Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності icon

Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни "Теорія ймовірностей і математичної статистики" для студентів спеціальності




НазваМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни "Теорія ймовірностей і математичної статистики" для студентів спеціальності
Сторінка1/7
Дата26.05.2013
Розмір0.91 Mb.
ТипМетодичні вказівки
  1   2   3   4   5   6   7

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Сумський державний університет


2823 Методичні вказівки

до практичних занять

з дисципліни “Теорія ймовірностей і математичної статистики”

для студентів спеціальності

6.050403 “Інженерне матеріалознавство”

усіх форм навчання


Суми

Сумський державний університет

2012

Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни “Теорія ймовірностей і математичної статистики” / укладач Н. С. Мартинова. – Суми : Сумський державний університет, 2012. – 70 с.

Практичне заняття 1

Випадкові події та їх ймовірність. Безпосереднє обчислення ймовірностей. Комбінаторика


Під подією розуміють будь-який факт дійсності. Випробування-це здійснення визначеного набору умов.

Приклад. Підкидання монети –випробування, результат (випадання герба чи цифри) – подія. Тут і в подальшому припускаємо, що падіння монети на ребро не розглядається, оскільки це нестійкий стан рівноваги, а монета, яка вивчається, достатньо тонка.

Усі події (явища) дійсності можна розділити на три види: достовірні, неможливі та випадкові.

Подія називається достовірною, якщо вона обов’язково виникне в умовах даного випробування.

Подія називається неможливою, якщо вона в умовах даного випробування свідомо не відбудеться.

Подія називається випадковою, якщо вона може статися, або не статися в даному випробуванні.

Приклад.Після вівторка настане середа – подія достовірна. Вода перетвориться в лід при температурі +30° С – подія неможлива. У четвер піде дощ – подія випадкова.

Події будемо позначати великими літерами ^ А, В, … При цьому достовірну подію будемо позначати літерою W, а неможливу подію – символом ? - пуста множина.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що не одна із цих подій не є більш можливою, ніж будь-яка інша з них. Дві події називаються протилежними, якщо відбувається одна з них, друга подія не відбувається. Якщо подія позначена А, то протилежну їй позначають Ā. Випадкові події називаються несумісними, якщо жодні дві з них не можуть з’явитися разом.

Приклад. Випадання будь-якої цифри при киданні ігрової кості – рівноможливі несумісні і протилежні події. Дощ і хмари на небі – сумісні події, зима і літо - несумісні події.

Якщо будь-яка із подій відбувається незалежно від реалізації будь-якої комбінації інших подій, то вони називаються незалежними в сукупності. Якщо поява однієї з подій впливає на можливість появи іншої, вони називаються залежними.

Приклад. Наявність продуктів у різних, не пов’язаних один з іншим, магазинах – події незалежні в сукупності. Ціна бензину залежить від рівня цін на нафту. А кількість зірок на небі не залежить від числа наших бажань.

Декілька подій у даному дослідженні формують повну групу подій, якщо в результаті дослідження обов’язково станеться хоча б одна з них. Якщо події, які формують повну групу, несумісні, то поява однієї і тільки однієї із них є достовірною подією. Дві несумісні події, які формують повну групу подій, є протилежними.

Приклад. Випадання герба чи цифри при підкиданні монети формують повну групу подій. Здійснені покупки будь-якого предмета із партії розпроданного до кінця дня товару задають повну групу подій – групу здійснених покупок.

Класичне означення ймовірності

Ймовірністю події А називається відношення числа випадків тих, що сприяють цій події m, до числа всіх можливих випадків, які формують повну групу несумісних рівноможливих подій, n:



Поняття ймовірності дозволяє дати нові визначення для різних видів подій. А саме, подія ^ В називається незалежною від події А, якщо ймовірність події В не залежить від того, відбулася подія А чи не відбулася. Подія В називається залежною від події А, якщо ймовірність події В залежить від того, відбулася чи не відбулася подія А.

Властивості ймовірності

  1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці:



  1. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю:



  1. Ймовірність випадкового числа є додатне число, менше від одиниці:



Основні формули комбінаторики

Правило добутку

Нехай потрібно виконати одну за одною kдій. При цьому першу дію можна виконати n1 способами, другу –n2 способами і так до k-ї дії, яку можна виконати nkспособами. Тоді число m способів, якими можуть бути виконані всі kдій, за правилом добутку комбінаторики дорівнює:



Приклад.У гардеробі є 5 різних краваток, 8 сорочок і 3 шпильки для краватки. Загальне число різних варіантів щодо їх використання в одному комплектізгідно з правилом добутку буде дорівнювати:

Правило добутку часто використовується при підрахунку числа способів використання елементів однієї і тієї самої множини, коли елемент множини використовується у підгрупі, що утворюється неодноразово. Наприклад, при складанні номера із цифр. У цьому випадку елемент множини повертається після його використання назад у початкову множину. Говорять, що здійснюється вибірка з поверненням. Число способів, якими можна виконати kдій, згідно з правиломдобутку для множин з однаковим числом елементів n дорівнює:



Приклад.Якщо при кодуванні замків боксів у гаражному кооперативі використовуються тризначні номери із 5 цифр від 0 до 5, то число різних кодів, які можна скласти, дорівнює

Сполучення.Довільна k-елементна підмножина цієї множини із n елементів називається сполученняміз n елементів поk. Порядок елементів в сполученні не важливий.

При складанні сполучення взятий із множини елемент не повертається у початкову множину. Говорять, що уцьому дослідженні здійснюється вибірка без повернення.

Число k-елементнихсполучень множини із n елементів позначається і обчислюється за формулою

,де .

Приклад. Є 3 червоні і 4 жовтогарячі гвоздики. Букет складають із 5 квіток. Число різних варіантів складання букета буде дорівнювати:



Перестановки. Множина із nелементів називається упорядкованою, якщо кожному елементу цієї множини поставлено у відповідність деяке натуральне число (номер елемента) від 1 до nтак, що різним елементам відповідають різні числа. Різні упорядковані множини, які відрізняються лише порядком елементів, тобто можуть бути отримані із тієї самої множини переставленням місцями елементів, називаються перестановками цієї множини. Число перестановок множини із nелементів позначається і обчислюється за формулою



Приклад. Навколо столу розсаджують 7 чоловік. Способів різного розподілу їх за столом

Розміщення. Різні впорядковані k-елементні підмножини множини з n елементів називаються розміщеннями з n елементів поk. Розміщення відрізняються один від одного або елементами, або їх порядком проходження.

Число k-елементних розміщень множини, що складається з n елементів, позначається і обчислюється за формулою

.

Приклад. У групі 9 дівчат і 11 хлопців. Для представлення цієї групи на форумі вибирають 3 чоловіки, яких за присвоєнимиу процесі вибору порядковими номерами вишиковують в ряд. Різних рядів можна побудувати




Завдання

  1. Задумано двозначне число. Знайти ймовірність того, що задуманим числом виявиться: а) випадково назване число; б) випадково назване число, цифри якого різні.

  2. Монета кинута три рази. Знайти ймовірність того, що хоч би один раз з'явиться зображення герба.

  3. У коробці сім однакових пронумерованих кубиків. Навмання витягують всі кубики по черзі. Знайти ймовірність того, що номери кубиків з'являться у спадному порядку.

  4. У пачці 30 пронумерованих карток. Навмання узяли 3 картки. Яка ймовірність того, що узяли картки з номерами 12, 24, 30?

  5. Серед 25 учасників розіграшу лотереї 10 дівчат. Розігрується 5 призів. Обчислити ймовірність того, що володарями двох призів виявляться дівчата.

  6. У коробці 4 білих і 5 чорних футболок. Навмання витягують дві футболки. Знайти ймовірність того, що одна з футболок біла, інша - чорна.

  7. У 30 екзаменаційних квитках містяться по три питання, які не повторюються. Студент знає відповіді на 45 питань. Яка ймовірність того, що квиток, що дістався йому, складається з підготовлених ним питань?

  8. З партії, що складається з 20 плеєрів, для перевірки довільно відбирають три плеєри. Партія містить 2 плеєри з дефектами. Яка ймовірність того, що в число відібраних плеєрів потраплять тільки два браковані плеєри?

  9. Споживачі здали в ремонт 16 комп'ютерів. З них 8 потребують дрібного ремонту. Майстер бере 6 комп'ютерів. Яка ймовірність того, що два з них потребують дрібного ремонту?

  10. У туристичній групі 14 жінок і 9 чоловіків. Серед них розігрують 6 квитків на безкоштовне відвідування театру. Яка ймовірність того, що серед володарів квитків опиняться три жінки і троє чоловіків?

  11. У ящику лежать 6 чорних і 6 синіх рукавичок. Навмання витягли 7 рукавичок. Яка ймовірність того, що 3 з них сині, а 4- чорні?

  12. У коробці 12 м'ячиків, з яких 3 червоних, 5 зелених і 4 жовтих. Навмання узяли 3 м'ячики. Яка ймовірність того, що всі три м'ячики різного кольору?

  13. У партії з 12 шаф під час транспортування 4 отримали пошкодження. Навмання вибрано 6 шаф. Обчислити ймовірність того, що 2 шафи з них мають пошкодження.

  14. У клуб принесли в корзині 9 рудих і 11 сірих кошенят. Навмання виймають двох кошенят. Яка ймовірність того, що вони різного кольору?

  15. Із блюда з 30 пиріжками узяли навмання 3. Яка ймовірність того, що хоча б один пиріжок виявиться з грибами, якщо їх на блюді лежало шість.

  16. Молода людина забула номер телефонусвого приятеля, але пам'ятає з нього перші 4 цифри. У телефонному номері 7 цифр. Яка ймовірність того, що молода людина додзвониться до свого приятеля, якщо набере номер випадково?

  17. Сейфовий замок має 4 диски з п'ятьма секторами, на кожному з яких записана одна з цифр від 0 до 4. Яка ймовірність відкрити замок сейфа, набравши 4 цифри навмання?

  18. Власник лотерейної картки закреслює 6 номерів з 49. Яка ймовірність того, що ним буде вгадано 5 номерів у черговому тиражі?

  19. У групі 16 хлопців і 14 дівчат. Вибирають делегацію з 5 чоловік. Яка ймовірність того, що при випадковому виборі до складу делегації потраплять 3 дівчини і два хлопці?

  20. У мішку лежать 25 червоних, 19 синіх і 16 зелених шарфів однакових на дотик. Наугад виймають 9 шарфів. Обчислити ймовірність того, що узяли 4 червоних, 3 синіх і 2 зелених шарфи.

  21. З повної колоди карт (52 карти) виймають навмання відразу три карти. Знайти ймовірність того, що цими картами будуть: а) трійка, сімка, дама; б) трійка, сімка, туз; в) три тузи?

  22. Трьох стюардес для рейсу вибирають жеребкуванням з 25 дівчат, серед яких 5 блондинок, 15 шатенок і 5 брюнеток. Яка ймовірність того, що серед вибраних дівчат всі матимуть різний колір волосся?

  23. У ящику лежать 15 іграшок, серед яких 4 з дефектами. Знайти ймовірність того, що серед 7 навмання вийнятих іграшок одна виявиться з дефектом.

  24. Серед 17 охочих поїхати на модний курорт 10 жінок. Визначити ймовірність того, що серед 12 тих, що випадковим чином купили путівки, опинилися 7 жінок?

  25. У непрозорій шкатулці лежать 7 білих, 6 червоних і 9 чорних намистин. Майстриня бере 5 намистин навмання. Яка ймовірність того, що серед них опиняться 2 чорних і 1 червона намистини?

  26. З партії, що складається з 22 пар черевиків, для перевірки відбирають 6 пар. Партія містить 3 бракованих пари. Яка ймовірність того, що в число відібраних черевиків увійде не більше за одну браковану пару?

  27. На прилавку лежать 15 динь, серед яких 3 нестандартні. Знайти ймовірність того, що серед відібраних продавцем динь буде хоч би одна нестандартна?

  28. Кодовий замок містить 5 цифр, якими можуть бути числа від 0 до 9. Замок відкривається при наборі тільки однієї єдиної комбінації з п'яти цифр. Яка ймовірність відкрити цей замок, набравши випадково 5 цифр?

  29. До свята у фірмі формують набори із 45 нашийних хусток, 30 шпильок для краваток і 25дезодорантів. Менеджеру подобається тільки по одному предмету із всього запропонованого асортименту – одна хустка, одна шпилька і один дезодорант. Яка ймовірність того, що випадково створений набір буде містити всі три предмети, які сподобалися менеджеру.

  30. З 5 льотчиків, 7 штурманів і 5 стюардес необхідно сформувати екіпаж, до якого повинні увійти 2 льотчики, 1 штурман і 3 стюардеси. Скількома способами це можна зробити?

Контрольні запитання

  1. Що називають подією, випробуванням?

  2. Види подій.

  3. Означення та властивості ймовірності.

  4. Основні формули комбінаторики: що називають перестановками, розміщенням та сполученням?



Практичне заняття 2

Теореми множення і додавання ймовірностей


Ймовірність події ^ В, визначена у припущенні, що подія А відбулася, називається умовною ймовірністю події В і позначається , або

Умова незалежності події В від події А визначається рівністю



Добутком двох подій називається подія, що полягає в настанні і події А, і події В.

Приклад. Дівчинка узяла стигле жовте яблуко. Подія «стигле жовте» є добутком події «стигле» і «жовте».

Теорема множення ймовірностей. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену за умови, що перша подія відбулася:



Наслідок 1. Якщо подія В не залежить від події А, то і подія А не залежить від події В.

Наслідок 2. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:



Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, причому ймовірність кожної наступної по порядку події обчислюється за умови, що всі попередні відбулися:

Приклад. У коробці міститься 5 білих, 4 чорних та 3 синіх кулі. Три рази достають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність того, що перший раз дістали білу кулю, другий – чорну, третій – синю.

Розв’язання. Нехай подія А- перший раз дістали білу кулю;

В- другий раз дістали чорну кулю;

С- третій раз дістали синю кулю.

Потрібно обчислити ймовірність добутку подій: Р(АВС). За теоремою добутку ймовірностей залежних подій




СумаА+В подій А і В - подія, що полягає в тому, що або подія А або подія В має місце.

Приклад. Дівчинка узяла або жовте, або червоне яблуко. Подія «яблуко або жовте, або червоне» є сумою подій «жовте яблуко» і «червоне яблуко» .

Теорема додавання ймовірностей. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку:



Наслідок 1. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей:



Наслідок 2.Сума ймовірності подій, що утворюють повну групу несумісних подій, дорівнює одиниці.

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:



Приклад. Ймовірність попадання по мішені при пострілі першого і другого стрільців відповідно дорівнюють р1=0.7 та р2=0.8.Знайти ймовірність того, що при одному залпі обох стрільців хоча б один влучить у ціль.

Розв’язання. Нехай подія А-влучив перший стрілець; В- влучив другий стрілець. Події А та В – незалежні сумісні події. За теоремою додавання ймовірностей подій маємо:




Завдання

  1. У команді з 16 спортсменів 6 є майстрами спорту. Для виступу на олімпіаді вибирають 4 спортсмени. Яка ймовірність того, що всі вибрані спортсмени є майстрами спорту?

  2. Екзаменаційний квиток містить чотири питання. Ймовірність того, що студент відповість на перше питання, дорівнює 0,9; на друге - 0,85; на третє - 0,8; на четверте - 0,75. Знайти ймовірність того, що студент складе іспит, якщо для цього необхідно відповісти на три питання.

  3. Перший стрілець потрапляє в мішень з ймовірністю р, а другий з ймовірністю 0,9. Відомо, що ймовірність одного попадання при одночасному пострілі обох стрільців дорівнює 0,48. Знайти р.

  4. Частка костюмів вищої якості у партії складає 85 %. Яка ймовірність того, що з двох навмання узятих костюмів:а) хоч би один буде вищої якості;б) з трьох;в) з чотирьох?

  5. Кожна з букв Д, Д, Д, М, О, О, О, Л, І, Л, Е, Я, А написана на одній з 12 карток. Картки розкладають у довільному порядку. Знайти ймовірність того, що при цьому утворюються слова "діло", "доля", "мода","алея".

  6. Мисливець вистрілив три рази по цілі, що віддаляється. Ймовірність попадання в ціль на початку стрільби дорівнює 0,9, а після кожного пострілу зменшується на 0,1. Знайти ймовірність того, що мисливець попав у ціль.

  7. Шафа складається з 5 великих деталей. Ймовірність браку при виготовленні кожної деталі дорівнює 0,1; 0,05; 0,03; 0,02; 0,04 відповідно. Яка ймовірність того, що шафа буде бракованою, якщо для цього достатньою є наявність у збиранні однієї бракованої деталі.

  8. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 150. Яка ймовірність того, що вибране число при діленні на 9 дає у залишку два?

  9. Заготовки деталей надходять з двох цехів підприємства: 60% з першого і 40 % з другого. Заготовки першого цеху містять 5% браку, а другого - 3% . Знайти ймовірність того, що навмання узята заготовка буде без дефекту.

  10. Два гравці кидають по черзі 3 кістки. Якщо сума очок на двох костяхдорівнює 9, то виграє перший гравець, а якщо сума дорівнює 12, то виграє другий гравець. У кого з гравців більше шансів на виграш?

  11. Загадано число від 1 до 90. Яка ймовірність того, що це число не ділиться ні на 2, ні на 3, ні на 4, ні на 5?

  12. Слово "математика", складене з карток з буквами, розсипали на окремі букви, які склали довільно в коробку. З коробки беруть по одній підряд чотири картки. Яка ймовірність того, що при цьому з'явиться слово: а) «мама»; б) «тема»?

  13. У банкомат закладено 100 купюр, номери яких йдуть підряд. Яка ймовірність отримати купюру, номер якої закінчується на 7?

  14. Два шахісти грають у турнірі. Один з них виграє в середньому три партії з чотирьох, а другий - сім партій з восьми. Яка ймовірність у кожного з них виграти в турнірі з 5 партій?

  15. Троє стрільців роблять по одному пострілу. Ймовірність попадання в ціль кожного стрільця дорівнює 0,9; 0,8; 0,85 відповідно. Знайти ймовірність того, що в ціль потраплять тільки два стрільці.

  16. Оператор обслуговує чотири агрегати. Ймовірність того, що протягом години перший агрегат вимагатиме уваги робітника, дорівнює 0,6; для другого агрегата ця ймовірність дорівнює 0,5; для третього – 0,8; а для четвертого – 0,65. Знайти ймовірність того, що протягом години, принаймні один станок вимагатиме до себе уваги оператора.

  17. Гардеробниця видала номерки 5 особам, що здали в гардероб свої капелюхи. Після цього вона переплутала всі капелюхи і повісила їх навмання. Знайти ймовірність того, що кожній з 5 осіб гардеробниця видасть її власний капелюх.

  18. У комісії з 5 чоловік 4 члени ухвалюють незалежно один від одного правильне рішення з ймовірністю 0,9, а п'ятий для ухвалення рішення кидає монету. Остаточне рішення ухвалюється більшістю голосів. Хто з більшою ймовірністю ухвалює правильне рішення: комісія чи одна людина з комісії?

  19. З множини 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 навмання вибрали три числа. Яка ймовірність того, що їх сума буде кратною 5?

  20. На гранях кубиків написані числа від 1 до 6. Кидають три кубики. Яка ймовірність того, що: а) сума на трьох кубиках буде парною; б) випаде число з однакових цифр; в) сума на кубиках не перевищить числа 12?

  21. Ймовірність попадання в кільце першого гравця - 0,7, а другого гравця - 0,8. Гравці кидають м'яч по два рази незалежно один від одного. Яка ймовірність того, що м'яч потрапить у кільце двічі?

  22. У одному ящику 6 синіх і 11 зелених куль, а в іншому - 7 синіх і 9 зелених куль. З кожного ящика узяли по одній кулі. Яка ймовірність того, що одна з двох куль синя?

  23. Ймовірність безвідмовної роботи блока живлення дорівнює 0,9. Для підвищення надійності встановлюють такий самий резервний блок. Визначити ймовірність безвідмовної роботи пристрою, з урахуванням резервного блока.

  24. На 25 однакових жетонах нанесені двозначні числа від 25 до 49. Навмання беруть один жетон. Яка ймовірність витягнути жетон з номером, кратним 3 або 5?

  25. Проведений залп з трьох знарядь по мішені. Ймовірність поразки мішені першим знаряддям дорівнює 0,98; другим - 0,95; третім - 0,9. Знайти ймовірність поразки мішені.

  26. Дитина грає з чотирма буквами розрізної азбуки - А, А, К, Ш. Яка ймовірність того, що при випадковому розміщенні букв у ряд вона складе слово «каша»?

  27. Знайти ймовірність того, що навмання узяте число буде кратним 3, або 5, або 15?

  28. З колоди з 32 карт навмання одну за одною виймають чотири карти. Знайти ймовірність того, що в руках опиняться валет, дама, король і туз.

  29. На першому поверсі дев'ятиповерхового будинку в ліфт зайшли три людини. Ймовірність виходу кожного на будь-якому поверсі однакова. Знайти ймовірність того, що всі троє вийшли на 5-му поверсі.

  30. Гардеробниця видала номерки 7 особам, що здали в гардероб свої шуби. Після цього вона переплутала всі шуби і повісила їх навмання. Знайти ймовірність того, що кожній з 7 осіб гардеробниця видасть її власну шубу.

  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconМ. П. Пан методичні вказівки
Методичні вказівки до практичних занять з курсу «Теорія ймовірностей І математична статистика». Розділ Теорія ймовірностей ( для...
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія автоматичного керування»
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія автоматичного керування» (для студентів 3 курсу денної І 4 курсу заочної...
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconМетодичні вказівки до практичних занять з курсу "теорія ймовірностей" на тему "Короткий курс теорії ймовірностей" для студентів усіх спеціальностей
Початковими поняттями теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та ймовірності випадкової події
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія автоматичного керування»
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія автоматичного керування» (для студентів 3 курсу усіх форм навчання напряму...
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconС. О. Станішевський, Ю.Є. Печеніжський, В. С. Рухляда методичні вказівки для практичних занять, контрольних та самостійних робіт з навчальної дисципліни «теорія ймовірностей І математична статистика»
Для студентів 2 курсу заочної форми навчання за напрямом підготовки 030509 „Облік І аудит”
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconЛ. М. Швець Методичні вказівки
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія містобудування» (для студентів 5 курсу напрямку 1201 «Архітектура» спеціальності...
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconЗ. М. Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «теорія економічного аналізу» для студентів 4 курсу заочної форми навчання
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни ”Теорія економічного аналізу” (для студентів 4 курсу заочної форми навчання...
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни "Інвестування" для студентів спеціальності
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни "Інвестування" / Укладачі: В. М. Боронос, І. Д. Скляр, Г. В. Салтикова, Т.І....
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни „Радіоекологія для студентів спеціальності 040106
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни „Радіоекологія” / укладачі: Р. А. Васькін, І. В. Васькіна. – Суми: Сумський...
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни \"Теорія ймовірностей і математичної статистики\" для студентів спеціальності iconЗавдання для самостійної роботи з „Теорії ймовірностей І математичної статистики” Модуль Елементи математичної статистики
Провести довільний експеримент, результатом якого є вибірка з не менше 30 значень деякої випадкової величини (неперервної)
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи