Моделювання руху систем взаємодіючих частинок icon

Моделювання руху систем взаємодіючих частинок




НазваМоделювання руху систем взаємодіючих частинок
Дата05.07.2013
Розмір67.8 Kb.
ТипДокументи

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ


СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВАРСИТЕТ КАФЕДРА МОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ


ОДЗ

З предмету «Методи комп’ютерного експерименту»

На тему: «Моделювання руху систем взаємодіючих частинок»


Виконав: студент групи ПМ-81

Прощайло А.С

Перевірив: Князь І.О


Суми 2012р.

ЗАВДАННЯ


Побудуйте траєкторії руху N матеріальних частинок з масами mi, що взаємодіють між собою із силами Fij=Fij(xi,xj,rij), де rij - відстань між частинками i і j у силовому полі Fi=F(mi,xi), при заданих початкових координатах та швидкостях , враховуючи силу тяжіння. Визначити внутрішню енергію системи у рівноважному стані.

^ Моделювання руху систем взаємодіючих частинок

Оскільки нашою метою є вивчення системи багатьох частинок, можна ввести деякі спрощення:

  • динаміка системи – класична (працюють закони Ньютона),

  • частинки – хімічно-інертні тіла (нема хім. реакцій).

Розглянемо систему із N частинок, що взаємодіють із силами обернено пропорційними квадрату відстані. Відповідно до законів Ньютона еволюція системи у часі визначається згідно рівнянь:



Fi-рівнодіюча зовнішніх сил, що діють на і-ту частинку з боку тіл, що не входять у систему

 - внутрішня сила, що діє на і-ту частинку з боку j-тої. Останній множник вводиться для врахування напрямку дії сили.

Подана модель дозволяє вивчити рух у центральносиметричному полі, абсолютно пружні та не пружні удари, дифузію, рух планет.

Труднощі вивчення системи з далекодіючими силами полягають у тому, що кожна частинка ефективно взаємодіє з будь-якою іншою, тому у системі із N частинок буде N(N-1)/2 взаємодій, отже, навіть для чисельних методів, число N обмежено зверху величиною порядку 10­3, оскільки виникла необхідність стежити за 106 взаємодій, однак 10­3 достатньо для прояву статистичних властивостей ансамблю і це дає можливість експериментально вивчати статистичну механіку.

Розглянемо різницеву апроксимацію поданих рівнянь.

Придатним є метод з переступами:





Ми забезпечимо точне збереження енергії і одночасно спростимо обчислення, якщо будемо використовувати 3-й закон Ньютона: збільшення імпульсу і-тої частинки обумовлене взаємодією із j-тою частинкою, дорівнює зменшенню імпульсу j-тою частинки, обумовлено і-тою частинкою.

Якщо повний об’єм, зайнятий системою, дорівнює V, то з кожною частинкою зв’язаний вільний об’єм . V/N=4/3Pia3, а-характерна відстань взаємодії, N – концентрація частинок Крок за часом варто обирати наступним чином: |

^ Визначення термодинамічних властивостей класичних середовищ за допомогою усереднення за часом.


Якщо відомі потенціали, чи сили, що діють між частинками, які утворюють класичну рідину, подана машинна модель дозволяє отримати рівняння стану середовища; описує такі термодинамічні властивості як фазові переходи, магнітна та електрична проникності. Однак часто сили, що діють між частинками невідомі. Незважаючи на це, постулюючи вид цих сил можна за допомогою такої моделі одержати можливі властивості цих систем і у результаті порівняння з експериментом можна у свою чергу визначити поліпшені молекулярні потенціали.

Таким чином, подану машинну модель можна використовувати для одержання інформації, по-перше, про макроскопічні термодинамічні властивості та мікроскопічні молекулярні властивості.

Метод молекулярної динаміки: точна еволюція у часі системи з m молекул просліджується шляхом поступового інтегрування детерміністичних рівнянь руху для кожної молекули. Після достатнього числа кроків за часом передбачається, що термодинамічна рівновага настала і термодинамічні властивості визначаються шляхом усереднення тих мікроскопічних властивостей , які є предметом дослідження.

Побудуємо систему m частинок у деякому об’ємі V, причому для опису нескінченого середовища звичайно використовуються періодичні граничні умови. Як придатний приклад потенціалу взаємодії між частинками розглянемо потенціал Леннарда- Джонса. Потенціал Леннарда-Джонса наближено описує потенціал взаємодії між двома частками - відштовхування на малих відстанях і тяжіння на великих. Він записується в наступному вигляді:




де  – відстань між молекулами;  - «відстань» взаємодії;  - глибина потенціальної ями, або енергія.

Параметри і є характеристиками даної речовини. Мінімум потенціалу лежить в точці . При сили тяжіння переважають над силами відштовхування, що відповідає члену формули. Тяжіння обумовлено силами Ван-дер-Ваальса.

При відстані між центрами частинок меншому, ніж , сили відштовхування переважають над силами тяжіння, що відповідає члену формули. Недоліком такого подання потенціалу взаємодії двох молекул є те, що сили обмінного взаємодії, що відповідають за відштовхування частинок на малих відстанях, лише приблизно описуються степеневою залежністю. Однак, степеневе представлення потенціалу зручно для комп'ютерних розрахунків. З цієї причини потенціал Леннарда-Джонса широко застосовується в чисельному моделюванні поведінки речовини.




Такий потенціал добре описує притягання, коли молекули віддалені на значну відстань, і відштовхування – коли вони зближені. У такому випадку сила взаємодії визначається наступним чином:



Термодинамічна величина – внутрішня енергія визначається за формулою E=3/2kT+U. Для визначення температури усереднимо повну кінетичну енергію системи за багатьма кроками за часом:






Алгоритм

1) задаємо кількість частинок N, лінійні розміри резервуару та , масу частинок mі, початкові координати та швидкості (,,,), проекціі зовнішніх сил на вісі (Fxi, Fyi), параметри потенціалу (), крок за часом dt.

2) Розраховується повний імпульс системи в обох напрямках і корегуються швидкості таким чином, щоб сумарний імпульс дорівнював нулю. Для цього окремо сумують проекції швидкості на осі, знаходять середнє та віднімають від кожної проекції середнє.

3) Розраховуємо швидкості та координати за методом з переступом. При розрахунку нових координат перевіряється найменша відстань взаємодії між частинками з урахуванням періодичних граничних умов.

Результати роботи програми:









Список використаної літератури

1. Конспект лекцій

2. Потенциал Леннарда-Джонса // Википедия, свободная энциклопедия. — http://ru.wikipedia.org/wiki/Потенциал_Леннарда-Джонса

3. Межмолекулярное взаимодействие // Википедия, свободная энциклопедия. — http://ru.wikipedia.org/wiki/Межмолекулярное_взаимодействие


Додаток А Код програми

clear all;

N=100; dt=0.005; g=2; Lx=20; Ly=20;

m(1:N)=0.1; E=0.5; s=1; Tmax=1.5;

Vx=40*rand(1,N)-20;

Vy=40*rand(1,N)-20;

r=1; k=1;

te=0:dt:(Tmax+dt)+0.5*dt;

[g1,g2]=size(te);

Kt(1:g2)=0;%kinetu4na energia

for i=2:2:Lx

for j=2:2:Ly

x(k)=i; y(k)=j; k=k+1;

end;

end;

Vxsr=sum(Vx)/N;

Vysr=sum(Vy)/N;

Vx=Vx-Vxsr;

Vy=Vy-Vysr;

for i=1:N

sumFx(i)=0; sumFy(i)=0; F=0;

for j=1:N

if i~=j

ry=y(i)-y(j); rx=x(i)-x(j);

if abs(rx)>Lx/2

rx=rx-sign(rx)*Lx;

end;

if abs(ry)>Ly/2

ry=ry-sign(ry)*Ly;

end;

r=sqrt(rx^2+ry^2);

r6=(s/r)^6;

F=(24*E*s/r)*(r6*(2*r6-1));

Fx=F*rx;

sumFx(i)=sumFx(i)+Fx;

Fy=F*ry-m(i)*g;

sumFy(i)=sumFy(i)+Fy; end; end; end;

Kt(1)=sum(0.5*m.*sqrt(Vx.^2+Vy.^2));

Vx=Vx+(dt/2)*(sumFx-r*Vx);

Vy=Vy+(dt/2)*(sumFy-r*Vy);

k1=1;

for t=0:dt:Tmax

k1=k1+1; x=x+Vx.*dt; y=y+Vy.*dt;

for i=1:N

sumFx(i)=0; sumFy(i)=0; F=0;

if y(i)<0 Vy(i)=-Vy(i);

elseif y(i)>Ly y(i)=0;

elseif x(i)>Lx x(i)=0;

elseif x(i)<0 x(i)=Lx; end;

for j=1:N

if i~=j ry=y(i)-y(j); rx=x(i)-x(j);

if abs(rx)>Lx/2 rx=rx-sign(rx)*Lx; end;

if abs(ry)>Ly/2 ry=ry-sign(ry)*Ly; end;

r=sqrt(rx^2+ry^2);

rs=(s/r)^6;

F=(24*E*s/r)*(rs*(2*rs-1));

Fx=F*rx;

sumFx(i)=sumFx(i)+Fx;

Fy=F*ry-m(i)*g;

sumFy(i)=sumFy(i)+Fy; end; end; end;

Vx=Vx+dt*(sumFx-r*Vx);

Vy=Vy+dt*(sumFy-r*Vy);

axis([0 20 0 20]);

plot(x,y,'o');

pause(0.001);

Kt(k1)=sum(0.5*m.*sqrt(Vx.^2+Vy.^2)); end;

pause

Kt1=Kt./N

plot(te,Kt1,'r');

Схожі:

Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconМоделювання руху систем взаємодіючих частинок
Оскільки нашою метою є вивчення системи багатьох частинок, можна ввести деякі спрощення
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconІнформаційна картка про інноваційну розробку
Назва розробки. Моделювання програмного руху робота у просторі декартових систем
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconНавчальна дисципліна, для якої призначено розробку
Назва розробки. Моделювання програмного руху робота у просторі декартових систем
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconМетодичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни "Моделювання фізичних процесів І систем (моделювання стохастичних процесів І систем)"
Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни “Моделювання фізичних процесів і систем (моделювання стохастичних процесів...
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconЛазерний фотоелектричний лічильник аерозольних частинок автори: Бекшаєв А. Я, Калугін В. В., Контуш С. М., Михайловська Л. В
Дані вимірювань можуть бути представлені у вигляді повного числа частинок, їх концентрації та розподілу по розмірах
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconДокументи
1. /Моделювання технолог_чних процес_в _ систем КОМПЛЕКС/1.Лекц_х/0.txt
2. /Моделювання...

Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства сорока К. О. Монографія «Моделювання електромеханічних систем»
Монографія Моделювання електромеханічних систем (для студентів усіх форм навчання напряму 050702 “Електромеханіка”) / Харк нац акад...
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconПрограма І робоча програма навчальної дисципліни «Моделювання електромеханічних систем для студентів 4 курсу денної та заочної форм навчання спеціальностей 092200 «Електричні системи І комплекси транспортних засобів»
Програма І робоча програма навчальної дисципліни Моделювання електромеханічних систем
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconАерозольних частинок тіньового типу автори: Бекшаєв А. Я, Калугін В. В., Контуш С. М., Михайловська Л. В
Аналіз І обробка сигналу, здійснювані за допомогою персонального комп’ютера, дозволяють судити про розмір частинки. В результаті...
Моделювання руху систем взаємодіючих частинок iconО. А. Вишневський
Наведено модель залежності величини абразивної взаємодії поверхні зразка І частинок від на-вантаження та густини. Моделювання виконано...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи