Лекція №10 чисельні методи розв\

Лекція №10 чисельні методи розв'язання крайових задач 10. 1 Чисельні методи розв’язання крайових задач




Скачати 62.73 Kb.
НазваЛекція №10 чисельні методи розв'язання крайових задач 10. 1 Чисельні методи розв’язання крайових задач
Дата14.09.2012
Розмір62.73 Kb.
ТипЛекція
1. /Курс_лекций/Lek_1.doc
2. /Курс_лекций/Lek_10.doc
3. /Курс_лекций/Lek_11.doc
4. /Курс_лекций/Lek_12.doc
5. /Курс_лекций/Lek_13.doc
6. /Курс_лекций/Lek_14.doc
7. /Курс_лекций/Lek_2.doc
8. /Курс_лекций/Lek_3.doc
9. /Курс_лекций/Lek_4.doc
10. /Курс_лекций/Lek_5.doc
11. /Курс_лекций/Lek_6.doc
12. /Курс_лекций/Lek_7.doc
13. /Курс_лекций/Lek_8.doc
14. /Курс_лекций/Lek_9.doc
Лекція №1 1 елементи теорії похибок
Лекція №10 чисельні методи розв'язання крайових задач 10. 1 Чисельні методи розв’язання крайових задач
Лекція №11 чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних (частина 1)
Лекція №12 чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних (частина 2)
Лекція №13 методи оптимізації одновимірних задач
Лекція №14 методи оптимізації багатовимірних задач
Лекція №2 чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь на еом
Лекція №3 Наближені методи розв’язання слар на еом
Лекція №4 чисельні методи роз’вязання нелінійних рівнянь та систем нелінійних рівнянь
Лекція №5 чисельні методи наближення табличних функцій
Лекція №6 Апроксимація табличних функцій
Лекція №7 Чисельні методи знаходження інтегралу за допомогою квадратурних методів обчислення
Лекція №8 Чисельні методи знаходження інтегралу за допомогою алебраїчних функцій
Лекція №9 чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь на еом

Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь на ЕОМ



Лекція № 10


ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

10.1 Чисельні методи розв’язання крайових задач


Як зазначалося вище, задача, що заключається в розв’язку звичайного диференційного рівняння при додаткових умовах, що поставлені при декількох значеннях незалежної змінної, називається крайовою.

Розглянемо звичайне диференційне рівняння другого порядку

(10.1)

при граничних умовах

(10.2)

Рівняння більш високих порядків можна вирішувати тими ж методами, які поділимо на дві групи:

  1. Методи, основані на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коши.

  2. Методи, в яких використовується кінцево-різницева форма диференціального рівняння.

10.1.1 Методи стрільби


Якщо звичайне диференційне рівняння другого порядку є лінійним, тобто має вигляд

(10.3)

при додаткових умовах

(10.4)

то крайову задачу можна звести до задачі Коши за допомогою початкових умов

і

Знайшовши розв’язок можна поставити другі граничні умови

і

і отримати другий розв’язок . Якщо а при чому то розв’язок

(10.5)

задовольняє обом початковим граничним умовам.

Якщо вирішується нелінійне звичайне диференційне рівняння, то розв’язок крайової задачі можна звести до розв’язку декількох задач Коши, послідовно вводячи в початкові умови значення :

(10.6)

і прагнучи найти розв’язок, який задовольняє умову При цьому може допомогти інтерполяція, що дозволяє побудувати впорядковану послідовність і звести до мінімуму об’єм обчислень.

10.1.2 Кінцево-різницеві методи


Перевага кінцево-різницевих методів в тому, що вони дозволяють звести розв’язок крайової задачі до розв’язку системи алгебраїчних рівнянь. При розв’язку двоточкової крайової задачі


, (10.7)

при і інтервал можна розділити на n рівних частин:


, (10.8)

де а В точках , що називаються вузлами, намагаються найти значення розв’язок . Знаючи координати вузлів користуючись кінцево-різницевими виразами для похідних


(10.9)


(10.10)

можна представити диференціальне рівняння у виді різницевого рівняння.

а) якщо початкове ЗДР лінійне, то задача буде складатися з розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь;

б) якщо початкове ЗДР нелінійне, то задача зводиться до розв’язування системи нелінійних алгебраїчних або трансцендентних рівнянь;

в) методи, алгоритми та програми розв’язування таких лінійних та нелінійних рівнянь відомі, але звести розв’язування крайової задачі методом кінцевих різниць до стандартної програми важко, оскільки формулювання кожної задачі залежить від вигляду рівняння, що розглядається.


Приклад 10.1. Нехай потрібно вирішити диференціальне рівняння при умовах і і кроці h=0.2. В різницевій формі це рівняння має вид



Використовуючи цю формулу і граничні умови можна виписати наступну систему чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими:








10.1.3 Метод прогонки


Якщо звичайне диференціальне рівняння (ЗДР) 2-го порядку розв’язати методом скінченних різниць, то початкове ЗДР зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною матрицею коефіцієнтів, тобто такою, що кожне рівняння системи має три сусідні невідомі:

(10.11)

Для розв’язання такої системи розроблено спеціальний метод – прогонки. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку

(10.12)

з двоточковими граничними умовами:

(10.13)

; , (10.14)

де функції , , неперервні на .

Прийдемо до скінченнорізницевого рівняння

; ; ; ;

. (10.15)

Підставляючи вираз (10.15) у початкове ЗДР (10.12), отримаємо для внутрішніх точок систему скінченнорізницевих рівнянь:

. (10.16)

Після деяких перетворень (10.16) матимемо

; (10.17)

де

; ; . (10.18)


Для похідних на кінцях відрізка інтегрування і знаходимо скінченнорізницеві рівняння виду


; (10.19)


і, підставляючи їх у граничні умови (10.13) і (10.14), отримаємо два рівняння:


(10.20)


Система рівнянь (10.17), (10.20) відносно невідомих являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з три діагональною матрицею коефіцієнтів. Цю систему зручно розв’язати методом прогонки.

Розглянемо суть цього методу.

1. Представимо рівняння (10.17) відносно :

. (10.21)


2. Допустимо, що за допомогою рівнянь (10.20) і (10.21) виключена складова , тоді рівняння будуть мати вигляд


(10.22)


де – деякі коефіцієнти.

3. За аналогією з (10.22) представимо у вигляді


(10.23)


і, підставляючи його в (10.17), матимемо


(10.24)


і, отже,


. (10.25)

4. Порівнюючи вирази (10.22) та (10.25), отримуємо рекурентні формули для визначення коефіцієнтів , вигляду

; , . (10.26)

5. Для визначення виразу для та використовуємо рівняння (10.20) та (10.22):


; (10.27)


та . (10.28)

Порівнюючи останні дві нерівності, знаходимо:

; . (10.29)

На основі формул (10.17) та (10.29) послідовно визначаємо коефіцієнти до і включно. Процес знаходження коефіцієнтів називають прямим ходом методу прогонки.

Зворотній хід методу прогонки починається з визначення . Використовуючи другу граничну умову (10.20) та формулу (10.22), отримуємо систему з двох рівнянь:

(10.30)

Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо:


. (10.31)


Тепер за формулою (10.22) послідовно знаходимо розв’язок початкового ЗДР:

Таким чином, метод прогонки достатньо простий, легко алгоритмізується та включає прямий та зворотній хід. Причому:

1) прямий хід полягає в знаходженні коефіцієнтів за рекурентними формулами (10.26);

2) зворотній хід полягає у знаходженні розв’язку початкового ЗДР за формулою (10.22).

Схему алгоритму методу прогонки показано на рис. 10.1.



Рисунок 10.1 - Схему алгоритму методу прогонки

Джерела інформації





  1. Фельдман Л.П., Петренко А.І. Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці: Підручник/ За ред. М.З. Згуровського. – К.: Вид. група BHV, 2006. – 480 с.

  2. Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

  3. Рисс Ф., Секефальви – Надь Б. Лекции по функциональному анализу – М.: Мир, 1979.

  4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории апроксимации. – М.: Наука, 1965. – 256 c.

  5. Маликов В.Т., Квєтний Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ: «Прикладна метематика». – К.: Вища школа, 1989. – 213 с.

  6. Дяконов В. П. Справочник по алгоритмам и програмам на языке Бейсик для персональних ЕВМ. – М.: Наука, 1987. – 240 с.

  7. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /Под ред. А. А. Яблонского. – М.: Высшая шк.., 1985. – 367 с.



Питання та задачі до самостійної роботи


  1. Особливості розв’язування систем диференціальних рівнянь на ЕОМ.

  2. Загальний підхід до розв’язання краєвої задачі.

  3. В чому суть методу прогонки?

  4. Дати визначення таким поняттям: краєва задача, межові умови, задача Коші, тридіагональна матриця. Навести приклад.

  5. Суть алгоритму розв’язання крайової задачі скінченнорізницевими методами.

  6. Особливості методу прогонки.

  7. Суть прямого ходу методу прогонки.

  8. Суть зворотного ходу методу прогонки.

  9. Розв’язати ЗДР з межовими умовами: ; та кроком .

Схожі:

Лекція №10 чисельні методи розв\Назва модуля: Оптимізація прийняття рішень
Змістовна та формалізована постановки задачі прийняття рішень. Етапи прийняття рішень. Структура множини альтернатив. Методи та алгоритми...
Лекція №10 чисельні методи розв\Код модуля: ес 6032 С01 Тип модуля: обов’язковий Семестр
Числові методи розвязання систем лінійних скінчених рівнянь. Числові методи розв’язання систем нелінійних скінчених рівнянь. Математичні...
Лекція №10 чисельні методи розв\Фельдман лев петрович
Механік. Доктор технічних наук, професор. Лауреат Державної премії України. Засновник наукової школи: "Математичне моделювання та...
Лекція №10 чисельні методи розв\Описи модулів назва модуля
Внаслідок вивчення дисципліни студенти повинні знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
Лекція №10 чисельні методи розв\Документи
1. /Пустов_т_Методика розв'язання задач/01.pdf
2. /Пустов_т_Методика...

Лекція №10 чисельні методи розв\Документи
1. /Пустов_т_Методика розв'язання задач/01.pdf
2. /Пустов_т_Методика...

Лекція №10 чисельні методи розв\Чисельні методи
Методи чисельного розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку
Лекція №10 чисельні методи розв\Про застосування методу збурень при розв’язанні крайових задач теорії електромагнітопружності
move to 0-9231906
Лекція №10 чисельні методи розв\Опис модуля назва модуля
У результаті вивчення модуля студент повинен знати методи розробки алгоритмів I програм розв’язку прикладних задач, а також методи...
Лекція №10 чисельні методи розв\Методичні рекомендації щодо розв`язання олімпіадних задач з програмування
Часто трапляється, що розв’язуючи задачу з програмування доводиться розглядати декілька випадків у залежності від вхідних даних,...
Лекція №10 чисельні методи розв\«Гібридні асимптотичні методи та техніка їх застосування»
Показано, яким чином гібридні асимптотичні методи можуть бути застосовані для розв’язання детерміністичних та стохастичних задач...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи