§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання icon

§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання




Скачати 211.33 Kb.
Назва§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання
Дата15.05.2013
Розмір211.33 Kb.
ТипДокументи
джерело
1. /2008_11_12/01_Titul.doc
2. /2008_11_12/02_Vstup_Soderzhanie.doc
3. /2008_11_12/03_Algebra.docx
4. /2008_11_12/04_Planimetriya.docx
5. /2008_11_12/05_Stereometriya.docx
6. /2008_11_12/06_Literatura.docx
7. /2008_11_12/07_Dodatok.docx
8. /2008_11_12/08_LastPage.docx
9. /2008_11_12/Book.pdf
Одарченко Наталія Іванівна, Бондар Олександр В’ячеславович Збірник задач зі спецкурсу «Вибрані розділи з математики»
Додаток а (довідковий) Основні математичні та геометричні формули формули скороченого множення логарифми та степені тригонометрія
Сборник задач по алгебре для 8-9-х классов. М.: Просвещение, 1982. 270 с. Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. М.: Просвещение, 1991. 248 с
§ 1 Трикутник 1 Розв’язати завдання
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання
§ 1 Арифметика 1 Обчислити
Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів Суми Вид-во Сумду 2008 удк 51 (076. 1) О-40
Зміст від авторів 5 Частина 1 Алгебра та елементи аналізу

Частина 3


Стереометрія

§ 1 Призма




1.1 Розв’язати завдання:



1.1.1. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 7, а сторони основи дорівнюють 4 і 5. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Відповідь: .

1.1.2. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетом 5см і гіпотенузою 13 см. Висота призми 8 см. Знайти площу повної поверхні.

Відповідь: см2.

1.1.3. Висота правильної чотирикутної призми дорівнює , сторона основи – а. Знайти площу діагонального перерізу.

Відповідь: .

1.1.4. Знайти третій вимір прямокутного паралелепіпеда, якщо два його виміри дорівнюють 6 см, 7 см, а діагональ паралелепіпеда дорівнює 11 см.

Відповідь: см.

1.1.5. В основі призми лежить трикутник зі сторонами 7 см, 5 см, 6 см. Висота призми 4 см. Знайти об’єм призми.

Відповідь: см3.

1.1.6. Основа прямого паралелепіпеда – ромб зі стороною 6 см і кутом . Менша діагональ паралелепіпеда нахилена до основи під кутом . Знайти об’єм паралелепіпеда.

Відповідь: см3.

1.1.7. Поверхня куба . Знайти його ребро.

Відповідь: .

1.1.8. У прямокутному паралелепіпеді виміри відносяться як , а його діагональ дорівнює 23 см. Обчислити площу повної поверхні паралелепіпеда.

Відповідь: см2.

1.1.9. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 6, 16 і
18 см. Знайти ребро рівновеликого йому куба.

Відповідь: см.

1.1.10. У правильній чотирикутній призмі діагональ нахилена до бічної грані під кутом . Обчислити кут нахилу її до основи.

Відповідь: .

1.2 Розв’язати завдання:



1.2.1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 14 см, а площі діагональних перерізів – 336 см2 і 432 см2. Знайти діагоналі паралелепіпеда.

Відповідь: та см.

1.2.2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 5 см, а висота – 2 см. Знайти сторону основи.

Відповідь: см.

1.2.3. Бічне ребро прямокутного паралелепіпеда дорівнює 6 см. Діагональ паралелепіпеда у два рази менша периметра основи. Знайти площу основи.

Відповідь: см2.

1.2.4. У правильній шестикутній призмі більша діагональ дорівнює см і нахилена до основи під кутом . Знайти площу бічної поверхні призми.

Відповідь: см2.

1.2.5. Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює і нахилена до площини основи під кутом . Знайти площу бічної поверхні призми.

Відповідь: .

1.2.6. Знайти повну поверхню призми, бічні грані якої квадрати, а її основа – правильний трикутник, описаний навколо кола радіусом .

Відповідь: .

1.2.7. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм, у якого одна із діагоналей дорівнює 17 см, а сторони основ дорівнюють
9 см і 10 см. Повна поверхня цього паралелепіпеда дорівнює
334 см2. Знайти його об’єм.

Відповідь: см3.

1.2.8. Периметри двох граней правильної трикутної призми дорівнюють 48 см і 30 см. Знайти об’єм призми.

Відповідь: см3.

1.2.9. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 1 см2. Площі діагональних перерізів дорівнюють 3см2 і
6 см2. Знайти об’єм паралелепіпеда.

Відповідь: см3.

1.2.10. Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 6 см, а бічна поверхня – 32 см2. Знайти її об’єм.

Відповідь: см2.

1.3 Розв’язати завдання:



1.3.1. У правильній трикутній призмі через сторону основи проведена площина, яка у перерізі утворила трикутник з периметром, у два рази більшим, ніж в основі. Визначити кут між площиною і основою і знайти відношення радіусів кіл, одне з яких вписане у трикутник перерізу, а інше описане навколо трикутника основи.

Відповідь: .

1.3.2. Знайти об’єм паралелепіпеда, якщо його грані – однакові ромби зі сторонами а і гострим кутом .

Відповідь: .

1.3.3. У прямокутному паралелепіпеді діагональ утворює з основою кут . Кут між діагоналлю основи і її стороною . Визначити об’єм паралелепіпеда, якщо і , .

Відповідь: .

1.3.4. В основі прямого паралелепіпеда лежить паралелограм зі сторонами 1 см і 4 см і гострим кутом . Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 5 см. Визначити його об’єм.

Відповідь: .

1.3.5. Об’єм правильної трикутної призми , кут між діагоналями двох граней, які проведені з однієї і тієї самої вершини, дорівнює . Знайти сторону основи призми.

Відповідь: .

1.3.6. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом при основі. Відстань від центра кола, вписаного в цей трикутник, до його вершини дорівнює . Діагональ бічної грані призми, що містить основу даного трикутника, утворює з площиною основи призми кут . Визначити об’єм призми. Обчислити, якщо , , .

Відповідь: .

1.3.7. У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи проведена площина, що складає з площиною нижньої основи кут . Площа перерізу дорівнює . Знайти об’єм призми.

Відповідь: .

1.3.8. Знайти об’єм правильної трикутної призми, у якої діагональ бічної грані дорівнює , а сторону основи бачимо з протилежної вершини іншої основи під кутом .

Відповідь: .

1.3.9. В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом і меншою діагоналлю . Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом . Знайти об’єм призми.

Відповідь: .

1.3.10. В основі прямої трикутної призми лежить трикутник . Через бісектрису гострого кута і вершину проведено площину. Відомо, що

. Знайти об’єм призми і площу зазначеного перерізу. Відповідь: .


§ 2 Піраміда




2.1 Розв’язати завдання:



2.1.1. В основі правильної трикутної піраміди лежить трикутник зі стороною 6. Висота піраміди дорівнює стороні трикутника. Знайти об’єм піраміди.

Відповідь: .

2.1.2. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює 12 см і утворює з площиною основи кут .

Відповідь: см3.

2.1.3. Основа піраміди – прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Висота піраміди дорівнює 10 см. Обчислити об’єм піраміди.

Відповідь: см3.

2.1.4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а плоский кут при вершині – . Знайти площу бічної поверхні піраміди.

Відповідь: см2.

2.1.5. Основою піраміди є ромб з гострим кутом і стороною

4 см. Обчислити об’єм піраміди, якщо довжина її висоти 15 см.

Відповідь: см3.

2.1.6. Обчислити об’єм піраміди, основою якої є прямокутник зі сторонами 8 см і 6 см, а кожне бічне ребро дорівнює 13 см.

Відповідь: см3.

2.1.7. Знайти об’єм правильної чотирикутної піраміди діагональ основи якої дорівнює 4 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут .

Відповідь: см3.

2.1.8. Основою піраміди є ромб з гострим кутом і стороною 4 см. Обчислити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.

Відповідь: см3.

2.1.9. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 1 см, а висота см. Обчислити площу повної поверхні піраміди.

Відповідь: см2.

2.1.10. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із катетом 8 см. Основа висоти піраміди – центр описаного кола з радіусом 5 см. Знайти об’єм піраміди, якщо висота її дорівнює 7 см.

Відповідь: см3.

2.2 Розв’язати завдання:



2.2.1. У правильній трикутній піраміді бічне ребро нахилене до площини основи під кутом . Під яким кутом нахилена до площини основи бічна грань.

Відповідь: .

2.2.2. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює , апофема нахилена до площини основи під кутом . Знайти бічне ребро.

Відповідь: .

2.2.3. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см, кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Знайти висоту піраміди.

Відповідь: см.

2.2.4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює , кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює . Знайти площу діагонального перерізу піраміди.

Відповідь: .

2.2.5. Бічні ребра піраміди дорівнюють гіпотенузі прямокутного трикутника, що лежить в її основі, і дорівнюють 12. Знайти висоту піраміди.

Відповідь: .

2.2.6. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і
6 см. Всі двогранні кути при сторонах основи дорівнюють . Знайти довжини бічних ребер.

Відповідь: см.

2.2.7. Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди дорівнюють 2 см і 5 см, бічне ребро – 2 см. Знайти висоту і апофему піраміди.

Відповідь: см.

2.2.8. В основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом . Всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють . Висота піраміди дорівнює . Знайти бічну поверхню піраміди.

Відповідь: .

2.2.9. Основа піраміди трикутник з кутами і і радіусом описаного кола . Всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють . Знайти бічну поверхню піраміди.

Відповідь: .

2.2.10. Основою піраміди є ромб з гострим кутом і радіусом вписаного кола . Всі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють . Знайти повну поверхню піраміди.

Відповідь: .

2.3 Розв’язати завдання:



2.3.1. Сторона більшої основи правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює . Бічне ребро та діагональ утворюють з площиною основи відповідно кути та . Знайти площу меншої основи піраміди.

Відповідь: .

2.3.2. Знайти об’єм правильної трикутної піраміди, у якої плоский кут при вершині дорівнює , а найкоротша відстань між бічним ребром і протилежною стороною основи дорівнює.

Відповідь: .

2.3.3. Знайти двогранний кут між бічними гранями правильної трикутної піраміди, якщо двогранний кут, утворений бічною гранню з основою, дорівнює .

Відповідь: .

2.3.4. В основі піраміди лежить трапеція , , . Кожне бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут . . Відрізок має довжину . Знайти об’єм піраміди.

Відповідь: .

2.3.5. В основі трикутної піраміди , кожен двогранний кут при основі якої дорівнює , лежить трикутник , , . Висота піраміди дорівнює і проходить всередині піраміди. Знайти об’єм піраміди.

Відповідь: .

2.3.6. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою і гострим кутом . Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом . Знайти об’єм піраміди.

Відповідь: .

2.3.7. Дано правильну чотирикутну зрізану піраміду . Коло, вписане в чотирикутник , дотикається до ребра у точці , причому см, см. Знайти об’єм зрізаної піраміди.

Відповідь: см3.

2.3.8. В основі трикутної піраміди лежить рівнобедрений трикутник . Кожен двогранний кут при основі піраміди дорівнює . Основу трикутника бачимо із центра вписаного в нього кола під кутом . Радіус кола, описаного навколо трикутника , дорівнює . Знайти об’єм піраміди, якщо її висота знаходиться всередині піраміди.

Відповідь: .

2.3.9. У правильній чотирикутній піраміді сторона дорівнює , а бічне ребро утворює з площиною основи кут . Знайти об’єм піраміди. Обчислити, якщо .

Відповідь: .

2.3.10. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник зі сторонами
6 см, 6 см, 8 см. Всі бічні ребра дорівнюють 9 см. Знайти об’єм піраміди.

Відповідь: см3.


§ 3 Тіла обертання




3.1 Розв’язати завдання:



3.1.1. Знайти об’єм конуса, якщо радіус його основи 6, а висота вдвічі більша.

Відповідь: .

3.1.2. Площа основи конуса дорівнює см2, а його твірна дорівнює 10 см. Обчислити бічну поверхню конуса.

Відповідь: см2.

3.1.3. Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 16 см2. Обчислити повну поверхню циліндра.

Відповідь: см2.


3.1.4. Твірна конуса дорівнює 14 см. Кут при вершині осьового перерізу дорівнює . Знайти повну поверхню конуса.

Відповідь: см2.

3.1.5. У скільки разів збільшиться об’єм кулі, якщо його радіус збільшити в 3 рази ?

Відповідь: разів.

3.1.6. У скільки разів збільшиться об’єм конуса, якщо радіус його основи збільшити в 4 рази, а висоту – в 2 рази?

Відповідь: рази.

3.1.7. Осьовий переріз конуса – прямокутний трикутник з гіпотенузою 12 см. Знайти об’єм конуса.

Відповідь: см3.

3.1.8. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 72 см2. Знайти об’єм циліндра, якщо радіус основи дорівнює 3 см.

Відповідь: см3.

3.1.9. Радіус основи циліндра 3 см, висота 8 см. Знайти довжину діагоналі осьового перерізу.

Відповідь: см.

3.1.10. Об’єм кулі дорівнює 2 см3. Обчислити площу її поверхні.

Відповідь: см2.

3.2 Розв’язати завдання:



3.2.1. У циліндрі паралельно його осі проведена площина. Відстань від осі циліндра до цієї площини вдвічі менша за радіус основи циліндра. Діагональ перерізу утворює з площиною основи циліндра кут в . Знайти відношення площі перерізу до площі основи циліндра.

Відповідь: .

3.2.2. Через дві твірні конуса проведена площина, що перетинає основу конуса по хорді, довжина якої у разів більше висоти конуса. Знайти кут між цією площиною і площиною основи конуса, якщо він у два рази менше кута при вершині перерізу.

Відповідь: .

3.2.3. Радіус основи і висота циліндра відповідно дорівнюють і . На якій відстані від осі циліндра розташовано переріз, який має форму квадрата.

Відповідь: .

3.2.4. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як . Знайти кут між діагоналями осьового перерізу.

Відповідь: .

3.2.5. Паралельно осі циліндра проведена площина, яка відтинає від кола основи дугу . Діагональ утвореного перерізу нахилена до основи під кутом . Знайти площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює .

Відповідь: .

3.2.6. Відношення площі основи конуса до площі осьового перерізу дорівнює . Знайти кут нахилу твірної до основи.

Відповідь: .

3.2.7. Твірна конуса дорівнює см, а радіус основи – 1 см. Знайти площу перерізу, що проходить через вершину конуса і хорду основи, що стягує дугу, кутова величина якої дорівнює .

Відповідь: см2.

3.2.8. Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 3 см і 6 см, а твірна – 5 см. Знайти площу осьового перерізу конуса.

Відповідь: см2.

3.2.9. Висота конуса . На якій відстані від вершини конуса треба провести площину, паралельну основі, щоб площа перерізу дорівнювала половині площі основи.

Відповідь: .

3.2.10. Кулю перетнули площиною на відстані 6 см від центра. Площа перерізу дорівнює см2. Знайти радіус кулі.

Відповідь: см.


3.3 Розв’язати завдання:



3.3.1. Циліндр перетнули площиною, яка паралельна осі так, що в перерізі одержали квадрат з діагоналлю, що дорівнює см. Переріз відтинає від кола основи дугу в . Знайти об’єм циліндра. Відповідь: .

3.3.2. Висота прямого колового конуса дорівнює h. Дві взаємно перпендикулярні твірні ділять основу на дві дуги, одна з яких у два рази менша за іншу. Знайти об’єм конуса.

Відповідь: .

3.3.3. Об’єм прямого кругового конуса дорівнює . Знайти площу перерізу , що проходить через вершину , а точки і , які лежать на колі основи конуса, ділять його довжину у відношенні і .

Відповідь: .

3.3.4. У циліндрі паралельно його осі проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом . Діагональ цього перерізу дорівнює і утворює з площиною основи кут . Знайти об’єм циліндра, якщо , , . Відповідь: .

3.3.5. Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом, який дорівнює , поверненим до основи. Об’єм циліндра дорівнює . Знайти висоту циліндра.

Відповідь: .

3.3.6. Знайти повну поверхню циліндра, якщо радіус основи дорівнює , а кут між діагоналлю осьового перерізу і твірною дорівнює . Відповідь: .

3.3.7. Знайти кут між діагоналлю осьового перерізу і твірною циліндра, якщо його бічна поверхня дорівнює площі круга, описаного навколо осьового перерізу циліндра.

Відповідь: .

3.3.8. Відношення повної поверхні конуса до площі його осьового перерізу дорівнює . Знайти кут між висотою і твірною конуса та допустимі значення .

Відповідь: , .

3.3.9. Через дві твірні конуса, що складають між собою кут , проведена площина, нахилена до площини основи під кутом . Площа перерізу дорівнює . Знайти висоту конуса.

Відповідь: .

3.3.10. При якому відношенні висоти відкритої циліндричної бочки заданого об’єму до радіуса основи на її виготовлення піде найменша кількість матеріалу?

Відповідь: .


§ 4 Комбінації простих фігур




4.1 Розв’язати завдання:



4.1.1. Площі поверхонь двох куль відносяться як 9:16. Як відносяться об’єми куль?

Відповідь: .

4.1.2. Діаметри трьох куль дорівнюють 6, 8, 10 см. Знайти діаметр кулі, об’єм якої дорівнює сумі об’ємів цих куль.

Відповідь: см.

4.1.3. Дано куб зі стороною . Знайти відношення об’ємів вписаної і описаної навколо цього куба куль.

Відповідь: .

4.1.4. Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайти відношення об’ємів октаедра та куба.

Відповідь: .

4.1.5. Навколо правильної чотирикутної призми описана сфера. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з ребром кут . Визначити площу сфери, якщо бічне ребро дорівнює .

Відповідь: .

4.1.6. У циліндр вписана правильна трикутна призма, а в призму – ще один циліндр. Знайти відношення об’ємів циліндрів.

Відповідь: .

4.1.7. У кулю вписана правильна чотирикутна піраміда, сторона основи якої дорівнює . Визначити поверхню кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до площини основи під кутом .

Відповідь: .

4.1.8. У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює , а плоский кут при вершині . Знайти об’єм конуса, вписаного в піраміду.

Відповідь: .

4.1.9. Конус вписано у кулю, радіус якої дорівнює . Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо кут при вершині його осьового перерізу дорівнює .

Відповідь: .

4.1.10. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайти повну поверхню вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює .

Відповідь: .

4.2 Розв’язати завдання:



4.2.1. Циліндр, осьовим перерізом якого є квадрат, і куля мають однакові площі поверхні. Як відносяться їхні об’єми?

Відповідь: .

4.2.2. Пряма трикутна призма, основою якої є рівнобедрений прямокутний трикутник, вписана у циліндр. Знайти відношення об’ємів циліндра і призми.

Відповідь: .

4.2.3. Рівносторонній конус і куля мають однакові об’єми. Знайти відношення площ їх поверхонь.

Відповідь: .

4.2.4. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює , висота піраміди – . Знайти радіус кулі, описаної навколо піраміди.

Відповідь: .

4.2.5. У правильній трикутній піраміді радіус описаної кулі вдвічі більший радіуса кола, описаного навколо основи піраміди. Знайти кут нахилу ребра піраміди до площини основи.

Відповідь: .

4.2.6. Діагональ правильної чотирикутної призми утворює з гранню кут в . Площа бічної поверхні циліндра, вписаного у призму, дорівнює . Знайти діагональ .

Відповідь: .

4.2.7. У прямокутний паралелепіпед вписано кулю і циліндр. Знайти відношення площі поверхні кулі до площі повної поверхні циліндра.

Відповідь: .

4.2.8. У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут . Знайти об’м піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює .

Відповідь: .

4.2.9. Основа прямої призми – прямокутник зі стороною і кутом , який утворює ця сторона з діагоналлю прямокутника. Діагональ призми утворює з площиною основи кут . Визначити об’єм циліндра, описаного навколо призми.

Відповідь: .

4.2.10. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Знайти об’єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює .

Відповідь: .

4.3 Розв’язати завдання:



4.3.1. Правильна трикутна піраміда вписана в кулю радіуса . Визначити об’єм піраміди, якщо кут між її висотою і бічним ребром дорівнює .

Відповідь: .

4.3.2. У кулю вписано правильну чотирикутну піраміду. Якою повинна бути довжина висоти піраміди, щоб об’єм піраміди був найбільшим, якщо радіус кулі дорівнює см?

Відповідь: см.

4.3.3. У трикутнику основа дорівнює , прилеглі кути та . Визначити об’єм тіла, отриманого від обертання цього трикутника навколо його висоти, що опущена на основу.

Відповідь: .

4.3.4. Висота піраміди дорівнює , а основа – це трикутник зі сторонами . Сфера дотикається всіх бічних граней піраміди у точках , які лежать на сторонах основи. Знайти радіус сфери.

Відповідь: .

4.3.5. Знайти площу поверхні кулі, вписаної в піраміду, в основі якої лежить трикутник зі сторонами 13, 14, 15 см, якщо вершина піраміди віддалена від кожної сторони основи на 5 см.

Відповідь: .

4.3.6. Довжина висоти прямого колового конуса дорівнює , а кут нахилу твірної до площини основи дорівнює . У конус вписано циліндр, що має максимальний об’єм. Знайти відношення об’єма конуса до об’му циліндра.

Відповідь: .


4.3.7. У правильній трикутній піраміді відношення висоти основи до апофеми піраміди дорівнює . Конус з вершиною і твірною дотикається своєю бічною поверхнею основи і бічних граней і піраміди. Знайти відношення площі бічної поверхні конуса до площі основи піраміди.

Відповідь: .

4.3.8. Об’єм конуса дорівнює . У конус вписана піраміда, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник з кутом між бічними сторонами. Знайти об’єм усієї піраміди.

Відповідь: .

4.3.9. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом . Відстань від центра сфери, яка описана навколо піраміди, до бічного ребра дорівнює . Знайти об’м піраміди.

Відповідь: .

4.3.10. Відношення висоти конуса до радіуса описаної навколо нього кулі дорівнює . Знайти відношення об’ємів цих тіл. При яких значеннях задача не має розв’язку?

Відповідь: .


§ 5 Аналітична геометрія у просторі




5.1 Розв’язати завдання:



5.1.1. Знайти відстань між точками .

Відповідь: .

5.1.2. Дано трикутник : . Знайти довжину медіани .

Відповідь: .

5.1.3. На осі знайти точку, рівновіддалену від точок і .

Відповідь: .

5.1.4. На осі ординат знайти точку , відстань від якої до точки дорівнює 5.

Відповідь: .

5.1.5. Знайти відстань від точки до початку координат.

Відповідь: .

5.1.6. Знайти суму координат середини відрізка , якщо .

Відповідь: .

5.1.7. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку паралельно площі .

Відповідь: .

5.1.8. Скласти рівняння сфери з центром і радіусом , якщо .

Відповідь: .

5.1.9. Чи буде трикутник з вершинами , , рівностороннім?

Відповідь: так.


5.1.10. Знайти суму координат точки, що симетрична точці щодо початку координат.

Відповідь: .

5.2 Розв’язати завдання:



5.2.1. Чи буде чотирикутник ромбом, якщо .

Відповідь: так.

5.2.2. Обчислити площу трикутника , якщо .

Відповідь: .

5.2.3. Знайти точку перетину прямої і площини .

Відповідь: .

5.2.4. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь і точку .

Відповідь: .

5.2.5. При яких значеннях і площина перпендикулярна до прямої ?

Відповідь: .

5.2.6. При якому значенні площина паралельна прямій ?

Відповідь: .

5.2.7. При якому значенні площини і перпендикулярні?

Відповідь: .

5.2.8. Знайти параметричне рівняння медіани трикутника з вершинами , проведеної із вершини .

Відповідь: .

5.2.9. Знайти кут між стороною і медіаною трикутника , якщо .

Відповідь: .

5.2.10. Знайти рівняння площини, що проходить через точку паралельно площині .

Відповідь: .

5.3 Розв’язати завдання:



5.3.1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перетину площин , , паралельно площині .

Відповідь: .

5.3.2. Знайти кут між площинами і .

Відповідь: .

5.3.3. Визначити, при якому значенні параметра площина перпендикулярна до площини .

Відповідь: .

5.3.4. Знайти проекцію точки на площину .

Відповідь: .

5.3.5. Знайти значення параметра , при якому пряма перпендикулярна до площини .

Відповідь: .

5.3.6. Дано трикутник з вершинами у точках . Скласти рівняння площини, що проходить через вершину А перпендикулярно до медіани цього трикутника.

Відповідь: .

5.3.7. Знайти точку, рівновіддалену від точок і і розташовану на осі .

Відповідь: .

5.3.8. Який з кутів трикутника тупий, якщо .

Відповідь: .

5.3.9. Чи лежать точки на одній прямій, якщо ?

Відповідь: так.

5.3.10. Чи можуть точки бути вершинами трапеції, якщо

Відповідь: так.


§ 6 Векторна геометрія у просторі




6.1 Розв’язати завдання:



6.1.1. При якому значенні вектори і перпендикулярні?

Відповідь: .

6.1.2. При якому значенні вектори і паралельні?

Відповідь: .

6.1.3. При якому додатному значенні довжина вектора дорівнює 3.

Відповідь: .

6.1.4. Обчислити довжину вектора .

Відповідь: .

6.1.5. Знайти довжину вектора .

Відповідь: .

6.1.6. Чому дорівнює довжина вектора .

Відповідь: .

6.1.7. При якому довжина вектора більша за довжину вектора .

Відповідь: .

6.1.8. Дано вектори і . Обчислити .

Відповідь: .

6.1.9. Чи перпендикулярний вектор , де , , площині ?

Відповідь: ні.

6.1.10. Дано точки , , , . Показати, що вектори і колінеарні. Встановити зв’язок між їх напрямками.

Відповідь: спрямовані протилежно.


6.2 Розв’язати завдання:



6.2.1. Відомо, що , вектор колінеарний вектору . Знайти вектор .

Відповідь: .

6.2.2. Знайти довжину вектора , якщо .

Відповідь: .

6.2.3. Знайти кут між векторами і , якщо . Відповідь: .

6.2.4. Точки є вершинами паралелограма . Знайти координати вершини .

Відповідь: .

6.2.5. Дано вершини трикутника : . Знайти його внутрішній кут при вершині .

Відповідь: .

6.2.6. Дано вектори . Знайти вектор , якщо відомо, що він перпендикулярний до осі і задовольняє умови .

Відповідь: .

6.2.7. Вектор , перпендикулярний до векторів і, утворює з віссю тупий кут. Знайти його координати, якщо .

Відповідь: .

6.2.8. Вектор , колінеарний вектору , утворює з віссю тупий кут. Відомо, що , знайти його координати.

Відповідь: .

6.2.9. Дано . Обчислити .

Відповідь: .

6.2.10. Дано вершини трикутника , і . Знайти довжину вектора , якщо – медіана трикутника.

Відповідь: .


6.3 Розв’язати завдання:



6.3.1. Знаючи вершину трикутника і вектори, що збігаються з двома його сторонами і , знайти координати вершин В і С.

Відповідь: .

6.3.2. Дано точки , , , . Показати, що чотирикутник є паралелограмом і обчислити його кути.

Відповідь: .

6.3.3. Знайти вектор , колінеарний вектору ,що задовольняє умову .

Відповідь: .

6.3.4. Знайти вектор , ортогональний вектору , що задовольняє умови , .

Відповідь: .

6.3.5. Дано вершини чотирикутника , , , . Обчислити кут між його діагоналями.

Відповідь: .

6.3.6. Чи компланарні вектори ?

Відповідь: ні.

6.3.7. Знайти всі значення , при яких , якщо , .

Відповідь: .

6.3.8. Дано вектор , вектор колінеарний вектору , . Відомо, що вектор утворює з віссю ОУ тупий кут. Знайти довжину вектора .

Відповідь: .

6.3.9. Дано вектори . Знайти проекцію вектора на напрямок вектора , якщо .

Відповідь: .

6.3.10. Обчислити довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах , .

Відповідь: .

Схожі:

§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconІндивідуальні завдання для студентів (5 кредитів, 6504, 6601, 6508/1)
Розв’язати задачі з тем „Світова валютна система” та „Платіжний баланс І макроекономічна рівновага”
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconЗавдання Метод граничних елементів
...
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconМіністерство охорони здоров’я україни
Так І увага збирає у фокус розумові сили людини й спрямовує їх на розв'язування проблем, що постають перед нею. Саме зосередженість...
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconРозв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера

§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconПоложення її у тривимірному просторі? Теореми про проеціювання кутів та відстаней між геометричними фігурами в натуральну величину. Розв’язати задачу
Варіанти завдання площини на епюрі. Сліди площини, їх властивості. Положення площин відносно площин проекцій
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconЗадача також має чотири розв’язки, лише одна з яких є правильною. Для того, щоб правильно відповісти на всі тестові питання та розв’язати задачі, студент повинен ґрунтовно володіти термінологією бухгалтерського (фінансового) обліку,
Укладач: Н. В. Кудлаєва, старший викладач кафедри обліку, аудиту І економічного аналізу
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconЗадача також має чотири розв’язки, лише одна з яких є правильною. Для того, щоб правильно відповісти на всі тестові питання та розв’язати задачі, студент повинен ґрунтовно володіти термінологією бухгалтерського (фінансового) обліку,
Укладач: Н. В. Кудлаєва, старший викладач кафедри обліку, аудиту І економічного аналізу
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconНесучого органа летучої пилки а. О. Панич, ст викл
НО. Сформулювати та розв’язати таку задачу дозволяють аналітичні вирази [6] для визначення тривалості ділянок діаграм перехідних...
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconЗадача також має чотири розв’язки, лише одна з яких є правильною. Для того, щоб правильно відповісти на всі тестові питання та розв’язати задачі, студент повинен ґрунтовно володіти термінологією бухгалтерського (фінансового) обліку,
Укладач: Н. В. Кудлаєва, старший викладач кафедри обліку, аудиту І економічного аналізу
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconЗа напрямом «Комп’ютерна інженерія»
Якщо розв’язок на завдання складається з декількох файлів, тоді їх потрібно додати до архіву (наприклад: для завдання 1 файл розв’язку...
§ 1 Призма 1 Розв’язати завдання iconРозв’язати систему лінійних рівнянь
За результатами n експериментів необхідно одержати лінійне наближення y=(X)яке апроксимує залежність у від X
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи