Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 icon

Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1




Скачати 73.84 Kb.
НазваВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1
Дата19.11.2012
Розмір73.84 Kb.
ТипДокументи

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН–ТУ VISNYK LVIV UNIV

Серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and

інформатика. 2001. Вип.4 . C. -1 Computer Science. 2001. No. 4. P. -1


 УДК 517.518.949

Математичні моделі страхування життя


Е. Марецка

Вища школа інформатики та управління

Вул. Легіонів, 81, м.Бєльсько-Бяла, Польща, тел. (033) 818-44-62


Викладено методику побудови математичних моделей страхування життя. Розглянуто моделі страхування життя, страхування життя з інвестиційним фондом, пенсійне страхування, страхування різних видів кредитів (споживчого, іпотечного, інвестиційного). Для моделей групового страхування, які є узагальненням моделей індивідуального страхування, наведено означення імовірності вимирання групи.

^ Ключові слова: математичні моделі, страхування, страхування життя, страхування спадку, пенсійне страхування, страхування кредитів.

1. Вступ

Математичні моделі страхування життя ґрунтуються на таблицях вимирання, які укладає в Польщі Головне статистичне управління кожні п’ять років окремо для жінок та чоловіків з міст і сіл. Із цих таблиць можна визначити умовні ймовірності p(1/n) прожиття одного року особою, яка має вік n років (n=0, …99).

На підставі умовних імовірностей p(1/n) можна розрахувати таке:

  • ймовірність того, що особа житиме у віці n років (тобто заплатить страховий внесок):

Pn=Pn-1p(1/(n-1)); (1)

  • ймовірність того, що особа помре у віці n років (тобто буде виплачена страховка)

Qn= Pn-1q(1/(n-1)). (2)

У формулах (1) та (2) прийнято: Р0=1; q= (1/(n-1))=1-p(1/(n-1)).

Імовірності Рn та Qn відіграють ключову роль у розрахунку внесків та страхових виплат. Очікуваний прибуток (надходження внесків) страхового товариства (СТ) повинен бути зрівноважений очікуваними витратами (виплатами страховок).

Принцип еквівалентності капіталу має загальний вигляд:

(3)

де Sn – страховий внесок у n-му терміні, Wn – страховка, виплачена у n-му терміні, Dn – дисконтуючий множник з n-го терміну на термін 0.

Отже, сума ймовірних і дисконтованих внесків дорівнює сумі ймовірних і здисконтованих страхових виплат.

Розрахунок страхування є дуальною проблемою: для заданих внесків можна визначити виплати або для заданих виплат можна визначити внески.

Множник Dn залежить від стану ринку, який можна описати за допомогою

  • простого дисконтування з незмінною ставкою r:

Dn=1+rn; (4)

  • простого дисконтування зі змінною ставкою (де  – процентна ставка i-го періоду):

Dn=1+r1+...,+rn, (5)

  • складного дисконтування з незмінною ставкою:

Dn=(1+r)n; (6)

  • складного дисконтування зі змінною ставкою:

Dn=(1+r1)…(1+rn). (7)

Кожну модель страхування життя можна записати в різних станах ринку.

2. Страхування спадку на термін N

В разі страхування одна особа (наприклад, дідусь) сплачує внески, а інша особа (наприклад, внук) може отримати виплату у вигляді спадку. Розрахунок страхування спадку ґрунтується на принципі еквівалентності капіталу у вигляді:

(8)

де  – імовірність того, що внесок заплачено,  – імовірність того, що буде виплачена страховка.

Зі страхового полісу випливає, що СТ виплатить спадок WN, навіть якщо дідусь помре і не заплатить усіх N внесків. З іншого боку, виплата спадку не настане, навіть якщо будуть сплачені усі внески у випадку, коли внук не виконає основної умови протягом терміну N.

3. Страхування життя

Страхування життя на термін N може мати два варіанти:

  • з виплатою у випадку смерті в терміні nN,

  • з виплатою у випадку доживання до терміну N.

Розрахунок страхування життя у першому варіанті опирається на принцип еквівалентності капіталу (3), а у другому – на принцип еквівалентності капіталу у вигляді (8).

У загальному випадку страхування життя охоплює обидва варіанти одночасно. Тоді треба в рівнянні (3) додати до правої частини праву частину рівняння (8). Загальне страхування життя дає змогу завжди отримати виплату.

4. Страхування життя з інвестиційним фондом

Таке страхування полягає у поділі внеску Sn на дві частини: страхову Un й інвестиційну Іn:

Sn=Un+In. (9)

За внески Un отримуємо виплати Wn згідно з принципом еквівалентності капіталу (3). Внески Іn (в інвестиційний фонд) приносять окремі виплати

(10)

де On – процентна ставка внесків Іn.

Процентні ставки залежать від стану ринку:

  • опроцентування просте зі сталою ставкою r:

On=1+r(N-n), (11)

  • опроцентування зі змінною ставкою (де ri – процентна ставка i-го періду):

On=1+rn+1+…,+rN (12)

  • складне опроцентування з сталою ставкою:

On=(1+r)N-n, (13)

  • складне опроцентування зі змінною ставкою:

On=(1+rn+1)…(1+rN) (14)

У випадку смерті в терміні mN виплачують дві суми: Wm і Vm. Після прожиття періоду N виплачують лише суму VN. Відповідний поділ внеску Sn дає змогу отримати потрібну виплату Wm+Vm.

5. Пенсійне страхування

Пенсійне страхування полягає в сплаті М внесків з імовірностями Pm (m=0,…,M-1) до певного терміну, а відтак в отриманні N виплат з імовірностями Pn (n=1,…N) із нагромадженого фонду. Вартість нагромадженого фонду F0 можна обчислити за формулою

(15)

Відповідно, виплати настають у кожному терміні 1,...,N з імовірностями Рn. Вартість цих виплат можна обчислити на підставі правої частини рівняння (3), тобто

(16)

У разі здійснення виплат у термінах n=1,…,N вартість пенсійного фонду зменшується так, що FN=0.

6. Страхування кредитів

Перед наданням кредиту банк зажадає гарантії сплати цього кредиту. Гарантією сплати кредиту фірмами є їхнє майно. У випадку фізичних осіб, яким кредит потрібний для господарської діяльності, закупу нерухомості або споживчих товарів (комп’ютера, відеокамери тощо) гарантією може слугувати поліс страхування життя. Розрізняють такі кредити, гарантією сплати яких може бути поліс страхування життя фізичної особи: споживчий кредит; іпотечний кредит; інвестиційний кредит.

^ 6.1. Споживчий кредит

У цьому випадку поліс страхування життя дає змогу одноразово сплатити внески, які не були сплачені внаслідок смерті, хвороби тощо боржника (дебітора). Виплати зі страхового полісу з часом зменшуються, оскільки зменшується кількість несплачених внесків. Страховий внесок загалом є одноразовий – сплачується в момент надання споживчого кредиту. Він повинен зрівноважити імовірні та здисконтовані на термін n=0 виплати.

Побудова математичної моделі складається з трьох етапів.

а) Визначення внесків кредиту

На підставі принципу еквівалентності капіталу отримуємо

, (17)

а також з визначення вартості внесків Rn:

Rn=R1+(n-1)R, n=2,…,N, (18)

де К0 – сума кредиту; Rn – повний внесок сплачений в n-му терміні; R – сума вартості внесків: Оn – процентна ставка.

б) Визначення страхових виплат

На підставі принципу еквівалентності капіталу визначаємо виплати як суми здисконтованих не сплачених внесків для nm:

(19)

в) Визначення страхових внесків

Знаючи виплати Wm, імовірності Pm і Om, а також дисконтуючі множники Dm, можна визначити внески Sm на підставі принципу еквівалентності капіталу (3). Вартості цих внесків можна обчислити.

^ 6.2. Іпотечний кредит

Як звичайно, цей кредит є кредитом з метою купівлі будинку для сім’ї, причому сім’я повинна мати змогу проживати у випадку смерті, хвороби чи втрати роботи набувача кредиту (дебітора). В такому випадку кредит сплачують у внесках відсоткових:

In=K0rn, n=1,…,N. (20)

Капітал взагалі не сплачують. Після закінчення сплати відсоткових внесків беруть наступний аналогічний кредит на виплату капіталу.

Виплата із страхового полісу Wn є сталою і дорівнює вартості капіталу кредиту К0.

У випадку смерті страховик виплачує банкові суму капіталу К0, а внески, що зменшились, занулюють. Відсоткові внески, розраховані з формули (20), задовольняють принцип еквівалентності капіталу.

Страхові внески є розстроченими. Їх можна визначити на підставі принципу еквівалентності капіталу (3).

^ 6.3. Інвестиційний кредит

У випадку, коли інвестиційний кредит взяла особа фізична, яка веде господарську діяльність, приймають, що кредит сплачують комбінованими внесками (капіталові та відсотковими). Кредит повинен бути сплачений повністю в терміні N. Гарантією сплати цього кредиту є страхування життя на період N. Виплати зі страхового полісу зменшуються з часом. Внески є розстроченими. Інвестиційний кредит можна також сплачувати внесками капіталовими, відсотковими або секвенційними.

Математична модель страхування інвестиційного кредиту аналогічна, як і для кредиту споживчого, однак треба розрізняти внески капіталові та відсоткові.

7. Висновки

У рівнянні еквівалентності капіталу є N внесків Sn, а також N виплат Wn. Оскільки з одного рівняння неможливо визначити N невідомих, тому звичайно приймають, що внески чи виплати утворюють арифметичну або геометричну прогресію, наприклад:

Sn=S0+nS (21)

або

Sn=S0*(1+і)n, (22)

де S – сума значень внесків, і – ставка індексації внесків.

Аналогічні рівняння можна записати для виплат.

Описані вище види страхувань були індивідуальними (стосувались однієї особи). Узагальненням є групові страхування (наприклад сім’ї із двох осіб). У такому випадку треба в полісі дати означення імовірності Qn коли група вмирає. Для прикладу можна вказати, що група існує (сплачує внески чи отримує послуги) якщо живий щонайменше один її член (альтернатива). Можливий також випадок існування групи (сплачує внески чи отримує послуги), якщо живі всі її члени (кон’юнкція).

Відповідні імовірності для моделей групових страхувань життя визначаємо так:

кон’юнкція :; (23)

альтернатива :. (24)

ЛІТЕРАТУРА

  1. Bijak W., Podgorska M., Utkin J.; M.Novak E. Matematyka і statystyka finansowa. – Warszawa: FRR, 1994.

  2. Matematyka finansowa. – Warszawa: Bizant, 1994.

  3. Dobija M., Smaga E. Podstawy matemamyki finansowej і ubezpieczeniowej. –Warszawa-Krakow: WN PWN, 1996.
^

Mathematic modelling of life insurance


E. Marecka

High School of Informatics and Management

81, Legion str., Bielsko – Biala, Poland, tel. (033) 818-44-62


New Approaches for building of mathematics models of life insurance are discussed in this paper. Such models use conditional probabilities p(1/n) of living one year by person which reach n (n=0,…99) years old. Mentioned probabilities could be determined from tables of death, which are composed in Poland by Main Statistic Department every 5 years (separately for man and women, inhabitants from towns and villages)

Follow quantities could be calculated, using conditional probabilities p(1/n):

Probability of person living at age of n years (that means that person pays insurance fee):

(1)

Probability of person death at age of n years(insurance fee will be paid):

(2)

Assume that and in equations (1) and (2)

Probabilities Рn and Qn plays main role in fee and insurance calculations. Expected profit of insurance company (insurance fee) must be in balance with expected expenses (insurance expenses). In other words the sum of probable and discounted insurance payments must be equal to the sum of probable and discounted expenses.

The different models of insurance are discussed in paper: life insurance, annuity, dowry insurance, credit insurance (consumer credit, real estate loan, investment credit). It was indicated that in group insurance models constriction, which are based on generalization of individual insurance, it is necessary to denote group death probability

Key words: mathematic models, insurance, life insurance, annuity, downry insurance, credit insurance

Стаття надійшла до редколегії 01.07.2001

Прийнята до друку

 © Марецка Е., 2002


Схожі:

Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика. 2001. Вип C.7 Science. 2001. No. P.7
Досліджено вплив значень прискорювального параметра на збіжність ітераційного процесу
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer інформатика. 2001. Вип C.8 Science. 2001. No. P.8
Наведено розрахункові формули, що реалізують різні підходи, а також результати обчислювального експерименту, що реалізований за допомогою...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика. 2001. Вип C.6 Science. 2001. No. P.6
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки І математики ім. Я. С. Підстригача нан україни
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer інформатика. 2001. Вип C.5 Science. 2001. No. P.5
Скбд є врахування природної ієрархії класів вибраної предметної області. В даній роботі обговорюється розповсюдження такого підходу...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer інформатика. 2001. Вип. C.9 Science. 2001. No P.9
Для їхнього чисельного розв’язування використано метод тригонометричних квадратур. У випадку розімкненої поверхні для врахування...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.6 Computer Science. 2001. No. P.6
Розглянуто стохастичне рівняння Кортевега–де Фріза з початковою умовою та умовою періодичності. Запропонована числова схема, адаптована...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer інформатика. 2001. Вип C.5 Science. 2001. No. P.5
Визначено умови на показники ряду експонент для одночасної збіжності цього ряду зі степеневим рядом на межі опуклого багатокутника,...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1
Ряди типу Фур’є в комплексній формі на “одиничних” криволінійних замкнутих лініях у площинах
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика. 2002. Вип C.8 Science. 2002. No. P.8
Крім того обчислено облікову ставку верселів в залежності від змін економічного становища
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2002. Вип C.7 Computer Science. 2002. No. P.7 
Розглянуто використання методу параметрів для виділення “максимальних” областей, які не містять дійсних нулів алгебричних багаточленів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи