Розділ 1 ортогональне проекціювання icon

Розділ 1 ортогональне проекціювання




Скачати 251.23 Kb.
НазваРозділ 1 ортогональне проекціювання
Дата02.08.2012
Розмір251.23 Kb.
ТипДокументи

РОЗДІЛ 1 ОРТОГОНАЛЬНЕ ПРОЕКЦІЮВАННЯ


Методичні вказівки призначено для підготовки студентів інженерного факультету денної форми навчання до практичних занять з розділу “Нарисна геометрія” дисципліни “Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка” з використанням основної рекомендованої літератури [ 1 - 6 ], самостійного виконання домашніх завдань у робочому зошиті [ 7 ], а також для застосування під час проведення аудиторних практичних занять і перевірки набутих знань студентів з даної теми [ 8 ].

Мету практичних занять, умовні позначення та символи, тип та товщину ліній і методичні рекомендації до засвоєння заняття 1 за темою “Точка та її проекції” наведено в раніше виданих методичних вказівках [ 9 ], а заняття 2 за темою “Пряма, її проекції та сліди” - в методичних вказівках [ 10 ].

Відомо, що площина, як точка і пряма, належить до основних невизначених понять нарисної геометрії. Точка є нульвимірним геометричним елементом, пряма – одновимірним, а площина – двовимірним геометричним об’єктом. З таких трьох основних елементів складаються усі інші геометричні поверхні, фігури та тіла. Тому особливо важливо для студента І курсу добре засвоїти ці три головні елементи простору для подальшого ефективного вивчення інженерної та комп’ютерної графіки, інших загальнотехнічних і спеціальних дисциплін у вищому навчальному закладі.


Заняття 3 ПЛОЩИНА, ЇЇ ПРОЕКЦІЇ ТА СЛІДИ.

^ ТОЧКА І ПРЯМА В ПЛОЩИНІ


Площина є суцільною двопараметричною множиною точок, що нескінченна у просторі. Тому в нарисній геометрії, як правило, використовуються для розв’язання задач частини площини, обмежені плоскою замкненою лінією або задані проекціями геометричних елементів ( точка, пряма, плоска фігура тощо ), що належать площині.

Основні способи задання площини на кресленні:

а) трьома точками А, В, С, що не лежать на одній прямій ( рис.1 а );

б) прямою l та точкою D, яка не належить даній прямій ( рис.1 б );

в) двома пересічними прямими a та b ( рис.1 в );

г) двома паралельними прямими c та d ( рис.1 г );

д) плоскою фігурою, наприклад, трикутним відсіком EFG, квадратом, прямокутником, колом тощо ( рис.1 д );

е) слідами, тобто лініями перетину Г1 і Г2 заданої площини Г з площинами проекцій П1 і П2 ( рис.1 е ).

У загальному випадку площина може мати три сліди: горизонтальний ∆1, фронтальний ∆2 та профільний ∆3 ( рис.2 ). Усі сліди повинні перетинатися між собою в точках на осях проекцій, які називаються точками збігу слідів ∆x, ∆y та ∆z.

Перелічені шість способів задання площини рівносильні і завжди можна перейти від одного способу задання до іншого. Площина вважається заданою на кресленні, якщо є можливість побудувати проекції будь-якої точки, що належить площині, або визначити, чи належить цій площині задана на кресленні точка [1, с.42].


^ Розміщення площини у просторі


Площина у просторі може займати загальне або особливе положення [ 2, с. 49; 3, с. 25 ].

Площина загального положення довільно розміщена відносно площин проекцій, а саме: вона не перпендикулярна і не паралельна жодній з площин проекцій. Ознакою площини загального положення на кресленні є таке: на жодну з площин проекцій геометричні елементи, що задають площину, не проекціюються у вигляді прямої лінії, а сліди площини загального положення ніколи не перпендикулярні до осей проекцій x, y, z.

Площина загального положення може бути висхідною (зростаючою) та низхідною (спадною). Висхідною називається



Рисунок 1 – Способи задання площини на кресленні

площина, яка підіймається вгору при віддаленні від спостерігача таким чином, що верхня її частина нахилена в протилежний від нього бік, а висота точок зростає в міру віддалення від спостерігача. Тому при проекціюванні як на горизонтальну площину проекцій П1, так і на фронтальну площину П2 глядач бачить той самий бік цієї площини. На комплексному кресленні обидві проекції трикутника АВС, яким задано висхідну площину, мають однаковий обхід, наприклад, за рухом годинникової стрілки ( рис. 3 а). Низхідною називається площина, яка знижується при віддаленні від спостерігача, її верхня частина нахилена в його бік, а висота точок зменшується в міру віддалення від спостерігача. На комплексному кресленні глядач бачить на П1 та П2 різні боки низхідної площини, а напрямки обходу точок трикутника DEF на обох проекціях протилежні: горизонтальна проекція D1E1F1 має обхід за ходом годинникової стрілки, а фронтальна проекція D2E2F2 – проти ( рис.3 б ).

^ Площина особливого положення розміщена відносно площин проекцій визначеним чином, а саме: перпендикулярна до однієї або двох площин проекцій чи проходить через вісь проекцій і однаково нахилена до обох площин проекцій. Остання осьова площина називається бісекторною ( від лат. bissektor – той, що розсікає навпіл ) [ 1, с.13; 2, с. 52 ].

Площини, перпендикулярні до однієї з площин проекцій, мають назву проекціювальних. Існує три види площин проекціювального положення:

а) горизонтально-проекціювальна площина;

б) фронтально-проекціювальна площина;

в) профільно-проекціювальна площина;

Площина Θ, перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій П1, називається горизонтально – проекціювальною ( рис.4 ). Її горизонтальна проекція Θ1 являє собою відрізок прямої лінії, що має збиральні властивості. Це означає, що коли в горизонтально – проекціювальній площині розміщено точку, пряму або криву лінію чи фігуру, то їх горизонтальні проекції повинні бути на горизонтальному сліді даної площини.



Рисунок 2 – Просторове зображення (а) і комплексне креслення (б) слідів площини ∆





Рисунок 3 – Проекції висхідної ∆АВС (а) та низхідної ∆DEF (б) площин загального положення

Фронтальний слід f20 горизонтально – проекціювальної площини Θ ( рис.4 в ) перпендикулярний до горизонтальної площини П1 та до осі проекцій Ох. Горизонтальний слід h10 може становити з віссю проекцій Ох будь-який кут. Цей кут є лінійним кутом β двогранного кута між горизонтально – проекціювальною площиною Θ і фронтальною площиною проекцій П2.

Площина Λ, перпендикулярна до фронтальної площини проекцій П2, має назву фронтально – проекціювальної ( рис. 5 ). Її фронтальна проекція Λ2 є відрізком прямої лінії зі збиральними властивостями і нахилена під кутом α до осі проекцій Ох. Горизонтальний слід h10 фронтально – проекціювальної площини Λ перпендикулярний до фронтальної площини проекцій П2 та до осі Ох, а фронтальний слід f20 утворює кут α з горизонтальною площиною проекцій П1 ( рис. 5 в ).

Площина Р, перпендикулярна до профільної площини проекцій П3, називається профільно – проекціювальною ( рис. 6 ). Горизонталь h цієї площини збігається із фронталлю f, а їх горизонтальна А1С1 та фронтальна А2С2 проекції взаємно паралельні між собою і перпендикулярні до площини П3 ( рис. 6 б ).Це є ознакою профільно – проекціювальної площини. Профільна проекція трикутного відсіку ∆АВС являє собою відрізок прямої лінії. Кут α між цим відрізком та горизонтальною лінією зв’язку дорівнює куту нахилу площини Р до горизонтальної площини проекцій П1, а кут β між відрізком та вертикальною лінією зв’язку – до фронтальної площини проекцій П2.

Горизонтальний h10 і фронтальний f20 сліди профільно – проекціювальної площини Р паралельні осі проекцій Ох, тобто паралельні між собою, а профільний слід р30 розміщено під кутом α до площини П1 і кутом β до площини П2 ( рис.6, в ).

Комплексне креслення проекціювальної площини має ряд характерних особливостей:

1 Така площина проекціюється на перпендикулярну до неї площину проекцій у вигляді прямої лінії.



Рисунок 4 – Горизонтально-проекціювальна площина, зображена у просторі (а), у вигляді проекцій трикутного відсіку(б) та задана слідами (в)



Рисунок 5 - Фронтально-проекціювальна площина, зображена у просторі (а), у вигляді проекцій трикутного відсіку (б) та задана слідами (в)



Рисунок 6 - Профільно-проекціювальна площина, зображена у просторі (а), у вигляді проекцій трикутного відсіку (б) та задана слідами (в)

2 Названа площина стосовно до перпендикулярної площини проекцій має збиральні властивості.

3 Проекціювальна площина проекціюється на все поле неперпендикулярних до неї площин проекцій.

4 Проекціювальна площина утворює кути з не-перпендикулярними до неї площинами проекцій, натуральна величина яких зображена на перпендикулярній площині проекцій.

5 При заданні площин слідами ознакою горизонтально – чи фронтально – проекціювальної площини є вертикальність одного зі слідів, перпендикулярного до осі проекцій Ох.

Площини, перпендикулярні до двох площин проекцій і паралельні третій, називаються площинами рівня.


Можливі три варіанти їх особливих положень:

а) горизонтальна площина рівня;

б) фронтальна площина рівня;

в) профільна площина рівня.


^ Горизонтальна площина рівня Σ перпендикулярна до фронтальної П2 й профільної П3 площин і паралельна горизонтальній площині проекцій П1 ( рис. 7 ). Її фронтальна проекція Σ2 зображається у вигляді відрізка прямої лінії зі збиральними властивостями, що є паралельним осі проекцій Ох, а елементи площини, розміщені на горизонтальній проекції Σ1, проекціюються в натуральну величину ( рис. 7 б ). Горизонтальна площина рівня Σ, задана слідами, має тільки фронтальний слід f20≡Σ2, що збігається з фронтальною проекцією площини ( рис. 7 в ).

^ Фронтальна площина рівня Т перпендикулярна до горизонтальної П1 та профільної П3 площин, тобто паралельна фронтальній площині проекцій П2 ( рис. 8 ). А на рисунку 8в наведено зображення фронтальної площини Т в системі проекцій П1 і П2 за допомогою сліду h10≡Т1, який можна розглядати як горизонтальну проекцію даної площини на площину П1.



Рисунок 7 – Горизонтальна площина рівня, зображена у просторі (а), у вигляді проекцій трикутного відсіку(б) та задана слідами (в)



Рисунок 8 – Фронтальна площина рівня, зображена у просторі (а), у вигляді проекцій трикутного відсіку (б) та задана слідами (в)



Рисунок 9 – Профільна площина рівня, зображена у просторі (а), у вигляді проекцій трикутного відсіку (б) та задана слідами (в)

^ Профільна площина рівня Ф перпендикулярна до горизонтальної П1 та фронтальної П2 площин і паралельна профільній площині проекцій П3 ( рис. 9 ).

Характерні особливості комплексного креслення площини рівня полягають у такому:

1 Площина рівня проекціюється на все поле паралельної їй площини проекцій.

2 Усі геометричні елементи, що належать площині рівня, проекцюються на паралельну площину проекцій в натуральну величину.

3 На інших площинах проекцій площина рівня зображується у вигляді прямих ( слідів ), паралельних відповідним координатним осям.

4 Стосовно до непаралельних їй площин проекцій площина рівня має збиральні властивості.

5 Горизонтальну та фронтальну площини рівня задавати слідами незручно й не дуже наочно, бо один зі слідів на комплексному кресленні відсутній.

У таблиці 1 наведено характерні ознаки площин особливого положення.

Таблиця 1

Площина особливого положення

Площина проекцій

Номер

рисунка

П1

П2

П3

Горизонтально – проекціювальна

Фронтально – проекціювальна

Профільно – проекціювальна



















4

5

6

Горизонтальна площина рівня

Фронтальна площина рівня

Профільна площина рівня



















7

8

9


^ Належність точки і прямої площині [ 2, с. 45; 4, с. 44 ]

Точка належить площині, якщо вона належить будь-якій прямій цієї площини. Для побудови на комплексному кресленні точки, що належить заданій площині, спочатку будують пряму, яка лежить в цій площині, і на ній беруть точку.

Пряма належить площині у двох випадках:

1) якщо вона проходить через дві точки, що належать даній площині;

2) якщо вона проходить через точку, яка належить цій площині і паралельна другій прямій, що розміщена в заданій площині або паралельній їй.

Якщо площина задана слідами, то пряма належить площині, коли сліди прямої розміщені на однойменних слідах площини, або пряма паралельна одному зі слідів цієї площини і має з іншим слідом спільну точку.


^ Головні лінії площини [ 1, с. 18; 2, с. 46; 3, с. 39 ]

У площині можна розмістити нескінченну кількість прямих ліній загального та особливого положення. Останні мають назву головних ліній площини і включають в себе:

Л і н і ї р і в н я п л о щ и н и, які належать даній площині та паралельні одній з площин проекцій.


Горизонталь h – це пряма лінія, що належить площині й розміщена паралельно горизонтальній площині проекцій П1 (наприклад, лінія AN на рис.10 а). Побудова горизонталі h площини ∆АВС починається з проведення її фронтальної проекції A2N2 паралельно осі проекцій ОХ і перпендикулярно до ліній зв’язку А1А2, В1В2, С1С2. Для визначення горизонтальної проекції А1N1 цієї горизонталі точка N2 проекціюється на горизонтальну проекцію відрізка В1С1 і через точки А1 та N1 проводиться пряма лінія. Побудована пряма AN дійсно є горизонталлю площини ∆АВС, оскільки вона лежить в заданій площині завдяки проходженню через її дві точки А та N, і розміщена паралельно горизонтальній площині проекцій П1.

Побудова горизонталі площини Ω, заданої слідами ( див. рис.10 б ), виконується аналогічно. Проводиться фронтальна проекція h2 горизонталі паралельно осі проекцій ОХ. Точка перетину N2 проекції h2 з фронтальним слідом f20 площини Ω проекціюється на вісь ОХ в точку N1. З точки N1 будується горизонтальна проекція h1 паралельно горизонтальному сліду h10. Таким чином, горизонтальний слід площини є однією з її горизонталей, розміщеною на горизонтальній площині проекцій П1, і тому має назву нульової горизонталі h10.

У системі двох площин проекцій П1 та П2 горизонталь h ( h1, h2 ) має лише один фронтальний слід N2, який лежить на фронтальному сліді f20 площини Ω; її фронтальна проекція h2 паралельна осі ОХ, а горизонтальна h1 – горизонтальному сліду h10 площини.

Фронталь f – це пряма лінія, що належить заданій площині та розміщена паралельно фронтальній площині проекцій П2 ( наприклад, лінія СМ на рис.10 а ). Побудова фронталі f площини починається з проведення її горизонтальної проекції С1М1 паралельно осі проекцій ОХ. Далі знаходиться фронтальна проекція С2М2 фронталі аналогічно до побудови горизонталі.

Коли площина Ω задана слідами в системі двох площин проекцій ( див. рис.10 б ), фронталь f (f1,f2) має лише один горизонтальний слід М1, який лежить на горизонтальному сліді h10 площини; її горизонтальна проекція f1 паралельна осі ОХ, а фронтальна f2 – фронтальному сліду площини, який має назву нульової фронталі f20.

^ Профільна пряма р – це пряма лінія, що належить площині та розміщена паралельно профільній площині проекцій П3 ( наприклад, лінія BL на рис.10 а ). Профільна пряма використовується при розв’язуванні задач з нарисної геометрії не так часто, як горизонталь та фронталь.


Відмінні особливості проекціювання ліній рівня площини [ 2, с. 46; 3, с. 39-41 ]:

1 Ознакою лінії рівня на кресленні є наявність спільних точок з площиною та перпендикулярність до вертикальних ліній зв’язку її проекції на непаралельну площину проекцій.

2 Горизонтальна проекція горизонталі паралельна горизонтальному сліду заданої площини, а фронтальна проекція паралельна осі проекцій ОХ. Побудову горизонталі слід починати з фронтальної проекції h2.

3 Фронтальна проекція фронталі паралельна фронтальному сліду даної площини, а горизонтальна проекція – осі проекцій Ох. Побудову фронталі слід починати з горизонтальної проекції f1.

4 Горизонтальна й фронтальна проекції профільної прямої перпендикулярні до осі проекцій ОХ і лежать на одній вертикальній лінії зв’язку.

5 Прямі лінії рівня проекціюються без спотворення на паралельну їм площину проекцій. Тому на горизонтальній площині проекцій П1 зображуються в натуральну величину горизонталі, на фронтальній площині проекцій П2 – фронталі, а на профільній площині проекцій П3 – профільні прямі. На відповідних проекціях зберігаються довжини будь-яких їх відрізків.

6 Проекціювальні прямі також є прямими рівня. Так, горизонтально – проекціювальна пряма є разом з тим фронталлю та профільною прямою, фронтально-проекціювальна пряма – горизонталлю та профільною прямою, а профільно–проекціювальна – горизонталлю та фронталлю.

7 На площині загального положення можна провести безліч горизонталей, фронталей та профільних прямих. При цьому всі горизонталі будуть паралельні між собою і паралельні горизонтальному сліду площини. Так само будуть паралельні між собою фронталі й фронтальний слід площини та профільні прямі й профільний слід площини.

8 Через кожну точку площини можна провести в цій площині лише одну горизонталь, одну фронталь і одну профільну пряму.

9 Коли площину задано слідами, то слід на горизонтальній площині проекцій П1 є нульовою горизонталлю h10 даної площини, а слід на фронтальній площині проекцій П2 – нульовою фронталлю f20. Їх інші проекції h20 й f10 збігаються між собою і з віссю проекцій ОХ, де знаходиться також точка перетину слідів. Задання площини її слідами на площинах проекцій являє собою окремий випадок задання площини двома пересічними прямими.



Рисунок 10 – Лінії рівня площини, заданої трикутним відсіком АВС (а) та слідами (б)



Рисунок 11 – Лінії найбільшого нахилу площини, заданої трикутним відсіком АВС (а) та слідами (б)

Л і н і ї н а й б і л ь ш о г о н а х и л у п л о щ и н и до площини проекцій, які лежать у даній площині й перпендикулярні до однієї з ліній рівня або до одного зі слідів площини. Вони утворюють найбільший кут з відповідною площиною проекцій.

У даній площині розрізняють лінії найбільшого нахилу:

а) відносно горизонтальної площини проекцій П1, яка має назву лінії найбільшого скату або просто лінії скату s [2, с.46], оскільки за напрямком цієї лінії під час дощу скочуються краплини води з похилого даху будівлі. На рис. 11 зображено лінію скату ВК. Її побудова починається з проведення горизонтальної проекції В1К1 лінії скату перпендикулярно до горизонтальної проекції h1 горизонталі ( див. рис. 11 а ) або до горизонтального сліду h10 площини Ω, заданої слідами (див.рис.11 б). Далі за вертикальною відповідністю знаходиться фронтальна проекція В2К2 лінії скату s;

б) відносно фронтальної площини проекцій П2, яка називається лінією найбільшого нахилу n площини до площини П2; відрізок ВL цієї лінії показано на рис. 11. Побудова лінії найбільшого нахилу n до площини П2 починається з проведення фронтальної її проекції B2L2 перпендикулярно до фронтальної проекції фронталі f2 ( див. рис. 11 а ) або до фронтального сліду f20 заданої площини ( див. рис. 11 б ). Горизонтальна проекція B1L1 знаходиться за вертикальною відповідністю;

в) відносно профільної площини проекцій П3, яка має назву лінії найбільшого нахилу m площини до площини проекцій П3.

За допомогою ліній найбільшого нахилу площини визначаються кути її нахилу до площин проекцій. Лінія скату площини може використовуватися для визначення кута α нахилу заданої площини загального положення до площини проекцій П1. Аналогічно, лінія найбільшого нахилу площини до площини П2 призначена для знаходження кута β між цією площиною і площиною проекцій П2, а лінія найбільшого нахилу до площини П3 – для визначення кута γ між даною площиною загального положення і площиною проекцій П3. Перелічені кути вимірюються кутами, що утворюються відповідними лініями найбільшого нахилу до площин проекцій П1, П2 та П3. Натуральна (дійсна) величина цих кутів може бути визначена методом прямокутного трикутника [ 10, с.18 ].

Розглянуті головні лінії площини, головним чином горизонталі й фронталі, дуже часто застосовуються при різноманітних побудовах та при розв’язуванні задач з нарисної геометрії. Наприклад, горизонталь і фронталь постійно використовуються для задання площини, що дозволяє виявити її розміщення відносно площин проекцій в просторі. Це пояснюється простотою побудови перелічених прямих, тому їх зручно застосовувати як допоміжні лінії.


^ Місце для записів:
























































^ ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЗАВДАНЬ ЗАНЯТТЯ 3


Задача 1 Записати визначники площини , заданої пересічними прямими a×b, її положення у просторі та побудувати сліди цієї площини ( рис. 12 ).

^ Послідовність розв’язання задачі. Відомо, коли пряма лежить у площині, то її сліди знаходяться на однойменних з нею слідах площини [ 6, с.34 ]. Тому потрібно побудувати фронтальні сліди обох прямих a та b у вигляді точок та і провести через них фронтальний слід площини . Для цього горизонтальна проекція а1 прямої а продовжується до перетину з віссю Ох в точці , з якої підіймається вгору лінія зв’язку до зустрічі з продовженням фронтальної проекції а2 цієї прямої в точці . Так само горизонтальна проекція другої прямої продовжується до осі Ох, з точки підіймається вертикальна лінія зв’язку до зустрічі з продовженням в точці . Через точки та проводиться фронтальний слід площини , який перетинається з віссю Ох в точці і з віссю Оz – в точці ( рис.13 ).

Для побудови горизонтального сліду фронтальна проекція прямої продовжується до зустрічі з віссю Ох в точці , з якої опускається униз лінія зв’язку до перетину з продовженням горизонтальної проекції в точці . Через останню точку і точку збігу слідів проводиться горизонтальний слід площини . Побудова профільного сліду виконується аналогічно. Фронтальна проекція а2 продовжується до вертикальної осі Oz, з точки проводиться горизонтальна лінія зв’язку до зустрічі з профільною проекцією а3 в точці . Через точку та точку збігу слідів будується шуканий профільний слід площини .





Рисунок 12




Рисунок 13

Відповідь: Площина загального положення має три сліди: горизонтальний , фронтальний і профільний , по яких вона перетинається з горизонтальною , фронтальною та профільною площинами проекцій. Усі три сліди перетинаються з осями координат Ox, Oy, Oz в точках збігу слідів , та , що підтверджує вірність побудови слідів площини.

Задача 2 Визначити належність точки B заданій площині і символічно записати відповідь умовними позначками ( рис. 14 а ).

^ Послідовність розв’язання задачі. Відомо, що коли точка належить площині, то вона належить будь-якій прямій цієї площини [ 5, c.79 ]. Тому через фронтальну проекцію однієї із точок трикутника CDE, наприклад через , і заданої точки проводиться фронтальна проекція допоміжної прямої , що лежить у площині . Ця допоміжна пряма перетинає сторону DE трикутника CDE в точці . За вертикальною відповідністю знаходиться горизонтальна проекція цієї точки. Через точки й проводиться горизонтальна проекція допоміжної прямої . Оскільки горизонтальна проекція знаходиться на прямій , то точка належить заданій площині.

Відповідь: Точка В належить площині , заданій трикутним відсіком , що умовно можна записати так:

.

Задача 3 Побудувати горизонтальну проекцію відрізка FG, який належить площині , заданій слідами ( рис. 15 а )

^ Послідовність розв’язання задачі. З елементарної геометрії відомо, що пряма лінія належить площині, якщо дві будь-які її точки належать цій площині. Отже, потрібно побудувати горизонтальні проекції точок F та G і через них провести горизонтальну проекцію відрізка прямої FG.





Рисунок 14





Рисунок 15


Горизонтальну проекцію першої точки F знаходять методом проведення горизонталі у площині, фронтальну проекцію якої будують паралельно осі Ох до зустрічі з фронтальним слідом заданої площини в точці . З цієї точки опускається вниз лінія зв’язку до осі Ох і з точки проводиться горизонтальна проекція горизонталі, паралельна горизонтальному сліду . З фронтальної проекції проводиться лінія зв’язку , перпендикулярна до осі Ох, в місце зустрічі з горизонтальною проекцією горизонталі .

Горизонтальну проекцію другої точки G знаходять методом проведення додаткової прямої через фронтальну проекцію . За вертикальною відповідністю знаходяться точки і ( показано стрілками ), через які проводиться горизонтальна проекція додаткової прямої 23. На цю пряму опускається вниз лінія , яка визначає положення точки . При з’єднанні точок та утворюється горизонтальна проекція шуканого відрізка прямої ( рис. 15 б ), який належить заданій площині.

Відповідь: За відомою фронтальною проекцією побудовано горизонтальну проекцію відрізка прямої FG, що належить площині , заданій слідами .

Задача 4 Побудувати відсутні проекції прямих c і e, якщо прямі c,d,e та точка H належать одній площині ( рис. 16 а )

Послідовність розв’язання задачі. Для знаходження відсутніх проекцій прямих з точки перетину їх фронтальних проекцій та лінія зв’язку опускається вниз до перетину з горизонтальною проекцією прямої в точці . Через точки і проводиться горизонтальна проекція прямої , яка перетинається з прямою в точці . З останньої підіймається вгору вертикальна лінія зв’язку, перпендикулярна до осі




Рисунок 16




Рисунок 17


проекції Ох ( показано стрілкою ), до перетину з фронтальною проекцією прямої в точці . Через цю точку проводиться фронтальна проекція , паралельна відрізку прямої . Побудову завершено ( рис. 16 б ).

Відповідь: Знаходження шуканих проекцій прямих, які належать одній площині, виконано на підставі того, що проекції точок їх перетину знаходяться в проекційному зв’язку на спільній вертикальній лінії.


Задача 5 Побудувати фронтальний слід площини , заданої горизонтальним слідом та точкою J ( рис.17 а ).


^ Послідовність розв’язання задачі. Через горизонтальну проекцію точки J1 проводиться горизонтальна проекція фронталі паралельно осі координат Ох до перетину з горизонтальним слідом в точці . З точки підіймається вгору лінія зв’язку, перпендикулярна до осі Ох, до перетину з цією віссю в точці . Точки й J2 з’єднуються відрізком прямої лінії , яка є фронтальною проекцією фронталі. Відомо, що фронтальна проекція фронталі, що належить площині, завжди паралельна фронтальному сліду останньої [ 4, c.45 ]. Тому з точки збігу слідів проводиться фронтальний слід площини , паралельний фронтальній проекції фронталі ( рис. 17 б ).

Відповідь: Побудову шуканого фронтального сліду площини виконано за допомогою фронталі, проведеної через задану точку J.



Рисунок 18



Рисунок 19


Задача 6 Побудувати відсутню фронтальну проекцію чотирикутника KLMN, який належить площині , заданій слідами ( рис. 18 а ).

^ Послідовність рішення задачі: Побудова фронтальної проекції виконується методом проведення фронталей через кожну точку заданої горизонтальної проекції чотирикутника . Проекція точки збігається з горизонтальним слідом площини Р. Тому її фронтальна проекція , знайдена за допомогою вертикальної лінії зв’язку , перпендикулярної до осі проекцій Ох, знаходиться на фронтальній проекції горизонтального сліда, яка збігається з віссю проекцій Ох. Через проекцію точки проводиться горизонтальна проекція фронталі паралельно осі Ох до перетину з горизонтальним слідом в точці . З останньої піднімається вгору лінія зв’язку до осі Ох, а з точки проводиться фронтальна проекція фронталі, паралельна фронтальному сліду , до перетину з вертикальною лінією зв’язку, проведеною вгору з точки . В місці перетину знаходиться фронтальна проекція точки . Аналогічно будуються інші точки ( напрямок побудови показано на рис. 18 б стрілками ). Побудовані фронтальні проекції точок й з’єднуються відрізками прямих у вигляді шуканої проекції чотирикутника.

Відповідь: Фронтальну проекцію чотирикутника побудовано шляхом проведення фронталей через кожну його точку.


Задача 7 Добудувати горизонтальну проекцію плоского п’ятикутника PQRST ( рис. 19 а ).

^ Послідовність розв’язання задачі. При побудові плоского багатогранника не повинна порушуватися умова знаходження усіх точок даної фігури в одній площині [ 2, с.57 ]. Щоб точки R і S були розміщені в площині, яка визначена трьома точками P, Q й T, необхідно, щоб вони знаходилися на прямих, які лежать в цій площині. Такими прямими є діагоналі QT, PR та PS, фронтальні проекції яких побудовано на рис. 19 б. На горизонтальній проекції п’ятикутника проводиться відрізок діагоналі , на якому розміщені точки перетину діагоналей й , знайдені за вертикальною відповідністю з фронтальної проекції точок й . Діагоналі та продовжуються до перетину з вертикальними лініями зв’язку, проведеними вниз із фронтальних проекцій точок й ( показано стрілками ). Знайдені точки і з’єднуються відрізками прямих з іншими точками п’ятикутника.

Відповідь: Горизонтальну проекцію п’ятикутника PQRST побудовано методом проведення допоміжних ліній через його вершини. На цих лініях повинні лежати усі точки плоского багатогранника, інакше він не буде плоским.

Задача 8 Визначити кут нахилу площини , заданої слідами , до фронтальної площини проекцій ( рис. 20 а ).

^ Послідовність розв’язання задачі. В площині будується лінія найбільшого її нахилу MN до площини проекцій перпендикулярно до фронтального сліду . Фронтальна проекція M2N2 цієї прямої проводиться перпендикулярно до сліду , а горизонтальна проекція будується по фронтальній з урахуванням того, що точка N належить фронтальному сліду ( тому її проекція лежить на осі Ох ), а точка М – горизонтальному сліду ( тому її проекція знаходиться на лінії сліду ).

Для визначення кута нахилу прямої MN до фронтальної площини проекцій будується прямокутний трикутник , першим катетом якого вибирається проекція М2N2, а другим – різниця відстаней точок M і N від площини , тобто координата точки М. Кут між гіпотенузою




Рисунок 20


побудованого прямокутного трикутника та проекцією є кутом нахилу лінії найбільшого нахилу MN до фронтальної площини проекцій , разом з тим кут визначає натуральну величину нахилу площини до тієї ж площини .

Відповідь: Кут нахилу площини до фронтальної площини проекцій , визначений методом прямокутного трикутника, становить ( рис. 20 б ).


Запитання для самоперевірки

  1. Що являє собою площина?

  2. Основні способи задання площини на комплексному кресленні.

  3. У яких випадках зручно задавати площину слідами?

  4. Коли площина вважається заданою на кресленні?

  5. Які площини називаються площинами загального положення?

  6. Як розміщені в просторі площини особливого положення?

  7. Дати визначення горизонтально-проекціювальної площини.

  8. Дати визначення фронтально-проекціювальної площини.

  9. Дати визначення профільно-проекціювальної площини.

  10. Як розміщені сліди проекціювальної площини відносно координатних осей?

  11. Характерні особливості зображення на кресленні проекціювальних площин.

  12. Дати визначення горизонтальної площини рівня.

  13. Дати визначення фронтальної площини рівня.

  14. Дати визначення профільної площини рівня.

  15. Чому площини рівня незручно задавати слідами?

  16. Характерні особливості зображення на кресленні площин рівня.

  17. У яких випадках пряма належить площині?

  18. Що являють собою головні лінії площини?

  19. Відмінні особливості проекціювання ліній рівня площини.

  20. Як будуються лінії найбільшого нахилу площини?



^ СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

  1. Михайленко В.Є., Ванін В.В., Ковальов С.М. Інженерна та комп’ютерна графіка : Підручник для студентів ВЗО / За ред. В.Є.Михайленка. – Київ : Каравела, 2003. – 340 с.

  2. Гордон В.О., Семенцов – Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии : Учебное пособие для втузов .– Изд. 23-е, перераб .– М.: Наука, 1988. – 272 с.

  3. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии: Учебник для втузов. – Изд.3-е. – М.: Высшая школа, 1970. – 240 с.

  4. Антонович Є.А., Василішин Я.В., Фольта О.В. та ін. Нарисна геометрія. Практикум: Навчальний посібник для ВНЗ. – Львів: Світ, 2004. – 528 с.

  5. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии с решениями типовых задач : Учебное пособие. – Изд.9-е. – М.: Машиностроение, 1978. – 446 с.

  6. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии : Учебное пособие для вузов. – Изд.2-е. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

  7. Робочий зошит з нарисної геометрії для студентів інженерних спеціальностей / Укл.: В.А.Черниш, Л.М.Коротун, С.А.Щеглов. – Суми : Вид-во СумДУ, 2005. – 98с.

  8. Інструктивно-методичний матеріал для підсумкового контролю знань з дисципліни «Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка» для студентів інженерних спеціальностей / Укл.: В.Г.Неня, В.С. Запорожченко, Л.М. Коротун, О.І. Салтикова. – Суми: СумДУ, 2004. – 12 с.

  9. Методичні вказівки до практичних занять з теми “ Точка та її проекції ” з дисципліни “ Нарисна геометрія , інженерна та комп’ютерна графіка “ для студентів інженерного факультету денної форми навчання / Укл.: В.С. Запорожченко . - Суми : Вид - во СумДУ, 2005. – 31 с.

  10. Методичні вказівки до практичних занять з теми “ Пряма, її проекції та сліди” з дисципліни “ Нарисна геометрія , інженерна та комп’ютерна графіка “ для студентів інженерного факультету денної форми навчання / Укл. В.С. Запорожченко.- Суми : Вид - во СумДУ, 2006. – 38 с.







Схожі:

Розділ 1 ортогональне проекціювання iconЗміст розділ загальні положення 2 розділ 2 виробничі та трудові відносини 3 розділ 3 відпустки 7 розділ 4 забезпечення продуктивної зайнятості 9 розділ 5 оплата праці 11 розділ 6 охорона праці 15
Додаток 2 Положення про порядок обрання та прийняття на роботу науково-педагогічних працівників Доннту
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconІсторія світової літератури загальний курс «Історія світової літератури»
Античності до кінця ХХ століття І складається з чотирьох розділів: література Античності (Розділ І), література Середніх віків, доби...
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconТема: Загальні відомості про вироби І креслення
Вивчення інженерної графіки полягає в засвоєнні правил виконання та оформлен­ня креслень відповідно до правил ортого­нального проекціювання...
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconРозділ Природно-соціальна характеристика Кінбурнського півострова 3
Розділ Заповідні території Кінбурнського півострова 24 Розділ Пелікани Кінбурнського півострова 30
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconРецензенти Н. Р. Малишева, доктор юридичних наук, професор, член-корес- пондент апрн україни, А. Г. Бобкова, доктор юридичних наук, професор Автори підручника
В. К. Поповим)), розділ VI (§ 8), розділ XI канд юрид наук, доцент — розділ II (§ 1, 2) канд юрид наук, доцент — розділ XVI канд...
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconЗ креслення Полтава 2012 робоча навчальна програма з креслення цілі та задачі курсу
Сформувати в абітурієнтів знання про прямокутне проекціювання на одну, дві й три взаємно перпендикулярні площини, про побудову аксо­нометричних...
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconЗ креслення Полтава 2012 робоча навчальна програма з креслення цілі та задачі курсу
Сформувати в абітурієнтів знання про прямокутне проекціювання на одну, дві й три взаємно перпендикулярні площини, про побудову аксо­нометричних...
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconРозділ Специфіка навчання обдарованих учнів з іноземної мови
Розділ Моніторингове дослідження ефективності організації процесу навчання з іноземних мов (обдаровані учні)
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconМетодичні вказівки
Теплогазопостачання та вентиляція . Розділ І. Опалення. Розділ ІІ. Вентиляція (для студентів 4 курсу денної та заочної форм...
Розділ 1 ортогональне проекціювання iconРозділ мертва точка І деескалація
Розділ мертва точка І деескалація (фрагменти з кн. Рубин Дж., Дин Пруйт, Сунг Хе Ким Социальный конфликт: эскалация тупик, разрешение....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи