3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) icon

3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є)




Скачати 42.02 Kb.
Назва3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є)
Дата14.09.2012
Розмір42.02 Kb.
ТипДокументи

3.Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).


Сутність методу – розклад шуканого розв’язку на добуток найпростіших компонент.

Метод поділення змінних вживається у таких випадках:

1.Рівняння лінійне й однорідне (не обов’язково з постійними коефіцієнтами).

2. Граничні умови задаються у вигляді:


,

де – константи (такі граничні умови називаються лінійними однорідними ).


3.1.Загальні принципи метода поділення змінних.


Для найпростішого рівняння з частинними похідними поділення змінних – це пошук розв’язку у вигляді:





де ^ X(x) – функція, залежна від змінної х;

T(t) – функція, залежна від змінної t.

Необхідно знайти нескінченне число таких розв’язків рівняння з частинними похідними, які задовольняють граничним умовам. Ці найпростіші функції називаються фундаментальними розв’язками.

Розв’язок задачі U(x,t) знаходиться у вигляді лінійної комбінації фундаментальних розв’язків тобто вислідна суми





яка задовольняє початковим умовам. І оскільки ця сума задовольняє рівнянню і граничним умовам, вона є розв’язком вихідної задачі.


^ 3.2.Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.


Знайти функцію U(x,t), яка є розв’язком задачі


(3.1)


(3.2)


(3.3)


де – постійна величина.

Будемо шукати розв’язок у вигляді:


(3.4)


Підставимо (3.4) в рівняння (3.1), одержимо:





Поділимо обидві частини останнього рівняння на





У цьому виразі змінні поділені, тобто ліва частина рівняння залежить від t, а права – тільки від x. І оскільки x і t незалежні одне від одного, то кожна частина цього рівняння повинна бути константою. Позначимо її через k, тоді





або





Тепер можна розв’язати кожне з цих звичайних диференціальних рівнянь. Добуток відповідних розв’язків буде задовольняти вихідному рівнянню з частинними похідними.

Слід звернути увагу на ту обставину, що константа k повинна бути від’ємною (у протилежному випадку рівняння з граничними умовами X(0)=0 і X(L)=0 має тільки розв’язок X(x)=0, тобто функція T(t) повинна наближатися до нуля при t).


Виходячи з цього, позначимо, де не може дорівнювати нулю, оскільки тоді розв’язок буде тривіальним. Отже вираз “-” буде завжди від’ємним. З урахуванням нового позначення для константи маємо два звичайних диференціальних рівняння першого і другого порядків:





Ці рівняння є однорідними рівняннями стандартного типу з постійними коефіцієнтами. Їх загальні розв’язкі мають вигляд





де – довільні сталі.

Підставляючи в добуток X(x)T(t) одержані вирази і об’єднуючи сталі, одержимо функцію виду


, (3.5)


яка задовольняє рівнянню у частинних похідних. Треба підкреслити, що знайшли нескінченний набір функцій, які задовольняють вихідному рівнянню з частинними похідними.


^ 3.3.Знаходження розв’язків, які задовольняють граничним умовам.


Таким чином, маємо безліч розв’язків вихідного рівняння, але не всі вони задовольняють граничним та початковим умовам. Треба вибрати таку підмножину розв’язків виду (3.5), яка б задовольняла граничним умовам (3.2).

Для цього підставимо розв’язок (3.5) у ті граничні умови:





Отже маємо задачу:





яка називається задачею Штурма-Ліувіля. Розв’язок цієї задачі дає В=0 і , але , оскільки тоді,

отож .

Таким чином, одержали числа, які називаються власними. Вони володіють такими властивостями:

а) множина власних значень – лічильна;

б) всі власні числа невід’ємні;

в) якщо власні значення розташувати у порядку зростання


,


то ;

г) всі власні значення задачі Штурма-Ліувіля – прості, тобто кожному власному значенню відповідає одна власна функція .

Отже маємо нескінчений набір розв’язків


(3.6)


кожен з яких задовольняє рівнянню з частинними похідними та граничним умовам. Розв’язок вихідної задачі є сума цих найпростіших функцій.


^ 3.4. Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.


Треба знайти суму фундаментальних розв’язків


(3.7)


з такими коефіцієнтами Ck, щоб функція U(x,t) задовольняла початковій умові


(3.8)

Якщо підставити (3.8) у (3.7), то будемо мати


(3.9)


Вираз (3.9) є звичайним розкладом функції у ряд Фур’є. Коефіцієнти ряду знаходяться по формулі:





Таким чином, знайшли розв’язок задачі (3.1) – (3.3), який має вигляд:


(3.10)

Схожі:

3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconТип модуля: обов’язковий Семестр: 8 Обсяг модуля
Нелінійне програмування. Опукле та неопукле програмування. Метод Ньютона. Методи прямого пошуку Методи пошуку екстремумів функції...
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconТеоретичні питання з курсу „Аналітична геометрія та лінійна алгебра
Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Методи розв’язування (метод Крамера, метод Гауса, матричний метод). Приклади
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconТеоретичні питання з курсу „Аналітична геометрія та лінійна алгебра
Системи лінійних рівнянь. Основні означення. Методи розв’язування (метод Крамера, метод Гауса, матричний метод). Приклади
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconДокументи
1. /Метод. реком. ДОШК_ЛЬНА ОСВ_ТА 2012-2013.doc
2. /Метод....

3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconНазва модуля: Теорія керування Код модуля: пм 6111 С01
Задачі теорії оптимальних систем керування, метод фазових траєкторій, метод гармонічної лінеаризації, спостережуваність та керованість...
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconПитання до екзамену з дисципліни «пускорегулюючі апарати»
Методи розрахунку кіл з розрядними лампами: метод гармонічного аналізу, метод еквівалентних синусоїд, метод "припасовування", машинні...
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconЗафарбування. Метод гуро І фонга
Основна причина популярності алгоритмів зафарбування, заснованих на розбитті на багатокутники, існування двох методів зафарбування:...
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconДокументи
1. /Дистанц_йне (заочне ) та п_слядипломне навчання/метод.вказ_вки по фармакогноз_х/ал1.doc
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) icon2. метод больших штрафов (М –метод)
Имеем три уравнения (m = 3) и четыре неизвестных n = Это означает, что каждому базисному решению соответствует одна
3. Метод поділення змінних. (Метод Фур’є) iconПитання на модуль 2 з дисципліни «пускорегулюючі апарати»
Опишіть метод розрахунку електричних кіл з розрядними лампами : метод гармонічного аналізу (недоліки, переваги)
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи