Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" icon

Методичні вказівки до самостійної роботи "Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач"




Скачати 114.7 Kb.
НазваМетодичні вказівки до самостійної роботи "Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач"
Дата25.05.2013
Розмір114.7 Kb.
ТипМетодичні вказівки

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет


До друку та в світ

дозволяю на підставі

“Єдиних правил”,

п. 2.6.14

Заступник першого проректора -

начальник організаційно-методичного

управління В.Б. Юскаєв

Методичні вказівки


до самостійної роботи

“Використання методу найменших квадратів


під час розв’язання технологічних задач”

з дисципліни за вибором

Науково-дослідна робота

для студентів усіх спеціальностей

денної форми навчання


Усі цитати, цифровий та

фактичний матеріал,

бібліографічні

відомості перевірені,

запис одиниць

відповідає стандартам


Укладач А.В. Євтухов

Відповідальний за випуск В.О. Залога

В.о. декана

інженерного факультету О.Г. Гусак


Суми

Вид-во СумДУ

2008

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет


^

Методичні вказівки


до самостійної роботи

“Використання методу найменших квадратів


під час розв’язання технологічних задач”

з дисципліни за вибором

^ Науково-дослідна робота

для студентів усіх спеціальностей

денної форми навчання


Суми

Вид-во СумДУ

2008


Методичні вказівки до самостійної роботи “Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач” з дисципліни за вибором “Науково-дослідна робота” / Укладач А.В. Євтухов. – Суми: Вид-во СумДУ, 2008. – 13 с.


Кафедра технології машинобудування, верстатів та інструментів


Мета роботи - освоєння методики обробки експериментальних даних під час розв’язання технологічних задач за методом найменших квадратів.

^

1 Обробка експериментальних даних за методом найменших квадратів



Під час виконання науково-дослідних робіт на етапі експериментальних досліджень використовуються різні методи обробки результатів експериментів. Зокрема, при обробці результатів вимірів і спостережень широко застосовують методи графічного зображення. Останні, на відміну від табличної форми подання результатів, дають найбільш наочне зображення результатів експериментів, дозволяють краще зрозуміти фізичну сутність досліджуваного процесу, виявити загальний характер функціональної залежності досліджуваних змінних величин, встановити наявність максимуму й мінімуму функції.

При розв’язанні великої кількості різноманітних технологічних задач, наприклад, встановленні залежностей між режимами обробки та продуктивністю процесу, визначенні впливу технології виготовлення на одержувану точність і ряд інших задач, у процесі експериментальних досліджень одержують статистичні ряди вимірів двох (або декількох) значень, об'єднаних функцією y = f(x).

Кожному значенню функції y1, y2, … , yn відповідає певне значення аргумента х1, х2, … , хn. На основі експериментальних даних можна підібрати алгебраїчні вирази, які називають емпіричними формулами. Такі формули підбирають тільки в межах обмірюваних значень аргумента х1хn.

Емпіричні формули мають тим більшу цінність, чим більше вони відповідають результатам експерименту, і вони є незамінними для аналізу обмірюваних величин.

До емпіричних формул ставлять дві основні вимоги: по можливості вони повинні бути найбільш простими й точно відповідати експериментальним даним.

Процес підбору емпіричних формул складається з двох етапів. Спочатку дані вимірів наносять на сітку координат, з'єднують експериментальні точки плавною кривою й вибирають орієнтовно вигляд формули. На другому етапі обчислюють параметри формул, які б щонайкраще відповідали взятій формулі. Підбір емпіричних формул треба починати з найпростіших виразів 1.

Одним із найпоширеніших методів визначення параметрів емпіричних формул є метод найменших квадратів, який дає найкращі за точністю результати.

Нехай за експериментальними даними побудована емпірична крива, за виглядом якої підібрана теоретична крива, рівняння якої є відомим. Наприклад, змінні x, y, z зв'язані між собою рівнянням 2


. (1)


Для визначення значень коефіцієнтів a, b та c необхідно знайти дослідним шляхом значення їх величин при трьох різних комбінаціях змінних:


,

, (2)

.


Після розв’язання системи з трьох рівнянь знайдемо шукані коефіцієнти. Проте, якщо змінним додати деякі четвертні значення х4, y4, z4 і визначити дослідним шляхом N4, то виявиться, що рівність (1) при коефіцієнтах, обчислених за рівняннями (2), не буде виконано:


.


Пояснюється це тим, що коефіцієнти, визначені з рівнянь (2) за дослідними даними, мають деяку помилку експериментів (помилки дослідів, вимірів і т.п.). Тому значення невідомих a, b і с варто знаходити не з трьох рівнянь, а значно більшої кількості даних досліджень, щоб одержати більш надійні значення цих коефіцієнтів:




,

,

………………………… (3)

.


Таким чином, ми одержали “надлишкову” систему рівнянь, які називають “умовними”, тому що вони не цілком сумісні. Тобто значення невідомих, визначені, наприклад, з перших трьох рівнянь, не будуть дорівнювати значенням цих самих невідомих, визначених з інших трьох рівнянь цієї системи. Потрібно визначити, які повинні бути значення коефіцієнтів а, b й c, щоб “надлишкова” система рівнянь задовольнялася щонайкраще, тобто помилки , де ^ N – розрахункові, а Ni – дослідні дані, або




,

,

……………………………… (4)

.


повинні бути найменшими.

Для розв’язання цієї задачі користуються принципом, запропонованим Лежандром й удосконаленим Лапласом і Гаусом. Відповідно до зазначеного принципу з усіх можливих величин а, b й c найбільш задовільними будуть ті, при яких сума квадратів помилок буде найменша:


.


Піднесення до квадрата рівнянь системи (4) та їх додавання дає:





(5)


.


Для дотримання умови необхідно, щоб сума частинних похідних по а, b та c рівняння (5) перетворювалася в нуль, а отже, і кожна з цих частинних похідних повинна перетворитися в нуль:


, , .


Диференціюючи рівняння (5) послідовно по а, b та c, одержимо:




(6)




Ці рівняння є “нормальними”. Вирішуючи їх щодо а, b та c, одержимо найкращі значення коефіцієнтів, що задовольняють принцип найменших квадратів.

^ 2 Порядок виконання роботи


Спосіб найменших квадратів є найбільш зручним для обчислення параметрів рівнянь лінійних і параболічних регресій, які найбільш часто трапляються під час розв’язання технологічних задач. Розглянемо порядок виконання роботи на такому прикладі 3.

2.1 Після отримання у викладача задачі необхідно зробити аналіз експериментальних даних (див. таблицю 1) і побудувати емпіричну криву їх розподілу (див. рисунок 1).

Відповідно до умови задачі необхідно встановити зв'язок між стійкістю і товщиною серцевини свердла. Для цього на стадії проведення експериментів відбирають партію свердел діаметром 6 мм кількістю 95 штук, позначених номерами та паспортизованих, тобто з обмірюваними значеннями геометричних параметрів, зокрема товщиною серцевини. Результати вимірів фіксують у відповідному протоколі. Потім свердла випробовують на конкретній операції свердління. При цьому визначають стійкість кожного свердла, тобто кількість просвердлених отворів до затуплення та час його роботи. Усі результати експерименту надані у таблиці 1. Завдання полягає у встановленні впливу товщини серцевини (аргумента х) на стійкість свердел (функцію у).

У таблиці всі значення товщини свердел розбиті на сім рівномірних інтервалів із кроком 0,05 мм, надані середини цих інтервалів і стійкість кожного свердла (1-й, 2-й й 3-й стовпчики таблиці 1). У 4-му стовпчику таблиці відзначена кількість свердел (частота), що потрапили в той або інший інтервал.

Результати випробувань показують, що свердла мають різну стійкість, що пояснюється різними значеннями параметрів свердла, коливаннями у властивостях оброблюваних заготовок й інших випадкових факторів. Помітна певна закономірність: зі збільшенням товщини серцевини збільшується середня стійкість свердел. Графічно цей зв'язок зображений на рисунку 1 ламаною лінією 1.


Таблиця 1 - Показники залежності стійкості свердел від товщини серцевини


Товщина серцевини, мм

Середи-на

інтер-валу

Стійкість у,

хв

Кіль-кість свердел n



Середнє значення стійкості ух



xn

x2n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,73 – 0,78

0,76

2,30; 18,43; 3,07; 13,06; 9,22

5

46,08

9,22

35,02

3,80

2,89

0,78 – 0,83

0,81

104,45; 29,18; 36,10; 106,24; 10,75; 19,20; 55,30; 7,68; 52,22; 98,30

10

519,42

51,94

420,73

8,10

6,56



















0,98 – 1,03

1,01

19,97; 146,69; 142,85; 229,63; 112,90; 12,29; 10,75

7

675,08

96,44

681,15

7,07

7,14

1,03 – 1,05

1,06

89,86; 81,41; 13,06; 105,98; 33,79; 122,88; 228,10; 56,83

8

731,91

91,49

775,82

8,48

8,99










98

5510,54

58,01

5128,27

85,80

78,05









2.2 За виглядом емпіричної кривої необхідно підібрати плавну теоретичну криву, рівняння якої є відомим. У нашому прикладі характер розміщення точок на вищенаведеному графіку, з'єднаних відрізками прямих ліній, дозволяє вважати, що емпірична залежність виражається прямою лінією 2. Таким чином, рівняння теоретичної кривої може мати вигляд


. (7)


Співвідношення (7) показує, що випадкова величина y (стійкість у хвилинах) у середньому лінійно залежить від фіксованого значення х.

2.3 За виглядом емпіричної формули визначимо її параметри за способом найменших квадратів, як це було викладено в п. 1 дійсних методичних вказівок.

Відповідно до цієї методики ,


де




,

,

…………………… (8)

.


Піднесення до квадрата рівнянь (8) та їх додавання дорівнює:





. (9)


Тепер візьмемо суму частинних похідних по b0 й b1 рівняння (9), що повинна перетворюватися в нуль:


, .


У підсумку одержимо систему «нормальних» рівнянь




,

. (10)


Розв’язуючи рівняння (10) щодо b0 й b1, одержимо найкращі значення шуканих коефіцієнтів. Для цього у таблиці визначимо значення , , , . Підставивши їх значення у рівняння (10), одержимо:




,

. (11)

Розв’язуючи систему (11) методом послідовного виключення невідомих, визначимо:


; .


Таким чином, шукане рівняння регресії має вигляд


. (12)


Підставивши у рівняння (12) два будь-які значення х, одержимо дві ординати y, через які проведемо пряму 2 на графіку. Теоретична пряма чітко показує, що, незважаючи на окремі відхилення емпіричної лінії регресії, чітко вимальовується пряма залежність стійкості свердел від товщини їх серцевини. Численні відхилення окремих емпіричних точок від цього закону є відображенням впливу на стійкість свердел багатьох інших неврахованих факторів.


Запитання для самоперевірки


  1. Які методи обробки результатів експериментів Ви знаєте?

  2. У чому полягає суть методу найменших квадратів?

  3. Наведіть приклади технологічних задач, під час розв’язання яких необхідно використати метод найменших квадратів.

  4. Послідовність обробки результатів експериментів за способом найменших квадратів.

  5. Яку систему рівнянь називають «умовною»?

  6. Які види емпіричних формул Ви знаєте?

  7. Які рівняння називають «нормальними»?



Список літератури


  1. Грушко И.М., Сиденко В.М. Основы научных исследований. – 3-е изд., перераб. и доп. – Харьков: Выща шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1983. – 224 с.

  2. Солонин И.С. Математическая статистика в технологии машиностроения. – М.: Машиностроение, 1972. – 216 с.

  3. Кацев П.Г. Статистические методы исследования режущего инструмента. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1974. – 231 с.


Навчальне видання


^

Методичні вказівки


до самостійної роботи

“Використання методу найменших квадратів


під час розв’язання технологічних задач”

з дисципліни за вибором

^ Науково-дослідна робота

для студентів усіх спеціальностей

денної форми навчання


Відповідальний за випуск В.О. Залога

Редактор Н.А. Гавриленко

Комп’ютерне верстання А.В. Євтухова


Підп. до друку ________ 2008, поз.

Формат 6084/16. Папір офс. Гарнітура Times New Roman Cyr. Друк офс.

Ум. друк. арк. 0,93 Обл.-вид. арк. 0,53.

Тираж 150 пр. Собівартість вид.

Зам. №


Видавництво СумДУ при Сумському державному університеті

40007, м. Суми, вул. Р.-Корсакова, 2

Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру

ДК № 3062 від 17.12.2007.

Надруковано у друкарні СумДУ

40007, Суми, вул. Р.-Корсакова, 2


Схожі:

Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconПитання І завдання до ІІ модуля з курсу “Чисельні методи”
Метод найменших квадратів. Виведення нормальної системи методу найменших квадратів
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconА. В. Загорулько
На прикладі двовимірної і тривимірної задач теорії пружності викладено теорію одного з найпоширеніших методів розв’язання задач механіки...
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" icon«Основи математичного моделювання фінансових потоків економічних агентів транзитивної економіки»
Аукових досліджень, під час виконання магістерських дипломних та дисертаційних досліджень, оволодіння сучасними програмними засобами...
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconВ.І. Заіченко, І. О. Мікуліна методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни “Безпека технологічних процесів”
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни “Безпека технологічних процесів” (для студентів спеціальності 092100 “Охорона...
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconМетодичні рекомендації щодо розв`язання олімпіадних задач з програмування
Часто трапляється, що розв’язуючи задачу з програмування доводиться розглядати декілька випадків у залежності від вхідних даних,...
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconНазва модуля: Оптимізація прийняття рішень
Змістовна та формалізована постановки задачі прийняття рішень. Етапи прийняття рішень. Структура множини альтернатив. Методи та алгоритми...
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconІвана Дмитровича Квіта присвячується Для оцінки невідомих параметрів теоретичних закон
Отримані нелінійні задачі найменших квадратів розв'язані різницевими модифікаціями методів Гаусса-Ньютона, які не потребують обчислення...
Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconДокументи
1. /Пустов_т_Методика розв'язання задач/01.pdf
2. /Пустов_т_Методика...

Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconДокументи
1. /Пустов_т_Методика розв'язання задач/01.pdf
2. /Пустов_т_Методика...

Методичні вказівки до самостійної роботи \"Використання методу найменших квадратів під час розв’язання технологічних задач\" iconМетодичні вказівки до самостійної роботи студентів напряму 030601 менеджмент при вивченні дисципліни «трудове право»
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи