Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей icon

Методичні вказівки до практичних занять з курсу "теорія ймовірностей" на тему "Короткий курс теорії ймовірностей" для студентів усіх спеціальностей




Скачати 482.03 Kb.
НазваМетодичні вказівки до практичних занять з курсу "теорія ймовірностей" на тему "Короткий курс теорії ймовірностей" для студентів усіх спеціальностей
Сторінка1/4
Дата27.05.2013
Розмір482.03 Kb.
ТипМетодичні вказівки
  1   2   3   4

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Сумський державний університет




3333 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять

з курсу “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”



на тему “Короткий курс теорії ймовірностей”

для студентів усіх спеціальностей

денної форми навчання

Частина 2


Суми

Сумський державний університет

2012

Методичні вказівки до практичних занять з курсу “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ” на тему “Короткий курс теорії ймовірностей” / укладачі: В. В. Ніколенко, В. О. Ячменьов. – Суми : Сумський державний університет, 2012. – Ч. 2. ─ 45 с.




Кафедра математичного аналізу і методів оптимізації




^ ПЕРЕЛІК УМІНЬ

Уміння

Алгоритм

1. Обчислення

ймовірності

випадкової

події: у

класичному

випадку, користуючись правилом обчислення

ймовірностей одних подій

за відомими

ймовірностя-ми інших із ними пов'язаних

1. Ввести позначення для всіх величин. Присвоїти імена подіям, які беруть участь у завданні. Ті ймовірності, які задані у задачі явно, відразу виписати (якщо частина задана у відсотках задані відсотки поділити на 100).

2. Ті ймовірності, які задані в неявному вигляді, обчислити і виписати.

^ Вказівка до кроку

Обчислити ймовірності за такими правилами:

а) якщо задане загальне число випадків n і число сприятливих події А результатів m (або їх можна підрахувати), то p(A) = m/ n;

б) якщо всі можливі наслідки можна зобразити за допомогою геометричної фігури (відрізок, круг, смуга повний простір подій ), то намалювати її, а всередині неї намалювати фігуру, що відповідає результатам, які сприяють події А, обчислити площі фігур А і, підрахувати відношення цих площ і

p(A) = S(A)/S();

в) якщо за заданими в задачі ймовірностями необхідно обчислити ймовірність ще однієї події С, то потрібно виписати формулу зв'язку цієї події з тими подіями, ймовірності яких відомі А, В, ... Після цього скористатися формулами

С = => р(С) =1р(А),

С = А + В => р(С) = р(А) + р(В)р(АВ). 

При обчисленні р(АВ) необхідно з'ясувати, залежні чи ні події А і В. Якщо настання однієї з них не залежить від того, відбулася чи ні інша подія, то А і В незалежні і

р(АВ) =.

Якщо події залежні, то з умови задачі повинні бути відомі або обчислюватися умовні ймовірності р(А/В) або р(В/А) і потрібно користуватися формулою



г) якщо весь простір розбито на декілька областей , що не перетинаються (продукція в магазині з декількох заводів, країна складається із кількох регіонів і т. д.), то в задачі повинні бути задані частки (або відсотки) кожної області в загальній копілці ( і частка (або відсоток) події А в кожній області

(); ці ймовірності повинні бути виписані в кроці 1; потім, якщо потрібно знайти ймовірність події А для всього простору, то обчислити її за формулою повної ймовірності

);

якщо в задачі зазначається, що подія ^ А відбулася і потрібно знайти ймовірність

р(Нк) того, що при цьому ми потрапили в область Нк, то необхідно скористатися формулою Байєса



2. Обчислення ймовірностей

для числа ус-піхів у схемі Бернуллі

1. Ввести позначення для заданих величин: числа випробувань, числа успіхів, імовірності настання події ^ А, і записати їх значення.

Записати вираз для шуканої ймовірності.

Вказівка до кроку

Для того щоб розв’язок завдання був більш зрозумілим, необхідно дотримуватися загальноприйнятих позначень. Вони такі: n число випробувань, m число успіхів (настання події А), р ймовірність настання події А в одиничному випробуванні, q = 1р (ймовірність невдачі), Pn (m) ймовірність настання події А в n випробуваннях m разів.

Виписати задані в задачі значення n, m і р . Керуватися такими правилами:

a) якщо в задачі потрібно обчислити ймовірність того, що подія сталася рівно m разів, то зазначити, що потрібно знайти pn(m);

б) якщо потрібно обчислити ймовірність того, що подія відбудеться не менш ніж k разів, то зазначити, що потрібно знайти;

в) якщо "хоча б один раз" – (1 рп(0)) (подія, протилежна тому, що А не відбулася жодного разу), хоча б 2 рази – (1 рп(0) рп(1)) і т. д.

2. Обчислити потрібну ймовірність.

Вказівка до кроку

При обчисленні потрібної ймовірності необхідно досліджувати задані значення n і p.

При виборі формули для рп(m) і для суми потрібно керуватися такими правилами:

а) якщо задано число випробувань n і воно не більше 10, то необхідно користуватися формулою Бернуллі



б) якщо ймовірність р настання події А мала, а n велике і a = nр<10, то для pn(m) необхідно користуватися формулою Пуассона





а для конкретних обчислень скористатися таблицями 1 і 2;

в) якщо n велике і np>10, то необхідно користуватися теоремою Муавра-Лапласа. За цією теоремою ймовірність для m набути конкретного значення:

,

де ;

.

Ця формула також табульована (таблиця 3), причому через парність функції

() таблиця її значень складена лише для x 0.

Ймовірність для m потрапити в інтервал [m1,m2] згідно з інтегральним варіантом теореми pn(m1m m2) = Ф(x2) Ф(х1), де;

.

Ф(х) називається функцією Лапласа, таблиця 4 включає її значення для додатних х, тому що Ф(х) функція непарна (Ф(х) = Ф(х));

г) якщо в задачі задано процес, для якого відоме середнє число аі настання подій за одиницю часу tі (за годину, місяць) або в певній одиниці об'єму vі (в куб. м), а необхідно обчислити ймовірність настання події m разів за іншу одиницю часу t2 (в іншому об’ємі v2), то для обчислення цієї ймовірності потрібно cкористатися формулою Пуассона, в якій

;

, або

3. Розподіл ймовірностей

випадкової величини, його числові характеристи-ки та їх властивості

1. Для того щоб обчислити ймовірності попадання випадкової величини в інтервал (або півінтервал), підсумувати ймовірності тих значень, які потрапляють в цей інтервал (півінтервал).

2. Обчислити MX.

Вказівка до кроку

MX обчислюється за формулою

.

3. Обчислити DX.

Вказівка до кроку

DX обчислюється за формулою

.

4. Побудувати таблицю розподілу для

Y = f (X).

Вказівка до кроку

Обчислити yi = f (xi), приписати їм ймовірності , розташувати yi у порядку зростання, однакові значення об'єднати, склавши відповідні ймовірності.

5. Обчислити MY і DY за таблицею розподілу
Y і без таблиці, за значеннями MX і DX, користуючись властивостями математичного сподівання і дисперсії.

Порівняти значення, перелічені різними способами

4. Обчислення

ймовірностей

для величин,

що мають

нормальний

розподіл

1. Для нормальних розподілів, що беруть участь у завданні, виписати задані за умовою задачі математичні сподівання, дисперсії і середньоквадратичні відхилення.

2. Користуючись таблицями нормального розподілу, обчислити ймовірність попадання в зазначений у завданні інтервал.

^ Вказівка до кроку

Для нормально розподіленої випадкової величини, у якої МХ = а, DX = a2 (ax= ), ймовірність попадання в інтервал обчислюється за формулою

,

де Ф(х) функція Лапласа, значення якої містяться в таблиці 4

5. Обчислення довірчого інтервала для ймовірності р настання події А за допомо-

гою таблиць нормального

розподілу

 

1. Обчислити оцінку для р.

2. Обчислити довірчий інтервал для р.

Вказівка до кроку

Довірчий інтервал для р шукається за формулою

,

де = 1,96 для рівня довіри 95%

і = 3 для рівня довіри 99,7%.

3. У разі, якщо потрібно перевірити гіпотезу, сформулювати висновок з експерименту, провести обчислення з довірчим інтервалом і т. д.

  

^ ТРЕНІНГ УМІНЬ

Приклади виконання вправ тренінгу на вміння 1

Завдання 1а

Студент знає відповіді на 20 питань з 30. Яка ймовірність того, що він витягне на іспиті відоме йому питання?

Розв’язання. Заповніть таблицю, підібравши кожному алгоритму конкретний зміст. 

Алгоритм

Конкретна відповідність завдання

заданому алгоритму

1. Ввести позначення

для заданих

величин

пчисло всіх питань;

mчисло "гарних" питань;

А питання "гарне";

n = 30;

m = 20.

Обчислити p(А)

2. Записати формулу для цього випадку

Задане загальне число подій і число

сприятливих подій, отже, потрібна формула а):

p (A) = m / n = 20/30 = 2 / 3


Завдання 1 б

У квадраті знаходиться інший квадрат, сторона якого вдвічі менша. Знайти ймовірність того, що точка, кинута в квадрат так, що будь-яке її положення в квадраті рівноможливе, виявиться всередині другого квадрата.

Розв’язання. Заповніть таблицю, підібравши кожному алгоритму конкретний зміст. 

Алгоритм

Конкретна відповідність завдання

заданому алгоритму

1. Ввести позначення

для заданих

величин


а довжина сторони квадрата;

а/2довжина сторони другого квадрата;

S ()площа квадрата;

S (A)площа внутрішнього квадрата;

А попадання у внутрішній квадрат;

S () = , S (A) = / 4.

Обчислити р(А)

2. Записати формулу для цього випадку

Події описуються за допомогою геометричних

фігур, потрібна формула б):

=



Завдання 1в

Стрілець робить 3 постріли по мішені. Ймовірність попадання при першому, другому і третьому пострілах відповідно дорівнюють 0,4, 0,5 і 0,7. Обчислити ймовірність того, що в результаті цих пострілів виявиться: а) одне попадання по мішені; б) хоча б одне влучення.

Розв’язання. Заповніть таблицю, підібравши кожному алгоритму конкретний зміст. 

Алгоритм

Конкретна відповідність завдання заданому алгоритму

1. Ввести позначення для заданих величин

А1 потрапив при 1-му пострілі;

А2 потрапив при 2-му пострілі;

A3 потрапив при 3-му пострілі;

В одне попадання в мішень;

С хоча б одне влучення в мішень;

Р (А1) = 0,4;

Р (А2) = 0,5;

Р (A3) = 0,7.

Обчислити р(В) і р(С)

2. Написати

формулу для цього випадку

Необхідно визначити ймовірності подій за ймовірностям подій, пов'язаних із першими пункт в). Користуємося формулами з пункту в), виписавши формули зв'язку між подіями:

;







;

;








Завдання 1 г

У групі з 10 студентів, що прийшли на іспит, 3 підготовлені відмінно, 4 добре, 2 задовільно і 1 погано. Є 20 питань, причому: відмінно підготовлений студент може відповісти на всі, добре підготовлений на 16, задовільно підготовлений на 10 і погано підготовлений на 5. Знайти ймовірність того, що випадково вибраний студент зможе відповісти на питання, що йому дісталося, і ймовірність того, що цей студент погано підготовлений і йому просто пощастило з питанням.
Розв’язання. Заповніть таблицю, підібравши кожному алгоритму конкретний зміст. 

Алгоритм

Конкретна відповідність завдання заданому алгоритму

1. Ввести позначення для заданих

величин

H1 студент-відмінник;

Н2 студент навчається на "добре";

Н3 студент вчиться задовільно;

Н4 студент вчиться погано;

А питання "добре";

р(H1) = 0,3 (3 з 10);

р(Н2) = 0,4 (4 з 10);

р(Н3) = 0,2 (2 з 10);

р(Н4) = 0,1 (1 з 10); р(А/H1) = 1;

р(А/Н2)= 16/20 =0,8;

р(А/Н3) = 10/20 =0,5;

р(А/Н4) = 5/20 =0,25.

Обчислити р (А) і р(Н4/А)

2. Написати формулу для цього випадку

Простір розбито на 4 непересічні області (пункт г)), користуємося формулою повної ймовірності для обчислення р(А)



і формулою Байєса для обчислення р(Н4/А):



,



  1   2   3   4

Схожі:

Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconМетодичні вказівки до практичних занять з курсу "теорія ймовірностей" на тему "Короткий курс теорії ймовірностей" для студентів усіх спеціальностей
Початковими поняттями теорії ймовірностей є поняття стохастичного експерименту, випадкової події та ймовірності випадкової події
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconМ. П. Пан методичні вказівки
Методичні вказівки до практичних занять з курсу «Теорія ймовірностей І математична статистика». Розділ Теорія ймовірностей ( для...
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни "Теорія ймовірностей і математичної статистики" для студентів спеціальності
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни “Теорія ймовірностей і математичної статистики” / укладач Н. С. Мартинова. –...
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconС. О. Станішевський, Ю.Є. Печеніжський, В. С. Рухляда методичні вказівки для практичних занять, контрольних та самостійних робіт з навчальної дисципліни «теорія ймовірностей І математична статистика»
Для студентів 2 курсу заочної форми навчання за напрямом підготовки 030509 „Облік І аудит”
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconМетодичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія автоматичного керування»
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Теорія автоматичного керування» (для студентів 3 курсу усіх форм навчання напряму...
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconМ.І. Самойленко, Г. В. Білогурова, В. П. Протопопова методичні вказівки до виконання практичних, гозрахунково-графічних та самостійних робіт з дисципліни „Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика;
Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика; Математичне програмування”
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconВ. Б. Юскаєв Контрольні роботи з курсу
Контрольні роботи з курсу ”Теорія ймовірностей” для студентів усіх спеціальностей денної форми навчання./Укладачі: Ю. П. Бородай,...
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconВ. Б. Юскаєв Контрольні роботи з курсу
Контрольні роботи з курсу ”Теорія ймовірностей” для студентів усіх спеціальностей денної форми навчання./Укладачі: Ю. П. Бородай,...
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconВступ до теорії ймовірностей. Основні поняття
В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації,...
Методичні вказівки до практичних занять з курсу \"теорія ймовірностей\" на тему \"Короткий курс теорії ймовірностей\" для студентів усіх спеціальностей iconМетодичні вказівки для студентів усіх спеціальностей інженерного факультету денної форми навчання Суми Вид-во Сумду 2006
Плани практичних занять і методичні вказівки для студентів усіх спеціальностей інженерного факультету
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи