Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" icon

Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни "Рівняння математичної фізики". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни "Рівняння математичної фізики"




Скачати 302.76 Kb.
НазваМетодичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни "Рівняння математичної фізики". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни "Рівняння математичної фізики"
Сторінка1/4
Дата14.09.2012
Розмір302.76 Kb.
ТипМетодичні вказівки
  1   2   3   4

Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних.




Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни


“Рівняння математичної фізики”.


Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”.

Мета завдання: виробити навички практичного використання математичного апарату у розв’язку задач з реальним фізичним змістом.

Типове завдання має три задачі: поширення тепла в стержні, повздовжні коливання струни та стаціонарне розподілення температури у платівці. Їх розв’язок ведеться одним з методів математичної фізики – методом поділення змінних, або як його інакше називають – методом Фур’є.


1.Виведення рівняння теплопровідності.


Розглянемо однорідний стержень довжиною L при таких припущеннях:

  1. стержень зроблений з однорідного матеріалу (мал.1.1);




0



мал.1.1


  1. бічна поверхня стержня теплозольована (тепло може розповсюджуватись тільки вздовж осі OX);

  2. стержень тонкий, тобто температура всіх точок у кожному поперечному перерізі стержня постійна і змінюється тільки від перерізу до перерізу.

Якщо розглянемо частину стержня на відрізку і скористуємось законом збереження тепла, тобто загальна кількість тепла на відрізку дорівнює сумі кількості тепла, що проходить через межі, й тепло створене всередині відрізку, тобто:

(1.1)



З іншого боку, якщо ввести позначення:

– температура стержня,

- питома теплоємність матеріалу (означає здібність матеріалу запасати тепло),

- густина матеріалу,

– площа поперечного перерізу стержня

і скористатися формулою обчислення тепла на відрізку стержня, то маємо


.

Тоді закон збереження енергії (1.1) можна записати в математичній формі:




(1.2)


де – теплопровідність матеріалу (здатність матеріалу проводити тепло),

– об’ємна потужність зовнішнього джерела тепла.


Задача полягає у тому, що треба записати рівняння (1.2) у формі, в якій нема інтегралів. Для розв’язку цієї задачі треба вжити теорему про середнє значення: якщо функція неперервна на відрізку, то існує не більш, як одна точка така, що


.

^

В результаті одержимо наступне рівняння






або, якщо поділити на , то


.


Спрямуємо до і одержимо шукане рівняння:


, (1.3)


де - коефіцієнт теплопровідності,

– щільність джерела тепла.


Розглянемо випадок, коли бічна поверхня стержня не теплоізольована. Відомо, що величина теплового потоку через бічну поверхню стержня в цьому випадку пропорційна різниці між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, яка підтримується постійною і дорівнює нулю.

У цьому випадку закон збереження кількості тепла призводить до рівняння:


, (1.4)


де - коефіцієнт пропорційності для потоку через бічну поверхню.


^ 2.Перетворення задачі з неоднорідними граничними умовами

до задачі з однорідними граничними умовами.


1.Розглянемо задачу про поширення тепла в теплоізольованому стержні, на кінцях якого підтримується постійна температура і , тобто маємо рівняння у частинних похідних:


, (2.1)


крайові умови:





і початкові умови:





Труднощі цієї задачі полягають у тому, що оскільки крайові умови неоднорідні, то не можна розв’язувати її методом поділення змінних. Але очевидно, що при t розв’язок задачі наближається до стаціонарного, яке лінійно змінюється (вздовж осі OX) від температури K1 до температури K2. Інакше припустимо, що температуру у цій задачі можна подати у вигляді суми двох доданків: стаціонарного (граничного розв’язку для великих значень аргументу t) і перехідного, тобто частини розв’язку, яка залежить від початкових умов і зі збільшенням змінної t наближається до нуля, або


(2.2)


У цьому випадку ставиться задача знаходження перехідної температури . Припустимо, що функція задовольняє однорідним граничним умовам:

  1   2   3   4

Схожі:

Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconМетодичні вказівки до виконання типового завдення з дисципліни "Рівняння математичної фізики". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни "Рівняння математичної фізики"
Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconЗадача для рівняння Мал. 1 1) має назву задачі Діріхлє
Мета типового завдання з дисципліни “Рівняння математичної фізики” – прищепити навички: застосування методу граничних елементів (мге)...
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconНазва модуля: Вища математика Ч. 3 Код модуля
Звичайні диференціальні рівняння та рівняння математичної фізики. Елементи теорії функцій комплексної змінної та операційного числення....
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconНазва модуля: Вища математика Ч. 3 Код модуля
Звичайні диференціальні рівняння та рівняння математичної фізики. Елементи теорії функцій комплексної змінної та операційного числення....
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconМетодичні вказівки та завдання до виконання розрахункової роботи з дисципліни
Методичні вказівки та завдання до виконання розрахункової роботи з дисципліни «Організація планування та управління підприємством»...
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconМетодичні вказівки до виконання обов'язкового домашнього завдання з дисципліни
Методичні вказівки до виконання обов'язкового домашнього завдання з дисципліни «Гідро-і пневмопривід автоматичних ліній і комплексів»...
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconМетодичні вказівки до виконання розрахунково-графічного завдання з дисципліни “Фінансовий ринок
Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічного завдання з дисципліни “Фінансовий ринок” (для студентів усіх форм навчання...
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconГ. Г. Фесенко Завдання та методичні вказівки до виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни
Завдання та методичні вказівки до виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни «Психологія управління» (для студентів 5 курсу...
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconМетодичні вказівки для виконання індивідуального завдання
Головко В.І., Верховська А. О. Робоча програма та методичні вказівки для виконання індивідуального завдання із дисципліни «Автоматизацiя...
Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни \"Рівняння математичної фізики\". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни \"Рівняння математичної фізики\" iconМетодичні вказівки до виконання індивідуального домашнього завдання
Методичні вказівки до виконання індивідуального домашнього завдання з дисципліни «Інформаційна підтримка життєвого циклу технічних...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи