної функції другого порядку можна відмовитися від всіх членів, лінійних відносно компонент зображення .

Для визначення форми розподільної поверхні, що задається квадратною вирішувальною функцією (3.21), представимо її у матричній формі. Для цього введемо наступні позначення: .

Тоді вираз (3.21) можна подати у вигляді

, (3.25)

де .

Властивості матриці А для квадратичної вирішувальної функції визначають форму розподільної границі. Як відомо з аналітичної геометрії, якщо А - одинична матриця, то вирішувальна функція уявляє собою гіперсферу, якщо А - додатно визначена матриця – гіпереліпсоїд, напрямок осей якого задається власними векторами матриці А, якщо А – від‘ємно визначена матриця, то границя є гіпергіперболоїдом.

Визначимо дихотомізаційну потужність узагальнених вирішувальних функцій. Для N перетворених образів з “хорошим” розташуванням існує дихотомій, з яких лінійно можна реалізувати тільки (3.13), де М+1-число вагових параметрів в формулі узагальненої вирішувальної функції (3.17). Тоді ймовірність того, що варіант дихотомії, вибраний випадковим чином, можна лінійно реалізувати, визначиться виразом:

. (3.26)

З формули (3.26) можна зробити висновок, що для випадку, коли число класифікованих об‘єктів N менше або дорівнює числу вагових параметрів М (М-це також число допоміжних функцій у виразі (3.17)), то незалежно від способу від способу групування заданих об‘єктів їх можна лінійно класифікувати в М-мірному просторі зображень.

Проведений в [ ] аналіз показав, що дихотомізаційна потужність узагальненої вирішувальної функції дорівнює:

, (3.27)

тобто подвоєному числу ступенів свободи (регульованих параметрів) узагальненої вирішувальної функції.

3.4 Класифікація образів за критерієм мінімуму відстані

Найбільш наглядним способом введення міри подібності для векторів об‘єктів, які зображуються точками в просторі ознак, є визначення відстані між ними. Наприклад, на рис.3.9,а) видно, що інтуїтивно точку можна віднести до класу 1 виключно з тих міркувань, що цей вектор знаходиться ближче до точок цього класу.

Використання відстані для класифікації дає задовільні практичні результати тільки в випадку компактного розміщення кластерів (рис.3.9,а). В іншому випадку (рис. 3.9,б) зарахування зображень в один із класів на грунті оцінки його близькості до об‘єктів відповідного класу викликає ускладнення.











Оскільки близькість зображення, що класифікується, до деякого класу використовується за критерій його класифікації, то такий підхід називається класифікацією за критерієм мінімуму відстані. Така класифікація зручна в випадках, коли зображення об‘єктів будь-якого з класів проявляють тенденцію до тісного згрупування відносно деякої точки, яку називають еталоном відповідного класу.

Розглянемо К класів, що репрезентуються еталонами . Евклідова відстань між довільним вектором об‘єкта і і-им еталоном визначається таким виразом:

. (3.28)

Введена таким чином відстань має наступні властивості:



де - три різних точки простору. Така відстань називається метричною.

Вираз (3.28) можна розписати через координати векторів у вигляді, зручному для обчислення:

, (3.29)

де j=1,2,…,n – номери координат.

Образ зараховується до класу за умови:

, якщо (3.30)

де і=1,2,…, K.

Виконаємо ряд перетворень виразу (3.28). Підведемо всі її члени до квадрату:

(3.31)

Вибір мінімального еквівалентний вибору мінімального , оскільки відстані є величинами невід‘ємними. З формули (3.31) видно, що вибір мінімального значення рівносильний вибору максимального значення різниці , оскільки член однаковий для всіх і. Отже, вирішувальні функції можна визначити таким чином:

, (3.32)

і правило класифікації має вигляд

.

Якщо покласти і=1,2,…,K – номер класу, а j=1,2,…n – номер координати простору ознак, то (3.32) можна переписати у вигляді:

, (3.33)

де . Звідси видно, що - лінійна вирішувальна функція. Вона є гіперплощиною, яка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох еталонних точок, що представляють образи і і j.

Таким чином ми впевнились, що класифікатор, який базується на принципі мінімальної відстані, є окремим випадком лінійного класифікатора. Оскільки він класифікує образи, виходячи з найбільш повного збігу зображення з еталонами відповідних класів, то його називають кореляцією з кластером.


    1. Контрольні приклади та запитання

  1. Замалювати структурну схему лінійного класифікатора.

  2. Знайти відстань від точки до площини .

  3. Визначити, до якого з двох класів відноситься точка , якщо розподільна поверхня має вигляд .

  4. Записати вигляд узагальненої вирішувальної функції третьої степені для двохмірного простору по рекурентній формулі 3.22.

  5. Знайти еталон кластера, що містить наступні точки: .

  6. Визначте вирішувальну функцію , що забезпечує
    правильну класифікацію образів, зображених на рис 3.10.

  7. Покажіть графічно залежність найденої в п.6 вирішувальної
    функції від х1 та х2 при х10 і х20.

  8. Нехай в задачі розпізнавання образів, що передбачає розбиття на 10 класів, три класи відповідають випадку 1, а інші – випадку 2 розділ (3.2). Чому дорівнює мінімальне число вирішувальних функцій, необхідних для розв’язання цієї задачі?







  1. Записати рівняння одиничної нормалі до гіперплощини, рівняння якої .

  2. Визначити відстань від точки до площини, рівняння якої .

  3. Визначити відстань від заданої гіперплощини (п.9) до початку координат.

  4. Нехай для задачі розподілу на три класи задані такі
    вирішувальні функції:

.


Накресліть розподільні границі і області, відповідні кожному
класу зображень за умови, що ці функції визначені:

а) для випадку 1 розподілу на декілька класів;

б) для випадку 2 за наступних умов -
;

в) для випадку 3.

  1. Запропонуйте доведення того, що за умови відсутності удвох класів спільних членів завжди можна побудувати розподільну поверхню, яка дає правильну дихотомію цих класів незалежно від характеру розміщення цих класів.

  2. Нехай в тримірному просторі задані два класи, кожний з яких містить по п´ять зображень. Яка мінімальна кількість коефіцієнтів потрібна для реалізації поліноміальної дискримінантної функції, що забезпечує розподіл цих класів незалежно від геометрії їх взаємного розташування, але за умови хорошого розміщення зображень.

  3. Яка в загальному випадку імовірність лінійної розподілюваності на два класи вибірки з п´яти добре розміщених двомірних зображень?

  4. Показати, що при використанні класифікації двох класів за критерієм мінімуму відстані, розподільною границею слугує гіперплощина, що є геометричним місцем точок, рівновіддалених від еталонів класів і .

  5. Визначити границі, що розділяють три класи в двомірному евклідовому просторі за допомогою класифікації за критерієм мінімуму відстані. Класи містять такі вибіркові точки: ; ; .

Схожі:

Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconСмкэс-2004 удк 681. 518: 004. 93 Вплив потужності алфавіту класів розпізнавання на достовірність класифікації козинець М. В, асп
Мфсв), який дозволяє здійснювати нормалізацію образів безпосередньо в процесі навчання системи шляхом цілеспрямованої ітераційної...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconЗміст розділ загальні положення 2 розділ 2 виробничі та трудові відносини 3 розділ 3 відпустки 7 розділ 4 забезпечення продуктивної зайнятості 9 розділ 5 оплата праці 11 розділ 6 охорона праці 15
Додаток 2 Положення про порядок обрання та прийняття на роботу науково-педагогічних працівників Доннту
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconXimija gruntiv sem plan
Предмет, зміст і методи хімії ґрунтів. Сучасна структура хімії ґрунтів. Значення хімії ґрунтів у вирішенні питань ґенези, функціонування,...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconПроблеми слов’янознавства problemy slov´ianoznavstva 2007. Вип. 56. С. 103-111 2007. Vol. 56. Р. 103-111
З’ясовуються витоки пое­тики фантастичного, її трансформація та основні ознаки у романтичних баладах. Пропонується варіант класифікації...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconРозділ III. Методологічна функція формальної логіки метод І методологія. Логічні методи дослідження (пізнання)
У практичній І теоретичній діяльності кожна людина використовує певні методи, за допомогою яких вона досягає поставлених цілей
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconУдк 342. 7 Олена Білоскурська
Визначено найбільш суттєві критерії класифікації обов’язків людини та громадянина, на підставі чого обґрунтована авторська класифікація...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconОлена Білоскурська, кандидат юридичних наук
Визначено найбільш суттєві критерії класифікації обов’язків людини та громадянина, на підставі чого обґрунтована авторська класифікація...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconЛ. Г. Дротянко, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка
Класифікація наукового знання на фундаментальне та прикладне певним чином пояснює принципово новий підхід до принципів його функіонування...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconЗатверджую Ректор О. Л. Голубенко 2012 р. Пояснювальна записка
Державні доходи. Податки та податкова система. Принципи організації податкової системи та її функції. Види податків. Державний кредит...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації iconКонспект лекцій для студентів спеціальності
Аристотель стверджував, що класифікація здійснюється шляхом встановлення аналогії між об’єктами, процесами та явищами. Тому розпізнавання...
Розділ 3 класифікація образів методи класифікації icon4. плани практичних занять тема Загальні положення господарського договірного права України
Класифікації договорів за універсальним критерієм поділу. Одноступенева та багатоступенева класифікації господарських договорів
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи