Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 icon

Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1




Скачати 142.41 Kb.
НазваВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1
Дата19.11.2012
Розмір142.41 Kb.
ТипДокументи

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН–ТУ VISNYK LVIV UNIV

Серія прикладна математика та інфор- Ser. Applied Mathematiсs and Computer

матика. . Вип. . C. -1 Science . No . P. -1


УДК 517.52

Ряди типу Фур’є в комплексній формі на “одиничних” криволінійних замкнутих лініях у площинах

Т.Л.Мартинович, Б.Т.Мартинович

Національний університет “Львівська політехніка”

вул. С. Бандери, 12, м. Львів, 79013


Побудовано ряди типу Фур’є в комплексній формі на “одиничних” криволінійних замкнутих лініях, масштабні множники яких дорівнюють одиниці: на “одиничних” замкнутих лініях у двозв’язних концентричних некругових областях у площинах ; на “одиничних” замкнутих еліптичних лініях у двозв’язних концентричних еліптичних областях у площинах ; на “одиничних” замкнутих еліптичних лініях у двозв’язних концентричних еліптичних областях у площинах , отриманих з кругового кільця у площині афінним перетворенням; на “одиничних” замкнутих правильних багатокутних лініях із заокругленими вершинами у двозв’язних областях вигляду правильних концентричних багатокутників у площинах .

^ Ключові слова: полігармонійне рівняння, потенціал, двозв’язні області, параметричне рівняння, ряди типу Лорана, ряди типу Фур’є, правильні многокутники.


ВСТУП

Зображення полігармонійних функцій адитивне через  довільних функцій комплексних змінних , аналітичних у плоских областях , дає змогу крайові умови основних задач звести до системи граничних задач стосовно функцій , аналітичні методи розв’язання яких недостатньо розроблені. Метод конформного відображення, який застосовують у випадку ізотропного фізичного середовища, непридатний, якщо плоска область в анізотропному фізичному середовищі в площині обмежена трансцен­дентними (не алгебричними) лініями. Тому на заміну методу конформного відобра­ження впроваджують криволінійні координати, пов’язані з конфігурацією плоских фігур: одна (для двозв’язних областей – дві) з сім’ї координатних ліній повинна збігатися з контурами, що обмежують плоскі фігури (- комплексні параметри анізотропного матеріалу фізичного середовища; для ізотропного середовища мате­ріалу ) [4].


^ ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ. ПОЛІГАРМОНІЙНІ РІВНЯННЯ. ПОТЕНЦІАЛ

Полігармонійна функція (потенціал) -го порядку двох дійсних змінних в області , разом з частинними похідними до -го порядку включно, задовольняє в полігармонійне рівняння:

(1)

а на контурі області задані крайові умови; – сталі коефіцієнти; – відома функція.

Корені характеристичного рівняння

(2)

оператора (1) некратні (прості) комплексні числа: .

У цьому випадку загальний розв’язок (потенціал) однорідного рівнян­ня (1) можна зобразити адитивно через довільних аналітичних функ­цій комплексних змінних в областях формулою:

. (3)

Області у площинах отримують з області площини неконформним перетворенням

, (4)

де - прості корені характеристичного рівняння (2).


^ СКІНЧЕННІ ДВОЗВ’ЯЗНІ КОНЦЕНТРИЧНІ НЕКРУГОВІ ОБЛАСТІ В КОМПЛЕКСНИХ ПЛОЩИНАХ

У площині розглянемо скінченну двозв’язну некругову область , обмежену простими замкнутими концентричними контурами , що не перетинаються між собою.

У разі афінного перетворення (4) двозв’язна концентрична область у площині переходить у двозв’язні клнцентричні області змінних у площинах , а контури області — у конту­ри області (рис.1; ) [7]:

Через і позначимо проміжні замкнуті контури, розташовані між крайніми контурами і двозв’язних концентричних областей і . Афікси точок контурів і областей і позначимо через і .

У випадку додатнього обходу контурів і області і залишаються ліворуч.



Рис.1


Якщо двозв’язні області і необмежені, то їхні зовнішні контури і стягнуті у нескінченно віддалені точки , , а якщо скінченні області і суцільні, то їхні внутрішні контури і стягнуті у точки початку координат і [7].


^ ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ЗАМКНУТИХ КОНТУРІВ ДВОЗВ’ЯЗНИХ КОНЦЕНТРИЧНИХ НЕКРУГОВИХ ОБЛАСТЕЙ У ПЛОЩИНАХ

Афікси точок замкнутих контурів двозв’язних кон­цент­­ричних некругових областей (їхні параметричні рівняння) аналітично опи­су­вані формулами (рис.1; ) [3]:



(5)

(6)

де – некратні корені характеристичного рівняння (2); – масштабні мно­­ж­ники параметричних рівнянь контурів двозв’язної об­ласті у пло­щині ; – афікс точки одиничного кола .

Параметричні рівняння замкнутих контурів (5) зі спільним центром у початку координат – функції однозначні: у разі обходу контурів їхній приріст дорівнює нулю.

Параметричні рівняння проміжного замкнутого концентричного контуру , розташованого між крайніми контурами двозв’язних областей , отримаємо з рівнянь (5), опустивши в ньому індекс :



(7)

.

Коефіцієнти неперервно змінюються у сегментах:

(8)

Проміжні контури в областях , масштабні множники яких , будемо називати одиничними замкнутими лініями і позначати літерою ; лінію одиничного замкнутого кола позначимо літерою .

У разі неперервної зміни коефіцієнтів у сегментах (8) і відповідної їм зміни масштабного множника в сегменті проміжний замкнутий контур цілком вимете площу двозв’язної області від крайнього контуру до крайнього контуру (рис.1; .


^ ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ЕЛІПТИЧНИХ КОНТУРІВ ДВОЗВ’ЯЗНИХ КОНЦЕНТРИЧНИХ ОБЛАСТЕЙ У ПЛОЩИНАХ ПРИ .

Параметричні рівняння замкнутих еліптичних контурів і , що обмежують двозв’язні концентричні області , випливають з параметричних рів­нянь (5) і (7) ; якщо у них прийняти



, то одержимо



(9)

;

; (10)



– масштабні множники [3].

Параметричні рівняння замкнутих еліптичних контурів і , що обмежують двозв’язні концентричні області , які отримуються з круго­вого концентричного кільця в площині афінним перетворенням (4), випли­вають з параметричних рівнянь (9) і (10), якщо у них прийняти:

,

то отримаємо

(11)





– масштабні множники.


^ СТЕПЕНЕВІ РЯДИ ТИПУ ЛОРАНА В ДВОЗВ’ЯЗНИХ КОНЦЕНТРИЧНИХ НЕКРУГОВИХ ОБЛАСТЯХ У ПЛОЩИНАХ

Теорема. Функції , голоморфні в скінчених двозв’язних кон­цент­ричних некругових областях у площинах , обме­жених прос­тими замкнутими контурами , що не мають спільних точок, розви­ваються у степеневі ряди типу Лорана [8]:

. (12)

Коефіцієнти і , що залежать від конфігурації областей і структури функцій , обчислюють за формулами

;

, (13)

де - афікси точок контурів областей (їхні параметричні рівняння) (5).

Якщо в формулах (13) афікси точок контурів замінити їхніми аналітичними виразами (5), матимемо [7,8]:

;

, (14)

де

, (15)

– афікс точки одиничного кола .

Степеневі ряди типу Лорана (12) у двозв’язних концентричних некругових областях з урахуванням позначень (15) набудуть вигляду

. (16)

Якщо зовнішні контури двозв’язних областей стягнуті в нескінченно віддалені точки , то , а якщо внутрішні контури цих областей стягнуті в точки початку координат , то .


^ РЯДИ ТИПУ ФУР’Є В КОМПЛЕКСНІЙ ФОРМІ НА “ОДИНИЧНИХ” КРИВОЛІНІЙНИХ ЗАМКНУТИХ ЛІНІЯХ У ПЛОЩИНАХ

На “одиничних” замкнутих лініях (концентричних контурах у двозв’язних областях ), масштабні множники яких , степеневі ряди типу Лорана голоморфних функцій в концент­ричних вузьких кільцях вигляду для функцій є рядами типу Фур’є у комплексній формі вигляду

(17)

Коефіцієнти і обчислюють за формулами (14)

;

; (18)

.

Вирази (18) коефіцієнтів і рядів типу Фур’є в комплексній формі (17) редукуємо до вигляду

; (19)



де

;

; (20)

, , .


^ РЯДИ ТИПУ ФУР’Є В КОМПЛЕКСНІЙ ФОРМІ НА “ОДИНИЧНИХ” ЗАМКНУТИХ ЕЛІПТИЧНИХ ЛІНІЯХ У ПЛОЩИНАХ

при

На “одиничних” замкнутих еліптичних лініях (концентричних контурах у двозв’язних еліптичних областях , які отримують з еліптичного кільця у площині афінним перетворенням (4)), масштабні множники яких , степеневі ряди типу Лорана голоморфних функцій в областях вигляду еліптичних концентричних вузьких кілець для функцій є рядами типу Фур’є в комплексній формі (17) при :

. (21)

Функції і задані формулами (10):

, ;

, ;

; , (22)

де , і – півосі “одиничних” замкнутих еліптичних ліній , масштабний множник яких .

Звідси випливає, що

. (23)

Коефіцієнти і рядів типу Фур’є (21) обчислюють за формулами (18) при :

;

. (24)

Ряди типу Фур’є (21), записані в комплексній формі, й коефіцієнти і цих рядів (24) з урахуванням позначень (22) редукуємо до такого вигляду:



; (25)

;

, (26)

де .


^ РЯДИ ТИПУ ФУР’Є В КОМПЛЕКСНІЙ ФОРМІ НА “ОДИНИЧНИХ” ЗАМКНУТИХ ЕЛІПТИЧНИХ ЛІНІЯХ У ПЛОЩИНАХ при

На “одиничних” замкнутих еліптичних лініях (концентричних контурах у двозв’язних еліптичних областях , які отримують з кру­гового кільця у площині афінним перетворенням (4)), масштабні множники яких , степеневі ряди типу Лорана голоморфних функ­цій в областях вигляду еліптичних концентричних вузьких кілець для функцій є рядами типу Фур’є в комплексній формі (21) при :

. (27)

Функції і задані формулами (11):

, ; (28)

, , .

Коефіцієнти і рядів типу Фур’є (27) обчислюють за формулами (24) при :

;

. (29)

Ряди типу Фур’є в комплексній формі (27) і коефіцієнти і цих рядів (29) з урахуванням позначень (28) редукуємо до вигляду:

; (30)

; (31)

;

. (32)


^ РЯДИ ТИПУ ФУР’Є В КОМПЛЕКСНІЙ ФОРМІ НА «ОДИНИЧНИХ» ЗАМКНУТИХ ЛІНІЯХ У ВИГЛЯДІ ПРАВИЛЬНИХ БАГАТОКУТНИКІВ ІЗ ЗАОКРУГЛЕНИМИ ВЕРШИНАМИ У ПЛОЩИНАХ

Афікси точок замкнутих контурів у двозв’язних концент­ричних багатокутних областях (їх параметричні рівняння) аналі­тично зображаються формулами (рис. 2)

; (33)

;

,

де

; (34)

;



масштабні множники рівняння (33); – кількість сторін правильного багато­кутника; (рис. 2).

Коефіцієнти параметричних рівнянь (34) одержують з умов рівності площ і полярних моментів цих площ правильних багатокутників з прямолінійними і криволінійними сторонами.

Числові значення коефіцієнтів і при наведені у таблицях публікацій [2, 4, 7].

Для подібних концентричних багатокутників справджу­ються такі умови:




Рис. 2


; ;

, (35)

; .

– довжини сторін подібних концентричних багатокутників .

На “одиничних” замкнутих правильних многокутних лініях (концентрич­них багатокутних контурах у двозв’язних областях ), масштабні множ­ники яких , ряди типу Лорана голоморфних функцій в областях вигляду багатокутних концентричних вузьких кілець для функцій є рядами типу Фур’є в комплексній формі (17) при заміні на :

. (36)

Коефіцієнти і обчислюють за формулами (18) при заміні на ;

;

. (37)

Формули (37) для обчислення коефіцієнтів і редукуємо до такого вигляду:

;

, (38)

де

; (39)

;

, .

Якщо координатна вісь проходить через середину сторони правильного багатокутника із заокругленими вершинами (рис. 2), то маємо такі залежності:

; (40)

,

а в разі переходу осі через вершину правильного багатокутника будуть такі залежності:

, (41)

де – сторона; – центральний кут; – кількість сторін правильного багато­кут­ника; – кількість коефіцієнтів .

У таблиці для наведені числові значення коефіцієнтів , і відповідні їм масштабні множники , які обчислюють за форму­лою (40) [2, 4].


Числові значення коефіцієнтів , при











3

0,32205

0,01386

0,41277

2,42266

4

0,16054

0,01140

0,58764

1,70172

5

0,09662

0,00872

0,75451

1,32536

6

0,06468

0,00674

0,91929

1,08079

7

0,04639

0,00533

1,08277

0,92356

8

0,03492

0,00430

1,24523

0,80306

Функції (39) при з урахуванням умови (40) запишемо:

; (42)

,

.

Числові значення коефіцієнтів і наведені в таблиці. Коефіцієнти і рядів типу Фур’є (36) обчислюють за формулами (38), у яких на місце функцій , ставлять їхні аналітичні зображення (42).

При отримуємо ряди типу Фур’є на “одиничних” замкнутих лініях у двозв’язних концентричних областях у площині ізотропного фізичного середовища (індекс в наведених вище виразах опускають).


ВИСНОВКИ

Побудовою рядів типу Фур’є на одиничних” криволінійних замкнутих лініях у площинах завершено формування математичного апарату розв’язування основних криволінійних задач полігармонійного рівняння з сталими коефіцієнтами -го порядку у двозв’язних концентричних некругових областях у цих же комплексних площинах.

Література

  1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного перемен­ного. – М., 1958.-678с.

  2. Мартинович Б.Т. Аналітичний розв’язок крайових задач кручення і згину прямолінійно-анізотропних призматичних стержнів одно- і двозв’язного профілю. Автореф. дис. ... канд. фіз.-мат. наук. -Львів,1996.

  3. Мартинович Б.Т. Метод контурних інтегральних співвідношень в узагальненій двомірній теорії потенціала в комплексній площині. Держ. ун-т. “Львівська полі­тех­ніка”.-Львів,1997.-38с. Деп. в ДНТБ України 13.06.97 №438-Ук97.

  4. Мартинович Б.Т. Параметричні рівняння контура многокутника з заокругленими вершинами. Держ. ун-т. “Львівська політехніка”.-Львів,1997.-24с. Деп. в ДНТБ України 12.12.97 №563-Ук97.

  5. Мартинович Б.Т. Редукція задачі сумісного кручення і поперечного згину прямолінійно-анізотропної консолі двозв’язного профілю до системи незалежних алгебричних рівнянь. Держ. ун-т. “Львівська політехніка”.-Львів,1997.-25с. Деп. в ДНТБ України 12.12.97 №562-Ук97.

  6. Мартинович Т.Л. Обобщение теоремы Бетти-Максвелла в двумерной теории упругости. Прикладная механика. 1966. Т.2, в.3, с.41-49.

  7. Мартинович Т.Л., Мартинович Б.Т. Розвинення аналітичних функцій в двозв’яз­них (некругових) областях в узагальнені ряди Лорана. Держ. ун-т. “Львівська полі­тех­ніка”.-Львів,1999.-17с. Деп. в ДНТБ України 13.12.99 №3663-Ук99.

  8. Мартинович Т.Л., Мартинович Б.Т. Розвинення аналітичних функцій в двозв’яз­них (некругових) концентричних областях у степеневі ряди типу Лорана // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформатика. -2000. -Вип.3. с.37-41.

Fourier complex series on the “single” curvilinier closed lines in plines

Т.L. Martynovych, B.T. Martynovych

“Lviv Polytechic” National University

S.Bandery str, 12, Lviv, 79013


Fourier complex series on the “single” curvilinier closed lines, scale multiplier which is equal to unit, has been built: on the “single” closed lines in the doubly-connected concentric non-circular regions; in plines; on the “single” closed ellipse lines in the doubly-connected concentric ellipеtic in plines; on the “single” closed ellipse lines in the doubly-connected concentric ellipеtic in plines, that receive from circular ring in pline by affinic reform; on the “single” closed correct polygonal lines with rounded off tops in the doubly-connected regions in the form of correct concentric polygons in plines.

Key words: polyharmonic equation, potential, doubly-connected regions, parametric equations, Laurent series, correct polygons.

Стаття надійшла до редакції 01.10.2001

Прийнята до друку



Схожі:

Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика. 2001. Вип C.7 Science. 2001. No. P.7
Досліджено вплив значень прискорювального параметра на збіжність ітераційного процесу
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика. 2001. Вип C.6 Science. 2001. No. P.6
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки І математики ім. Я. С. Підстригача нан україни
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика. 2002. Вип C.8 Science. 2002. No. P.8
Крім того обчислено облікову ставку верселів в залежності від змін економічного становища
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.7 Science. No. P.7
Повний розв’язок зображено у вигляді суми двох часткових розв’язкiв, аналiтична структура яких залежить вiд числових значень коренiв...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer інформатика. 2001. Вип C.8 Science. 2001. No. P.8
Наведено розрахункові формули, що реалізують різні підходи, а також результати обчислювального експерименту, що реалізований за допомогою...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2001. Вип C.1 Computer Science. 2001. No. P.1
Для моделей групового страхування, які є узагальненням моделей індивідуального страхування, наведено означення імовірності вимирання...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer інформатика. 2001. Вип C.5 Science. 2001. No. P.5
Скбд є врахування природної ієрархії класів вибраної предметної області. В даній роботі обговорюється розповсюдження такого підходу...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2002. Вип C.7 Computer Science. 2002. No. P.7 
Розглянуто використання методу параметрів для виділення “максимальних” областей, які не містять дійсних нулів алгебричних багаточленів...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2002. Вип.. C. Computer Science. 2002. No. . P.
Уточнено формулювання та доведення теореми, що обґрунтовує метод, розширено його застосування на випадок наявності кратних характеристичних...
Вісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та інфор- ser. Applied Mathematiсs and Computer матика Вип C.1 Science. No. P.1 iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2002. Вип C.6 Computer Science. 2002. No. P.6 
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2], побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи