Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном icon

Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном




Скачати 98.64 Kb.
НазваНелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном
Дата19.11.2012
Розмір98.64 Kb.
ТипЗадача

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН–ТУ VISNYK LVIV UNIV

Сер. прикл. матем. інформ. Ser. Appl. Math. Comp. Sci.

2001. Вип. . C. -10 2001. No . P. -10


 УДК 536.2

НЕЛІНІЙНА ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

ДЛЯ КУЛІ З ТЕПЛООБМІНОМ


В.С.Попович*, К.С.Іванків**

*Інститут прикладних проблем механіки і математики

імені Я.С.Підстригача НАН України

**Львівський національний університет імені Івана Франка

вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: kpm@franko.lviv.ua


Побудовано аналітично-числовий розв’язок нестаціонарної задачі теплопровідності для порожнистої кулі, теплофізичні характеристики матеріалу якої змінюється зі зміною температури. Вважається, що куля має рівномірний розподіл температури і в початковий момент часу починає конвективно обмінюватися теплом із зовнішніми середовищами сталих температур. Як частковий випадок отримано розв’язок для суцільної кулі.


^ Ключові слова: температура, нестаціонарна теплопровідність, термочутливе тіло, конвективний теплообмін, аналітично-числовий розв’язок.


Розглянемо задачу про визначення нестаціонарного температурного поля t порожнистої кулі, внутрішній радіус якої r1, зовнішній – r2, а теплофізичні характеристики матеріалу змінюються зі зміною температури. Вважаємо, що куля має рівномірний розподіл температури tp і в початковий момент часу починає конвективно обмінюватися теплом через поверхні r=r1 і r=r2 із зовнішніми середовищами сталих температур t1c і t2c , відповідно.

Зумовлене такими діями нестаціонарне температурне поле кулі визначимо з нелінійного рівняння теплопровідності [3, 4]


(1)


з граничними та початковими умовами

(2)

(3)

де - відповідно, коефіцієнт теплопровідності й об’ємна теплоємність матеріалу кулі; - коефіцієнти теплообміну з поверхонь r=r1 та r=r2 , відповідно, - асиметрична одинична функція.

Побудуємо розв’язок задачі (1)(3) в припущенні, що коефіцієнт температуропровідності незначно залежить від температури і тому його приймемо сталим. Це припущення, як зазначено в [10], добре виконується для багатьох чистих металів, деяких теплоізоляційних матеріалів, графіту [1, 11].

Вибравши за опорну температуру деяке її значення t0 , а за характерний розмір товщину стінки кулі r0=r2-r1, уведемо безрозмірні температуру T=t/t0, координату , час - критерій Фур’є , - критерій Біо і запишемо теплофізичні характеристики у вигляді , де величини з нуликом мають відповідні розмірності, а величини з зірочкою є функціями безрозмірної температури. У введених величинах задача (1)(3) набуває вигляду

(4)


(5)

(6)


де

До нелінійної задачі теплопровідності (4)-(6) застосуємо перетворення Кірхгофа

. (7)

У результаті отримаємо таку крайову задачу на змінну :

(8)

(9)

(10)

Тут – вираз шуканої температури через змінну Кірхгофа , який знаходять для конкретно заданого коефіцієнта теплопровідності зі співвідношення (7).

Унаслідок перетворення Кірхгофа рівняння теплопровідності трансформувалося в лінійне рівняння на змінну ; умови конвективного теплообміну частково лінеаризувалися, а нелінійності зосередилися у виразах шуканої температури на поверхнях кулі ; початкова умова на змінну Кірхгофа стала однорідною.

Остаточну лінеаризацію граничних умов (9) виконаємо шляхом сплайн-апроксимації нелінійних виразів шуканої температури на поверхнях . Оскільки ці температури є неперервними і монотонними функціями лише безрозмірного часу Fo, а кожна неперервна і монотонна функція є рівномірною границею лінійної комбінації одиничних функцій, то цілком коректною є їхня апроксимація за допомогою сплайнів нульового порядку [9]

(11)

Тут - невідомі сталі, що апроксимують значення шуканої температури на поверхнях при , де ; – асиметрична одинична функція; - точки розбиття часової осі в разі апроксимації шуканої температури на поверхні .

Після підставляння виразів (11) в граничні умови (9), крайова задача (8)(10) стає лінійною і для її розв’язування скористаємось інтегральним перетворенням Лапласа за часовою координатою Fo [2]. У результаті цього знаходимо зображення Лапласа змінної Кірхгофа

(12)

де – параметр перетворення Лапласа,

Для виконання оберненого перетворення Лапласа використаємо теорему розкладу Ващенка-Захарченка [5] (вирази є відношенням двох узагальнених поліномів, які задовольняють усі вимоги цієї теореми) і теорему запізнення [5]. Знайдемо такий вираз змінної Кірхгофа:



(13)

де



(14)

- корені характеристичного рівняння

(15)


Нехай коефіцієнт теплопровідності матеріалу кулі є лінійною функцією температури . Тоді на підставі (7) температура

(16)

Знайдена температура є функцією координати , часу та містить параметрів апроксимації шуканої температури на поверхні , а саме: , та параметрів апроксимації шуканої температури на поверхні , а саме: .

Для відшукання параметрів апроксимації скористаємось методом колокації. Якщо в (16) прийняти , а отриманий результат підставити в (11), то отримаємо такі два співвідношення

(17)

Якщо задати значення та і прийняти в (17) по черзі і так далі, то отримаємо систему алгебраичних рівнянь для визначення параметрів та .

Розв’язавши цю систему рівнянь і підставивши знайдені та , а також вибрані значення та в (16) отримаємо шуканий вираз температури.

У разі апроксимацій шуканих температур на поверхнях кулі зручно вибирати однакові розбиття часової осі . У цьому випадку система рівнянь для визначення невідомих і буде мати такий вигляд: перші два її рівняння (отримані з (17) при ) міститимуть лише дві невідомі та ; наступні два рівняння (отримані з (17) при ) міститимуть уже чотири невідомі і ; і так далі; а останні два рівняння (отримані з (17) при ) міститимуть усі невідомих і . Розв’язавши перші два рівняння знайдемо перші дві невідомі. Підставивши їх у наступні два рівняння, знайдемо наступні дві невідомі, і так далі, доки не визначимо всіх , .

Якщо в (13) прийняти та перепозначити , , то отримаємо вираз змінної Кірхгофа для суцільної кулі, яка, маючи сталу температуру в початковий момент часу, починає конвективно обмінюватися теплом через поверхню з довкіллям сталої температури , а саме:

(18)

де – корені характеристичного рівняння .

У цьому випадку зі співвідношень (17) залишається одне:

(19)

приймаючи в якому по черзі , отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих ;

(20)

Як зазначено вище, , що також можна отримати із (19), прийнявши в ньому .

Із першого рівняння системи (20) знаходимо, що

(21)

де

Розв’яжемо по черзі друге, третє і так далі рівняння даної системи і знайдемо невідомі , значення яких можна записати таким рекурентним співвідношенням:

(22)

Температуру в заданій точці у визначений момент часу обчислюємо за такою схемою:

а) виконуємо початкове розбиття часової осі точками і за формулами (22), (23) обчислюємо значення параметрів апроксимації , а потім значення температури, яке позначаємо;

б) розділюючи кожен із часових проміжків апроксимації навпіл, отримуємо нове розбиття часової осі; обчислюємо для нього значення параметрів , а потім – значення температури, яке позначаємо ;

в) обчислюємо різницю . Якщо , де задана нами точність, то процес обчислення закінчуємо, інакше переходимо до пункту б).

Безперечно, обчислити температуру з заданою точністю можна будь-якого початкового розбиття часової осі. Однак цілком зрозуміло, що це розбиття суттєво впливає на швидкість досягнення кінцевого результату. Розумно можна вибрати , виходячи з апріорного оцінювання поведінки шуканої температури на поверхнях кулі. Наприклад, є очевидним, що вона швидко змінюється на початку процесу теплообміну, а далі поступово наближається до стаціонарного значення. Якщо ж скористатися розв’язком відповідної крайової задачі для аналогічної нетермочутливої кулі, то початковий вибір значень можна зробити близьким до оптимального.

Якщо лінеаризацію граничних умов (9) виконати шляхом заміни нелінійного виразу на , як це зроблено в [68], то вони набудуть вигляду

(23)

а зображення Лапласа змінної Кірхгофа крайової задачі (8), (10), (22), матиме вигляд

(24)

де





Виконаємо оберенене перетворення Лапласа і знайдемо змінну Кірхгофа

(25) де



, - корені характеристичного рівняння

(26)

У випадку суцільної кулі

(27)

де корені характеристичного рівняння а і позначено, відповідно і .

Виконано числовий аналіз часової зміни температури на поверхні суцільної кулі . Температуру зовнішнього середовища вважали опорною і такою, що дорівнює 3000 С, початкову С, а критерій Бio . В лінійній залежності коефіцієнта теплопровідності від безрозмірної температури , брали вт/(м · 0С), k=0,018. Результати обчислень показані у вигляді графіків на рис.1. На рис.2 зображена залежність температури від радіальної координати в момент часу Fo=0,1 для декількох значень параметра Біо. Суцільні лінії відповідають розв’язку крайової задачі теплопровідності, отриманому шляхом сплайн-апроксимації нелінійної граничної умови, тобто коли змінну Кірхгофа обчислювали за формулою (18). Штрихопунктирні лінії відповідають розв’язку задачі, коли граничну умову лінеаризували шляхом заміни на . У цьому випадку змінну Кірхгофа обчислювали за формулою (27). Штрихові лінії зображають розв’язок відповідної лінійної задачі, коли теплофізичні характеристики вважали сталими.




Рис. 1. Рис. 2 .

Як бачимо, неврахування температурної залежності теплофізичних характеристик дає завищені значення температури. Водночас необгрунтована лінеаризація граничної умови шляхом заміни на приводить не тільки до суттєвого завищення значень температури, а й до фізично неправильних результатів. Адже, як видно з графіків, у деякий час температура поверхні кулі стає вищою від температури середовища, що її нагріває. Автори [68] не виявили недоречності такої лінеаризації можливо тому, що переважно вивчали температурні поля термочутливих тіл під час їхнього нагрівання джерелами тепла, а в таких випадках їхні температури є необмеженими функціями.

.

ЛІТЕРАТУРА

^ Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства вещества /Справочник. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956. – 367 с.

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – М.: Наука, 1974. – 543 с.

Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 487 с.

Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – К.: Наук.думка, 1992. – 280 с.

Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высш.шк., 1967. – 599 с.

Недосека А.Я. Основы расчета сварных конструкций. – К.: Вища школа, 1988. – 263с.

Новиков Н.Н., Воскресенский К.Д. Прикладная термодинамика и теплопередача. – М.; Л.: Госэнергоиздат, 1961. – 548 с.

Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. – К.: Наук.думка, 1972. – 308 с.

Попович В., Гарматій Г. Розв’язування нелінійних задач теплопровідності термочутливих тіл методом поетапної лінеаризації //Вісн. Львів.ун-ту. Сер.мех.-мат. – 2000. – Вип.57. – C. 137-141.

Постольник Ю.С., Огурцов А.П. Нелінійна прикладна термомеханіка. – К.: НМЦ ВО МОНУ, 2000. – 280 с.

Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энергетике /Справочник. Под ред. Б.Е.Неймарк. – М.; Л.: Энергия, 1967. – 239 с.






V.S.Popovych, K.S.Ivankiv

NONLINEAR PROBLEM OF A THERMAL CONDUCTION FOR SPHERE WITH HEAT EXCHANGE.

The analytical -numerical solution of a non-steady heat conduction problem for the hollow sphere thermal performances of a material which are change with a temperature variation. It is considered that the sphere has a random distribution of temperature and in an original starts convectively to exchange a heat with an environment of constant temperatures. As the special case is obtained a solution for a sphere. The study of a thermal field is held.

Key words: temperature, non-steady heat conduction problem, material which are change with a temperature, convectively to exchange, analytical-numerical solution.


Стаття надійшла до редколегії 18.12.2001

Прийнята до друку



 © Попович В.С., Іванків К.С., 2001


Схожі:

Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconЗадача нестаціонарної теплопровідності; ортотропне тіло
З використанням методу миттєвих джерел та методів інтегральних перетворень отримано аналітичний опис температурного поля, зумовленого...
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconДо питання про нелінійну та параметричну оптимізацію на комбінаторних множинах
Наведено метод відшукання кількості різних розв’язків задачі, дано верхню оцінку цього числа. Розглянуто клас нелінійних задач, до...
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconФормат опису модуля
Емпірична формула Стерджеса. Критерії Пірсона, Колмогорова та Смірнова. Задача вирівнювання статистичного ряду. Основи дисперсійного...
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconЗадача для рівняння Мал. 1 1) має назву задачі Діріхлє
Мета типового завдання з дисципліни “Рівняння математичної фізики” – прищепити навички: застосування методу граничних елементів (мге)...
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconЗадача прогноз задача ефект ставка -1 задача ефект ставка -2 задача опт портфель графіки
По акціях корпорацій виплачується дивіденд 5 г о на одну акцію. Продажна ціна акцій на фондовій біржі становила 100 г о
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconРеферат до деклараційного патенту україни на винахід №4291
Корисна модель відноситься до галузі приладів для вивчення фізичних властивостей матеріалів І конкретно стосується конструкції приладу...
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconЕлементи сферичної геометрії
Сферичною геометрією називається розділ математики, в якому вивчаються геометричні фігури, що лежать на поверхні кулі
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconЛабораторна робота Визначення коефіцієнта теплопровідності ізоляційного матеріалу

Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconПлоская задача теории упругости
Плоская задача включает в себя плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние
Нелінійна задача теплопровідності для кулі з теплообміном iconЗадача №2, 11 клас
Задача №2, 11 клас. Нехай маса мавпи m, а момент інерції барабана I. Коли мавпа рухається разом з барабаном, механічну енергію системи...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи