Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет icon

Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет




НазваМіністерство освіти І науки України Сумський державний університет
Сторінка1/8
Дата02.08.2012
Розмір0.64 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7   8





Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет













Рекомендовано вченою радою

Сумського державного університету

як навчальний посібник


Суми

Вид-во СумДУ

2007

УДК 519.3+534.1

П 12

ББК 30.19.21+30.15.27


Рецензенти:

д-р техн. наук, проф. В.І. Симоновський;

канд. техн. наук, проф. І.Б. Карінцев


Рекомендовано до друку вченою радою Сумського державного

університету Міністерства освіти і науки України

(протокол № від 12.01.2007р.)


Павленко І.В.

П 12 Метод скінченних елементів в задачах коливань механічних систем: Навчальний посібник.– Суми: Вид-во СумДУ, 2007.–180с.

ISBN 966-657-087-4


Посібник розрахований на студентів спеціальності «Динаміка і міцність», а також для студентів інженерних спеціальностей, що факультативно вивчають метод скінченних елементів.

Викладені основи методу скінченних елементів при розв’язанні задач коливань лінійних пружних систем. Наведені приклади розрахунків власних частот коливань та побудови частотних характеристик.

ББК 30.

ISBN 966-657-087-4 © І.В. Павленко, 2007

© Вид-во СумДУ, 2007

ЗМІСТ

С.

ВСТУП ..........................................................................................................

5

1

^ ОСНОВИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ СИСТЕМ
ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ ........................................


6




1.1

Основні поняття та визначення ................................................

6




1.2

Вільні коливання систем з одним ступенем вільності ...........

7




1.3

Вимушені коливання ..................................................................

9




1.4

Системи зі скінченним числом ступенів вільності .................

11







1.4.1

Диференціальні рівняння коливань .............................

11







1.4.2

Аналіз вільних незгасальних коливань .......................

13







1.4.3

Аналіз вимушених коливань ........................................

14
















2

^ ОСНОВИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ СИСТЕМ
З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ ...........................................


23




2.1

Основні поняття та визначення ................................................

23




2.2

Поздовжні коливання стрижнів ..............................................

24




2.3

Згинальні коливання балок ......................................................

27













3

МЕТОД СКІНЧЕНнИХ ЕЛЕМЕНТІВ ПРИ РОЗВ’ЯЗАННІ
ЗАДАЧ КОЛИВАНЬ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ ..............................


35




3.1

Рівняння динаміки ......................................................................

35




3.2

Коливання пружно-масових систем .........................................

38







3.2.1

Масовий елемент ..........................................................

38







3.2.2

Лінійний пружний елемент .........................................

39




























3.3

Коливання стрижневих систем .................................................

50







3.3.1

Стрижневий двовузловий елемент .............................

50







3.3.2

Довільне розміщення елементів ..................................

60







3.3.3

Стрижневий тривузловий елемент .............................

72







3.3.4

Стрижневий чотиривузловий елемент .......................

79







3.3.5

Урахування розподіленого навантаження .................

87







3.3.6

Недеформований стрижень .........................................

94




3.4

Коливання балок .........................................................................

100







3.4.1

Балковий двовузловий елемент ...................................

100







3.4.2

Балковий тривузловий елемент ...................................

111







3.4.3

Урахування розподілених навантажень .....................

120







3.4.4

Рамний елемент ............................................................

129




3.5

Полігармонійний аналіз ….........................................................

142




3.6

Плоска задача теорії коливань ..................................................

151







3.6.1

Плоский прямокутний елемент ...................................

151







3.6.2

Плоский трикутний елемент .......................................

164
















ВИСНОВКИ .................................................................................................

177







СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ .............................................................................

178


ВСТУП


Коливання з давніх часів стали предметом всебічного наукового інтересу. У зв'язку з цим налічується надзвичайно велика кількість праць, присвячених розвитку й застосуванню теорії коливань. Висококваліфікованому інженеру необхідно знати властивості й закони коливань, уміти виявляти позитивні й негативні сторони процесу.

У навчальному посібнику викладені основи методу скінченних елементів у застосуванні до розв’язання задач коливань механічних систем.

Перший розділ містить короткі відомості про коливання систем із зосередженими параметрами й континуальних систем. При цьому мається на увазі, що читач знайомий з основними поняттями й визначеннями в рамках курсів вищих навчальних закладів.

У наступних розділах докладно розглянуті основи методу скінченних елементів стосовно до конкретних задач аналізу вільних і вимушених коливань механічних систем. Докладно розглянуто значну кількість прикладів для більш глибокого засвоєння викладеного матеріалу.

У підручнику широко використовується матричне числення, що значно спрощує теоретичні викладення. Чимала увага приділяється вибору способу складання диференціальних рівнянь коливань, розв’язанню в буквеному вигляді, з'ясуванню фізичної сутності отриманих результатів.


1 ^ ОСНОВИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ СИСТЕМ

ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ


1.1 Основні поняття та визначення

Наука, що вивчає закони коливань, називається теорією коливань.

Коливання – це процес почергового зростання й зниження в часі будь-якої фізичної величини. Залежно від фізичної сутності цієї величини розрізняють механічні, електричні та інші види коливань.

Під час коливань здійснюється безперервне перетворення потенціальної енергії в кінетичну й навпаки. При цьому внаслідок тертя частина механічної енергії перетворюється в теплову, яка виділяється коливальною системою. Це явище називається розсіюванням енергії.

За характером збудження розрізняють такі види коливань:

1) вільні – коливання без зовнішнього збудження;

2) вимушені – коливання, що виникають як наслідок силового або кінематичного збудження;

3) автоколивання – коливання, що виникають у результаті надходження енергії в систему з боку неколивального джерела;


За кінематичним принципом коливання поділяють на періодичні й неперіодичні, детерміновані й випадкові, стаціонарні й нестаціонарні.

Залежно від вигляду деформації коливання поділяють на поздовжні, крутильні, згинальні й складні.

За кількістю ступенів вільності розрізняють системи зі скінченним числом ступенів вільності та континуальні системи.

Якщо повна енергія системи незмінна, то система називається консервативною, в іншому випадку – неконсервативною.

Якщо система диференціальних рівнянь, що характеризує коливальний процес, є лінійною, то такі коливання називаються лінійними, в іншому випадку – нелінійними.

Предметом вивчення даної книги є лінійні механічні детерміновані вільні й вимушені коливання.


^ 1.2 Вільні коливання систем з одним ступенем вільності

При розгляді вільних коливань системи з одним ступенем вільності (рисунок 1) диференціальне рівняння коливань можна скласти на підставі рівняння Лагранжа другого роду:

(1)

де q – узагальнена координата;

Т – кінетична енергія системи;

П – потенціальна енергія системи;

R – дисипативна функція.



Рисунок 1 – Приклади систем з одним ступенем вільності

При цьому для системи з одним ступенем вільності мають місце наступні вирази:

(2)

де m, c, μ – відповідно коефіцієнти інерції, жорсткості й демпфірування.

Підстановкою виразів (2) у рівняння (1) отримаємо диференціальне рівняння вільних коливань одномасової системи:

(3)

При відсутності демпфірування отримаємо:

(4)

Розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді:

(5)

де А – амплітуда коливань;

ω – власна частота вільних коливань;

φ – початкова фаза коливань.

Підстановкою розв’язку (5) у рівняння (4) отримуємо:

(6)

звідки знаходимо власну частоту системи:

(7)

^ 1.3 Вимушені коливання

Вимушені коливання системи можна скласти на підставі рівняння Лагранжа другого роду:

(8)

де Q – узагальнена сила.

Розрізняють довільні, періодичні й гармонійні детерміновані збуджувальні зусилля.

У випадку гармонійної сили

(9)

де ^ Q0 – амплітуда сили;

ω – частота сили,

а також з урахуванням виразів (2) отримаємо

(10)

Розв’язок шукаємо у вигляді

(11)

Підстановка виразу (11) у рівняння (10) дає

(12)

або

(13)

звідки маємо

(14)

(15)

Залежності амплітуди й фази реакції системи від частоти гармонійної сили називаються відповідно амплітудно-частотною й фазовою частотною характеристиками системи (рисунок 2).




Рисунок 2 – Амплітудно-частотна й фазова частотна
характеристики системи

^ 1.4 Системи зі скінченним числом ступенів вільності

1.4.1 Диференціальні рівняння коливань

Реальну механічну систему, що має нескінченне число ступенів вільності, для спрощення моделюють дискретною системою зі скінченним числом ступенів вільності. Відхилення (переміщення) системи з N ступенями вільності від положення рівноваги визначають значення N узагальнених координат qi, які утворюють вектор-стовпець:

(16)

^ Положенням рівноваги механічної системи зі стаціонарними зв'язками в полі консервативних сил називається точка = 0 (де 0 – нульовий вектор-стовпець) і відповідний стан системи, якщо її потенціальна енергія має стаціонарне значення (узагальнені координати дорівнюють нулю).

Для складання диференціальних рівнянь коливань найчастіше використовують рівняння Лагранжа другого роду, принцип Даламбера, методи будівельної механіки.

При використанні рівнянь Лагранжа другого роду необхідно перш за все скласти вирази для кінетичної й потенціальної енергій, дисипативної функції, а також вирази для узагальнених сил.

Для лінійних механічних систем зі стаціонарними зв'язками кінетична й потенціальна енергії, а також дисипативна функція є квадратичними формами

(17)

де q – вектор узагальнених координат;

М, С, R – відповідно матриці інерції, жорсткості й демпфірування, елементи яких можна обчислити за формулами

(18)

Сукупність N диференціальних рівнянь Лагранжа другого роду

(19)

утворять одне матричне диференціальне рівняння

(20)

де Q – вектор-стовпець узагальнених сил

(21)

Безпосередня підстановка виразів (17) і (21) у рівняння (20) дає

(22)

або з урахуванням правил диференціювання квадратичних форм

(23)

1.4.2 Аналіз вільних незгасальних коливань

У випадку вільних незгасальних коливань матричне диференціальне рівняння (23) набуває вигляду

(24)

Частинний розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді головних (синхронних і синфазних) коливань

(25)

де и – вектор-стовпець амплітудних коефіцієнтів (форма коливань, власний вектор);

А – амплітуда головних коливань.

Підставивши розв’язок (25) у рівняння (24), отримаємо

(26)

Нетривіальний розв’язок останнього рівняння відносно вектора и існує лише у випадку, коли виконується умова

(27)

Отримане рівняння називається віковим (частотним) рівнянням.

Усі корені вікового рівняння є дійсними числами. Арифметичні значення квадратних коренів з є власними частотами коливань системи.

Упорядкована сукупність власних частот

(28)

називається спектром власних частот.

Підстановкою значення i-ї власної частоти у вираз (26) отримаємо систему (^ N – 1) незалежних рівнянь відносно N невідомих компонентів вектора и.

Припустивши, наприклад, що и1 = 1, отримаємо власну форму коливань системи, яка відповідає i-й власній частоті

(29)


1.4.3 Аналіз вимушених коливань

У випадку збудження коливань гармонійними силами з однаковою частотою рівняння (23) матиме вигляд

(30)

де Р – вектор амплітуд гармонійних узагальнених сил

(31)

Обмежимося знаходженням розв’язку, який відповідає вимушеним коливанням.

Застосовуючи метод комплексних амплітуд, перейдемо до таких комплексних векторів:

(32)

Підстановка виразів (32) у рівняння коливань (30) після перетворень дає

(33)

звідки вектор комплексних амплітуд

(34)

де D – динамічна матриця податливості:

(35)

Розв’язок рівняння (30) набуває вигляду

(36)

де А1, А2, …, АN та φ1, φ2, …, φN – відповідно амплітудно-частотні й фазові частотні характеристики системи

(37)

  1   2   3   4   5   6   7   8

Схожі:

Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconКонспект лекцій Суми Сумський державний університет 2012 Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Сумський державний університет
Внутрішній економічний механізм підприємства: конспект лекцій / укладач Н. В. Мішеніна.– Суми : Сумський державний університет, 2012....
Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconСумський державний університет Бібліотека. Інформаційно-бібліографічний відділ
Україна. Міністерство освіти І науки. Про запровадження у вищих навчальних закладах України Європейської кредитно-трансферної системи:...
Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки України Сумський державний педагогічний університет ім. А. С. Макаренка Сумський національний аграрний університет Сумська обласна державна адміністрація Управління освіти І науки ват сумихімпром інформаційний лист
Сумського державного педагогічного університету ім. А. С. Макаренка відбудеться регіональна наукова конференція молодих дослідників...
Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки україни міністерство охорони здоров’я україни сумський державний університет медичний інститут факультет післядипломної медичної освіти
Етіопатогенез виразкової хвороби шлунка та дванадцятипалої кишки
Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки україни міністерство охорони здоров’я україни сумський державний університет медичний інститут факультет післядипломної медичної освіти
Механічне подразнення назостравохідним зондом і трахеостомічною трубкою
Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки україни
Згідно з наказом Міністерства освіти І науки України Сумський державний університет запрошує взяти участь у II етапі Всеукраїнської...
Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни сумський державний університет

Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни сумський державний університет

Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни сумський державний університет

Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни сумський державний університет

Міністерство освіти І науки України Сумський державний університет iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни сумський державний університет

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи