Тема: Показникова функція, її графік І властивості icon

Тема: Показникова функція, її графік І властивості




Скачати 168.69 Kb.
НазваТема: Показникова функція, її графік І властивості
Дата02.08.2012
Розмір168.69 Kb.
ТипЛекція



Алгебра та початки аналізу

11 – кл.


Лекція 1.

ТЕМА: Показникова функція, її графік і властивості.

План.

1. Означення показникової функції.

2. Задачі, які приводять до поняття показникової функції.

3. Побудова графіка показникової функції.

4. Властивості показникової функції.


  1. Означення показникової функції.

Означення. Функція виду де a0, а≠1, яка містить у показнику аргумент х,

називається показниковою за основою а.

Наведемо приклади показникових функцій:


Завдання. 1) Які з поданих функцій є показниковими:

?

2) На прикладах і поясніть чим відрізняється показникова

функція від степеневої.

3) Наведіть приклади показникових функцій.

4) Знайдіть значення функції , якщо х=2; х=-2; х=0.


  1. Задачі, які приводять до поняття показникової функції.

Нині багато говорять про інформаційний бум. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес у вигляді графіка деякої функції.

Візьмемо обсяг інформації в деякий початковий рік за 1. Удвічі більший відрізок поставимо над одиничною оцінкою, вважаючи, що оцінка відповідає першому десятку років. Удвічі більший відрізок відповідає другому десятку років, ще вдвічі більший – третьому і т.д. Обране нами значення аргументу є елементами арифметичної прогресії:

2, 4, 8, … Сполучимо всі побудовані точки плавною лінією – перед нами графік показникової функції. Головна особливість графіка цієї функції – її крутизна.




Показникова функція зустрічається в описі процесів, у яких швидкість зміни величини пропорційна до самої величини. За таким правилом розмножується все живе, збільшується колонія мікробів у чашці Петрі. За таким саме законом плодилися кролі, які за короткий термін заполонили Австралію. Прикладом показникового спадання є хід хімічної реакції: швидкість хімічної реакції пропорційно до кількості речовин, що реагують. Швидкість радіоактивного розпаду також пропорційна до кількості атомів, що не розпалися.

Зупинемося на радіоактивному розпаді, який описується рівнянням

, де m – маса речовини в момент часу t;

- маса речовини в момент часу t=0; T – період напіврозпаду.

Задача. Обчислити, яка частина радія залишиться через 1000 років, якщо період його полу

розпаду дорівнює 1550 років.

Розв’язання.

За законом радіоактивного розпаду маємо:


; .

Відповідь: 0,7.


3. Побудова графіка показникової функції.

Побудуємо графіки функцій для цього складемо таблицю:

Змінна х

-3

-2

-1

0

1

2

3









1

2

4

8



8

4

2

1








Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з’єднаємо їх плавною лінією.




Питання. 1. Що є спільного в графіках функцій і чим вони

відрізняються?



  1. Як розташовані графіки функцій відносно один до одного?

  2. Чи мають спільну точку графіки і ?

4. Дано декілька зростаючих функцій ; ; .

Записати їх у порядку зменшення швидкості зростання для х0.




Завдання.

Побудувати графіки функцій:

1) .

Щоб побудувати графік функції , треба виконати паралельне перенесення

графіка функції на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох, або побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Оу на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох і побудувати в новій системі координат хОу графік функції.

2) .

Виконаємо перетворення =. Побудову графіка виконуємо паралельним перенесенням графіка функції на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох.

3) .

Щоб побудувати графік функції , треба побудувати частину графіка для х0 і цю частину симетрично відобразити відносно осі Оу.


4) .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад1.) для х1; 2) симетрично відобразити побудовану частину графіка відносно осі Оу.


5) .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад1.) для х0; 2) симетрично відобразити побудовану частину графіка відносно осі Оу.


6) .

Щоб побудувати графік функції , треба виконати паралельне перенесення

графіка функції на 3 одиницю вниз вздовж вісі Оу, або побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Ох на 3 одиниці вниз вздовж вісі Оу і побудувати в новій системі координат графік функції.


7) .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад5.) для у0 (вище вісі Ох); 2) частину графіка, яка нище вісі Ох симетрично відобразити відносно осі Ох.

8) . УВАГА ЗНО ІІІ частина.

Перетворимо функцію =.

Область визначення цієї функції х(-;).

1) = ;  1;х 0.

2) =0;  , якщо 1; х0.

Отже, якщо х0, то графік функції - пряма, яка паралельна вісі Ох;

якщо х 0, то графік функції -1. Щоб побудувати графік функції

-1, треба побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Ох на 1 одиниці вниз вздовж вісі Оу, а вісь Оу перенести на 1 одиницю вліво вздовж вісі Ох і побудувати в новій системі координат хОу графік функції.




Завдання для самостійної роботи.

Побудувати графіки функцій:

1) .

2)

3) .

4) .

5) .



  1. Властивості показникової функції.

Покажемо властивості показникової функції у вигляді таблиці для

0а1 і а1.





, 0а1

, а1

  1. Область визначення:

Множина дійсних чисел

х(-;)

  1. Область визначення:

Множина дійсних чисел

х(-;)

  1. Область значень:

Множина додатних чисел

у0;)

2. Область значень:

Множина додатних чисел

у0;)

  1. Функція спадає на всій

області визначення

3. Функція зростає на всій

області визначення

  1. Графік функції перетинає

вісь Оу в точці (0;1).


4. Графік функції перетинає

вісь Оу в точці (0;1).


  1. Для х0, у1;

для х0, у1.

5. Для х0, у1;

для х0, у1.


Завдання 1. Порівняйте властивості показникових функцій для 0а1 і а1,

назвіть спільні властивості.

Завдання 2. Які з показникових ; функцій зростають?

Які з показникових функцій ; ; ; спадають?


Завдання 3.

а) Знайти область визначення функції .

Розв’язування.

Якщо 30 і 31 функція визначена для любого значення х з проміжка (-;).

Відповідь: (-;).

б) Знайти область визначення функції .

Розв’язування.

Якщо 50 і 51 функція визначена на множині невід’ємних значень х , бо аргумент міститься під знаком квадратного кореня: х0.

Відповідь: 0;).

в) Знайти область визначення функції .

Розв’язування.

Для показникової функції а0 і а1, тому основа х0 і х1, а в показнику – любе значення х. Область визначення функції х(0;1)(1; ).

^ Відповідь: (0;1)  (1;).

Завдання для самостійної роботи.

Знайти область визначення функції:

1) .

2) .

3) .

4) .


Завдання 4.

а) Знайти область значень функції .

Розв’язування. Областю значень показникової функції є множина додатних чисел

0 ; ).

Відповідь: ).

б) Знайти область значень функції .

Розв’язування. Областю значень показникової функції є множина додатних чисел

0 ;  (-1) (обидві частини нерівності помножимо на -1)

--0;

(-;0).

Графік функції нижче осі Ох, бо він є симетричним відображенням графіка відносно осі Ох.

Відповідь: (-;0).

в) Знайти область значень функції .

Розв’язування. Областю значень показникової функції є множина додатних чисел

0 ;

0 ; + 3; (до обох частин нерівності прибавимо 3)

0+3+3 ;

(3;).

Відповідь: (3;).


г) Знайти область значень функції .

Розв’язування.

Показник функції змінюється в межах

-1 соsх 1 від обох частин нерівності віднімаємо 1,

маємо -2 соsх-1 0 ,

якщо показник функції змінюється в межах -2 соsх-1 0 ,

то сама функція змінюється в межах ;

;

(;1).

Відповідь: (;1).


Завдання для самостійної роботи.

Знайти область значень функцій:

1).

2) .

3) +2.


Завдання 5.

а) Порівняти числа m i n, якщо .

Розв’язування. Основа 1 і функція спадає, тобто більшому значенню аргумента х відповідає менше значення функції, звідси mn.

Відповідь: mn.


б) Порівняти числа m i n, якщо .

Розв’язування. Основа 51 і функція зростає, тобто більшому значенню аргумента х відповідає більше значення функції, звідси mn.

Відповідь: mn.


в)Порівняти числа m i n, якщо .

Розв’язування. Основа 1 і функція зростає, тобто меншому значенню аргумента х відповідає менше значення функції, звідси mn.

Відповідь: mn.


Завдання 6.

а) Порівняти з одиницею . Пам’ятаємо, що .

Розв’язування. Порівняємо і Основа 0,21 і функція спадає, тоді меншому показнику -5 відповідає більше значення степеня . Порівняємо показники -50 звідси 1.

ІІ спосіб. = звідси 1.

Відповідь: 1.


б) Порівняти з одиницею .

Розв’язування. Порівняємо і . Основа 1 і функція зростає, тобто більшому показнику 0,6 відповідає більше значення функції .

Якщо 0,60, звідси ;  1.

Відповідь: 1.


Завдання 7. Зробіть висновок відносно основи а.

а) Зробіть висновок відносно основи а, якщо .

Розв’язування. Якщо функція з зростанням аргументу спадає, то 0а1 і навпаки, якщо з зростанням аргументу і функція зростає, тоді а1.

Якщо і -0,50,5, тоді 0а1.

Відповідь: 0а1.


б) Зробіть висновок відносно основи а, якщо .

Розв’язування. Якщо функція з зростанням аргументу спадає, то 0а1 і навпаки, якщо з зростанням аргументу і функція зростає, тоді а1.

Якщо і 2-2, тоді а1.

Відповідь: а1.


Завдання для самостійної роботи.

1. Порівняти числа m i n, якщо а); Б) .

2. Порівняти з одиницею а) ; б) .

3. Зробіть висновок відносно основи а: а) ; б).


Тести для самостійного контролю знань.

Середній рівень.

  1. Задано показникову функцію . Виберіть правильне твердження.

А. Графіком заданої функції є пряма.

Б. Задана функція спадає на всій області визначення.

В. Графік заданої функції має вигляд:




Г. Графік заданої функції має вигляд:




  1. Задано показникову функцію . Виберіть правильне твердження.

А. До області визначення заданої функції входять тільки від ємні числа.

Б. Задана функція спадає на всій області визначення.

В. Графік заданої функції має вигляд:




Г. Множина значень заданої функції – всі дійсні числа.

  1. Знайдіть область визначення функції .

А. (-;); Б. (1;); В. 1;); Г. 0;).

4. Знайдіть область визначення функції А. 1;); Б. (-;); В. 3;); Г. (0;).

5. Яка точка належить графіку функції :

А. (2;3); Б. (0; 9); В. (0;19); Г. (1;3)?

Достатній рівень.

  1. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень, пов’язаних з показниковими функціями, правильні, а які неправильні.






  1. Знайдіть найбільше значення функції :

А. 12; Б. 2; В. -1; Г. 1.

3. Порівняйте числа х і у , якщо відомо, що вірна нерівність :

А. ху; Б. ху; В. х=у.

4. Знайдіть область визначення функції :

А. (-;); Б. (1;); В. 1;); Г. 0;).


Високий рівень.

1. Знайдіть область визначення функції :

А. (-;); Б. х≠; В. х≠; Г. 0;).

2. Знайдіть найменше значення функції

А. 4; Б. 64; В. 2; Г. 1.

3. Поставте кожній функції у відповідність її графік

А. ; Б. ; В. Г. .




Перевіримо знання з теорії.

Чи правильні твердження? Відповідь + або .

  1. Множина значень х, для якої визначені значення функції ,

називають областю визначення функції.

  1. Функція зростає.

  2. Графіки функцій і симетричні відносно осі Оу.

  3. Графік функції проходить через точку (1;0).

  4. При а1 функція спадає.

6. Точка (½;) належить графіку функції

7. Графік функції проходить через точку А(2;4), тоді а=4.

8. Область значень функції множина додатних чисел.

9. Графіки функцій ; ; не мають спільних точок.

10. Область визначення функції множина дійсних чисел.

11. Область визначення функції х(-;).

12. Швидкість зростання графіку функції більше, ніж .


Розглянемо системи рівнянь, що містять показникові функцію від невідомих.

Пригадаємо, що розв’язати систему рівнянь – значить знайти таку пару чисел (х;у),

щоб обидва рівняння перетворились у вірну рівність. Пара чисел (х;у) є розв’язком системи.

При розв’язуванні систем показникових рівнянь використовуються звичайні прийоми:

спосіб додавання і підстановки, уведення нових змінних.

Приклад 1 . Розв’язати систему рівнянь:







Розв’язування.

Розв’яжемо систему рівнянь підстановкою:





Відповідь: (2;0).


Приклад 2.





Розв’язування.

Розв’яжемо систему рівнянь способом додавання – при додаванні рівнянь (1) + (2)

отримаємо:









Відповідь: (2;0).


Приклад 3.





Розв’язування.

Розв’яжемо систему рівнянь введенням змінних а і b: ; .







або 



або 

Відповідь: (1;0); (0;1).


Для самостійного контролю знань.

Розв’язати систему рівнянь:

1) 




2) 




3) 




Кросворд «І шуткуємо, і міркуємо»






6
















4
















5







2


































1

3
























































































































По горизонталі:

  1. Має кожнє слово, рослина і може бути у рівнянні.

По вертикалі:

  1. Назва функціі, кожен графік якої буде проходити через точку (0;1).

  2. Вимираючий різновид учнів.

  3. Перевірка учнів на витривалість.

  4. Вчений-математик, механік і астроном. Його вираз щодо показникової функціі є на початку лекції 1.

  5. Інша назва незалежної змінної в функціі.



Домашня контрольна робота.

Початковий рівень

  1. Яка з даних функцій є показниковою?

А) ; Б) ; В) ; Г) .

2. Яка з даних функцій є зростаючою?

А) у=; Б) у=10; В) ; Г) .

3. Відомо, що . Порівняйте mn.

А) mn; Б) mn; В) m=n; Г) mn.


^ Середній рівень.

  1. Графік функції перенесли паралельно на 2 одиниці вліво вздовж осі абсцис на 6 одиниць вниз вздовж осі ординат. Графік якої функції було отримано?

А) ; Б) ; В) ; Г) .

  1. Розв’яжіть рівняння

А) Б) В) Г) .

3. Розв’яжіть рівняння

А) 3; Б) 2; В) 1; Г) 0.

4. Розв’яжіть нерівність .

Достатній рівень.

  1. Розв’яжіть нерівність .

  2. Розв’яжіть рівняння .

  3. Розв’яжіть рівняння .

  4. Розв’яжіть рівняння .

  5. Розв’яжіть нерівність 5125.

  6. Розв’яжіть нерівність .

Високий рівень.

1. Розв’яжіть рівняння .

2. Розв’яжіть рівняння .

3. Розв’яжіть нерівність .

4. Розв’яжіть нерівність .

5. При яких значеннях параметра а рівняння має два

різних корені?





Схожі:

Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconТема: Показникова функція, її графік І властивості
Нині багато говорять про інформаційний бум. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес...
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconРішення щодо обсягу випуску продукції залежить від
Виробнича функція і її властивості. Ізокванта. Гранична норма технологічного заміщення
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconПрограма фахового іспиту
Отримання деревної волокнистої сировини. Технологічний процес виготовлення паперу. Структурно-розмірні властивості. Механічні властивості....
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconПрограма фахового іспиту
Отримання деревної волокнистої сировини. Технологічний процес виготовлення паперу. Структурно-розмірні властивості. Механічні властивості....
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconПротокол №5 від «19»
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconПротокол №5 від «19»
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconФінансовий менеджмент Тема «Ризик та доходність»
Стандартизована функція щільності нормального закону розподілу (Standard Normal Distribution)
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Тема: Показникова функція, її графік І властивості iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича
Неперервність функції. Дії над неперервними функціями. Складена функція. Обернена функція
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи