Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом icon

Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом




Скачати 204.44 Kb.
НазваЛабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом
Дата14.09.2012
Розмір204.44 Kb.
ТипЗадача
джерело
1. /Лабораторные_работы/KMD_Методичка_по_ЛАБ_ ОМ_2007.doc
2. /Лабораторные_работы/Lab2_1.doc
3. /Лабораторные_работы/lab_2_2.doc
4. /Лабораторные_работы/lab_3.doc
5. /Лабораторные_работы/lab_4.doc
6. /Лабораторные_работы/lab_5.doc
7. /Лабораторные_работы/lab_6.doc
8. /Лабораторные_работы/lab_7.doc
9. /Лабораторные_работы/lab_8.doc
10. /Лабораторные_работы/lab_9.doc
Лабораторна робота №2 (Частина 1) розв’язання систем лыныйних алгебраїчних рівнянь на еом
Лабораторна робота №2 (Частина 2) розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь наближеними методами на еом
Лабораторна робота №3 чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь на еом
Лабораторна робота №4 апроксимація табличних функцій степеневим та ортогональним поліномом
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом
Лабораторна робота №6 чисельні методи розв’язання крайової задачі на еом
Лабораторна робота №7 розвязання диференційних рівнянь у частних похіднихна еом
Лабораторна робота №8 обчислення визначеного інтеграла на еом
Лабораторна робота №9 оптимізація одно- та багатопараметричних функцій

Лабораторна робота №5

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ НА ЕОМ


Мета роботи: набуття навичок розв’язання звичайних диференціальних рівнянь на ЕОМ. Задача Коші

Порядок виконання роботи





  1. Ознайомитись з відомими методами розв’язування ЗДР і систем ЗДР, користуючись рекомендованою літературою.

  2. Скласти схему алгоритму розв’язування системи ЗДР методом, запропонованим викладачем.

  3. Скласти програму розв’язування системи ЗДР алгоритмічною мовою за вказівкою викладача.

  4. Використовуючи дані відповідного варіанту (табл. 5.1), розв’язати систему ЗДР на ЕОМ (початкові дані та результати надрукувати).

  5. Розв’язати систему ЗДР в середовищі MathCAD.

  6. Порівняти результати, які отримані при виконані пунктів 4,5, зробити висновки.

  7. Оформити звіт.


Примітки: пункти 1-3 повинні бути виконані до початку занять у лабораторії.


Варіанти завдань





  1. Варіанти лабораторної роботи наведені в таблиці 5.1

  2. Для розв’язування N звичайних диференційних рівнянь необхідно розробити:

  • основну програму, яка виконує опис даних, введення початкових даних, відкликання підпрограми (або підпрограм), розв’язування системи ЗДР, вивід початкових даних та отриманих результатів на друкування;

  • підпрограму (або декілька підпрограм) розв’язування системи ЗДР методами запропонованими викладачем.

  • підпрограму побудови графіків;

  • підпрограму – функцію, яка складається з правих частин системи рівнянь.

  1. В список параметрів підпрограм слід включити такі параметри:

вхідні

N – число ЗДР у системі;

Х – параметр інтегрування;

Н – крок інтегрування;

P – ім’я зовнішньої підпрограми, яка обчислює праві частини системи ЗДР;

F – масив з N дійсних чисел (значення похідних). Для деяких методів цей параметр може бути вихідним;

E – точність розв’язку (використовується в багатоточкових методах (методах прогнозу та корекції));

вихідні

У – масив із N дійсних чисел (розв’язок системи);

Х – параметр інтегрування.

Параметр

інтегрування

Розв’язування системи за методом

Ейлера

Рунне - Кутта

Y1

Y2



Yn

Y1

Y2



Yn

X0

Y1(X0)

Y2(X0)



Yn(X0)

Y1(X0)

Y2(X0)



Yn(X0)

X1=X0+H

Y1(X1)

Y2(X1)



Yn(X1)

Y1(X1)

Y2(X1)



Yn(X1)

X2=X1+2*H

Y1(X2)

Y2(X2)



Yn(X2)

Y1(X2)

Y2(X2)



Yn(X2)




















Примітка: результати розв'язання системи звичайних диференційних рівнянь на ЕОМ бажано звести у таку таблицю:

Проміжок інтегрування A-B

Крок інтегрування H=…

Задана точність E=…

  1. Підпрограма розв’язування систем ЗДР не повинна, бажано, залежати від параметрів системи та від кількості рівнянь системи.

  2. Результати розв’язку системи ЗДР необхідно представляти в табличній та графічній формах.

  3. Якщо в завданні не задано проміжок інтегрування, його необхідно визначити експериментальним шляхом, аналізуючи результати інтегрування.


Таблиця 5.1 – Варіанти завдань

Розв’язати на відрізку [0,3] з кроком 0,1 задачу Коші для системи рівнянь

2-го порядку:



Варіант







1



0,01

0,5

2

0,03

0,25

3

0,05

1/6

4

0,07

0,125

5



0,09

0,1

6



0,01

0,5

7

0,03

0,25

8

0,05

1/6

9

0,07

0,125

10



0,01

0,5

11

0,03

0,25

12

0,02

1/3

13



-

0,20

14



-

0,20

15



0,01

0,5

16

0,02

1/3

17

0,03

0,25

18

0,04

0,2

19

0,05

1/6

20

0,06

1/7

21

0,07

0,125

22



0,08

1/9

23



0,1

1/11

24




0,1

1/12

25




0,6

0,5

26




0,8

0,5

27



1,2

0,5

28




0,14

1/15

29




0,15

1/16

30




0,17

1/18

Теоретичні відомості



Рівняння, у якому невідома функція входить під знак похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням.

Якщо невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, залежить тільки від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.

Якщо ж невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, є функцією двох чи більшого числа незалежних перемінних, то диференціальне рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних.

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної (чи диференціала), що входить у рівняння.

(5.1)

Задача з початковими умовами ставиться так: знайти розв’язок y=(х) рівняння , що задовольняє додатковим умовам, що складаються в тім, що розв’язок y= (х), повинний приймати разом зі своїми похідними до (n-1) -го порядку задані числові значення при заданому числовому значенні х=х0 незалежної змінної х.

Такі умови називаються початковими умовами, а задача відшукання розв‘язку y= (х) диференціального рівняння (5.1), що задовольняє заданим початковим умовам - задачею з початковими умовами, чи задачею Коші.

Задача з крайовими умовами ставиться так: знайти розв’язок y=(х) рівняння , що задовольняє додатковим умовам, що складаються в тім, що розв’язок y=(х), повинний приймати разом зі своїми похідними до (n-1)-го порядку задані числові значення при заданому числовому значенні х=х0 та при заданому числовому значені х=хn незалежної змінної х. Такі умови називаються крайовими умовами, а задача відшукання розв‘язку y=(х) диференціального рівняння (5.1), що задовольняє заданим крайовим умовам – крайовою задачею.

Чисельні методи розв'язання задачі Коші розділяються на 3 групи:

  1. Одноточкові;

  2. Багатоточкові (методи прогнозу та корекції);

  3. Методи з автоматичним вибором кроку інтегрування.

До одноточкових методів відносять методи, які мають певні загальні риси, такі як:

  1. В основі усіх одноточкових методів лежить розклад функції в ряд Тейлора, в якому зберігаються члени, що мають h в степені до k включно. Ціле число k називається порядком метода. Похибка на кроці має порядок k+1.

  2. Всі одноточкові методи не потребують дійсного обчислення похідних – обчислюється лише сама функція, однак можуть потребуватися її значення в деяких проміжних точках. Це тягне за собою, звичайно, додаткові затрати часу і зусиль.

  3. Для отримання інформації у новій точці, потрібно мати дані лише в одній попередній точці. Цю властивість можна назвати „самостартуванням”.

  4. Властивість „самостартування” дозволяє легко змінювати величину кроку h.





Рисунок – 5.1 класифікація найбільш відомих чисельних методів розв‘язання ДР на ЕОМ


Розв'язати диференціальне рівняння у'= f (x, у) чисельним методом - це значить для заданої послідовності аргументів x0, x1,..., xn і y0. не визначаючи функцію у=F(х), знайти такі значення y1, y2,…, yn, що уi=F(хi) (i = 1, 2, ..., n) і F(x0) = у0.

Таким чином, чисельні методи дозволяють замість отримання функції у=F(х) одержати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів.

Розглянемо алгоритми найбільш відомих чисельних методів.

Метод Ейлера


Цей метод є порівняно грубим і застосовується в основному для орієнтованих розрахунків. Однак ідеї, покладені в основу методу Ейлера, є вихідними для ряду інших методів.

Нехай дане диференціальне рівняння першого порядку

у' = f (x, у) (5.2)

з початковою умовою x = x0 , y (x0) = y0 . (5.3)

Потрібно знайти розв’язок рівняння на відрізку [х0, хn].

Для розв'язку такого рівняння використовують формулу виду:

(5.4)

Алгоритм розв'язку ЗДР представлений на рисунку 5.2.




Рисунок 5.2 – Схема алгоритму метода Ейлера


Метод Ейлера може бути застосований до розв'язку систем диференціальних рівнянь вищих порядків. Однак в останньому випадку диференціальні рівняння повинні бути приведені до системи диференціальних рівнянь першого порядку.

Нехай задана система двох рівнянь першого порядку

(5.5)

з початковими умовами

y(x0) = y0, z(x0) = z0. (5.6)

Наближені значення y(xi) y1 та z(xi) zi знаходяться по формулах

(5.7)



(5.8)

Схема алгоритму метода Ейлера для розв‘язання системи звичайних диференційних рівнянь наведена на рисунку 5.3, особливістю якого є цикл по k=1,2,…,m (де m- кількість рівнянь в системі). Звичайно, якщо для розв‘язання систем диференціальних рівнянь на ЕОМ використовувати більш точні методи, то в цьому алгоритмі зміниться тільки та частина, що відноситься безпосередньо до формул методу.



Рисунок 5.3 – Схема алгоритму розв‘язання системи ЗДР методом Ейлера


Удосконалений метод Ейлера


Розглянемо диференціальне рівняння

(5.9)

з початковою умовою y(x0) = y0.

Потрібно знайти розв’язок рівняння на відрізку [a, b].

Розіб'ємо відрізок [a,b] на n рівних частин точками xi=x0+ih (i=0,1,2,…,n), де h=(b-a)/n – крок інтегрування. Сутність удосконаленого методу Ейлера полягає в використанні ітераційної формули виду:

, (5.10)

Алгоритм методу складається з:

  1. визначення похідної в точці 0, у0):



  1. змінна х за формулою:



  1. визначення значення при



  1. визначення похідної в точці (,)



  1. використовуємо отримане значення для визначення за формулою:

,

  1. змінюємо

  2. повторюємо всі кроки алгоритму, починаючи з першого.

Схема алгоритму представлена на рисунку 5.4.




Рисунок 5.4 - Схема алгоритму удосконаленого метода Ейлера


Модифікований метод Ейлера


Цей метод заснований на використанні ітераційної формули виду:

(5.11)

Алгоритм методу включає наступні кроки:

  1. визначення похідної в точці 0, у0):



  1. зміна незалежної змінної х за формулою:



  1. визначення проміжного значення за формулою методу Ейлера



  1. визначення проміжної похідної в точці (,)



  1. визначення середньо арифметичного значення двох похідних



  1. визначення у1 за формулою



  1. ітераційний процес повторюється, починаючи з першого кроку.

Схема алгоритму метода представлена на рисунку 5.5.




Рисунок 5.5 - Схема алгоритму модифікованого метода Ейлера


Метод Рунге – Кутта



Цей метод є одним з методів підвищеної точності, але має багато загального з методом Ейлера.

Нехай на відрізку [a, b] потрібно знайти чисельний розв’язок рівняння

(5.12)

з початковою умовою .

Розіб'ємо відрізок [a, b] на п рівних частин точками xі = х0 + іh (і=0,1,...,n), де h = (b - а)/n - крок інтегрування. В методі Рунге – Кутта, так само й у методі Ейлера, послідовні значення yі шуканої функції у визначаються по формулі

(5.13)

Якщо розкласти функцію в у ряд Тейлора й обмежитися членами до h4 включно, то збільшення функції у можна представити у вигляді

(5.14)

де похідні у" (х), (х), yIV (х) визначаються послідовним диференціюванням.

У методі Рунге – Кутта визначаються чотири коефіцієнта:

(5.15)

Так знаходимо:

(5.16)

і потім



Алгоритм методу Рунге – Кутта:

  1. Значення х0 и у0 підставляють у праву частину диференціального рівняння (5.12), визначають f (х, у).

  2. Отримане значення f (х, у) множать на крок інтегрування h, обчислюють

k1=h f (х, у).

  1. Змінюють значення х0



  1. визначають допоміжне значення



  1. визначення похідної в точці (,)



  1. визначають значення k2



  1. визначають нове допоміжне значення



  1. визначення похідної в точці (,)



  1. визначають значення k3



  1. визначають нове значення допоміжного у



  1. змінюють значення



  1. визначають допоміжну похідну в точці (,)



  1. визначають значення k4



  1. визначають нове значення у1 за формулою



Для визначення повторюють ітераційний процес, починаючи з першого кроку.

Схема алгоритму метода Рунге – Кутта представлена на рисунку 5.6.




Рисунок 5.6 – Схема алгоритму метода Рунге – Кутта


Метод Рунге – Кутта може бути застосований і до розв’язку систем диференціальних рівнянь.

Нехай задана система диференціальних рівнянь першого порядку:

(5.17)

з початковими умовами

(5.18)

У цьому випадку паралельно визначаються числа yi і zi:

(5.19)

(5.20)


Тоді одержимо розв’язок системи диференційних рівнянь другого порядку:



Багатоточкові методи (прогнозу та корекції)



В методах прогнозу і корекції для обчислення значення нової точки розв‘язку ДР використовується інформація про декілька раніше отриманих точок відрізку дослідження. Для цього використовуються дві формули, що називаються відповідно формулами прогнозу і корекції. Схеми алгоритмів для всіх таких методів майже однакові, а самі методи відрізняються лише формулами. На рис. 6.17 представлена схема алгоритму методу прогнозу і корекції для розв’язку диференціального рівняння виду:

(5.21)

Розглянемо особливості алгоритмів методів прогнозу і корекції.

Так як в методах, що розглядаються використовується інформація про декілька раніше отриманих точок, тому вони не володіють властивістю „самостартування”. Перед тим як застосовувати метод прогнозу і корекції, необхідно обчислювати вихідні данні за допомогою якого-небудь одноточкового методу. Часто для цього використовують метод Рунне - Кутта. Обчислення проводять наступним чином. Спочатку по формулі прогнозу і початковим значенням змінних знаходять значення . Верхній індекс (0) означає, що прогнозоване значення є одним з послідовності значень , що розташовані в порядку зростання точності. По прогнозованому значенню за допомогою приведеного вище диференціального рівняння знаходять похідну

(5.22)

яка потім підставляється у формулу корекції для обчислення уточненого значення .

В свою чергу використовується для отримання більш точного значення похідної за допомогою диференціального рівняння (5.23)

. (5.23)

Якщо це значення похідної недостатньо близьке до попереднього, то воно вводиться у формулу корекції й ітераційний процес продовжується. Якщо ж похідна змінюється в допустимих границях, то значення використовується для обчислення остаточного значення , яке і видається на друк. Після цього процес повторюється – здійснюється наступний крок, на якому обчислюється .

Звичайно при вводі формул прогнозу і корекції розв’язок рівняння розглядають як процес наближеного інтегрування, а самі формули отримують за допомогою кінцево-різницевих методів.

Якщо диференціальне рівняння про інтегровано в інтервалі значень від до , то результат прийме вигляд

(5.24)

Цей інтеграл не можна обчислити безпосередньо, так як залежність заздалегідь невідома. Наближене значення інтегралу можна знайти за допомогою одного з кінцево-різницевих методів. Вибір методу і буде визначати метод розв’язку диференціальних рівнянь. На етапі прогнозу можна використовувати будь-яку формулу чисельного інтегрування, якщо до неї не входить попереднє значення .

Схема алгоритму багатоточкових методів представлена на рис. 5.7.

Метод Мілна


В цьому методі на етапі прогнозу використовується формула Мілна

(5.25)

а на етапі корекції - формула Сімпсона

(5.26)

Останні члени в обох формулах в дійсності в ітераційному процесі не використовуються і слугують лише для оцінки помилки відсічення. Метод Мілна відносять до методів четвертого порядку точності, так як в ньому відкидаються члени, які містять h п’ятій степені і більш високих степенях. В даному випадку похибка поширення може рости експоненціально, це справедливо для всіх формул корекції, основаних на правилі Сімпсона.

Метод Адамса - Бошфорта


Цей метод також має четвертий порядок точності. Формула, що використовується в ньому отримана інтегруванням оберненої інтерполяційної формули Ньютона і має вид

(5.27)

На етапі корекції використовується формула

(5.28)




Рисунок 5.7 – Схема алгоритму багатоточкового методу


Розрахунки по методу Адамса - Бошфорта виконуються так як і по методу Мілна, але на відміну від останнього похибка, внесена на якому-небудь кроці, не має тенденції до експоненціального росту.

Метод Хемінга


Це стійкий метод четвертого порядку точності, в основі якого лежать наступні формули прогнозу:

(5.29)

і корекції

(5.30)

Особливістю методу Хемінга є те, що він дозволяє оцінювати похибки, що вносяться на стадіях прогнозу і корекції і усувати їх. Завдяки простоті та стійкості цей метод є одним з найбільш поширених методів прогнозу і корекції.

Приклади розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь та систем в середовищі MathCAD



Для розв’язання диференціальних рівнянь в середовищі MathCAD використовуються наступні функції:

odesolve (x, b, [step]) - повертає функцію x, яка є єдиним розв’язком звичайного диференціального рівняння (ЗДР).

Параметри:

x - змінна інтеграції. x повинен бути дійсним числом.

b – гранична точка інтервалу інтеграції. b повинно бути також дійсним.

step (додатковий) - розмір кроку, що використовується всередині MathCAD при обчислені розв’язку.

rkfixed (y, x1, x2, npoints, D) - повертає матрицю, в якій перший стовпець містить точки, в яких розв’язок відомий, а другий містить відповідні розв’язки і його перші n-1 похідні.

Параметри:


y початкові умови

x1, x2 – початкова та кінцева точки

npoints – кількість точок поза початковою точкою, в яких знаходиться розв’язок.

D – матриця, яка складається з коефіцієнтів при невідомих

Stiffb(y, x1, x2, npoints, D, J)

Stiffr(Y, x1, x2, npoints, D, J)

Ці функції повертають матрицю, в якій перший стовпець містить точки, в яких розв’язок відомий, а другий містить відповідні розв’язки і його перші n-1 похідні.

Параметри:

y початкові умови

x1, x2 – початкова та кінцева точки

npoints – кількість точок поза початковою точкою, в яких знаходиться розв’язок.

D – матриця, яка складається з коефіцієнтів при невідомих

Jматриця Якобі системи диференціальних рівнянь

Rkadapt(y, x1, x2, npoints, D) - повертає матрицю, в якій перший стовпець містить точки, в яких розв’язок відомий, а другий містить відповідні розв’язки і його перші n-1 похідні.

Параметри:

y початкові умови

x1, x2 – початкова та кінцева точки

npoints – кількість точок поза початковою точкою, в яких знаходиться розв’язок.

D – матриця, яка складається з коефіцієнтів при невідомих

Приклад розв’зання рівнянь з розділяючими змінними

Розв’язати задачу Коші: . Побудувати графік.

Розділивши змінні, отримаємо .

Для того, щоб знайти явний вираз для розв’язання, запишіть в робочому документі різницю обчислених при інтегруванні функцій, виділіть рамкою змінну у і клацніть по рядку Solve в пункті Variable меню Symbolics.

Фрагмент робочого документу MathCAD з відповідними обчисленнями та графіком поданий нижче.

Розділимо змінні та знайдемо праву частину F(x,y) частинного інтегралу F(x,y)=0; змінну інтегрування позначимо буквою t.



Запишемо загальний інтеграл рівняння в вигляді F(x,y)=0



Знайдемо розв’язання задачі Коші в явному виді, розв’язавши рівняння F(x,y)=0 відносно у







Скопіюйте вираз для F(x,y)=0, виділіть змінну у і виконайте процедуру Solve в пункті Variable меню Symbolics

Запишемо розв’язок задачі Коші; виберемо додатній розв’язок, оскільки y(0)=1>0




Розв’яжемо задачу Коші за допомогою функції odesolve




Y(x) - розв’язок задачі коші на інтервалі [0,10], знайдений за допомогою функції odesolve.

Порівняємо отримані результати:


Приклад розв’язання задачі Коші методом Рунне-Кутта.

В MathCAD для розв’язання задачі Коші на відрізку [x0, xend] методом Рунге–Кутта з постійним кроком призначена функція rkfixed(y,x0,xend, N, D).

Результати обчислень функції rkfIxed - матриця, в першому стовпці якої містяться координати вузлів рівномірної сітки х01,...хend, а в другому - значення наближеного розв’язку в відповідних вузлах. Перед зверненням до функції rkfixed необхідно присвоїти змінній у значення у0, змінній х0 - початкове значення аргументу, змінній хend - значення кінцевої точки відрізку інтегрування, змінній N - кількість вузлів рівномірної сітки.

Змінній D(x,y) присвоюється вираз для обчислення правої частини f(x,y).

Розв’язати задачу Коші на відрізку [0;3] методом Рунге–Кутта з постійним кроком. Побудувати графіки розв’язків, обчислених з кроком 0.3, 0.6, 0.15. Фрагмент робочого документу MathCAD має вигляд:



Задамо початкові умови і праву частину рівняння



Розв’яжемо задачу Коші на відрізку [0;3] методом Рунге–Кутта з постійним кроком 0.3, 0.15 та 0.6






Оцінимо похибки отриманих результатів



Похибка розв’язку, обчисленого з кроком 0.15 та кроком 0.2 не перевищує 0.1

Приклад розв’язання систем диференціальних рівнянь методом

Рунге – Кутта в середовищі MathCAD

Для того, щоб отримати розрахункові формули методу Рунге–Кутта для розв’язання систем диференціальних рівнянь, достатньо в розрахункових формулах для рівнянь першого порядку замінити y, f(x,y), k1, k2, k3, k4 на Y, F(x,Y), k1, k2, k3, k4.

Параметри функції rkfixed(y, x0, xend, N, D), яка обчислює розв’язок задачі Коші для систем диференціальних рівнянь n-го порядку на відрізку [x0, xend] з постійним кроком , мають наступну структуру:

  1. вектор-стовпець у містить початкове значення розв’язку в точці x0;

  2. x0, xend - границі відрізку інтегрування системи;

  3. N - число вузлів сітки;

  4. вектор-стовпець D містить вирази для правих частин рівняння системи.

Результати обчислень функції rkfixed(y, x0, xend, N, D) - матриця розміром (N+1)( n+1).

Перший стовпець матриці D містить координати вузлів рівномірної сітки, а інші n стовпців - значення шуканих розв’язків уі в вузлах сітки.

Нижче наведено приклад розв’язання задачі Коші





Задамо початкові умови і праві частини рівнянь еквівалентної системи 2-го порядку при , позначимо:





Розв’яжемо задачу Коші на відрізку [0,30] з постійним кроком h=3/3000=0.001

Література


1.  Фельдман Л.П., Петренко А.І. Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці: Підручник/ За ред. М.З. Згуровського. – К.: Вид. група BHV, 2006. – 480 с.

2.  Мак – Кракен Д., Дрон У. Численные методы и програмирование на фортране. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

3.  Бахвалов Н. С. Численные методы . Т. И. Анализ, алгебра, обычные диференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.

4.  Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Либідь. 1996. – 288 с.

5.  Численные методы / Н. И. Данилина, Н. С. Дубровская, О. П. Кваша и др. – М.: Высшая шк., 1976. – 368 с.

6.  Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Т. Численные методы решения жестких систем. – М.: Наука, 1979. – 587 c.

7.  Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656с.

8.  Д. Мэтьюз, Г. Цинк, Д. Куртис. Численне методы. Использование Matlab, –М. Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 720 с. 720 с.

9.  Иванов В. В. Методы вычислений на ЕОМ. – Киев: Наук. думка, 1986. – 584 с.

10. Маліков В.Т., Кветний Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ. – К.: Высшая школа., 1989. – 213 с.

11.  Квєтний Р.Н. Методи комп’ютерних обчислень: Навчальний посібник. /МО І науки України. – Вінниця: ВДТУ, 2001. – 148 с.

12.  Ортега Дж., Пуп У. Введение в численные методе решения диференциальных уравнений. – М.:Наука,1986. – 288 с.

13.  Молчанов И. М. Машинные методы решения прикладных задач, диф. уравнений. – Киев: Наук. Думка, 1988. – 344 с.

14.  Прикладные методы и программирование в численном анализе. – М.: Изд-во Моск. ун – ту, 1985. – 185 с.


Контрольні питання


  1. Яке рівняння називається диференціальним?

  2. Яке рівняння відноситься до звичайного?

  3. Яке рівняння відноситься до рівняння з частковими похідними?

  4. Що таке задача Коші?

  5. Яка задача відноситься до крайової?

  6. Що таке початкові умови?

  7. Що таке краєві умови?

  8. Які методи відносяться до одноточкових?

  9. Які методи відносяться до багатоточкових?

  10. Які методи відносяться до методів прогнозу і корекції?

  11. Особливість математичної моделі методу Ейлера.

  12. Алгоритм методу Ейлера.

  13. Алгоритм модифікованого методу Ейлера.

  14. Алгоритм удосконаленого методу Ейлера.

  15. Алгоритм методу Рунге-Кутта.

  16. Особливості розв’язування систем диференціальних рівнянь на ЕОМ.

  17. Узагальнений алгоритм багатоточкових методів.

  18. Загальний підхід до розв’язання крайової задачі.

  19. Порівняйте алгоритми методів Ейлера та Рунге – Кутта. Який з них швидший, ефективніший?

  20. Порівняйте рекурентні формули методів Лемінга та Мілна. Чим вони відрізняються?

  21. Які функції MathCAD використовуються для розв’язання ЗДР?

Схожі:

Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconКод модуля: ес 6032 С01 Тип модуля: обов’язковий Семестр
Числові методи розвязання систем лінійних скінчених рівнянь. Числові методи розв’язання систем нелінійних скінчених рівнянь. Математичні...
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом icon1 Основні класи сучасних паралельних комп'ютерів
Розділ Сучасні високопродуктивні обчислювальні системи та паралельні методи розв'язання систем звичайних диференційних рівнянь
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом icon1 Основні класи сучасних паралельних комп'ютерів
Розділ Сучасні високопродуктивні обчислювальні системи та паралельні методи розв'язання систем звичайних диференційних рівнянь
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconЧисельні методи
Методи чисельного розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconПрограма спецкурс «Моделювання та аналіз аналогових І цифрових радіоелектронних схем» Спецiальнiсть: 070203 прикладна фiзика
У спецкурсі вивчаються методи формування математичних моделей радіоелектронних схем на макрорівні у вигляді системи звичайних диференційних...
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconКод модуля: ес 6031 С01 Тип модуля: обов’язковий Семестр
Математичні моделі аналізу усталених режимів електроенергетичних систем. Методи вузлових напруг та контурних струмів, балансу потужностей....
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconЕкстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2] побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconКод модуля: еап 6048 С01 Тип модуля: обов’язковий Семестр
Розв’язування диференційних рівнянь. Програмування в пакеті Mathcad. Виконання символь­них обчислень в середовищі пакету. Робота...
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconЛабораторна робота №3. 1 Одношаровий персептрон Мета
Мета: отримати навички розв’язання практичних задач за допомогою одношарового персептрона
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconСекція 11. Машинобудування
Методологія ґрунтується на сумісному інтегруванні нелінійних диференціальних рівнянь електромагнітного стану двигунів і звичайних...
Лабораторна робота №5 чисельні методи розв’язання звичайних диференційних рівнянь на еом iconНазва модуля: Оптимізація прийняття рішень
Змістовна та формалізована постановки задачі прийняття рішень. Етапи прийняття рішень. Структура множини альтернатив. Методи та алгоритми...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи