4. Поширення тепла у стержні icon

4. Поширення тепла у стержні




Скачати 36.35 Kb.
Назва4. Поширення тепла у стержні
Дата14.09.2012
Розмір36.35 Kb.
ТипЗадача


4.Поширення тепла у стержні.


Задача. Нехай на лівому кінці стержня з теплоізольованою бічною поверхнею підтримується постійна температура, яка дорівнює 2 одиницям, а на правому кінці задана теплова течія, яка дорівнює 5. Початковий розподіл температури показаний на малюнку N. Проведемо дослідження з часом зміни цього розподілу.


З малюнка легко вивести аналітичну форму функції U(x,0)=f(x), яка буде


(4.1)

Процес поширення тепла у стержні описується рівнянням


, (4.2)


причому, відповідно заданому тепловому режиму на кінцях стержня


(4.3)


Таким чином, задача зводиться до розв’язку диференціального рівняння (4.2) при граничних (4.3) і початкових (4.1) умовах.

Для зручності подальших викладок перейдемо до безрозмірних величин:


(4.4)

^
Враховуючи, що


;


рівняння (4.2) та умови (4.1) і (4.3) перепишемо у вигляді


(4.5)


(4.6)


(4.7)


Оскільки у даній задачі граничні умови неоднорідні, то безпосередньо вживати метод поділення змінних не можна. Неоднорідні граничні умови потрібно перетворити в однорідні. Для цього будемо шукати розв’язок задачі у формі


(4.8)


де - функція, яка задовольняє однорідним граничним умовам, аналогічним (4.7);

- лінійна функція, яка задовольняє неоднорідним граничним умовам.

Підставимо (4.7) в (4.8), отримаємо





Тоді співвідношення (4.8) приймає вигляд:


(4.9)


або


. (4.10)


Сформулюємо вихідну задачу відносно функції . Для цього (4.9) підставимо в (4.5). Отже задача буде


(4.11)


(4.12)


(4.13)


Далі розв’язуємо рівняння методом Фур’є, тобто розв’язок шукаємо у формі


(4.14)


Розв’язок (4.14) підставляємо у рівняння (4.11).





Поділимо праву та ліву частини рівності на , отримаємо


(4.15)


Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і ,тобто є постійними величинами. Позначимо її через . Тоді з рівності (4.15) одержимо два звичайних диференціальних рівняння


(4.16)


(4.17)

Розв’яжемо ці рівняння і підставимо в (4.14), тоді будемо мати


(4.18)


де - довільні сталі.

Отже отримали загальний розв’язок рівняння (4.11). Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.

З граничних умов задачі Штурма-Ліувілля маємо





отже





Власними функціями є


.


Оскільки одержане число залежить від , яке змінюється до нескінченності, то кожному значенню буде відповідати розв’язок





Цей розв’язок рівняння (4.11) задовольняє граничним умовам (4.12) і для кожного значення будемо мати іншу константу.

Тому слід надати константі індекс . Тоді розв’язок буде мати вигляд


(4.19)


Сума розв’язків (4.19) буде також розв’язком рівняння (4.11), тому що розв’язки складають лінійно-незалежну фундаментальну систему.

Таким чином


(4.20)


Для визначення довільної константи , використаємо початкову умову, з якої виходить





Остання формула показує, що константи виявляються коефіцієнтами розкладання функції у ряд Фур’є по синусам в інтервалі (0,1). Отже





Підставимо вираз (4.15) для функції під інтеграл, тоді





.


Виконав необхідні обчислення, дістанемо




(4.21)

.


Підставимо (4.21) в (4.20) і, враховуючи рівність (4.9), запишемо остаточний розв’язок задачі:


(4.22)






Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а - від 0 до 1 з кроком 0.25. Змінення розподілу температури вздовж стержня з часом показано на графіках малюнку 4.1.






Мал.4.1


З цих вислідів видно, що наявність течії на одному кінці стержня і постійної додатної температури на другому, призводять до явища, коли стержень охолоджується з часом дуже повільно.

Схожі:

4. Поширення тепла у стержні iconЗавдання Поширення тепла у стержні
Написати в аналітичній формі показане на відповідному малюнку початкове поширення температури у стержні з теплоізольованою бічною...
4. Поширення тепла у стержні icon2. Перетворення задачі з неоднорідними граничними умовами до задачі з однорідними граничними умовами
Розглянемо задачу про поширення тепла в теплоізольованому стержні, на кінцях якого підтримується постійна температура І, тобто маємо...
4. Поширення тепла у стержні iconЗавдання Стаціонарний розподіл тепла у платівці
Записати у аналітичному вигляді показний на відповідному малюнку початковий розподіл тепла в квадратній плівці
4. Поширення тепла у стержні iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Міське будівництво та господарство»
Матеріали. Основи розрахунку. Балки І балочні клітки. Колони І стержні, що працюють на центральний стиск. Ферми. Колони І стержні,...
4. Поширення тепла у стержні iconПерелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень спеціаліста,магістра зі спеціальності «Міське будівництво та господарство»
Матеріали. Основи розрахунку. Балки і балочні клітки. Колони і стержні, що працюють на центральний стиск. Ферми. Колони і стержні,...
4. Поширення тепла у стержні iconЕлектродинаміка та поширення радіохвиль Дисципліна «Електродинаміка та поширення радіохвиль»
Дисципліна «Електродинаміка та поширення радіохвиль» (ед та прх) є однією з фундаментальних дисциплін базової підготовки напрямку...
4. Поширення тепла у стержні iconО. Дуда, О. Маєвський, Г. Шимчук
України. Споживачі та постачальники послуг повинні контролювати облік споживання електроенергії, газу, води і тепла. Облік споживання...
4. Поширення тепла у стержні iconО. Дуда, О. Маєвський, Г. Шимчук
України. Споживачі та постачальники послуг повинні контролювати облік споживання електроенергії, газу, води і тепла. Облік споживання...
4. Поширення тепла у стержні iconМихайлів оксана богданівна старший викладач
Лісівничих Досліджень в Варшаві (Польща), співпрацювала в науковому проекті «Вплив опадів І температури повітря на поширення інфекційних...
4. Поширення тепла у стержні iconПеревод Enova будет содействовать расширению использования сбросного тепла в промышленности
move to 595-56337
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи