2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» icon

2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин»




Скачати 311.62 Kb.
Назва2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин»
Сторінка1/3
Дата02.08.2012
Розмір311.62 Kb.
ТипДокументи
  1   2   3


Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Факультет технічних систем та енергоефективних технологій

Кафедра загальної механіки і динаміки машин


2859 Методичні вказівки
до практичних занять на тему
«Взаємне положення точки, прямої та площини

і двох площин»

з дисципліни «Нарисна геометрія, інженерна
та комп’ютерна графіка»
для студентів факультету технічних систем

та енергоефективних технологій

денної форми навчання


Суми

Видавництво СумДУ

2010

Методичні вказівки до практичних занять з теми «Взаємне положення точки, прямої та площини і двох площин» з дисципліни «Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка» / Укладачі: В.С. Запорожченко, І.В. Павленко.– Суми: Вид-во СумДУ, 2010.– 45 с.


Кафедра загальної механіки і динаміки машин


Зміст

С.

Розділ 1 Ортогональне проекціювання .… 4


Заняття 4 Взаємне положення точки, прямої, та площини і двох площин …............................. 5

1 Взаємне положення прямої та площини .................... 5

2 Ознаки паралельності й перпендикулярності
прямої та площини .............................................................. 6

3 Перша основна позиційна задача ................................. 9

4 Послідовність знаходження точки перетину
прямої з площиною ........................................................... 12

5 Визначення відстані від точки до площини ............. 13

6 Взаємне положення двох площин .............................. 14

7 Ознаки паралельності й перпендикулярності
двох площин …................................................................... 15

8 Друга основна позиційна задача ................................ 17

9 Послідовність знаходження лінії перетину
двох площин загального положення ............................... 20

10 Визначення кута між прямою та площиною ........... 24

11 Визначення величини двогранного кута між площинами ....... 25

12 Приклад виконання завдань практичного
заняття 4 27


Заняття 5 Перпендикулярність прямих
і площин
....................................................................... 36

  1. Основні положення …………………….…..….…… 36

  2. Приклади виконання завдань практичного
    заняття 5 ...................................................................... 37


Запитання для самоперевірки .......................................... 43


СПИСОк літератури ................................................... 44


^ Розділ 1 Ортогональне проекціювання


Методичні вказівки призначено для підготовки студентів факультету ТеСЕТ денної форми навчання до практичних занять з розділу “Нарисна геометрія” дисципліни “Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка” з використанням основної рекомендованої літератури [1 – 5], для застосування під час проведення аудиторних практичних занять і перевірки студентами набутих знань із зазначеної теми [6], а також для самостійного розв’язання вдома ускладнених задач у робочому зошиті [7] на підвищену оцінку.

Мету практичних занять, умовні позначення та символи, тип й товщину ліній і методичні рекомендації до засвоєння заняття 1 за темою “Точка та її проекції” наведено в методичних вказівках [8]. Теоретичний матеріал до практичного заняття 2 на тему “Пряма, її проекції та сліди” і приклади розв’язань задач викладено в методвказівках [9], а до заняття 3 на тему “Площина, її проекції та сліди” – в методвказівках [10].

Визначення взаємного положення точки, прямої та площин одне щодо одного належить до позиційних задач нарисної геометрії. Останні в цілому вміщують задачі на взаємне розташування геометричних образів (об’ємних тіл, плоских фігур, просторових кривих ліній тощо), взаємну належність геометричних образів та взаємний перетин геометричних образів (перетин двох прямих, прямої і площини, двох площин та інше). Другу велику групу задач нарисної геометрії становлять метричні задачі. До них відносять задачі на визначення відстаней і кутів між геометричними образами, а також площ плоских фігур. У практиці інженерної діяльності чисто метричні задачі трапляються порівняно рідко. Як правило, розв’язання метричних задач тісно переплітається з розв’язанням позиційних задач, основні з яких розглядаються в цих методичних вказівках. Важливу роль під час розв’язання метричних задач відіграє також проведення перпендикуляра до площини, методику побудови якого наведено нижче при розгляді питань практичного заняття 5.

Заняття 4 Взаємне положення точки,прямої та площини і двох площин


^ 1 Взаємне положення прямої та площини


Задачі про визначення взаємного положення прямої та площини належать до позиційних [2, c. 62 – 64]; при цьому можливі такі варіанти:

1) пряма належить площині (рис. 1 а);

2) пряма паралельна площині (рис. 1 б);

3) пряма перетинає площину (рис. 1 в);

4) пряма перпендикулярна до площини (рис. 1 г).






а

б





в

г

Рисунок 1 – Взаємне положення прямої та площини

а) пряма належить площині; б) пряма паралельна площині;
в) пряма перетинає площину; г) пряма перпендикулярна
до площини


Умова належності прямої площині (рис. 1 а): пряма належить площині, якщо дві її точки належать цій площині: .


^ 2 Ознаки паралельності й перпендикулярності
прямої та площини



Умову паралельності прямої та площини встановлює така теорема геометрії: пряма l паралельна площині Σ, якщо вона паралельна будь-якій прямій m на цій площині (рис. 2): .




Рисунок 2 – Паралельність прямої та площини


На рисунку 2 пряма l паралельна прямій площини Σ, заданої трикутним відсіком АВС, оскільки проекції даної прямої паралельні проекціям прямої т, яка належить цій площині.

Умова перпендикулярності прямої та площини ґрунтується на такій теоремі [4, c. 62 – 64]: пряма l перпендикулярна до площини Σ, якщо вона одночасно перпендикулярна до будь-якої пари пересічних прямих a і b на цій площині: .

Якщо за такі прямі а і b обрати горизонталь h і фронталь f (рис. 3 а), то відкривається можливість застосування властивості проекції прямого кута. В результаті умову перпендикулярності прямої та площини можна сформулювати так: для того щоб пряма l в просторі була перпендикулярною до площини Σ, необхідно і достатньо, щоб на епюрі Монжа горизонтальна проекція прямої була перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі, а фронтальна проекція прямої – до фронтальної проекції фронталі цієї площини: .

Якщо площина задана слідами (рис. 3 б), то умова перпендикулярності прямої l та площини Σ має такий вигляд [5, c. 91]: для того щоб пряма l була перпендикулярною до площини Σ, необхідно і достатньо, щоб проекції цієї прямої були перпендикулярними до однойменних слідів заданої площини Σ: .




а



б


Рисунок 3 – Перпендикулярність прямої та площини

а) площина задана пересічними прямими горизонтального і фронтального рівня; б) площина задана слідами

Теоретичною основою для побудови на епюрі Монжа проекцій прямої і площини, перпендикулярних одна щодо одної (рис. 4), є теорема про проекціювання прямого кута [9, c. 25 – 26]: якщо прямий кут утворений пересічними прямими, одна з яких паралельна одній із площин проекцій, а інша – не перпендикулярна до неї, то цей кут на дану площину проекціюється в натуральну (дійсну) величину:





Рисунок 4 – Теорема про проекціювання прямого кута


У загальному випадку алгоритм побудови прямої l, перпендикулярної до заданої площини Σ() має такий вигляд (рис. 5):

1) будується на площині Σ горизонталь h: , ;

2) проводиться горизонтальна проекція l1 прямої l перпендикулярно до горизонтальної проекції h1 горизонталі h: ;

3) будується на площині Σ горизонталь f: , ;

4) проводиться фронтальна проекція l2 прямої l перпендикулярно до фронтальної проекції f2 фронталі f: .




Рисунок 5 – Побудова прямої, перпендикулярної до площини


^ 3 Перша основна позиційна задача


Позиційні задачі стосуються побудови елементів, загальних для геометричних об’єктів, а також визначення взаємного положення геометричних об’єктів [4, c. 36]. Побудова точки перетину прямої з площиною є першою основною позиційною задачею нарисної геометрії [7, c. 19]. При цьому орієнтація площини щодо площин проекції визначає складність розв’язання даної задачі.

Розглянемо найпростіший випадок, коли перетинаються горизонтально-проекціювальна пряма l з фронтально-проекціювальною площиною Σ [7, c. 8 – 9]. У даному випадку (рис. 6 а) горизонтальна проекція K1 точки перетину збігається з горизонтальною проекцією l1 прямої, а фронтальна проекція K2 є точкою перетину l2 з фронтальним слідом площини: .

У разі, коли перетинаються фронтально-проекціювальна пряма l з горизонтально-проекціювальною площиною [10, c. 6] (рис. 6 б), фронтальна проекція ^ K2 точки перетину збігається з фронтальною проекцією l2 прямої, а горизонтальна проекція K1 є точкою перетину l1 з горизонтальним слідом площини: .




а



б

Рисунок 6 – Перетин проекціювальних прямої та площини:

а) ; б)


Якщо площина є проекціювальною (рис. 7), а пряма – загального положення, то побудова точки їх перетину розв’язується за нескладним алгоритмом.



а



б



в


Рисунок 7 – Побудова точки перетину прямої загального положення з проекціювальною площиною:

а) ; б) ; в)

Розглянемо, наприклад, алгоритм побудови точки K перетину прямої l з горизонтально-проекціювальною площиною Σ (рис. 7 а):

1) знаходиться горизонтальна проекція точки перетину прямої з площиною: ;

2) за допомогою ліній проекційного зв’язку визначаються фронтальна ^ K2, а у разі необхідності й профільна K3, проекції точки K;

3) встановлюється видимість відрізків прямої l за допомогою методу конкуруючих точок [1, с. 23].


^ 4 Послідовність знаходження точки перетину прямої з площиною


У загальному випадку, коли пряма l та площина Σ займають загальне положення у просторі [10, c. 6 – 7], для побудови точки їх перетину на пряму накладається проекціювальна додаткова січна площина Ω; потім знаходиться перетин додаткової площини Ω із заданою площиною по лінії т: ; і, нарешті, визначається точка перетину отриманої лінії т з прямою l (рис. 8).

Алгоритм побудови точки K перетину прямої l з площиною загального положення Σ:

1) через пряму l проводиться додаткова січна площина Ω, наприклад, горизонтально-проекціювальна: ;

2) знаходяться горизонтальна т1 й фронтальна т2 проекції лінії перетину т додаткової січної площини із заданою площиною: ;

3) визначаються проекції точки перетину прямих т і l: . Отримана точка є точкою перетину заданих прямої та площини: ;

4) встановлюється видимість прямої l за допомогою методу конкуруючих точок [2, с. 37].




Рисунок 8 – Побудова точки перетину прямої з площиною загального положення


^ 5 Визначення відстані від точки до площини


Метричні задачі пов’язані зі знаходженням лінійних і кутових характеристик геометричних фігур [4, c. 58]. Велика різноманітність метричних задач зводиться врешті-решт до двох видів:

– задачі на визначення відстані між двома точками;

– задачі на визначення величини кута між двома пересічними прямими.

Алгоритм розв’язання будь-якої метричної задачі ґрунтується на інваріантній властивості ортогонального проекціювання: будь-яка плоска фігура, яка належить площині, паралельній площині проекцій, проекціюється на останню в конгруентну фігуру:

Так, для визначення відстані від точки А до площини Σ застосовують такий алгоритм (рис. 9):

1) через точку ^ А проводиться пряма п, перпендикулярна до заданої площини: ;

2) знаходиться точка N перетину прямої п з площиною Σ за допомогою алгоритма, описаного вище: ;

3) визначається дійсна довжина відрізка ^ АN методом прямокутного трикутника [9, c. 18 – 20], яка і є відстанню від точки А до площини Σ.





Рисунок 9 – Визначення відстані від точки до площини


^ 6 Взаємне положення двох площин


Задачі про визначення взаємного положення двох площин (рис. 10) входять до циклу позиційних задач, а саме:

1) площини збігаються;

2) площини паралельні;

3) площини перетинаються під будь-яким кутом, крім прямого;

4) одна площина перпендикулярна до іншої.


Дві площини збігаються (рис. 10 а), якщо виконується умова: три точки однієї з площин належать іншій площині: .






а

б





в

г


Рисунок 10 – Взаємне положення двох площин:

а) площини збігаються; б) паралельні площини;
в) пересічні площини; г) перпендикулярні площини


^ 7 Ознаки паралельності й перпендикулярності двох площин


Усі задачі на побудову двох паралельних площин (рис. 11 а) ґрунтуються на такій теоремі [5, c. 79]: дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим іншої площини.




а



б

Рисунок 11 – Взаємне розміщення площин:

а) паралельні площини; б) перпендикулярні площини


Під час розв’язання позиційних задач на перпендикулярність площин (рис. 11 б) потрібно використовувати таку теорему [4, c. 64]: дві площини взаємно перпендикулярні, якщо в одній з них існує пряма, перпендикулярна до іншої площини.

На підставі умови перпендикулярності площин, задачу про побудову площини Ω, перпендикулярної до площини Σ, необхідно розв’язувати у такій послідовності:

1) будується пряма l, перпендикулярна до площини Σ;

2) через пряму l проводиться площина Ω.

Оскільки через пряму l можна провести безліч площин, то вказана задача на перпендикулярність двох площин у загальному випадку має множину розв’язків. У зв’язку з цим, з метою конкретизації відповіді, необхідно вказувати додаткові умови задачі.

  1   2   3

Схожі:

2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconПоложення її у тривимірному просторі? Теореми про проеціювання кутів та відстаней між геометричними фігурами в натуральну величину. Розв’язати задачу
Варіанти завдання площини на епюрі. Сліди площини, їх властивості. Положення площин відносно площин проекцій
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до практичних занять на тему
Методичні вказівки до практичних занять на тему «Практикум програмування мовою рнр. Частина 1» із дисципліни «Спеціалізовані мови...
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до практичних занять на тему
Методичні вказівки до практичних занять на тему «Практикум програмування мовою рнр. Частина 2» із дисципліни «Спеціалізовані мови...
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до проведення практичних занять
Методичні вказівки до проведення практичних занять на тему «Кредитування» з дисципліни "Фінанси підприємств" / укладачі: В. Г. Боронос,...
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до практичних занять на тему «Медична термінологія» з дисципліни «Англійська мова» для студентів спеціальності 110101 «Лікувальна справа»
Методичні вказівки до практичних занять на тему «Медична термінологія» з дисципліни «Англійська мова» / укладачі І. М. Терлецька,...
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до практичних занять та самостійної роботи на тему " методика розрахунку ефективності роботи котлоагрегату "
Методичні вказівки до практичних занять та самостійної роботи на тему "Методика розрахунку ефективності роботи котлоагрегату" з курсу...
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» icon2. 1 Пряма
Визначник прямої – дві точки, тому й на епюрі пряма задається проекціями двох точок
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до практичних занять на тему "Програмна реалізація логічних функцій "
Методичні вказівки до практичних занять на тему “Програмна реалізація логічних функцій ”
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconПрограма фахового іспиту
Рівняння площини, що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
2859 Методичні вказівки до практичних занять на тему «Взаємне положення точки, прямої та площини І двох площин» iconМетодичні вказівки до виконання практичних занять та
Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни «Бізнес-планування інноваційних проектів» / Укладач: Д. В. Горобченко. – Суми:...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи